지수 방정식. 로그 방법. 지수 방정식의 해. 간단한 지수 방정식의 해법

이 강의는 지수 방정식을 이제 막 배우기 시작하는 사람들을 위한 것입니다. 항상 그렇듯이 정의와 간단한 예부터 시작하겠습니다.

이 강의를 읽고 있다면 선형 및 정사각형과 같은 가장 간단한 방정식에 대해 최소한의 이해가 이미 있다고 생각합니다. $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ 등 이러한 구성을 해결할 수 있는 것은 지금 논의될 주제에 "매달리지" 않기 위해 절대적으로 필요합니다.

그래서, 지수 방정식. 몇 가지 예를 들어보겠습니다.

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 삼\]

그들 중 일부는 당신에게 더 복잡해 보일 수 있고, 그들 중 일부는 반대로 너무 간단합니다. 그러나 그들 모두는 하나의 중요한 기능으로 통합되어 있습니다. 여기에는 지수 함수 $f\left(x \right)=((a)^(x))$가 포함되어 있습니다. 따라서 정의를 소개합니다.

지수 방정식은 지수 함수를 포함하는 모든 방정식입니다. $((a)^(x))$ 형식의 표현식입니다. 지정된 기능 외에도 이러한 방정식에는 다항식, 근, 삼각법, 로그 등의 다른 대수 구조가 포함될 수 있습니다.

그래 그리고 나서. 정의를 이해했습니다. 이제 문제는 이 모든 쓰레기를 해결하는 방법입니다. 답은 간단하면서도 동시에 복잡합니다.

좋은 소식부터 시작하겠습니다. 많은 학생들과의 경험에 따르면 대부분의 학생들에게 지수 방정식은 같은 로그보다 훨씬 쉽고 삼각법은 훨씬 더 쉽다고 말할 수 있습니다.

그러나 나쁜 소식도 있습니다. 때때로 모든 종류의 교과서와 시험에 대한 문제의 컴파일러는 "영감"에 의해 방문되고 약물에 염증이 있는 두뇌는 잔인한 방정식을 생성하기 시작하여 학생들이 푸는 것뿐만 아니라 문제가 되기 시작합니다. 많은 교사들조차도 그러한 문제에 매달립니다.

그러나 슬픈 이야기는 하지 맙시다. 그리고 이야기의 맨 처음에 주어진 세 가지 방정식으로 돌아가 봅시다. 각각의 문제를 해결해 봅시다.

첫 번째 방정식: $((2)^(x))=4$. 글쎄, 숫자 4를 얻으려면 숫자 2를 몇 거듭 제곱해야합니까? 아마도 두 번째? 결국, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — 그리고 우리는 정확한 수치 평등을 얻었습니다. 실제로 $x=2$입니다. 글쎄요, 감사합니다. 하지만 이 방정식은 너무 간단해서 우리 고양이도 풀 수 있었습니다. :)

다음 방정식을 살펴보겠습니다.

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

하지만 여기서는 조금 더 어렵습니다. 많은 학생들이 $((5)^(2))=25$가 곱셈표라는 것을 알고 있습니다. 어떤 사람들은 $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$가 본질적으로 음의 지수의 정의라고 생각합니다(공식 $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

마지막으로, 이러한 사실을 결합할 수 있고 출력은 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다는 소수의 추측만 가능합니다.

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

따라서 원래 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\오른쪽 화살표 ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

그리고 이제 이것은 이미 완전히 해결되었습니다! 방정식의 왼쪽에는 지수 함수가 있고 방정식의 오른쪽에는 지수 함수가 있으며 다른 곳에는 그것들 외에는 아무 것도 없습니다. 따라서 기초를 "폐기"하고 지표를 어리석게 동일시하는 것이 가능합니다.

우리는 모든 학생이 단 몇 줄로 풀 수 있는 가장 간단한 선형 방정식을 얻었습니다. 네 줄로:

\[\시작(정렬)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\끝(정렬)\]

마지막 네 줄에서 무슨 일이 일어났는지 이해하지 못한다면 "선형 방정식" 주제로 돌아가서 반복하십시오. 이 주제에 대한 명확한 이해 없이는 지수 방정식을 취하기에는 너무 이르기 때문입니다.

\[((9)^(x))=-3\]

글쎄, 어떻게 결정합니까? 첫 번째 생각: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, 따라서 원래 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

그런 다음 1도를 거듭제곱할 때 지표가 곱해짐을 기억합니다.

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\오른쪽 화살표 ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(정렬)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(정렬)\]

그리고 그러한 결정에 대해 우리는 정직하게 합당한 듀스를 얻습니다. 우리는 포켓몬의 평정심으로 셋 앞에 마이너스 기호를 이 셋의 거듭제곱으로 보냈습니다. 그리고 당신은 그렇게 할 수 없습니다. 그리고 그 이유입니다. 트리플의 다양한 기능을 살펴보세요.

\[\begin(행렬) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(행렬)\]

이 타블렛을 컴파일할 때, 나는 내가 하자마자 변태하지 않았습니다: 나는 양수, 음수, 심지어 분수까지 고려했습니다. 음, 여기에 적어도 하나의 음수가 어디에 있습니까? 그는 아니다! 지수 함수 $y=((a)^(x))$는 첫째로 항상 양수 값만 취하기 때문에 그럴 수 없습니다. (1을 곱하거나 2로 나눈 값에 관계없이 여전히 양수), 둘째, 그러한 함수의 밑수인 $a$는 정의상 양수입니다!

그렇다면 $((9)^(x))=-3$ 방정식을 어떻게 푸는가? 아니요, 뿌리가 없습니다. 이러한 의미에서 지수 방정식은 2차 방정식과 매우 유사합니다. 또한 근이 없을 수도 있습니다. 그러나 2차 방정식에서 근의 수가 판별식에 의해 결정되면(식별자는 양수 - 2근, 음수 - 근 없음) 지수 방정식에서는 등호 오른쪽에 있는 것에 따라 달라집니다.

따라서 우리는 핵심 결론을 공식화합니다. $((a)^(x))=b$ 형식의 가장 간단한 지수 방정식은 $b \gt 0$인 경우에만 루트를 갖습니다. 이 간단한 사실을 알면 자신에게 제안된 방정식에 근이 있는지 여부를 쉽게 결정할 수 있습니다. 저것들. 그것을 해결할 가치가 있습니까? 아니면 뿌리가 없다고 즉시 적어 두십시오.

이 지식은 더 복잡한 문제를 해결해야 할 때 여러 번 도움이 될 것입니다. 그 동안 가사는 충분합니다. 지수 방정식을 풀기 위한 기본 알고리즘을 공부할 시간입니다.

지수 방정식을 푸는 방법

따라서 문제를 공식화해 보겠습니다. 지수 방정식을 푸는 것이 필요합니다.

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

이전에 사용한 "순진한" 알고리즘에 따르면 숫자 $b$를 숫자 $a$의 거듭제곱으로 나타내는 것이 필요합니다.

또한 변수 $x$ 대신 표현식이 있는 경우 이미 풀 수 있는 새로운 방정식을 얻을 수 있습니다. 예를 들어:

\[\begin(정렬)& ((2)^(x))=8\오른쪽 화살표 ((2)^(x))=((2)^(3))\오른쪽 화살표 x=3; \\& ((3)^(-x))=81\오른쪽 화살표 ((3)^(-x))=((3)^(4))\오른쪽 화살표 -x=4\오른쪽 화살표 x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\오른쪽 화살표 ((5)^(2x))=((5)^(3))\오른쪽 화살표 2x=3\오른쪽 화살표 x=\frac(3)( 2). \\종료(정렬)\]

그리고 이상하게도 이 계획은 약 90%의 경우에 작동합니다. 그럼 나머지 10%는? 나머지 10%는 다음 형식의 약간 "정신분열증" 지수 방정식입니다.

\[((2)^(x))=3;\쿼드((5)^(x))=15;\쿼드((4)^(2x))=11\]

3을 얻으려면 2를 얼마나 올려야합니까? 처음에는? 하지만 아니오: $((2)^(1))=2$ 로는 충분하지 않습니다. 두 번째에? 둘 다: $((2)^(2))=4$는 너무 많습니다. 그럼?

지식이 풍부한 학생들은 아마도 이미 추측했을 것입니다. 이러한 경우 "아름답게"해결할 수 없을 때 "중포병"이 대수와 연결됩니다. 로그를 사용하면 모든 양수를 다른 양수의 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다(1 제외).

