Variabile casuale è una variabile che può assumere determinati valori a seconda delle varie circostanze, e variabile casuale è chiamata continua , se può assumere qualsiasi valore da un intervallo limitato o illimitato. Per una variabile casuale continua, è impossibile specificare tutti i valori possibili, pertanto vengono indicati gli intervalli di questi valori associati a determinate probabilità.

Esempi di variabili casuali continue sono: il diametro di una parte trasformata in una data dimensione, l'altezza di una persona, la portata di un proiettile, ecc.

Poiché per variabili casuali continue la funzione F(X), A differenza di variabili casuali discrete, non ha salti da nessuna parte, allora la probabilità di ogni singolo valore di una variabile casuale continua è uguale a zero.

Ciò significa che per una variabile casuale continua non ha senso parlare di distribuzione di probabilità tra i suoi valori: ognuno di essi ha probabilità zero. Tuttavia, in un certo senso, tra i valori di una variabile aleatoria continua ci sono "più e meno probabili". Ad esempio, è improbabile che qualcuno dubiti che il valore di una variabile casuale - l'altezza di una persona incontrata casualmente - 170 cm - sia più probabile di 220 cm, sebbene l'uno e l'altro valore possano verificarsi nella pratica.

Funzione di distribuzione di una variabile casuale continua e densità di probabilità

Come legge di distribuzione, che ha senso solo per variabili aleatorie continue, viene introdotto il concetto di densità di distribuzione o densità di probabilità. Affrontiamolo confrontando il significato della funzione di distribuzione per una variabile aleatoria continua e per una variabile aleatoria discreta.

Quindi, la funzione di distribuzione di una variabile casuale (sia discreta che continua) o funzione integraleè chiamata una funzione che determina la probabilità che il valore di una variabile casuale X minore o uguale al valore limite X.

Per una variabile casuale discreta nei punti dei suoi valori X1 , X 2 , ..., X io ,... masse concentrate di probabilità p1 , p 2 , ..., p io ,..., e la somma di tutte le masse è uguale a 1. Trasferiamo questa interpretazione al caso di una variabile casuale continua. Immagina che una massa uguale a 1 non sia concentrata in punti separati, ma sia continuamente "spalmata" lungo l'asse x Bue con una densità irregolare. La probabilità di colpire una variabile casuale su qualsiasi sito Δ X sarà interpretato come la massa attribuibile a questa sezione e la densità media in questa sezione - come il rapporto tra massa e lunghezza. Abbiamo appena introdotto un concetto importante nella teoria della probabilità: la densità di distribuzione.

Densità di probabilità f(X) di una variabile casuale continua è la derivata della sua funzione di distribuzione:

.

Conoscendo la funzione di densità, possiamo trovare la probabilità che il valore di una variabile casuale continua appartenga all'intervallo chiuso [ un; b]:

la probabilità che una variabile casuale continua X prenderà qualsiasi valore dall'intervallo [ un; b], è uguale a un certo integrale della sua densità di probabilità nell'intervallo da un prima b:

.

in cui formula generale funzioni F(X) la distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua, che può essere utilizzata se si conosce la funzione di densità f(X) :

.

Il grafico della densità di probabilità di una variabile casuale continua è chiamato curva di distribuzione (fig. sotto).

L'area della figura (ombreggiata nella figura), delimitata da una curva, linee rette tracciate da punti un e b perpendicolare all'asse delle ascisse e all'asse Oh, visualizza graficamente la probabilità che il valore di una variabile casuale continua Xè nel range di un prima b.

Proprietà della funzione di densità di probabilità di una variabile casuale continua

1. La probabilità che una variabile casuale assuma qualsiasi valore dall'intervallo (e l'area della figura, che è limitata dal grafico della funzione f(X) e asse Oh) è uguale a uno:

2. La funzione di densità di probabilità non può assumere valori negativi:

e al di fuori dell'esistenza della distribuzione, il suo valore è zero

Densità di distribuzione f(X), così come la funzione di distribuzione F(X), è una delle forme della legge di distribuzione, ma a differenza della funzione di distribuzione, non è universale: la densità di distribuzione esiste solo per variabili aleatorie continue.

Citiamo i due tipi più importanti nella pratica di distribuzione di una variabile casuale continua.

Se la funzione di densità di distribuzione f(X) una variabile casuale continua in un intervallo finito [ un; b] assume un valore costante C, e al di fuori dell'intervallo assume un valore uguale a zero, quindi questo distribuzione è chiamata uniforme .