이 공식을 기억하십니까? 제가 제 학생들에게 로그에 대해 말할 때 저는 항상 경고합니다. 이 공식(이 공식은 로그의 정의이기도 합니다. 예상치 못한 장소. 글쎄, 그녀는 떠올랐다. 방정식과 이 공식을 살펴보겠습니다.

\[\begin(정렬)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(정렬) \]

$a=3$이 오른쪽의 원래 숫자이고 $b=2$가 바로 밑이라고 가정하면 지수 함수, 우변을 줄이기 위해 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\오른쪽 화살표 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\오른쪽 화살표 ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\오른쪽 화살표 x=( (\로그 )_(2))3. \\종료(정렬)\]

$x=((\log )_(2))3$와 같이 약간 이상한 대답을 얻었습니다. 다른 작업에서 그러한 답변을 사용하면 많은 사람들이 의심을 품고 솔루션을 다시 확인하기 시작할 것입니다. 어딘가에 실수가 있다면 어떻게 될까요? 나는 당신을 기쁘게하기 위해 서두릅니다. 여기에는 오류가 없으며 지수 방정식의 근에있는 로그는 매우 일반적인 상황입니다. 그러니 익숙해지세요. :)

이제 나머지 두 방정식을 유추하여 풉니다.

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\오른쪽 화살표 ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \오른쪽 화살표 x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\오른쪽 화살표 ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\오른쪽 화살표 2x=( (\log )_(4))11\오른쪽 화살표 x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\종료(정렬)\]

그게 다야! 그건 그렇고, 마지막 답변은 다르게 작성할 수 있습니다.

로그 인수에 승수를 도입한 것은 바로 우리였습니다. 그러나 아무도 우리가 이 요소를 기본에 추가하는 것을 막지 않습니다.

또한 세 가지 옵션 모두 정확합니다. 동일한 숫자를 쓰는 다른 형식일 뿐입니다. 이 결정에서 어느 것을 선택하고 기록할지는 귀하에게 달려 있습니다.

따라서 $((a)^(x))=b$ 형식의 지수 방정식을 푸는 방법을 배웠습니다. 여기서 $a$와 $b$는 완전히 양수입니다. 그러나 우리 세상의 가혹한 현실은 그러한 간단한 작업이 매우 드물게 만날 수 있다는 것입니다. 더 자주 당신은 다음과 같은 것을 보게 될 것입니다:

\[\시작(정렬)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\종료(정렬)\]

글쎄, 어떻게 결정합니까? 이 문제가 전혀 해결될 수 있습니까? 그렇다면 어떻게?

당황할 필요 없음. 이 모든 방정식은 우리가 이미 고려한 간단한 공식으로 빠르고 간단하게 축소됩니다. 대수학 과정에서 몇 가지 트릭을 기억하기 위해 알아야 합니다. 그리고 물론 여기에 학위 작업에 대한 규칙은 없습니다. 이제 이 모든 것에 대해 이야기하겠습니다. :)

지수 방정식의 변환

가장 먼저 기억해야 할 점은 지수 방정식이 아무리 복잡하더라도 어떤 식으로든 가장 간단한 방정식으로 줄여야 한다는 것입니다. 즉, 지수 방정식을 푸는 계획은 다음과 같습니다.

1. 원래 방정식을 쓰십시오. 예: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. 멍청한 짓 좀 해. 또는 "방정식 변환"이라는 쓰레기도 있습니다.
3. 출력에서 $((4)^(x))=4$ 또는 이와 유사한 것과 같은 가장 간단한 표현식을 얻으십시오. 더욱이, 하나의 초기 방정식은 한 번에 여러 가지 이러한 표현을 제공할 수 있습니다.

첫 번째 요점으로 모든 것이 명확합니다. 심지어 고양이도 잎사귀에 방정식을 쓸 수 있습니다. 세 번째 요점도 어느 정도 명확해 보입니다. 우리는 이미 위의 여러 방정식을 풀었습니다.

그러나 두 번째 점은 어떻습니까? 변환은 무엇입니까? 무엇으로 무엇으로 변환할까요? 그리고 어떻게?

자, 알아봅시다. 우선 다음 사항을 지적하고 싶습니다. 모든 지수 방정식은 두 가지 유형으로 나뉩니다.

1. 방정식은 밑이 같은 지수 함수로 구성됩니다. 예: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. 공식에는 다른 밑을 가진 지수 함수가 포함되어 있습니다. 예: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ 및 $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

첫 번째 유형의 방정식부터 시작하겠습니다. 가장 풀기 쉽습니다. 그리고 그들의 솔루션에서 우리는 안정적인 표현 선택과 같은 기술의 도움을 받을 것입니다.

안정적인 표현 강조

이 방정식을 다시 살펴보겠습니다.

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

우리는 무엇을 봅니까? 4개는 서로 다른 수준으로 올라갑니다. 그러나 이 모든 거듭제곱은 변수 $x$와 다른 숫자의 단순 합입니다. 따라서 학위 작업 규칙을 기억해야 합니다.

\[\begin(정렬)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\끝(정렬)\]

간단히 말해서, 지수의 덧셈은 거듭제곱의 곱으로 변환될 수 있고, 뺄셈은 나눗셈으로 쉽게 변환됩니다. 다음 공식을 방정식의 거듭제곱에 적용해 보겠습니다.

\[\시작(정렬)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\끝(정렬)\]

이 사실을 고려하여 원래 방정식을 다시 작성한 다음 왼쪽에 있는 모든 항을 수집합니다.

\[\시작(정렬)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -열하나; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\끝(정렬)\]

처음 4개의 항에는 $((4)^(x))$ 요소가 포함되어 있습니다. 대괄호에서 빼보겠습니다.

\[\begin(정렬)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\끝(정렬)\]

방정식의 두 부분을 분수 $-\frac(11)(4)$로 나누어야 합니다. 본질적으로 역 분수를 곱하십시오 - $-\frac(4)(11)$. 우리는 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\끝(정렬)\]

그게 다야! 우리는 원래 방정식을 가장 간단한 것으로 줄이고 최종 답을 얻었습니다.

동시에 해결하는 과정에서 공통 요소 $((4)^(x))$를 발견했습니다 (심지어 대괄호에서 제외). 이것이 안정적인 표현입니다. 새로운 변수로 지정할 수도 있고 간단하게 정확하게 표현하고 답을 얻을 수도 있습니다. 어쨌든 솔루션의 핵심 원칙은 다음과 같습니다.

모든 지수 함수와 쉽게 구별되는 변수를 포함하는 안정적인 표현식을 원래 방정식에서 찾으십시오.

좋은 소식은 거의 모든 지수 방정식이 이러한 안정적인 표현을 허용한다는 것입니다.

그러나 나쁜 소식도 있습니다. 그러한 표현은 매우 까다로울 수 있으며 구별하기가 매우 어려울 수 있습니다. 다른 문제를 살펴보겠습니다.

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

아마도 누군가는 이제 다음과 같은 질문을 할 것입니다. 다음은 5와 0.2의 다른 기수입니다. 하지만 밑이 0.2인 거듭제곱을 변환해 보겠습니다. 예를 들어, 소수점 이하 자릿수를 없애고 평소대로 가져 가자.

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

보시다시피, 숫자 5는 분모임에도 불구하고 여전히 나타났습니다. 동시에 지표는 음수로 다시 작성되었습니다. 이제 우리는 학위 작업에 대한 가장 중요한 규칙 중 하나를 기억합니다.

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\오른쪽 화살표 ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

물론 여기서 나는 약간의 속임수를 썼다. 완전한 이해를 위해서는 부정적인 지표를 제거하는 공식을 다음과 같이 작성해야 했기 때문입니다.

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\오른쪽 화살표 ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ 오른쪽))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

반면에 단 하나의 분수로 작업하는 데 방해가 되는 것은 없었습니다.

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ 오른쪽))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

그러나이 경우 학위를 다른 수준으로 올릴 수 있어야합니다 (이 경우 지표가 합산됨을 상기시킵니다). 그러나 분수를 "뒤집기"할 필요가 없었습니다. 누군가에게는 더 쉬울 것입니다. :)

어쨌든 원래 지수 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

\[\시작(정렬)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\끝(정렬)\]

따라서 원래 방정식은 이전에 고려한 것보다 훨씬 더 쉽게 풀 수 있습니다. 여기에서는 안정적인 표현식을 골라낼 필요도 없습니다. 모든 것이 저절로 줄어듭니다. $1=((5)^(0))$ 만 기억하면 됩니다.

\[\시작(정렬)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\끝(정렬)\]

그것이 전체 솔루션입니다! 우리는 최종 답을 얻었습니다: $x=-2$. 동시에 모든 계산을 크게 단순화한 한 가지 트릭에 주목하고 싶습니다.

지수 방정식에서 다음을 제거하십시오. 소수, 정상으로 변환합니다. 이렇게 하면 동일한 도수를 보고 솔루션을 크게 단순화할 수 있습니다.

이제 일반적으로 거듭제곱을 사용하여 서로 축소할 수 없는 다른 밑이 있는 더 복잡한 방정식으로 이동해 보겠습니다.

지수 속성 사용

두 가지 더 특별히 가혹한 방정식이 있음을 상기시켜 드리겠습니다.

\[\시작(정렬)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\끝(정렬)\]

여기서 가장 큰 어려움은 무엇을 그리고 어떤 근거로 이끌어야 하는지 명확하지 않다는 것입니다. 고정 표현식은 어디에 있습니까? 공통점은 어디에 있습니까? 이 아무것도 없습니다.

하지만 다른 길을 가도록 합시다. 기성품의 동일한 염기가 없으면 사용 가능한 염기를 인수분해하여 찾을 수 있습니다.

첫 번째 방정식부터 시작하겠습니다.

\[\시작(정렬)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\오른쪽 화살표 ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\끝(정렬)\]

그러나 결국, 당신은 반대로 할 수 있습니다 - 숫자 7과 3에서 숫자 21을 구성하십시오. 두 학위의 지표가 동일하기 때문에 왼쪽에서 이것을하는 것이 특히 쉽습니다.

\[\begin(정렬)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\끝(정렬)\]

그게 다야! 제품에서 지수를 빼면 몇 줄로 풀 수 있는 아름다운 방정식을 즉시 얻을 수 있습니다.

이제 두 번째 방정식을 다루겠습니다. 여기 모든 것이 훨씬 더 복잡합니다.

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

이 경우 분수는 기약할 수 없는 것으로 판명되었지만 줄일 수 있는 것이 있으면 반드시 줄이십시오. 이것은 종종 당신이 이미 작업할 수 있는 흥미로운 근거로 귀결됩니다.

불행히도, 우리는 아무것도 생각해내지 못했습니다. 그러나 제품의 왼쪽에 있는 지수는 반대임을 알 수 있습니다.

지수에서 빼기 기호를 제거하려면 분수를 "뒤집기"만 하면 됩니다. 따라서 원래 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\끝(정렬)\]

두 번째 줄에서 우리는 방금 꺼냈습니다. 총 점수$((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$ 규칙에 따라 괄호 곱에서 후자는 단순히 숫자 100에 분수를 곱했습니다.

이제 왼쪽(베이스)과 오른쪽의 숫자가 다소 비슷하다는 점에 유의하십시오. 어떻게? 예, 분명히: 그들은 같은 수의 거듭제곱입니다! 우리는 다음을 가지고 있습니다:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \오른쪽))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \오른쪽))^(2)). \\끝(정렬)\]

따라서 방정식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \오른쪽))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

동시에 오른쪽에서 동일한 기준으로 학위를 얻을 수도 있습니다. 분수를 "뒤집기"만하면 충분합니다.

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

마지막으로 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\끝(정렬)\]

이것이 전체 솔루션입니다. 그의 주요 아이디어는 다른 기지 x 우리는 이러한 근거를 하나의 동일한 것으로 줄이기 위해 후크 또는 사기꾼으로 시도하고 있습니다. 이것에서 우리는 방정식의 기본 변환과 거듭제곱을 사용하는 규칙의 도움을 받습니다.

그러나 어떤 규칙과 언제 사용해야합니까? 한 방정식에서 양변을 무언가로 나누고 다른 방정식에서 지수 함수의 기저를 요인으로 분해해야한다는 것을 이해하는 방법?

이 질문에 대한 답은 경험과 함께 나옵니다. 처음에는 간단한 방정식을 시도한 다음 점차적으로 작업을 복잡하게 만듭니다. 그러면 곧 기술이 동일한 USE 또는 독립/테스트 작업의 지수 방정식을 풀기에 충분할 것입니다.

이 어려운 작업에 도움이 되도록 내 웹사이트에서 방정식 세트를 다운로드할 것을 제안합니다. 독립 솔루션. 모든 방정식에는 답이 있으므로 항상 자신을 확인할 수 있습니다.

일반적으로 성공적인 교육을 기원합니다. 그리고 다음 수업에서 뵙겠습니다. 위에서 설명한 방법으로는 더 이상 충분하지 않은 정말 복잡한 지수 방정식을 분석할 것입니다. 그리고 간단한 운동으로도 부족합니다. :)

지수 방정식의 해. 예.

주목!
추가로 있습니다
특별 섹션 555의 자료.
강하게 "별로..."
그리고 "매우 ..."하는 사람들을 위해)

뭐 지수 방정식? 이것은 미지수(x)와 그 식이 있는 방정식입니다. 지표어느 정도. 그리고 거기에만! 그건 중요해.

여기 있습니다 지수 방정식의 예:

3 x 2 x = 8 x + 3

메모! 도 기준(아래) - 숫자만. 에 지표도(위) - x가 있는 다양한 표현. 갑자기 x가 표시기 이외의 다른 위치에 방정식에 나타나는 경우, 예를 들면 다음과 같습니다.

이것은 혼합형 방정식이 됩니다. 이러한 방정식에는 풀기 위한 명확한 규칙이 없습니다. 우리는 지금 그들을 고려하지 않을 것입니다. 여기서 우리가 다룰 지수 방정식의 해가장 순수한 형태로.

사실, 순수한 지수 방정식조차도 항상 명확하게 풀리는 것은 아닙니다. 그러나 풀 수 있고 풀어야 하는 특정 유형의 지수 방정식이 있습니다. 이것들은 우리가 볼 유형입니다.

가장 간단한 지수 방정식의 해.

아주 기본적인 것부터 시작합시다. 예를 들어:

이론이 없더라도 간단한 선택으로 x = 2임을 알 수 있습니다. 더 이상 아무것도, 그렇지!? 다른 x 값 롤은 없습니다. 이제 이 까다로운 지수 방정식의 해를 살펴보겠습니다.

우리는 무엇을 했습니까? 사실, 우리는 같은 바닥(트리플)을 던졌습니다. 완전히 버려졌습니다. 그리고, 무엇을 기쁘게, 목표를 누르십시오!

실제로, 지수 방정식에서 왼쪽과 오른쪽이 다음과 같다면 똑같다어느 정도의 숫자인지, 이 숫자는 제거될 수 있고 지수는 같습니다. 수학은 허용합니다. 훨씬 더 간단한 방정식을 푸는 것이 남아 있습니다. 좋죠?)

그러나 아이러니하게도 다음을 기억합시다. 좌, 우의 베이스 넘버가 훌륭하게 분리되어 있을 때만 베이스를 제거할 수 있습니다!이웃과 계수가 없습니다. 방정식에서 다음과 같이 말합시다.

2 x +2 x + 1 = 2 3 또는

당신은 더블을 제거할 수 없습니다!

글쎄, 우리는 가장 중요한 것을 마스터했습니다. 사악한 지수 표현에서 더 간단한 방정식으로 이동하는 방법.

"여기가 그 시간이야!" - 당신은 말한다. "누가 그런 프리미티브를 컨트롤과 시험에 내줄까!?"

강제로 동의합니다. 아무도 하지 않을 것입니다. 그러나 이제 혼란스러운 예를 풀 때 어디로 가야 하는지 알게 되었습니다. 동일한 기본 번호가 왼쪽에 있을 때 이를 염두에 둘 필요가 있습니다. 그러면 모든 것이 더 쉬워질 것입니다. 사실 이것은 수학의 고전입니다. 우리는 원래의 예를 가지고 원하는 대로 변환합니다. 우리를정신. 물론 수학의 법칙에 따르면.

그것들을 가장 단순하게 만들기 위해 약간의 추가 노력이 필요한 예를 고려하십시오. 그들을 부르자 간단한 지수 방정식.

간단한 지수 방정식의 해. 예.

지수 방정식을 풀 때 주요 규칙은 다음과 같습니다. 힘이 있는 행동.이러한 작업에 대한 지식 없이는 아무 것도 작동하지 않습니다.

정도가 있는 행동에는 개인적인 관찰과 독창성을 더해야 합니다. 동일한 기본 번호가 필요합니까? 그래서 우리는 명시적이거나 암호화된 형태로 예제에서 그것들을 찾고 있습니다.

이것이 실제로 어떻게 수행되는지 볼까요?

예를 들어 보겠습니다.