Se il grafico della funzione di densità di distribuzione è simmetrico rispetto al centro, i valori medi sono concentrati vicino al centro e quando ci si allontana dal centro vengono raccolti più diversi dalle medie (il grafico della funzione assomiglia a un taglio di un campanello), poi questo distribuzione è chiamata normale .

Esempio 1 La funzione di distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua è nota:

Trova una caratteristica f(X) la densità di probabilità di una variabile casuale continua. Tracciare grafici per entrambe le funzioni. Trova la probabilità che una variabile casuale continua assuma qualsiasi valore nell'intervallo da 4 a 8: .

Soluzione. Otteniamo la funzione di densità di probabilità trovando la derivata della funzione di distribuzione di probabilità:

Grafico delle funzioni F(X) - parabola:

Grafico delle funzioni f(X) - retta:

Troviamo la probabilità che una variabile casuale continua assuma un valore compreso tra 4 e 8:

Esempio 2 La funzione di densità di probabilità di una variabile casuale continua è data come:

Calcola fattore C. Trova una caratteristica F(X) la distribuzione di probabilità di una variabile casuale continua. Tracciare grafici per entrambe le funzioni. Trova la probabilità che una variabile casuale continua assuma qualsiasi valore nell'intervallo da 0 a 5: .

Soluzione. Coefficiente C troviamo, utilizzando la proprietà 1 della funzione di densità di probabilità:

Pertanto, la funzione di densità di probabilità di una variabile casuale continua è:

Integrando troviamo la funzione F(X) distribuzioni di probabilità. Se una X < 0 , то F(X) = 0. Se 0< X < 10 , то

.

X> 10, quindi F(X) = 1 .

Pertanto, il record completo della funzione di distribuzione di probabilità è:

Grafico delle funzioni f(X) :

Grafico delle funzioni F(X) :

Troviamo la probabilità che una variabile casuale continua assuma un valore compreso tra 0 e 5:

Esempio 3 Densità di probabilità di una variabile casuale continua Xè data dall'uguaglianza , mentre . Trova il coefficiente MA, la probabilità che sia una variabile casuale continua X prende un valore dall'intervallo ]0, 5[, la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua X.

Soluzione. Per condizione, si arriva all'uguaglianza

Pertanto, da dove . Così,

.

Ora troviamo la probabilità che sia una variabile casuale continua X prenderà qualsiasi valore dall'intervallo ]0, 5[:

Ora otteniamo la funzione di distribuzione di questa variabile casuale:

Esempio 4 Trova la densità di probabilità di una variabile casuale continua X, che accetta solo valori non negativi e la sua funzione di distribuzione .

S continua in. può essere specificato utilizzando una funzione chiamata densità di distribuzione o densità di probabilità o funzione di distribuzione differenziale.

Densità di distribuzione probabilità di continuo c. in. X chiama la funzione f(x) - la derivata prima della funzione di distribuzione F(x):

Da questa definizione consegue che la funzione di distribuzione è l'antiderivata della densità di distribuzione.

Per descrivere la distribuzione di probabilità di un discreto s. in. la densità di distribuzione non è applicabile.

Il significato probabilistico della densità di distribuzione.

Quindi, il limite del rapporto di probabilità che un continuo c. in. assume un valore appartenente all'intervallo (x, x +∆x), la lunghezza di tale intervallo (per ∆x → 0) è uguale al valore della densità di distribuzione nel punto x.

La funzione di densità caratterizza separatamente ogni valore di una variabile casuale continua e non l'intero intervallo, come nel caso della funzione di distribuzione.

Probabilità di colpire continuo c. in. all'intervallo dato.

Secondo la formula di Newton-Leibniz:

Papà< X  b}= F(b) – F(a),

così

Trovare la funzione di distribuzione dalla funzione di densità nota.

Assumendo nella formula precedente a = -∞, b = x, e sostituendo la variabile di integrazione x con t, si ha:

F(x) = P(X  x)=P(-∞< X  х},

Di conseguenza

Proprietà della densità di distribuzione

Proprietà 1. La densità di distribuzione è una funzione non negativa: f(x)0 (perché la funzione di distribuzione integrale è una funzione non decrescente e la densità di distribuzione è la sua derivata prima).

Proprietà 2:

Prova. Integrale improprio
esprime la probabilità di un evento consistente nel fatto che una variabile aleatoria assume un valore appartenente all'intervallo (-∞, ∞). Ovviamente un tale evento è certo, quindi la sua probabilità è pari a uno.

Geometricamente, ciò significa che l'intera area del trapezio curvilineo delimitata dall'asse 0x e dalla curva di distribuzione è uguale a uno.

A in particolare, se tutti i possibili valori di una variabile casuale appartengono all'intervallo (а,b), allora
.