2 2x - 8 x+1 = 0

첫눈에 근거.그들은... 그들은 다릅니다! 둘과 여덟. 그러나 낙담하기에는 너무 이르다. 그것을 기억할 시간이다

2와 8은 정도의 친척입니다.) 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

8 x+1 = (2 3) x+1

힘이 있는 행동의 공식을 기억한다면:

(a n) m = a nm ,

일반적으로 잘 작동합니다.

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

원래 예는 다음과 같습니다.

2 2x - 2 3(x+1) = 0

우리는 환승한다 2 3 (x+1)오른쪽으로 (아무도 수학의 기본 동작을 취소하지 않았습니다!), 우리는 다음을 얻습니다.

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

그게 거의 전부입니다. 베이스 제거:

우리는 이 괴물을 해결하고

이것이 정답입니다.

이 예에서는 2의 거듭제곱을 아는 것이 도움이 되었습니다. 우리 식별여덟째, 암호화된 듀스. 이 기술(다른 숫자로 공통 염기 인코딩)은 지수 방정식에서 매우 인기 있는 트릭입니다! 예, 로그에서도 마찬가지입니다. 숫자에서 다른 숫자의 힘을 인식할 수 있어야 합니다. 이것은 지수 방정식을 푸는 데 매우 중요합니다.

사실은 어떤 숫자를 어떤 거듭제곱으로든 문제가 되지 않는다는 것입니다. 종이 한 장에 곱하기만 하면 됩니다. 예를 들어, 모든 사람은 3의 5승을 올릴 수 있습니다. 곱셈표를 알면 243이 나옵니다.) 그러나 지수 방정식에서는 훨씬 더 자주 거듭 제곱하지 않아도되지만 그 반대의 경우도 마찬가지입니다 ... 어떤 숫자 어느 정도숫자 243 뒤에 숨어 있습니다. 즉, 343입니다... 여기에서는 어떤 계산기도 도움이 되지 않을 것입니다.

몇 가지 숫자의 힘을 육안으로 알 필요가 있습니다. 예... 연습해 볼까요?

어떤 거듭 제곱과 숫자가 숫자인지 결정하십시오.

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

답변(물론 엉망입니다!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

자세히 보면 이상한 사실을 알 수 있습니다. 질문보다 답변이 더 많습니다! 글쎄, 그것은 일어난다... 예를 들어, 2 6 , 4 3 , 8 2 는 모두 64입니다.

숫자와의 친분에 대한 정보를 기록했다고 가정합시다.) 지수 방정식을 풀기 위해 우리가 적용한다는 것을 상기시켜 드리겠습니다. 전체수학적 지식의 재고. 중하류층 포함. 고등학교에 바로 가지 않았습니까?

예를 들어, 지수 방정식을 풀 때 공통 요소를 대괄호 안에 넣는 것은 매우 자주 도움이 됩니다(7학년 여러분!). 예를 들어 보겠습니다.

3 2x+4 -11 9 x = 210

그리고 다시, 첫 번째 모습 - 근거! 정도의 기초가 다릅니다 ... 3과 9. 그리고 우리는 그것들이 동일하기를 원합니다. 글쎄,이 경우 욕망은 매우 실현 가능합니다!) 왜냐하면 :

9 x = (3 2) x = 3 2x

학위가있는 행동에 대한 동일한 규칙에 따르면 :

3 2x+4 = 3 2x 3 4

훌륭합니다. 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 자, 다음은!? 삼진은 던질 수 없다... 막다른 골목?

전혀. 가장 보편적이고 강력한 의사결정 규칙 기억 모두수학 과제:

무엇을 해야 할지 모르겠다면 할 수 있는 일을 하세요!

당신은 모든 것이 형성됩니다).

이 지수 방정식의 내용은 무엇입니까? ~할 수 있다하다? 네, 왼쪽은 괄호를 직접 요구합니다! 3 2x의 공약수는 이것을 분명히 암시합니다. 시도해 보겠습니다. 그러면 다음을 볼 수 있습니다.

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

예제는 점점 더 좋아지고 있습니다!

염기를 제거하려면 계수가 없는 순수 차수가 필요하다는 것을 기억합니다. 숫자 70은 우리를 귀찮게 합니다. 따라서 방정식의 양변을 70으로 나누면 다음을 얻습니다.

오빠! 모든 것이 잘되었습니다!

이것이 최종 답변입니다.

그러나 동일한 근거로 택시를 잡아도 청산되지 않는 경우가 발생합니다. 이것은 다른 유형의 지수 방정식에서 발생합니다. 이 유형을 가져 가자.

지수 방정식을 풀 때 변수의 변화. 예.

방정식을 풀자:

4 x - 3 2 x +2 = 0

첫째 - 평소와 같이. 기지로 이동합시다. 듀스에게.

4 x = (2 2) x = 2 2x

우리는 방정식을 얻습니다.

2 2x - 3 2 x +2 = 0

그리고 여기서 우리는 교수형에 처할 것입니다. 이전 트릭은 아무리 돌려도 작동하지 않습니다. 우리는 또 다른 강력하고 다재다능한 방법의 무기고에서 벗어나야 할 것입니다. 라고 불린다 변수 대체.

방법의 본질은 의외로 간단합니다. 하나의 복잡한 아이콘(이 경우 2 x) 대신 더 간단한 다른 아이콘(예: t)을 작성합니다. 그런 겉보기에 무의미한 교체가 놀라운 결과로 이어집니다!) 모든 것이 명확하고 이해하기 쉬워집니다!

그래서 하자

그런 다음 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

우리는 방정식에서 x의 모든 거듭제곱을 t로 바꿉니다.

글쎄, 그것은 새벽?) 아직 이차 방정식을 잊지 않았나요? 판별식을 통해 해결하면 다음을 얻습니다.

여기서 중요한 것은 멈추지 않는 것입니다. ... 이것은 아직 답이 아닙니다. 우리는 t가 아니라 x가 필요합니다. 우리는 X로 돌아갑니다. 교체합니다. 첫 번째 t 1:

그건,

하나의 뿌리가 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다.

음... 왼쪽 2 x, 오른쪽 1... 차질? 예, 전혀! 단결은 다음과 같다는 것을 기억하는 것으로 충분합니다. 어느숫자를 0으로 만듭니다. 어느. 당신이 필요로하는 무엇이든, 우리는 그것을 넣을 것입니다. 2개가 필요합니다. 수단:

이제 그게 다야. 2개의 뿌리를 얻었다:

이것이 답이다.

~에 지수 방정식 풀기마지막에 가끔 어색한 표정을 짓기도 한다. 유형:

7에서 간단한 정도를 통한 듀스는 작동하지 않습니다. 그들은 친척이 아닙니다 ... 어떻게 내가 여기에있을 수 있습니까? 누군가는 혼란 스러울 수 있습니다 ... 그러나이 사이트에서 읽은 사람은 "로그가 무엇입니까?"라는 주제를 읽었습니다. , 살짝 미소 짓고 확고한 손으로 절대적으로 정답을 적으십시오.

시험의 "B"과제에는 그러한 답이 있을 수 없습니다. 특정 번호가 필요합니다. 그러나 작업 "C"에서 - 쉽게.

이 단원에서는 가장 일반적인 지수 방정식을 푸는 예를 제공합니다. 주요 내용을 강조하겠습니다.

실용적인 팁:

1. 먼저 살펴보겠습니다. 근거학위. 그들이 할 수 없는지 보자 똑같다.적극적으로 활용해 봅시다. 힘이 있는 행동. x가 없는 숫자도 거듭제곱으로 바뀔 수 있다는 것을 잊지 마십시오!

2. 왼쪽과 오른쪽이 같을 때 지수 방정식을 형식으로 가져오려고 합니다. 똑같다어느 정도 숫자. 우리는 사용 권한이 있는 행동그리고 채권 차압 통고.숫자로 셀 수 있는 것 - 우리는 셀 수 있습니다.

3. 두 번째 조언이 작동하지 않으면 변수 대체를 적용하려고 합니다. 결과는 쉽게 풀 수 있는 방정식이 될 수 있습니다. 가장 자주 - 정사각형. 또는 분수도 제곱으로 줄어듭니다.

4. 지수 방정식을 성공적으로 풀려면 "눈으로 보는" 숫자의 차수를 알아야 합니다.

평소와 같이 수업이 끝나면 약간의 문제를 해결하도록 초대됩니다.) 스스로. 단순한 것부터 복잡한 것까지.

지수 방정식 풀기:

더 어렵다:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

뿌리의 곱 찾기:

2 3-x + 2 x = 9

일어난?