Possibile diagramma della densità di distribuzione (esempio)

f 1 (x) è la densità di distribuzione del payoff nel 1° gioco

f 2 (x) è la densità di distribuzione del payoff nel 2° gioco

Quale gioco preferisci?

Caratteristiche numeriche di variabili casuali. .

Queste caratteristiche consentono di risolvere molti problemi senza conoscere la legge di distribuzione delle variabili casuali.

Caratteristiche della posizione di una variabile casuale sull'asse reale.

Valore atteso questa è la media ponderata dei valori della variabile aleatoria X, in cui l'ascissa di ogni punto x i è inclusa con un "peso" pari alla probabilità corrispondente.

L'aspettativa matematica è talvolta chiamata semplicemente il valore medio del r.v.

Designazione: m x o M [X].

Per una variabile casuale discreta

M[X]=

Per una variabile casuale continua

Modaè il valore più probabile di una variabile aleatoria (quella per cui la probabilità p i , ovvero la densità di distribuzione f(x) raggiunge il suo massimo).

Designazione: 

Distinguere tra distribuzioni unimodali (hanno una modalità), distribuzioni polimodali (hanno più modalità) e distribuzioni animodali (non hanno modalità)

unimodale

Medianoè un valore di una variabile casuale x m per la quale vale la seguente uguaglianza:

P(X< х m }= P{X >xm)

La mediana divide a metà l'area delimitata da f(x).

Se la densità di distribuzione di una variabile casuale è simmetrica e unimodale, allora М[X],  e x m coincidono

M[X], , x m - variabili non casuali

Sia $X$ una variabile casuale continua con una funzione di distribuzione di probabilità $F(x)$. Ricordiamo la definizione della funzione di distribuzione:

Definizione 1

Una funzione di distribuzione è una funzione $F(x)$ che soddisfa la condizione $F\sinistra(x\destra)=P(X

Poiché la variabile casuale è continua, allora, come già sappiamo, la funzione di distribuzione di probabilità $F(x)$ sarà una funzione continua. Sia anche $F\left(x\right)$ differenziabile sull'intero dominio di definizione.

Considera l'intervallo $(x,x+\triangle x)$ (dove $\triangle x$ è l'incremento di $x$). Su di lui

Ora, lasciando che i valori dell'incremento $\triangolo x$ tendano a zero, otteniamo:

Immagine 1.

Quindi, otteniamo:

La densità di distribuzione, come la funzione di distribuzione, è una delle forme della legge di distribuzione di una variabile casuale. Tuttavia, la legge di distribuzione può essere scritta in termini di densità di distribuzione solo per variabili casuali continue.

Definizione 3

La curva di distribuzione è un grafico della funzione $\varphi \left(x\right)$, la densità di distribuzione di una variabile casuale (Fig. 1).

Figura 2. Grafico della densità di distribuzione.

Senso geometrico 1: La probabilità che una variabile casuale continua rientri nell'intervallo $(\alpha ,\beta)$ è uguale all'area del trapezio curvilineo delimitata dal grafico della funzione di distribuzione $\varphi \left(x\right)$ e il rette $x=\alpha ,$ $x=\beta $ e $y=0$ (Fig. 2).

Figura 3. Rappresentazione geometrica della probabilità che una variabile casuale continua rientri nell'intervallo $(\alpha ,\beta)$.

Senso geometrico 2: L'area di un trapezio curvilineo infinito delimitata dal grafico della funzione di distribuzione $\varphi \left(x\right)$, la retta $y=0$ e la retta variabile $x$ altro non è che la funzione di distribuzione $ F(x)$ (Fig. 3).

Figura 4. Rappresentazione geometrica della funzione di probabilità $F(x)$ in termini di densità di distribuzione $\varphi \left(x\right)$.

Esempio 1

Lascia che la funzione di distribuzione $F(x)$ della variabile casuale $X$ abbia la forma seguente.

La funzione di distribuzione è la forma più generale di impostazione della legge di distribuzione. Viene utilizzato per specificare variabili casuali sia discrete che continue. Di solito è indicato come . funzione di distribuzione determina la probabilità che una variabile casuale assuma valori inferiori a un numero reale fisso, cioè . La funzione di distribuzione caratterizza completamente una variabile casuale da un punto di vista probabilistico. Viene anche chiamata funzione di distribuzione integrale.

L'interpretazione geometrica della funzione di distribuzione è molto semplice. Se una variabile casuale è considerata come un punto casuale dell'asse (Fig. 6), che, a seguito del test, può assumere una o l'altra posizione su questo asse, la funzione di distribuzione è la probabilità che il punto casuale, a seguito del test, cadrà a sinistra del punto.