글쎄, 가장 복잡한 예 (그러나 마음에서 해결되었습니다 ...) :

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

더 흥미로운 것은 무엇입니까? 다음은 당신을 위한 나쁜 예입니다. 상당히 난이도가 높아졌습니다. 나는 이 예에서 독창성과 모든 수학적 작업을 해결하기 위한 가장 보편적인 규칙이 저장된다는 것을 암시할 것입니다.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

이완을 위해 더 간단한 예):

9 2 x - 4 3 x = 0

그리고 디저트로. 방정식의 근의 합을 구합니다.

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

예 예! 이것은 혼합형 방정식입니다! 이 수업에서 고려하지 않은 것입니다. 그리고 그것들을 고려해야 할 것은 해결해야합니다!) 이 수업은 방정식을 풀기에 충분합니다. 글쎄, 독창성이 필요합니다 ... 그리고 예, 7 학년이 당신을 도울 것입니다 (이것은 힌트입니다!).

답변(세미콜론으로 구분하여 흩어져 있음):

하나; 2; 삼; 네; 해결책이 없습니다. 2; -2; -5; 네; 0.

모든 것이 성공적입니까? 훌륭한.

문제가 있습니까? 괜찮아요! 특별 섹션 555에서는 이러한 모든 지수 방정식이 자세한 설명과 함께 해결됩니다. 무엇을, 왜, 왜. 물론 모든 종류의 지수 방정식 작업에 대한 유용한 추가 정보가 있습니다. 이들 뿐만이 아니다.)

마지막으로 생각해 볼 재미있는 질문입니다. 이 수업에서는 지수 방정식을 사용했습니다. 내가 여기서 ODZ에 대해 한 마디도 하지 않은 이유는 무엇입니까?방정식에서 이것은 매우 중요한 것입니다. 그런데 ...

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먼저 도의 기본 공식과 그 속성을 기억합시다.

숫자의 곱 ㅏ n 번 발생하면 이 표현식을 a … a=a n으로 쓸 수 있습니다.

1. 0 = 1 (a ≠ 0)

3. 아나 m = 엔 + m

4. (n) m = a nm

5. n b n = (ab) n

7. n / a m \u003d a n - m

거듭제곱 또는 지수 방정식- 이들은 변수가 거듭제곱(또는 지수)이고 밑이 숫자인 방정식입니다.

지수 방정식의 예:

이 예에서 숫자 6은 밑수이고 항상 맨 아래에 있으며 변수는 엑스정도 또는 측정.

지수 방정식의 더 많은 예를 들어 보겠습니다.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

이제 지수 방정식을 푸는 방법을 살펴 보겠습니다.

간단한 방정식을 봅시다.

2 x = 2 3

그러한 예는 마음 속에서도 풀 수 있습니다. x=3임을 알 수 있다. 결국 왼쪽과 오른쪽이 같게 하려면 x 대신 숫자 3을 넣어야 합니다.
이제 이 결정이 어떻게 내려져야 하는지 봅시다.

2 x = 2 3
x = 3

이 방정식을 풀기 위해 우리는 같은 근거(즉, 듀스) 남은 것을 적는 것이 정도입니다. 우리는 우리가 찾던 답을 얻었습니다.

이제 솔루션을 요약해 보겠습니다.

지수 방정식을 푸는 알고리즘:
1. 확인해야 할 사항 똑같다방정식의 밑이 오른쪽과 왼쪽에 있는지 여부. 근거가 같지 않다면 이 예를 해결하기 위한 옵션을 찾고 있습니다.
2. 베이스가 같으면 같게 하다학위를 받고 결과로 나오는 새로운 방정식을 풉니다.

이제 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.

간단하게 시작해 보겠습니다.

왼쪽과 오른쪽의 밑변은 숫자 2와 같습니다. 즉, 밑변을 버리고 차수를 같게 할 수 있습니다.

x+2=4 가장 간단한 방정식이 나왔습니다.
x=4 - 2
x=2
답: x=2

다음 예에서 밑이 3과 9가 다른 것을 볼 수 있습니다.

3 3x - 9 x + 8 = 0

우선 9를 오른쪽으로 옮기면 다음을 얻습니다.

이제 동일한 기초를 만들어야합니다. 우리는 9=3 2 를 알고 있습니다. 거듭제곱 공식 (an n) m = a nm 를 사용합시다.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

우리는 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16을 얻습니다.

3 3x \u003d 3 2x + 16 이제 왼쪽과 오른쪽의 밑변이 동일하고 3과 동일하다는 것이 분명해졌습니다.

3x=2x+16은 가장 간단한 방정식을 얻었습니다.
3x-2x=16
x=16
답: x=16입니다.

다음 예를 살펴보겠습니다.

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

우선, 우리는베이스를보고베이스는 2와 4가 다릅니다. 그리고 우리는 같아야 합니다. 공식 (an n) m = a nm 에 따라 쿼드러플을 변환합니다.

4 x = (2 2) x = 2 2x

그리고 우리는 또한 하나의 공식을 사용합니다: a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

방정식에 추가:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 그러나 다른 숫자 10과 24는 우리를 방해합니다. 자세히 보면 왼쪽에서 2 2x를 반복한다는 것을 알 수 있습니다. 여기에 답이 있습니다. 대괄호 안에 2 2x를 넣을 수 있습니다.

2 2x (2 4 - 10) = 24

괄호 안의 표현식을 계산해 보겠습니다.

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

전체 방정식을 6으로 나눕니다.

4=2 2를 상상해보세요.

2 2x \u003d 2 2 2개의 염기는 동일하므로 버리고 도를 동일시하십시오.
2x \u003d 2가 가장 간단한 방정식으로 판명되었습니다. 우리는 그것을 2로 나누면 다음을 얻습니다.
x = 1
답: x = 1.

방정식을 풀자:

9 x - 12*3 x +27= 0

변환해 보겠습니다.
9 x = (3 2) x = 3 2x

우리는 방정식을 얻습니다.
3 2x - 12 3 x +27 = 0

우리의 밑수는 3과 같습니다.이 예에서 첫 번째 트리플은 두 번째(단지 x)보다 두 배(2x) 차수가 있음이 분명합니다. 이 경우 결정할 수 있습니다. 대체 방법. 차수가 가장 작은 숫자는 다음으로 대체됩니다.

그런 다음 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

t가 있는 방정식의 모든 각도를 x로 바꿉니다.

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
우리는 이차 방정식을 얻습니다. 판별식을 통해 해결하면 다음을 얻습니다.
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

변수로 돌아가기 엑스.

우리는 t 1을 취합니다:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

그건,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

하나의 뿌리가 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다.
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
답: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

사이트에서 HELP DECIDE 섹션에서 관심있는 질문을 할 수 있습니다. 우리는 확실히 대답 할 것입니다.

그룹에 가입

내 말을 두려워하지 마십시오. 다항식을 공부할 때 7 학년 때 이미이 방법을 접했습니다.

예를 들어 필요한 경우:

그룹화합시다 : 첫 번째 및 세 번째 용어와 두 번째 및 네 번째 용어.

첫 번째와 세 번째는 제곱의 차이임이 분명합니다.

두 번째와 네 번째는 3의 공통 인수를 갖습니다.

그러면 원래 표현식은 다음과 같습니다.

공통 요소를 제거하는 위치는 더 이상 어렵지 않습니다.

따라서,

이것은 대략적으로 지수 방정식을 풀 때 우리가 행동하는 방식입니다. 용어 사이에서 "공통성"을 찾아 대괄호에서 빼낸 다음 - 무슨 일이 있어도 운이 좋을 것이라고 믿습니다 =))

예 #14

오른쪽은 7의 거듭 제곱에서 멀리 떨어져 있습니다 (확인했습니다!) 그리고 왼쪽에는 조금 더 좋습니다 ...

물론 첫 번째 항에서 두 번째 항에서 요인 a를 "잘라낼" 수 있고, 그런 다음 받은 것을 처리할 수 있지만, 더 신중하게 행동합시다.

'선택'에 의해 필연적으로 생성되는 분수는 다루기 싫으니 견디는 편이 낫지 않을까?

그러면 나는 분수가 없을 것입니다. 그들이 말했듯이 늑대는 가득 차 있고 양이 안전합니다.

괄호 안의 표현식을 센다.

마술처럼, 마술처럼 (놀랍게도, 우리가 다른 무엇을 기대할 수 있습니까?).

그런 다음 이 인수만큼 방정식의 양변을 줄입니다. 우리는 다음을 얻습니다.

다음은 좀 더 복잡한 예입니다.