Per una variabile casuale discreta, che può assumere i valori,, …,, la funzione di distribuzione ha la forma

,

dove la disuguaglianza sotto il segno della somma significa che la somma si estende a tutti quei valori che sono di grandezza minore. Da questa formula consegue che la funzione di distribuzione di una variabile casuale discreta è discontinua e aumenta a salti passando per i punti,, …, e il salto è uguale alla probabilità del valore corrispondente (Fig. 7). La somma di tutti i salti nella funzione di distribuzione è uguale a uno.

Una variabile casuale continua ha una funzione di distribuzione continua, il grafico di questa funzione ha la forma di una curva liscia (Fig. 8).

Riso. 7. Fig. otto.

Considera le proprietà generali delle funzioni di distribuzione.

Proprietà 1. La funzione di distribuzione è una funzione non negativa racchiusa tra zero e uno:

La validità di questa proprietà deriva dal fatto che la funzione di distribuzione è definita come la probabilità di un evento casuale consistente in quella.

Proprietà 2. La probabilità che una variabile casuale cada in un intervallo è uguale alla differenza tra i valori della funzione di distribuzione alle estremità di questo intervallo, cioè

Ne consegue che la probabilità di ogni singolo valore di una variabile casuale continua è zero.

Proprietà 3. La funzione di distribuzione di una variabile casuale è una funzione non decrescente, cioè per .

Proprietà 4. A meno infinito, la funzione di distribuzione è zero e a più infinito, la funzione di distribuzione è uguale all'unità, cioè,.

Esempio 1 La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua è data dall'espressione

Trova il coefficiente e costruisci un grafico. Determina la probabilità che una variabile casuale come risultato dell'esperimento assuma un valore sull'intervallo.

Soluzione. Poiché la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua è continua, otteniamo: . Da qui. Il grafico della funzione è mostrato in Fig. 9.

In base alla seconda proprietà della funzione di distribuzione, abbiamo:

.

4. Densità di distribuzione di probabilità e sue proprietà.

La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua è la sua caratteristica probabilistica. Ma ha uno svantaggio, che consiste nel fatto che è difficile giudicare la natura della distribuzione di una variabile casuale in un piccolo intorno di uno o un altro punto dell'asse numerico. Una rappresentazione più visiva della natura della distribuzione di una variabile casuale continua è data da una funzione chiamata densità di distribuzione di probabilità o funzione di distribuzione differenziale di una variabile casuale.

Densità di distribuzioneè uguale alla derivata della funzione di distribuzione, cioè

.

Il significato della densità di distribuzione è che indica la frequenza con cui una variabile casuale appare in un determinato quartiere di un punto quando gli esperimenti vengono ripetuti. Viene chiamata la curva che rappresenta la densità di distribuzione di una variabile casuale curva di distribuzione.

Considera le proprietà della densità di distribuzione.

Proprietà 1. La densità di distribuzione non è negativa, cioè

Proprietà 2. La funzione di distribuzione di una variabile casuale è uguale all'integrale della densità nell'intervallo da a, cioè

.

Proprietà 3. La probabilità che una variabile casuale continua colpisca un segmento è uguale all'integrale della densità di distribuzione rilevata su questo segmento, cioè

.

Proprietà 4. L'integrale nei limiti infiniti della densità di distribuzione è uguale all'unità:

.

Esempio 2 La variabile casuale è soggetta alla legge di distribuzione con densità

Determina il coefficiente; costruire un grafico della densità di distribuzione; trova la probabilità di colpire una variabile casuale sul segmento da a; determinare la funzione di distribuzione e tracciarne il grafico.

Soluzione. L'area delimitata dalla curva di distribuzione è numericamente uguale a

.

Tenendo conto della proprietà 4 della densità di distribuzione, troviamo: . Pertanto, la densità di distribuzione può essere espressa come segue:

Il grafico della densità di distribuzione è mostrato in fig. 10. Per proprietà 3 abbiamo

.

Per determinare la funzione di distribuzione, utilizziamo la proprietà 2:

.

Quindi, abbiamo

Il grafico della funzione di distribuzione è mostrato in fig. undici.

Gruppo completo di eventi. eventi opposti. Il rapporto tra le probabilità di eventi opposti (con derivazione).

Eventi dipendenti e indipendenti. Produzione di eventi. Il concetto di probabilità condizionata. Teorema della moltiplicazione delle probabilità (con dimostrazione).

Probabilità totale e formule di Bayes (con dimostrazione). Esempi.

Test indipendenti ripetuti. Formula di Bernoulli (con derivazione). Esempi.