여기에 문제가 있습니다! 우리는 여기에 공통점이 없습니다!

지금 무엇을 해야할지 완전히 명확하지 않습니다.

그리고 우리가 할 수 있는 일을 합시다. 먼저 "4"를 한 방향으로, "5"를 다른 방향으로 이동합니다.

이제 왼쪽과 오른쪽의 "공통"을 제거해 보겠습니다.

그럼 지금은?

그런 어리석은 그룹화의 이점은 무엇입니까? 언뜻보기에는 전혀 보이지 않지만 더 자세히 살펴 보겠습니다.

자, 이제 왼쪽에는 표현 c만 있고 오른쪽에는 다른 모든 것이 있도록 만들어 보겠습니다.

어떻게 할 수 있습니까?

그리고 방법은 다음과 같습니다. 방정식의 양변을 먼저 (오른쪽의 지수를 제거)로 나눈 다음 양변을 (왼쪽의 수치 요소 제거)로 나눕니다.

마지막으로 우리는 다음을 얻습니다.

믿을 수 없는!

왼쪽에는 표현이 있고 오른쪽에는 그냥 있습니다.

그런 다음 우리는 즉시 결론을 내립니다.

예 #15

나는 그의 간단한 해결책을 제시할 것입니다(설명하는 것을 귀찮게 하지 않음). 해결책의 모든 "미묘함"을 스스로 알아내려고 노력하십시오.

이제 재료의 최종 통합이 적용됩니다.

다음 7가지 과제를 독립적으로 해결(답변 포함)

1. 대괄호에서 공통 요소를 제거해 보겠습니다.
2. 우리는 첫 번째 표현을 형식으로 나타냅니다: , 두 부분을 모두 나누고 다음을 얻습니다.
3. , 그러면 원래 방정식이 다음 형식으로 변환됩니다. 자, 이제 힌트 - 당신과 내가 이 방정식을 이미 풀었던 곳을 찾으십시오!
4. 어떻게, 어떻게, 아, 그럼 두 부분을 나누어서 가장 간단한 지수 방정식을 얻을 수 있는지 상상해보십시오.
5. 대괄호에서 꺼내십시오.
6. 대괄호에서 꺼내십시오.

노출 방정식. 평균 수준

나는 첫 번째 기사를 읽은 후 다음과 같이 가정합니다. 지수 방정식이란 무엇이며 어떻게 푸는가, 가장 간단한 예를 해결하는 데 필요한 최소한의 지식을 마스터했습니다.

이제 지수 방정식을 푸는 또 다른 방법을 분석하겠습니다. 이것은 ...

새로운 변수 도입(또는 대체) 방법

그는 지수 방정식(방정식뿐만 아니라) 주제에 대해 대부분의 "어려운" 문제를 해결합니다.

이 방법은 다음 중 하나입니다. 실무에서 가장 많이 사용됩니다.먼저 주제에 익숙해지는 것이 좋습니다.

이름에서 이미 이해했듯이 이 방법의 본질은 지수 방정식이 이미 쉽게 풀 수 있는 방정식으로 기적적으로 변환되는 변수의 변경을 도입하는 것입니다.

이 매우 "단순화된 방정식"을 풀고 나면 남은 것은 "역대체"를 만드는 것입니다. 즉, 대체된 것에서 대체된 것으로 돌아가는 것입니다.

아주 간단한 예를 들어 방금 말한 것을 설명하겠습니다.

예 16. 단순 교체 방법

이 방정식은 다음으로 해결됩니다. "간단한 대체", 수학자들은 그것을 비열하게 부릅니다.

실제로 여기에서 대체가 가장 분명합니다. 그것만 보면 된다.

그러면 원래 방정식은 다음과 같습니다.

우리가 방법을 추가로 상상하면 교체해야한다는 것이 분명합니다 ...

물론, .

그러면 원래 방정식이 되는 것은 무엇입니까? 다음은 다음과 같습니다.

스스로 그 뿌리를 쉽게 찾을 수 있습니다.

우리는 지금 무엇을해야합니까?

이제 원래 변수로 돌아갈 시간입니다.

무엇을 포함하는 것을 잊었습니까?

즉: 특정 정도를 새 변수로 바꿀 때(즉, 유형을 바꿀 때) 관심을 가질 것입니다. 오직 긍정적인 뿌리!

그 이유는 스스로 쉽게 답할 수 있습니다.

따라서 우리는 당신에게 관심이 없지만 두 번째 루트는 우리에게 매우 적합합니다.

그럼 어디.

대답:

보시다시피, 이전 예에서 교체는 우리의 손을 요구했습니다. 불행히도 항상 그런 것은 아닙니다.

그러나 슬픈 이야기로 바로 넘어가지 말고 상당히 간단한 대체 방법으로 한 가지 더 예를 들어 연습해 보겠습니다.

예 17. 단순 교체 방법

교체해야 할 가능성이 가장 높다는 것은 분명합니다(이는 방정식에 포함된 거듭제곱 중 가장 작은 것입니다).

그러나 대체를 도입하기 전에 방정식을 "준비"해야 합니다. 즉, , .

그런 다음 바꿀 수 있습니다. 결과적으로 다음 표현식을 얻을 수 있습니다.

오 공포: 해법에 대한 절대적으로 끔찍한 공식을 가진 3차 방정식(일반적으로 말해서).

그러나 당장 절망하지 말고 우리가 무엇을 해야 할지 생각해보자.

부정행위를 제안하겠습니다. "아름다운" 답을 얻으려면 3의 거듭제곱을 얻어야 한다는 것을 알고 있습니다(왜 그럴까요?).

그리고 우리 방정식의 적어도 하나의 근을 추측해 봅시다(3의 거듭제곱에서 추측을 시작할 것입니다).

첫 번째 추측. 루트가 아닙니다. 아아 그리고 아...

.
왼쪽은 동일합니다.
오른쪽 부분: !

있다! 첫 번째 루트를 추측했습니다. 이제 상황이 더 쉬워질 것입니다!

"코너" 분할 방식에 대해 알고 있습니까? 물론 한 숫자를 다른 숫자로 나눌 때 사용합니다.

그러나 다항식으로 동일한 작업을 수행할 수 있다는 것을 아는 사람은 거의 없습니다.

한 가지 멋진 정리가 있습니다.

내 상황에 적용 가능한 나머지 없이 나눌 수 있는 것을 알려줍니다.

분할은 어떻게 이루어지나요? 그 방법은 다음과 같습니다.

어떤 단항식을 곱해야 얻을 수 있는지 살펴봅니다.

다음이 켜져 있음이 분명합니다.

결과 표현식을 빼면 다음을 얻습니다.

이제 무엇을 얻으려면 곱해야 합니까?

에 다음을 얻을 것이 분명합니다.

나머지 표현식에서 결과 표현식을 다시 뺍니다.

음, 마지막 단계에서 나머지 식을 곱하고 빼겠습니다.

만세, 분할이 끝났습니다! 우리가 사적으로 무엇을 축적 했습니까?

그 자체로: .

그런 다음 원래 다항식의 다음 확장을 얻었습니다.

두 번째 방정식을 풀자:

그것은 뿌리가 있습니다:

그런 다음 원래 방정식:

세 가지 뿌리가 있습니다.

물론 마지막 루트는 0보다 작기 때문에 버립니다.

역 교체 후 처음 두 개는 두 개의 루트를 제공합니다.

대답: ..

이 예를 들어 당신을 놀라게 하려는 것은 아닙니다!

오히려, 나는 우리가 상당히 간단한 교체를 했음에도 불구하고 다소 복잡한 방정식으로 이어짐을 보여주기 시작했으며, 그 해결에는 우리의 특별한 기술이 필요했습니다.

글쎄, 아무도 이것으로부터 면역이 없습니다. 그러나 이 경우의 변화는 꽤 분명했습니다.

예제 #18(덜 명확하게 대체됨)

우리가 무엇을 해야 하는지는 전혀 분명하지 않습니다. 문제는 우리의 방정식에 두 개의 다른 염기가 있고 하나의 염기를 다른 것으로부터 (합리적이고 자연스럽게) 어떤 힘으로 올려도 얻을 수 없다는 것입니다.

그러나 우리는 무엇을 봅니까?

두 밑은 부호만 다르며 곱은 제곱의 차이가 1입니다.

정의:

따라서 이 예에서 밑이 되는 숫자는 켤레입니다.

이 경우 현명한 움직임은 방정식의 양변에 켤레 번호를 곱합니다.

예를 들어, on이면 방정식의 왼쪽은 같아지고 오른쪽은 같아집니다.