Teorema di Moivre-Laplace locale, condizioni per la sua applicabilità. Proprietà della funzione Dx). Esempio.

Formula asintotica di Poisson e condizioni per la sua applicabilità. Esempio.

Teorema integrale di Moivre-Laplace e condizioni della sua applicabilità. La funzione di Laplace φ(x) e le sue proprietà. Esempio.

Conseguenze dal teorema integrale di Moivre-Laplace (con derivazione). Esempi.

Aspettativa matematica di una variabile aleatoria discreta e sue proprietà (con derivazione). Esempi.

Dispersione di una variabile aleatoria discreta e sue proprietà (con derivazione). Esempi.

La funzione di distribuzione di una variabile casuale, la sua definizione, le proprietà e il grafico.

Variabile casuale continua (nuova). La probabilità di un singolo valore di nsv. Aspettativa e dispersione matematica nsv.

Densità di probabilità di una variabile casuale continua, sua definizione, proprietà e grafico.

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Modo semplificato:

Valutazione della tenuta della connessione. Coefficiente di correlazione (selettivo), sue proprietà e valutazione dell'affidabilità.

1. Densità di probabilità di una variabile casuale continua, sua definizione, proprietà e grafico.

Si dice che una variabile casuale X ha una distribuzione (distribuita) con una densità
su una certa parte dell'asse x. Densità di probabilità
, come la funzione di distribuzione F(x), è una delle forme della legge di distribuzione, ma a differenza della funzione di distribuzione, esiste solo per continuo variabili casuali . La densità di probabilità è talvolta chiamata funzione differenziale o legge di distribuzione differenziale . Grafico della densità di probabilità
chiamato curva di distribuzione .

Proprietà della densità di probabilità di una variabile casuale continua.

☺
come derivata di una funzione F(x) monotonicamente non decrescente. ☻

☺
Secondo la proprietà 4 della funzione di distribuzione. Poiché F(x) è l'antiderivata per la densità di probabilità
(perché
, quindi, secondo la formula di Newton-Leibniz, l'incremento dell'antiderivativa sul segmento [a,b] è un integrale definito
. ☻

La probabilità geometricamente ottenuta è uguale all'area della figura delimitata dall'alto dalla curva di distribuzione e basata sul segmento [a, b] (Fig. 3.8).

La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua può essere espressa in termini di densità di probabilità utilizzando la formula:

.

Geometricamente, la funzione di distribuzione è uguale all'area della figura delimitata dall'alto dalla curva di distribuzione e situata a sinistra del punto x (Fig. 3.9).

Geometricamente, le proprietà 1 e 4 della densità di probabilità indicano che il suo grafico - la curva di distribuzione - non si trova al di sotto dell'asse delle ascisse e l'area totale della figura delimitata dalla curva di distribuzione e dall'asse delle ascisse è uguale a uno.

1. Una variabile casuale distribuita secondo la legge del binomio, la sua aspettativa matematica e varianza. Legge di distribuzione di Poisson.

Definizione. La variabile casuale discreta X ha legge della distribuzione binomiale con parametri npq se assume i valori 0, 1, 2,..., m,..., n con probabilità

dove 0<р

Come si può notare, le probabilità P(X=m) si trovano utilizzando la formula di Bernoulli, quindi la legge di distribuzione binomiale è la legge di distribuzione del numero X=m di occorrenze dell'evento A in n prove indipendenti, in ciascuna di cui può verificarsi con la stessa probabilità p .

La serie di distribuzione della legge binomiale ha la forma:

Ovviamente la definizione della legge binomiale è corretta, perché la proprietà principale della serie di distribuzione
fatto perché non è altro che la somma di tutti i termini dell'espansione del binomio di Newton:

Valore atteso variabile aleatoria X, distribuita secondo la legge del binomio,

e la sua varianza

Definizione. La variabile casuale discreta X ha Legge di distribuzione di Poisson con parametro λ > 0 se assume i valori 0, 1, 2,..., m, ... (un insieme di valori infinito ma numerabile) con probabilità
,

La serie di distribuzione della legge di Poisson ha la forma:

Ovviamente la definizione della legge di Poisson è corretta, in quanto proprietà principale delle serie di distribuzione
soddisfatto, perché la somma della serie.

Sulla fig. 4.1 mostra il poligono (poligono) della distribuzione di una variabile casuale distribuita secondo la legge di Poisson Р(Х=m)=Р m (λ) con parametri λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.

Teorema. Aspettativa matematica e varianza variabili casuali distribuite secondo la legge di Poisson coincidono e sono uguali al parametro λ di tale legge, cioè

e