교체하면 원래 방정식은 다음과 같이됩니다.

하지만 그 뿌리를 기억하면 알 수 있습니다.

대답: , .

일반적으로 대체 방법은 대부분의 "학교" 지수 방정식을 풀기에 충분합니다.

다음과 같은 복잡성 수준의 작업이 시험 옵션에서 선택됩니다.

시험 옵션에서 증가된 복잡성의 세 가지 작업

당신은 이미 이러한 예를 스스로 풀 수 있을 만큼 충분히 글을 읽고 있습니다. 필요한 교체만 해드립니다.

1. 방정식을 풉니다.
2. 방정식의 근을 찾으십시오.
3. 방정식 풀기: . 세그먼트에 속하는 이 방정식의 모든 근을 찾습니다.

이제 몇 가지 빠른 설명과 답변을 제공합니다.

예 #19

여기에서 참고하면 충분합니다.

그러면 원래 방정식은 다음과 같습니다.

이 방정식은 다음을 대체하여 해결됩니다.

다음 계산을 직접 수행하십시오.

결국 귀하의 작업은 가장 간단한 삼각법(사인 또는 코사인에 따라 다름)을 푸는 것으로 축소됩니다. 우리는 다른 섹션에서 그러한 예의 솔루션에 대해 논의할 것입니다.

예 #20

여기에서는 교체하지 않고도 할 수 있습니다 ...

감수를 오른쪽으로 이동하고 2의 거듭제곱을 통해 두 밑수를 제시하는 것으로 충분합니다. 그런 다음 즉시 이차 방정식으로 이동합니다.

예 #21

또한 매우 표준적으로 해결됩니다. 방법을 상상해 보십시오.

그런 다음 대체하여 이차 방정식을 얻습니다.

로그가 무엇인지 이미 알고 있습니까? 아니다? 그런 다음 급히 주제를 읽으십시오!

첫 번째 루트는 분명히 세그먼트에 속하지 않으며 두 번째 루트는 이해할 수 없습니다!

그러나 우리는 곧 알게 될 것입니다!

이후(이것은 로그의 속성입니다!)

두 부분에서 빼면 다음을 얻습니다.

좌변은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

양변에 다음을 곱합니다.

다음과 같이 곱할 수 있습니다.

그럼 비교해보자:

그때부터:

그런 다음 두 번째 루트는 원하는 간격에 속합니다.

대답:

보시다시피, 지수 방정식의 근을 선택하려면 로그의 속성에 대해 상당히 깊은 지식이 필요합니다., 그래서 지수 방정식을 풀 때 가능한 한 조심하는 것이 좋습니다.

아시다시피, 수학에서는 모든 것이 서로 연결되어 있습니다!

내 수학 선생님이 말씀하셨듯이 "당신은 역사처럼 수학을 하룻밤 사이에 읽을 수 없습니다."

원칙적으로 모든 증가 된 복잡성 수준의 문제를 해결하는 데 어려움은 정확히 방정식의 근을 선택하는 것입니다.

또 다른 실습 예...

실시예 22

방정식 자체가 아주 간단하게 풀린다는 것은 분명합니다.

대체를 수행하면 원래 방정식을 다음과 같이 줄입니다.

먼저 고려해보자 첫 번째 루트.

비교하고: 이후로. (로그 함수의 속성, at).

그러면 첫 번째 루트도 우리 간격에 속하지 않는다는 것이 분명합니다.

이제 두 번째 루트: . (기능이 증가하기 때문에) 분명합니다.

비교하는 것이 남아있다.

그때부터, 동시에.

따라서 나는 와 사이에 "못을 박을" 수 있습니다.

이 말뚝은 숫자입니다.

첫 번째 표현식은 보다 작고 두 번째 표현식은 보다 큽니다.

그런 다음 두 번째 표현식은 첫 번째 표현식보다 크고 루트는 간격에 속합니다.

대답: .

결론적으로 대체가 다소 비표준적인 방정식의 또 다른 예를 살펴보겠습니다.

예제 #23(비표준 대체가 있는 방정식!)

당신이 할 수 있는 일, 그리고 원칙적으로 할 수 있는 일부터 바로 시작하겠습니다. 하지만 하지 않는 것이 좋습니다.

3, 2, 6의 거듭제곱을 통해 모든 것을 표현할 수 있습니다.

어디로 이어지는가?

예, 그리고 아무 것도 이끌어내지 않을 것입니다. 학위의 뒤죽박죽, 그 중 일부는 제거하기가 상당히 어려울 것입니다.

그러면 무엇이 필요합니까?

참고로

그리고 그것은 우리에게 무엇을 줄 것입니까?

그리고 이 예의 해를 상당히 단순한 지수 방정식의 해로 줄일 수 있다는 사실!

먼저 방정식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

이제 결과 방정식의 양변을 다음과 같이 나눕니다.

유레카! 이제 우리는 다음을 얻을 수 있습니다.

자, 이제 시연을 위해 문제를 풀 차례입니다. 길을 잃지 않도록 간략한 설명만 드리겠습니다! 행운을 빕니다!

예 #24

가장 어려운!

여기서 교체품을 보는 것은 오, 얼마나 추한 일입니까! 그럼에도 불구하고 이 예제는 다음을 사용하여 완전히 해결할 수 있습니다. 전체 사각형 선택.

이 문제를 해결하려면 다음 사항에 유의하면 됩니다.

다음은 귀하의 대체품입니다.

(여기서, 우리의 교체로 우리는 음수 뿌리를 버릴 수 없다는 점에 유의하십시오! 그리고 왜, 어떻게 생각하십니까?)

이제 예제를 풀려면 두 방정식을 풀어야 합니다.

둘 다 "표준 교체"로 해결됩니다(그러나 한 예에서는 두 번째 것입니다!)

예 #25

2. 이를 확인하고 대체하십시오.

예 #26

3. 숫자를 공소수로 확장하고 결과 표현식을 단순화하십시오.

예 #27

4. 분수의 분자와 분모를 (또는 원하는 경우)로 나누고 대입을 or로 합니다.

예 #28

5. 숫자와 는 켤레입니다.

로그 방법에 의한 지수 방정식의 해. 고급 레벨

또한 다른 방법을 살펴 보겠습니다. 로그 방법에 의한 지수 방정식의 해.

이 방법에 의한 지수 방정식의 해가 매우 인기가 있다고 말할 수는 없지만 어떤 경우에는 방정식의 올바른 해로 이어질 수 있습니다.

특히 종종 소위 " 혼합 방정식': 즉, 다른 유형의 기능이 있는 것입니다.

예 #29

일반적인 경우 두 부분의 로그(예: 밑수)를 취해야만 풀 수 있으며, 여기서 원래 방정식은 다음과 같이 바뀝니다.

다음 예를 살펴보겠습니다.

로그 함수의 ODZ에만 관심이 있음이 분명합니다.

그러나 이것은 로그의 ODZ뿐만 아니라 다른 이유에서도 따릅니다.

어느 쪽인지 짐작하기 어렵지 않으실 거라 생각합니다.

방정식의 양변에 대한 로그를 밑수로 취합시다.

보시다시피, 원래 방정식의 로그를 취하면 신속하게 정확한(그리고 아름다운!) 답을 얻을 수 있습니다.

한 가지 더 예를 들어 연습해 봅시다.

예 #30

여기에서도 걱정할 것이 없습니다. 밑으로 방정식의 양변에 로그를 취하면 다음을 얻습니다.

교체를 해보자:

그러나 우리는 무언가를 놓쳤습니다! 내가 실수한 부분을 눈치채셨나요? 결국:

요구 사항을 충족하지 않는 경우(어디서 왔는지 생각해 보세요!)

대답:

아래 지수 방정식의 해를 적어 보십시오.

이제 다음과 같이 솔루션을 확인하십시오.

예 #31

다음이 주어지면 두 부분의 로그를 밑수로 취합니다.

(두 번째 루트는 교체로 인해 우리에게 적합하지 않습니다)

예 #32

밑으로 대수:

결과 표현식을 다음 형식으로 변환해 보겠습니다.

노출 방정식. 간단한 설명 및 기본 공식

지수 방정식

유형 방정식:

~라고 불리는 가장 간단한 지수 방정식.

학위 속성

솔루션 접근 방식

• 동일한 기준으로 축소
• 동일한 지수로 감소
• 변수 대체
• 식을 단순화하고 위의 것 중 하나를 적용하십시오.

뒤로 앞으로

주목! 슬라이드 미리보기는 정보 제공용이며 프레젠테이션의 전체 범위를 나타내지 않을 수 있습니다. 당신이 관심이 있다면 이 일정식 버전을 다운로드하십시오.

수업 유형

: "지수 방정식 및 해결 방법" 주제에 대한 지식, 기술 및 능력의 일반화 및 복잡한 적용에 대한 수업.

수업 목표.

튜토리얼:

"지수 방정식, 솔루션"주제의 주요 자료를 반복하고 체계화하십시오. 다양한 유형의 지수 방정식을 풀 때 적절한 알고리즘을 사용하는 능력을 통합합니다. 시험 준비.

개발 중:

학생들의 논리적이고 연합적인 사고를 개발합니다. 지식의 독립적 인 응용 기술의 개발을 촉진합니다.

교육적인:

방정식을 풀 때 목적성, 주의력 및 정확성을 기른다.

장비:

컴퓨터 및 멀티미디어 프로젝터.

수업 사용 정보 기술 : 수업에 대한 방법론적 지원 - 마이크로소프트 파워포인트 프레젠테이션.

수업 중

모든 기술에는 노력이 따릅니다.

나. 수업의 목표 설정(슬라이드 번호 2 )

이 수업에서는 "지수 방정식, 그 해"라는 주제를 요약하고 일반화할 것입니다. 이 주제에 대한 여러 해의 일반적인 시험 과제에 대해 알아 보겠습니다.

지수 방정식을 푸는 작업은 USE 작업의 모든 부분에서 찾을 수 있습니다. " 부분에서 에 " 일반적으로 가장 간단한 지수 방정식을 푸는 것을 제안합니다. " 부분에서 에서 " 더 복잡한 지수 방정식을 만날 수 있으며, 그 해는 일반적으로 작업 단계 중 하나입니다.

예를 들어 ( 슬라이드 번호 3 ).

• 사용 - 2007

B 4 - 표현식의 가장 큰 값 찾기 x y, 어디 ( 엑스; ~에)는 시스템의 솔루션입니다.

• 사용 - 2008

B 1 - 방정식 풀기:

ㅏ) 엑스 6 3엑스 – 36 6 3엑스 = 0;

나) 4 엑스 +1 + 8 4엑스= 3.

• 사용 - 2009

B 4 - 표현식의 값 찾기 x + y, 어디 ( 엑스; ~에)는 시스템의 솔루션입니다.

• 사용 - 2010

– 방정식 풀기: 7 엑스– 2 = 49. – 방정식의 근 찾기: 4 엑스 2 + 3엑스 – 2 - 0,5 2x2 + 2엑스 – 1 = 0. – 연립방정식 풀기:

Ⅱ. 기본 지식의 업데이트. 되풀이

(슬라이드 #4 – 6 수업 발표)

화면이 표시됩니다 이론적 자료의 참고 요약 이 주제에.

다음 질문이 논의됩니다.

1. 어떤 방정식이라고 불리는지 암시?
2. 그것들을 해결하는 주요 방법의 이름을 지정하십시오. 유형의 예를 제시하십시오( 슬라이드 번호 4 )

(각 방법에 대해 제안된 방정식을 스스로 풀고 슬라이드를 사용하여 자체 테스트 수행)

3. 다음 형식의 가장 간단한 지수 방정식을 푸는 데 사용되는 정리: f(x) = a g(x) ?
4. 지수 방정식을 푸는 다른 방법에는 어떤 것이 있습니까? ( 슬라이드 번호 5 )

• 인수분해 방법
(권력 속성에 따라 동일한 기준, 수신: 가장 낮은 표시기가 있는 정도는 대괄호에서 제거됨).
• 균질 지수 방정식을 풀 때 0이 아닌 지수 표현식으로 나눗셈(곱셈)을 받는 경우
.

• 조언:

지수 방정식을 풀 때 먼저 변환을 수행하여 방정식의 두 부분에서 동일한 밑으로 차수를 얻는 것이 유용합니다.

1. 주석이 뒤따르는 마지막 두 가지 방법으로 방정식 풀기

(슬라이드 번호 6 ).

. 4 엑스+ 1 – 2 4 엑스– 2 = 124, 4 엑스– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 엑스– 2 62 = 124,

4 엑스– 2 = 2, 4 엑스– 2 = 4 0,5 , 엑스– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 엑스 5엑스 - 5 5 2엑스= 0¦: 5 2 엑스 0,

2(2/5) 2x - 3(2/5) 엑스 - 5 = 0,

t = (2/5) x, 티 > 0, 2티 2 - 3티- 5 = 0,티= -1(?...), 티 = 5/2; 5/2 = (2/5) x, 엑스= ?...

III. USE 작업 해결 2010

학생들은 솔루션 지침을 사용하여 슬라이드 3의 수업 시작 부분에서 제안한 작업을 독립적으로 해결하고 프레젠테이션을 사용하여 솔루션과 답변을 확인합니다. 슬라이드 번호 7). 작업 과정에서 해결 방법 및 옵션이 논의되고 솔루션의 가능한 오류에 주의를 기울입니다.

: 가) 7 엑스– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. 대답: ㅏ) 엑스= 4, 나) 엑스 = 2. : 4 엑스 2 + 3엑스 – 2 - 0,5 2x2 + 2엑스- 1 \u003d 0. (0.5 \u003d 4 - 0.5를 대체할 수 있음)

해결책. ,

엑스 2 + 3엑스 – 2 = -엑스 2 - 4엑스 + 0,5 …

대답: 엑스= -5/2, 엑스 = 1/2.

: 5 5 tg 와이+ 4 = 5 -tg 와이, cos에서 와이< 0.

결정을 위한 제안

. 5 5 tg 와이+ 4 = 5 -tg 와이¦ 5 tg 와이 0,

5 5 2g 와이+ 4 5 TG 와이- 1 = 0. 하자 엑스= 5티그 와이 , …

5티그 와이 = -1 (?...), 5티그 y= 1/5.

이후로 와이= -1 및 코사인 와이< 0, 그럼 ~에 II 좌표 분기

대답: ~에= 3/4 + 2케이, 케이 N.

IV. 화이트보드 협업

높은 수준의 학습 과제가 고려됩니다. 슬라이드 번호 8. 이 슬라이드의 도움으로 교사와 학생 간의 대화가 이루어지며 이는 솔루션 개발에 기여합니다.

- 어떤 매개변수에서 ㅏ 방정식 2 2 엑스 – 3 2 엑스 + ㅏ 2 – 4ㅏ= 0은 두 개의 근을 가지고 있습니까?

허락하다 티= 2 엑스, 어디 티 > 0 . 우리는 얻는다 티 2 – 3티 + (ㅏ 2 – 4ㅏ) = 0 .

하나). 방정식에는 두 개의 근이 있으므로 D > 0입니다.

2). 왜냐하면 티 1,2 > 0, 그러면 티 1 티 2 > 0, 즉 ㅏ 2 – 4ㅏ> 0 (?...).

대답: ㅏ(– 0.5, 0) 또는 (4, 4.5).

V. 검증 업무

(슬라이드 번호 9 )

학생들이 공연하다 검증 작업전단지에 자기 통제력을 행사하고 프레젠테이션의 도움으로 수행 된 작업에 대한 자체 평가를 수행하고 주제에서 자신을 주장합니다. 그들은 통합 문서의 실수를 기반으로 지식을 규제하고 수정하는 프로그램을 독립적으로 결정합니다. 독립적인 작업이 완료된 시트는 확인을 위해 교사에게 전달됩니다.

밑줄이 그어진 숫자 - 별표가 있는 기본 수준 - 복잡성 증가.

솔루션 및 답변.

0,3 2엑스 + 1 = 0,3 – 2 , 2엑스 + 1 = -2, 엑스= -1,5.

(1; 1).

3. 2 엑스– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 엑스– 1 76 = 19, 2 엑스– 1 = 1/4, 2 엑스– 1 = 2 – 2 , 엑스– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 엑스 5엑스+ 5 25 엑스 | : 25 엑스 ,

3(9/25) x = 2(3/5) 엑스+ 5,

3 (9/27) 엑스 = 2 (3/5) 엑스 + 5 = 0,

3 (3/5) 2엑스 – 2 (3/5) 엑스 - 5 = 0,…, (3/5) 엑스 = -1 (적합하지 않다),

(3/5) 엑스 = 5, x = -1.

VI. 숙제

(슬라이드 번호 10 )

• § 11, 12를 반복하십시오.
• 통합 상태 시험 2008 - 2010의 자료에서 주제에 대한 작업을 선택하고 해결하십시오.
• 가정 테스트 작업
: