ඝාතීය සමීකරණ. ලඝුගණක ක්රමය. ඝාතීය සමීකරණවල විසඳුම. උදාහරණ සරල ඝාතීය සමීකරණවල විසඳුම
මෙම පාඩම ඝාතීය සමීකරණ ඉගෙන ගැනීමට පටන් ගන්නා අය සඳහා අදහස් කෙරේ. සෑම විටම මෙන්, අපි අර්ථ දැක්වීමක් සහ සරල උදාහරණ සමඟ ආරම්භ කරමු.
ඔබ මෙම පාඩම කියවන්නේ නම්, ඔබට දැනටමත් සරලම සමීකරණ - රේඛීය සහ හතරැස්: $56x-11=0$ පිළිබඳ අවම අවබෝධයක් ඇතැයි මම සැක කරමි; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ ආදිය. දැන් සාකච්ඡා කරනු ලබන මාතෘකාවේ "එල්ලෙන" නොකිරීමට එවැනි ඉදිකිරීම් විසඳීමට හැකි වීම අතිශයින්ම අවශ්ය වේ.
ඉතින්, ඝාතීය සමීකරණ. මම ඔබට උදාහරණ කිහිපයක් දෙන්නම්:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
ඒවායින් සමහරක් ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ බවක් පෙනෙන්නට පුළුවන, සමහර ඒවා ඊට පටහැනිව ඉතා සරල ය. නමුත් ඒවා සියල්ලම එක් වැදගත් අංගයක් මගින් එක්සත් වී ඇත: ඒවායේ $f\left(x \right)=((a)^(x))$ ඝාතීය ශ්‍රිතයක් අඩංගු වේ. මේ අනුව, අපි අර්ථ දැක්වීම හඳුන්වා දෙන්නෙමු:
ඝාතීය සමීකරණයක් යනු ඝාතීය ශ්‍රිතයක් අඩංගු ඕනෑම සමීකරණයකි, i.e. $((a)^(x))$ ආකෘතියේ ප්‍රකාශනයකි. නිශ්චිත ශ්‍රිතයට අමතරව, එවැනි සමීකරණවල වෙනත් ඕනෑම වීජීය ඉදිකිරීම් අඩංගු විය හැකිය - බහුපද, මූල, ත්‍රිකෝණමිතිය, ලඝුගණක ආදිය.
හරි එහෙනම්. නිර්වචනය තේරුම් ගත්තා. දැන් ප්‍රශ්නය: මේ සියල්ල විසඳන්නේ කෙසේද? පිළිතුර එකවර සරල හා සංකීර්ණ වේ.
අපි ශුභාරංචිය සමඟ ආරම්භ කරමු: බොහෝ සිසුන් සමඟ මගේ අත්දැකීම් වලින්, ඔවුන්ගෙන් බොහෝ දෙනෙකුට, ඝාතීය සමීකරණ එකම ලඝුගණක වලට වඩා පහසු වන අතර ඊටත් වඩා ත්‍රිකෝණමිතිය බව මට පැවසිය හැකිය.
නමුත් නරක ආරංචියක් ද තිබේ: සමහර විට සියලු වර්ගවල පෙළපොත් සහ විභාග සඳහා ගැටළු සම්පාදනය කරන්නන් “ආනුභාවයෙන්” පැමිණෙන අතර, ඔවුන්ගේ මත්ද්‍රව්‍ය දැවිල්ල ඇති මොළය එවැනි ම්ලේච්ඡ සමීකරණ නිපදවීමට පටන් ගනී, එය සිසුන්ට පමණක් නොව ඒවා විසඳීමට ගැටළු සහගත වේ - බොහෝ ගුරුවරුන් පවා එවැනි ගැටළු වලට හසු වේ.
කෙසේ වෙතත්, කණගාටුදායක දේවල් ගැන කතා නොකරමු. ඒ වගේම අපි කතාව ආරම්භයේදීම ලබා දී ඇති සමීකරණ තුන වෙත ආපසු යමු. අපි ඒවා එක් එක් විසඳීමට උත්සාහ කරමු.
පළමු සමීකරණය: $((2)^(x))=4$. හොඳයි, අංක 4 ලබා ගැනීමට අංක 2 ඉහළ දැමිය යුත්තේ කුමන බලයටද? සමහර විට දෙවැන්න? සියල්ලට පසු, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — සහ අපි නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවය ලබාගෙන ඇත, i.e. ඇත්ත වශයෙන්ම $x=2$. හොඳයි, ස්තූතියි, තොප්පිය, නමුත් මෙම සමීකරණය කෙතරම් සරලද යත් මගේ බළලාට පවා එය විසඳිය හැකිය. :)
පහත සමීකරණය දෙස බලමු:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
නමුත් මෙන්න එය ටිකක් අපහසුයි. බොහෝ සිසුන් දන්නවා $((5)^(2))=25$ යනු ගුණ කිරීමේ වගුව බව. $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ යනු සෘණ ඝාතකවල නිර්වචනයයි ($(a)^(-n))= \ frac(1)(((අ)^(n)))$).
අවසාන වශයෙන්, තෝරාගත් කිහිප දෙනෙකු පමණක් මෙම කරුණු ඒකාබද්ධ කළ හැකි බව අනුමාන කරන අතර ප්‍රතිදානය පහත ප්රතිඵලය වේ:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]
මේ අනුව, අපගේ මුල් සමීකරණය පහත පරිදි නැවත ලියනු ලැබේ:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
දැන් මෙය දැනටමත් සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳා ඇත! සමීකරණයේ වම් පැත්තේ ඝාතීය ශ්‍රිතයක් ඇත, සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ ඝාතීය ශ්‍රිතයක් ඇත, ඒවා හැර වෙන කිසිම තැනක නැත. එබැවින්, පදනම් "ඉවත දැමීමට" සහ දර්ශක මෝඩ ලෙස සමාන කළ හැකිය:
ඕනෑම සිසුවෙකුට පේළි කිහිපයකින් විසඳිය හැකි සරලම රේඛීය සමීකරණය අපට ලැබී ඇත. හරි, පේළි හතරකින්:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\ end(align)\]
අවසාන පේළි හතරේ සිදු වූ දේ ඔබට නොතේරෙන්නේ නම්, මාතෘකාව "රේඛීය සමීකරණ" වෙත ආපසු ගොස් එය නැවත කිරීමට වග බලා ගන්න. මක්නිසාද යත් මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ පැහැදිලි උකහා ගැනීමකින් තොරව, ඔබට ඝාතීය සමීකරණ ලබා ගැනීමට ඉක්මන් වැඩිය.
\[((9)^(x))=-3\]
හොඳයි, ඔබ තීරණය කරන්නේ කෙසේද? පළමු සිතුවිල්ල: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, එබැවින් මුල් සමීකරණය මෙසේ නැවත ලිවිය හැක:
\[(\වම(((3)^(2)) \දකුණ))^(x))=-3\]
අංශකයක් බලයට ඔසවන විට, දර්ශක ගුණ කරන බව අපට මතකයි:
\[((\) 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
එවැනි තීරණයක් සඳහා, අපට අවංකවම ලැබිය යුතු ඩියුස් ලැබේ. මක්නිසාද යත්, අපි, පොක්මොන් එකක සමානාත්මතාවයෙන්, මෙම තිදෙනාගේම බලයට තුන ඉදිරියෙන් ඇති අඩුපාඩු ලකුණ යැව්වෙමු. අනික ඔයාට ඒක කරන්න බෑ. සහ ඒ නිසයි. ත්රිත්ව විවිධ බලයන් දෙස බලන්න:
\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& ((( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\ end(matrix)\]
මෙම ටැබ්ලටය සම්පාදනය කිරීම, මම කළ විගස විකෘති නොකළෙමි: මම ධනාත්මක අංශක, සහ සෘණ, සහ භාගික ඒවා පවා සලකා බැලුවෙමි ... හොඳයි, මෙහි අවම වශයෙන් එක් සෘණ අංකයක්වත් කොහේද? ඔහු නොවේ! එය විය නොහැක, මන්ද ඝාතීය ශ්‍රිතය $y=(((a)^(x))$, පළමුව, සෑම විටම ධනාත්මක අගයන් පමණක් ගනී (ඔබ කොපමණ එකක් ගුණ කළත්, දෙකකින් බෙදුවත්, එය තවමත් a වේ. ධන අංකය), සහ දෙවනුව, එවැනි ශ්‍රිතයක පදනම, $a$, අර්ථ දැක්වීම අනුව ධන අංකයකි!
හොඳයි, $(9)^(x))=-3$ සමීකරණය විසඳන්නේ කෙසේද? නැත, මූලයන් නොමැත. මෙම අර්ථයෙන් ගත් කල, ඝාතීය සමීකරණ චතුරස්රාකාර සමීකරණවලට බෙහෙවින් සමාන ය - මූලයන් ද නොතිබිය හැකිය. නමුත් චතුරස්රාකාර සමීකරණවලදී මුල් ගණන තීරණය වන්නේ වෙනස්කම් කරන්නා විසින් නම් (වෙනස් කොට සැලකීම ධනාත්මක - 2 මූලයන්, සෘණ - මූලයන් නැත), එවිට ඝාතීය සමීකරණවලදී ඒ සියල්ල සමාන ලකුණේ දකුණට ඇති දේ මත රඳා පවතී.
මේ අනුව, අපි ප්රධාන නිගමනය සකස් කරමු: $((a)^(x))=b$ පෝරමයේ සරලම ඝාතීය සමීකරණයට $b \gt 0$ නම් සහ පමණක් මූලයක් ඇත. මෙම සරල කරුණ දැන ගැනීමෙන්, ඔබට යෝජනා කරන ලද සමීකරණයට මූලයන් තිබේද නැද්ද යන්න පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. එම. එය කිසිසේත් විසඳීම වටී ද නැතහොත් මූලයන් නොමැති බව වහාම ලියන්න.
අපට වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු විසඳීමට සිදු වූ විට මෙම දැනුම අපට බොහෝ වාරයක් උපකාරී වනු ඇත. මේ අතරතුර, ප්රමාණවත් තරම් ගී පද - ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා මූලික ඇල්ගොරිතම අධ්යයනය කිරීමට කාලයයි.
ඝාතීය සමීකරණ විසඳන ආකාරය
ඉතින්, අපි ගැටලුව සකස් කරමු. ඝාතීය සමීකරණය විසඳීම අවශ්ය වේ:
\[((අ)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]
අප කලින් භාවිතා කළ "නැහැල්ලු" ඇල්ගොරිතමයට අනුව, $b$ අංකය $a$ හි බලයක් ලෙස නිරූපණය කිරීම අවශ්ය වේ:
මීට අමතරව, $x$ විචල්යය වෙනුවට කිසියම් ප්රකාශනයක් තිබේ නම්, අපට නව සමීකරණයක් ලැබෙනු ඇත, එය දැනටමත් විසඳිය හැකිය. උදාහරණ වශයෙන්:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2) \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
පුදුමයට කරුණක් නම්, මෙම යෝජනා ක්රමය 90% ක් පමණ ක්‍රියාත්මක වේ. එතකොට අනිත් 10% ගැන මොකද කියන්නේ? ඉතිරි 10% පෝරමයේ තරමක් "භින්නෝන්මාද" ඝාතීය සමීකරණ වේ:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
3ක් ලබා ගැනීමට 2ක් ඉහල දැමිය යුත්තේ කුමන බලයටද? පළමු එකේ? නමුත් නැත: $((2)^(1))=2$ ප්රමාණවත් නොවේ. දෙවෙනි එකේ? එක්කෝ: $((2)^(2))=4$ වැඩියි. එතකොට මොකද?
දැනුමැති සිසුන් දැනටමත් අනුමාන කර ඇත: එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, "අලංකාර" විසඳීමට නොහැකි වූ විට, "බර කාලතුවක්කු" නඩුවට සම්බන්ධ වේ - ලඝුගණක. ලඝුගණක භාවිතයෙන් ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක් වෙනත් ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක (එකක් හැර) බලයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බව මම ඔබට මතක් කරමි:
මේ සූත්‍රය මතකද? මම ලඝුගණක ගැන මගේ සිසුන්ට පවසන විට, මම ඔබට නිතරම අනතුරු අඟවන්නෙමි: මෙම සූත්‍රය (එය මූලික ලඝුගණක අනන්‍යතාවය හෝ, ඔබ කැමති නම්, ලඝුගණකයේ නිර්වචනය ද වේ) ඉතා දිගු කාලයක් තිස්සේ ඔබව හොල්මන් කරන අතර වඩාත්ම “ඉපිරී යයි” අනපේක්ෂිත ස්ථාන. හොඳයි, ඇය මතු වුණා. අපගේ සමීකරණය සහ මෙම සූත්‍රය දෙස බලමු:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\ end(align) \]
අපි උපකල්පනය කරන්නේ $a=3$ යනු දකුණු පස ඇති අපගේ මුල් අංකය වන අතර $b=2$ යනු අපට දකුණු පැත්ත අඩු කිරීමට අවශ්ය ඝාතීය ශ්‍රිතයේ පදනම වේ නම්, අපට පහත දේ ලැබේ:
\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
අපිට ටිකක් අමුතු පිළිතුරක් ලැබුණා: $x=((\log )_(2))3$. වෙනත් කාර්යයකදී, එවැනි පිළිතුරක් සමඟ, බොහෝ දෙනෙක් සැක කරන අතර ඔවුන්ගේ විසඳුම දෙවරක් පරීක්ෂා කිරීමට පටන් ගනී: කොතැනක හෝ වැරැද්දක් සිදුවුවහොත් කුමක් කළ යුතුද? මම ඔබව සතුටු කිරීමට ඉක්මන් වෙමි: මෙහි කිසිදු දෝෂයක් නොමැති අතර, ඝාතීය සමීකරණවල මූලයන් හි ලඝුගණක සාමාන්ය තත්වයකි. ඒ නිසා පුරුදු වෙන්න. :)
දැන් අපි ඉතිරි සමීකරණ දෙක ප්‍රතිසමයෙන් විසඳන්නෙමු:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=(4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
එච්චරයි! මාර්ගය වන විට, අවසාන පිළිතුර වෙනස් ලෙස ලිවිය හැකිය:
ලඝුගණකයේ තර්කයට ගුණකය හඳුන්වා දුන්නේ අපි ය. නමුත් මෙම සාධකය පදනමට එකතු කිරීමෙන් කිසිවෙකු අපව වළක්වන්නේ නැත:
එපමණක් නොව, විකල්ප තුනම නිවැරදියි - ඒවා එකම අංකයක් ලිවීමේ විවිධ ආකාරයන් පමණි. මෙම තීරණයේ කුමන එකක් තෝරා ගැනීම සහ ලිවීම ඔබට භාරයි.
මේ අනුව, $a$ සහ $b$ යන සංඛ්යා දැඩි ලෙස ධන වන $((a)^(x))=b$ ආකාරයේ ඕනෑම ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට අපි ඉගෙන ගත්තෙමු. කෙසේ වෙතත්, අපගේ ලෝකයේ කටුක යථාර්ථය නම්, එවැනි සරල කාර්යයන් ඔබට හමුවන්නේ ඉතා කලාතුරකිනි. බොහෝ විට ඔබට මෙවැනි දෙයක් හමුවනු ඇත:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
හොඳයි, ඔබ තීරණය කරන්නේ කෙසේද? මෙය කිසිසේත් විසඳිය හැකිද? සහ එසේ නම්, කෙසේද?
කලබලයක් නැත. මෙම සියලු සමීකරණ අප දැනටමත් සලකා බැලූ සරල සූත්‍රවලට ඉක්මනින් හා සරලව අඩු කර ඇත. වීජ ගණිත පාඨමාලාවේ උපක්‍රම කිහිපයක් මතක තබා ගැනීමට ඔබ දැනගත යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහි උපාධි සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා නීති නොමැත. මම දැන් මේ සියල්ල ගැන කතා කරන්නම්. :)
ඝාතීය සමීකරණවල පරිවර්තනය
මතක තබා ගත යුතු පළමු දෙය නම්, ඕනෑම ඝාතීය සමීකරණයක්, එය කෙතරම් සංකීර්ණ වුවත්, එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් සරලම සමීකරණවලට අඩු කළ යුතු බවයි - අප දැනටමත් සලකා බලා ඇති සහ විසඳිය යුතු ආකාරය දන්නා ඒවා. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඕනෑම ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳීමේ යෝජනා ක්රමය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:
- මුල් සමීකරණය ලියන්න. උදාහරණයක් ලෙස: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- මෝඩ වැඩ ටිකක් කරන්න. එසේත් නැතිනම් "සමීකරණය පරිවර්තනය" යනුවෙන් හැඳින්වෙන සමහර ජරාවක් පවා;
- ප්‍රතිදානයේදී, $((4)^(x))=4$ වැනි සරලම ප්රකාශන හෝ වෙනත් යමක් ලබා ගන්න. එපමනක් නොව, එක් ආරම්භක සමීකරණයක් එකවර එවැනි ප්රකාශන කිහිපයක් ලබා දිය හැක.
පළමු කරුණ සමඟ, සියල්ල පැහැදිලිය - මගේ බළලාට පවා කොළයක සමීකරණය ලිවිය හැකිය. තුන්වන කරුණ සමඟ ද, එය වැඩි හෝ අඩු පැහැදිලි බව පෙනේ - අපි දැනටමත් ඉහත එවැනි සමීකරණ සමූහයක් විසඳා ඇත.
නමුත් දෙවන කරුණ ගැන කුමක් කිව හැකිද? පරිවර්තනයන් මොනවාද? කුමක් බවට පරිවර්තනය කළ යුතුද? කොහොමද?
හොඳයි, අපි එය තේරුම් ගනිමු. පළමුවෙන්ම, මම පහත සඳහන් කරුණු පෙන්වා දීමට කැමැත්තෙමි. සියලුම ඝාතීය සමීකරණ වර්ග දෙකකට බෙදා ඇත:
- සමීකරණය එකම පාදයක් සහිත ඝාතීය ශ්‍රිත වලින් සමන්විත වේ. උදාහරණය: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- සූත්‍රයේ විවිධ පදනම් සහිත ඝාතීය ශ්‍රිත අඩංගු වේ. උදාහරණ: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ සහ $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.
පළමු වර්ගයේ සමීකරණ සමඟ ආරම්භ කරමු - ඒවා විසඳීමට පහසුම වේ. සහ ඔවුන්ගේ විසඳුමේ දී ස්ථාවර ප්රකාශයන් තෝරාගැනීම වැනි එවැනි තාක්ෂණයක් අපට උපකාර කරනු ඇත.
ස්ථාවර ප්රකාශනයක් උද්දීපනය කිරීම
අපි නැවතත් මෙම සමීකරණය දෙස බලමු:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
අපි දකින්නේ කුමක්ද? සතර විවිධ මට්ටම්වලට නංවා ඇත. නමුත් මෙම සියලු බලයන් වෙනත් අංක සමඟ $x$ විචල්‍යයේ සරල එකතුවකි. එබැවින්, උපාධි සමඟ වැඩ කිරීමේ නීති මතක තබා ගැනීම අවශ්ය වේ:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((අ)^(x-y))=((අ)^(x)):((අ)^(y))=\frac((((අ)^(x)))(((අ) )^(y))). \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
සරලව කිවහොත්, ඝාතක එකතු කිරීම බලවල නිෂ්පාදනයක් බවට පරිවර්තනය කළ හැකි අතර අඩු කිරීම පහසුවෙන් බෙදීම බවට පරිවර්තනය වේ. අපගේ සමීකරණයේ ඇති බල සඳහා මෙම සූත්‍ර යෙදීමට උත්සාහ කරමු:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
මෙම කරුණ සැලකිල්ලට ගනිමින් අපි මුල් සමීකරණය නැවත ලියන්නෙමු, පසුව අපි වම් පස ඇති සියලුම නියමයන් එකතු කරමු:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 - එකොළොස්; \\& (((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
පළමු පද හතරේ $((4)^(x))$ මූලද්‍රව්‍යය අඩංගු වේ — අපි එය වරහනෙන් ඉවත් කරමු:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \දකුණ)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
සමීකරණයේ කොටස් දෙකම $-\frac(11)(4)$ කොටසින් බෙදීමට ඉතිරිව ඇත, i.e. අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම ප්‍රතිලෝම භාගයෙන් ගුණ කරන්න - $-\frac(4)(11)$. අපට ලැබෙන්නේ:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \දකුණ )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& (((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
එච්චරයි! අපි මුල් සමීකරණය සරලම එකට අඩු කර අවසාන පිළිතුර ලබා ගත්තෙමු.
ඒ අතරම, විසඳීමේ ක්‍රියාවලියේදී, අපි $((4)^(x))$ යන පොදු සාධකය සොයා ගත්තෙමු (සහ වරහනෙන් පවා ඉවත් කළෙමු) - මෙය ස්ථායී ප්‍රකාශනයයි. එය නව විචල්‍යයක් ලෙස නම් කළ හැකිය, නැතහොත් ඔබට එය නිවැරදිව ප්‍රකාශ කර පිළිතුරක් ලබා ගත හැකිය. ඕනෑම අවස්ථාවක, විසඳුමේ ප්රධාන මූලධර්මය පහත පරිදි වේ:
සියලුම ඝාතීය ශ්‍රිත වලින් පහසුවෙන් වෙන්කර හඳුනාගත හැකි විචල්‍යයක් අඩංගු ස්ථායී ප්රකාශනයක් මුල් සමීකරණයේ සොයන්න.
ශුභාරංචිය නම් සෑම ඝාතීය සමීකරණයක්ම පාහේ එවැනි ස්ථායී ප්රකාශනයක් පිළිගනී.
නමුත් නරක ආරංචියක් ද තිබේ: එවැනි ප්රකාශයන් ඉතා උපක්රමශීලී විය හැකි අතර, ඒවා වෙන්කර හඳුනා ගැනීම තරමක් අපහසු විය හැකිය. එබැවින් අපි තවත් ගැටළුවක් දෙස බලමු:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
සමහර විට යමෙකුට දැන් ප්රශ්නයක් ඇති වනු ඇත: “පාෂා, ඔබ ගල් ගැසී තිබේද? මෙන්න විවිධ පදනම් - 5 සහ 0.2. නමුත් 0.2 පාදය සහිත බලයක් පරිවර්තනය කිරීමට උත්සාහ කරමු. උදාහරණයක් ලෙස, අපි දශම භාගය ඉවත් කරමු, එය සුපුරුදු පරිදි ගෙන ඒම:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(2)(10) ) \දකුණ))^(-\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]
ඔබට පෙනෙන පරිදි, හරය තුළ වුවද අංක 5 තවමත් දර්ශනය විය. ඒ සමගම, දර්ශකය සෘණ ලෙස නැවත ලියා ඇත. දැන් අපි උපාධි සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා වඩාත් වැදගත් නීති වලින් එකක් සිහිපත් කරමු:
\[((අ)^(-n))=\frac(1)(((අ)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \දකුණ))^( -\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
මෙන්න, ඇත්ත වශයෙන්ම, මම ටිකක් වංචා කළා. මක්නිසාද යත් සම්පූර්ණ අවබෝධයක් සඳහා, සෘණ දර්ශක ඉවත් කිරීමේ සූත්‍රය පහත පරිදි ලිවිය යුතුය:
\[((අ)^(-n))=\frac(1)(((අ)^(n)))=(\වම(\frac(1)(අ) \දකුණ))^(n) ))\Rightarrow ((\ left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(5)(1) \ දකුණ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
අනෙක් අතට, එක් කොටසක් සමඟ පමණක් වැඩ කිරීමෙන් කිසිවක් අපට බාධා කළේ නැත:
\[((\frac(1)(5) \දකුණ))^(-\left(x+1 \right)))=(\left(((5)^(-1)) \ දකුණ))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]
නමුත් මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට උපාධියක් වෙනත් මට්ටමකට නැංවීමට හැකි විය යුතුය (මම ඔබට මතක් කරමි: මෙම අවස්ථාවේදී, දර්ශක එකතු කරනු ලැබේ). නමුත් මට කොටස් “පෙරළීමට” සිදු නොවීය - සමහර විට යමෙකුට එය පහසු වනු ඇත. :)
ඕනෑම අවස්ථාවක, මුල් ඝාතීය සමීකරණය මෙසේ නැවත ලියනු ලැබේ:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
එබැවින් මුල් සමීකරණය කලින් සලකා බැලූ එකට වඩා විසඳීමට පහසු බව පෙනේ: මෙහිදී ඔබට ස්ථාවර ප්රකාශනයක් හුදකලා කිරීමට අවශ්ය නැත - සියල්ල තනිවම අඩු වී ඇත. මතක තබා ගැනීමට පමණක් ඉතිරිව ඇත්තේ $1=((5)^(0))$, අපට ලැබෙන්නේ කොතැනින්ද යන්නයි:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
ඒක තමයි සම්පූර්ණ විසඳුම! අපට අවසාන පිළිතුර ලැබුණි: $x=-2$. ඒ අතරම, අප සඳහා සියලුම ගණනය කිරීම් බෙහෙවින් සරල කළ එක් උපක්‍රමයක් සටහන් කිරීමට මම කැමැත්තෙමි:
ඝාතීය සමීකරණවලදී, දශම භාගයන් ඉවත් කිරීමට වග බලා ගන්න, ඒවා සාමාන්ය ඒවාට පරිවර්තනය කරන්න. මෙය ඔබට අංශකවල එකම පාද දැකීමට සහ විසඳුම බෙහෙවින් සරල කිරීමට ඉඩ සලසයි.
දැන් අපි වඩාත් සංකීර්ණ සමීකරණ වෙත යමු, එහි විවිධ පාද ඇති අතර, ඒවා සාමාන්යයෙන් බලයේ ආධාරයෙන් එකිනෙකාට අඩු නොවේ.
ඝාතීය ගුණාංගය භාවිතා කිරීම
අපට තවත් විශේෂයෙන් දරුණු සමීකරණ දෙකක් ඇති බව මම ඔබට මතක් කරමි:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]
මෙහි ඇති ප්රධාන දුෂ්කරතාවය වන්නේ කුමක් සහ කුමන පදනමක් මත මෙහෙයවිය යුතුද යන්න පැහැදිලි නොවීමයි. ස්ථාවර ප්රකාශන කොහෙද? පොදු බිම් කොහෙද? මේ කිසිවක් නැත.
නමුත් අපි අනෙක් පැත්තට යාමට උත්සාහ කරමු. සූදානම් කළ සමාන පදනමක් නොමැති නම්, පවතින පාදයන් සාධක කිරීමෙන් ඔබට ඒවා සොයා ගැනීමට උත්සාහ කළ හැකිය.
පළමු සමීකරණයෙන් පටන් ගනිමු:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
නමුත් ඔබට ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙය කළ හැකිය - අංක 7 සහ 3 වලින් අංක 21 සාදන්න. අංශක දෙකෙහිම දර්ශක සමාන බැවින් වම් පසින් මෙය කිරීම විශේෂයෙන් පහසුය:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
එච්චරයි! ඔබ නිෂ්පාදනයෙන් ඝාතකය ඉවත් කර වහාම පේළි කිහිපයකින් විසඳිය හැකි අලංකාර සමීකරණයක් ලබා ගත්තා.
දැන් අපි දෙවන සමීකරණය සමඟ කටයුතු කරමු. මෙන්න හැම දෙයක්ම වඩා සංකීර්ණයි:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \දකුණ))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
මෙම අවස්ථාවේ දී, භාග අඩු කළ නොහැකි බවට පත් විය, නමුත් යමක් අඩු කළ හැකි නම්, එය අඩු කිරීමට වග බලා ගන්න. මෙය බොහෝ විට ඔබට දැනටමත් වැඩ කළ හැකි සිත්ගන්නා කරුණු ඇති කරයි.
අවාසනාවට, අපි කිසිවක් ඉදිරිපත් කර නැත. නමුත් නිෂ්පාදනයේ වම් පස ඇති ඝාතකයන් ප්‍රතිවිරුද්ධ බව අපට පෙනේ:
මම ඔබට මතක් කිරීමට ඉඩ දෙන්න: ඝාතීය ලකුණ ඉවත් කිරීමට, ඔබට අවශ්ය වන්නේ භාගය "පෙරළීම" පමණි. එබැවින් අපි මුල් සමීකරණය නැවත ලියමු:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \දකුණ))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\ වම(\frac(1000)(27) \දකුණ))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
දෙවන පේළියේ, අපි $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=(\left(a\cdot b \right) රීතියට අනුව නිෂ්පාදනයේ එකතුව වරහන් කළෙමු. ))^ (x))$, සහ පසුව ඔවුන් සරලව 100 අංකය භාගයකින් ගුණ කළා.
දැන් වම් පසින් (පාදමෙහි) සහ දකුණු පසෙහි සංඛ්යා තරමක් සමාන බව සලකන්න. කෙසේද? ඔව්, පැහැදිලිවම: ඒවා එකම සංඛ්‍යාවේ බල වේ! අපිට තියනවා:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=(\left(\frac( 10)(3) \දකුණ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=(\left(\frac(3)(10) \දකුණ))^(2)). \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
මේ අනුව, අපගේ සමීකරණය පහත පරිදි නැවත ලියනු ලැබේ:
\[(\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(3) )(10) \දකුණ))^(2))\]
\[(\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(10) )(3) \දකුණ))^(3\වම(x-1 \දකුණ)))=(\වම(\frac(10)(3) \දකුණ))^(3x-3))\]
ඒ අතරම, දකුණු පසින්, ඔබට එකම පදනමක් සහිත උපාධියක් ලබා ගත හැකිය, ඒ සඳහා භාගය "පෙරළීම" පමණක් ප්රමාණවත් වේ:
\[((\ වම(\frac(3)(10) \දකුණ))^(2))=(\වම(\frac(10)(3) \දකුණ))^(-2))\]
අවසාන වශයෙන්, අපගේ සමීකරණය පෝරමය ගනී:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \දකුණ))^(3x-3))=(\left(\frac(10)(3) \දකුණ)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]
ඒක තමයි සම්පූර්ණ විසඳුම. එහි ප්රධාන අදහස වන්නේ විවිධ හේතු සහිතව වුවද, අපි මෙම බිම් එකම එකකට අඩු කිරීමට කොක්කෙන් හෝ කොක්කෙන් උත්සාහ කරමු. මෙහිදී අපට සමීකරණවල මූලික පරිවර්තනයන් සහ බලතල සමඟ වැඩ කිරීමේ නීති මගින් උපකාර කරනු ලැබේ.
නමුත් කුමන නීති සහ භාවිතා කළ යුතුද? එක් සමීකරණයක දී ඔබ දෙපස යම් දෙයකින් බෙදිය යුතු බවත්, තවත් එකකින් - ඝාතීය ශ්‍රිතයේ පදනම සාධකකරණය කිරීමටත් අවශ්ය බව තේරුම් ගන්නේ කෙසේද?
මෙම ප්රශ්නයට පිළිතුර අත්දැකීමෙන් ලැබෙනු ඇත. මුලදී සරල සමීකරණ මත ඔබේ අත උත්සාහ කරන්න, පසුව ක්‍රමයෙන් කාර්යයන් සංකීර්ණ කරන්න - සහ ඉතා ඉක්මනින් ඔබේ කුසලතා එකම USE හෝ ඕනෑම ස්වාධීන / පරීක්ෂණ කාර්යයකින් ඕනෑම ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳීමට ප්රමාණවත් වනු ඇත.
මෙම දුෂ්කර කාර්යයේදී ඔබට උපකාර කිරීම සඳහා, ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා මගේ වෙබ් අඩවියේ සමීකරණ කට්ටලයක් බාගත කිරීමට මම යෝජනා කරමි. සියලුම සමීකරණ වලට පිළිතුරු ඇත, එබැවින් ඔබට සැමවිටම ඔබම පරීක්ෂා කර ගත හැක.
පොදුවේ, මම ඔබට සාර්ථක පුහුණුවක් ප්රාර්ථනා කරමි. ඊළඟ පාඩමෙන් ඔබව හමුවෙමු - එහිදී අපි ඉහත විස්තර කර ඇති ක්රම තවදුරටත් ප්රමාණවත් නොවන සංකීර්ණ ඝාතීය සමීකරණ විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු. සරල ව්‍යායාමයක් ද ප්රමාණවත් නොවනු ඇත. :)
ඝාතීය සමීකරණවල විසඳුම. උදාහරණ.
අවධානය!
අතිරේක ඇත
555 විශේෂ වගන්තියේ ඇති ද්රව්ය.
දැඩි ලෙස "බොහෝ නොවේ..." සිටින අය සඳහා
සහ "ඉතා බොහෝ..." සිටින අය සඳහා)
කුමක් ද ඝාතීය සමීකරණය? මෙය නොදන්නා (x) සහ ඒවා සමඟ ප්රකාශන ඇති සමීකරණයකි දර්ශකසමහර උපාධි. සහ එහි පමණක්! එය වැදගත් වේ.
ඔන්න ඔහේ ඉන්නවා ඝාතීය සමීකරණ සඳහා උදාහරණ:
3 x 2 x = 8 x + 3
සටහන! අංශකවල පාදවල (පහළ) - ඉලක්කම් පමණි. හිදී දර්ශකඅංශක (ඉහළ) - x සමඟ විවිධ ප්රකාශන. හදිසියේම, දර්ශකය හැර වෙනත් තැනක සමීකරණයේ x දිස්වන්නේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස:
මෙය මිශ්ර ආකාරයේ සමීකරණයක් වනු ඇත. එවැනි සමීකරණ විසඳීම සඳහා පැහැදිලි නීති නොමැත. අපි ඒවා දැනට සලකන්නේ නැහැ. මෙන්න අපි සමඟ කටයුතු කරන්නෙමු ඝාතීය සමීකරණවල විසඳුමඑහි පිරිසිදු ස්වරූපයෙන්.
ඇත්ත වශයෙන්ම, පිරිසිදු ඝාතීය සමීකරණ පවා සෑම විටම පැහැදිලිව විසඳනු නොලැබේ. නමුත් විසඳිය හැකි සහ විසඳිය යුතු ඇතැම් ඝාතීය සමීකරණ තිබේ. මේ අපි බලන්නම් වර්ග.
සරලම ඝාතීය සමීකරණවල විසඳුම.
අපි ඉතා මූලික දෙයක් සමඟ ආරම්භ කරමු. උදාහරණ වශයෙන්:
කිසිදු න්‍යායක් නොමැතිව වුවද, සරල තේරීමකින් x = 2 බව පැහැදිලිය. වැඩි දෙයක් නෑ නේද!? වෙනත් x අගය රෝල් නැත. දැන් අපි මෙම උපක්රමශීලී ඝාතීය සමීකරණයේ විසඳුම දෙස බලමු:
අපි මොනවද කරලා තියෙන්නේ? ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි එකම පතුලේ (ත්රිත්ව) ඉවතට විසි කළෙමු. සම්පූර්ණයෙන්ම ඉවතට විසිවී ඇත. සහ, සතුටු වන දෙය, ලකුණට පහර දෙන්න!
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඝාතීය සමීකරණයේ වම් සහ දකුණු පස තිබේ නම් එකමඕනෑම අංශකයක සංඛ්යා, මෙම සංඛ්යා ඉවත් කර සමාන ඝාතක කළ හැක. ගණිතය ඉඩ දෙයි. වඩා සරල සමීකරණයක් විසඳීමට එය ඉතිරිව ඇත. ඒක හොඳයි නේද?)
කෙසේ වෙතත්, අපි උපහාසාත්මකව සිහිපත් කරමු: ඔබට පාද ඉවත් කළ හැක්කේ වම් සහ දකුණු පස ඇති පාදක සංඛ්යා විශිෂ්ට ලෙස හුදකලා වූ විට පමණි!අසල්වැසියන් සහ සංගුණක නොමැතිව. සමීකරණවල මෙසේ කියමු.
2 x +2 x + 1 = 2 3 , හෝ
ඔබට ද්විත්ව ඉවත් කළ නොහැක!
හොඳයි, අපි වැදගත්ම දේ ප්‍රගුණ කර ඇත්තෙමු. නරක ඝාතීය ප්‍රකාශනවල සිට සරල සමීකරණ වෙත ගමන් කරන්නේ කෙසේද?
"මෙන්න ඒ වෙලාවල්!" - ඔබ කියන්නෙ. "කවුද පාලනයට සහ විභාගවලට එහෙම ප්‍රාථමිකයක් දෙන්නේ!?"
එකඟ වීමට බල කෙරුනි. කවුරුත් කරන්නේ නැහැ. නමුත් ව්යාකූල උදාහරණ විසඳන විට යා යුත්තේ කොතැනටදැයි දැන් ඔබ දන්නවා. එකම පාදක අංකය වම් පසින් - දකුණේ ඇති විට එය මතකයට ගෙන ඒම අවශ්ය වේ. එවිට සෑම දෙයක්ම පහසු වනු ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය ගණිතයේ සම්භාව්‍ය වේ. අපි මුල් උදාහරණය ගෙන එය අවශ්ය පරිදි පරිවර්තනය කරමු අපමනස. ගණිතයේ නීතිවලට අනුව, ඇත්ත වශයෙන්ම.
ඒවා සරලම දේ වෙත ගෙන ඒමට අමතර වෑයමක් අවශ්ය වන උදාහරණ සලකා බලන්න. අපි ඔවුන්ට කතා කරමු සරල ඝාතීය සමීකරණ.
සරල ඝාතීය සමීකරණවල විසඳුම. උදාහරණ.
ඝාතීය සමීකරණ විසඳන විට, ප්රධාන නීති වේ බලතල සහිත ක්රියා.මෙම ක්රියාවන් පිළිබඳ දැනුමක් නොමැතිව, කිසිවක් ක්රියා නොකරනු ඇත.
උපාධි සමඟ ක්රියා කිරීමට, යමෙකු පුද්ගලික නිරීක්ෂණ සහ දක්ෂතාවය එක් කළ යුතුය. අපට එකම පාද අංක අවශ්‍යද? එබැවින් අපි ඒවා උදාහරණයෙන් පැහැදිලි හෝ සංකේතාත්මක ආකාරයකින් සොයමු.
අපි බලමු මේක ප්රායෝගිකව කරන්නේ කොහොමද කියලා?
අපි උදාහරණයක් දෙමු:
2 2x - 8 x+1 = 0
පළමු බැල්ම භූමිය.ඔවුන් ... ඔවුන් වෙනස්! දෙක සහ අට. නමුත් අධෛර්යමත් වීමට කල් වැඩියි. එය මතක තබා ගැනීමට කාලයයි
දෙක සහ අට උපාධියේ ඥාතීන් වේ.) එය ලිවිය හැකිය:
8 x+1 = (2 3) x+1
බලතල සහිත ක්‍රියාවන්ගෙන් අපි සූත්‍රය සිහිපත් කරන්නේ නම්:
(a n) m = a nm,
එය සාමාන්යයෙන් විශිෂ්ට ලෙස ක්රියා කරයි:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
මුල් උදාහරණය මේ වගේ ය:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
අපි මාරු කරනවා 2 3 (x+1)දකුණට (කිසිවෙක් ගණිතයේ මූලික ක්රියා අවලංගු කළේ නැත!), අපට ලැබෙන්නේ:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
ප්රායෝගිකව එච්චරයි. පදනම් ඉවත් කිරීම:
අපි මේ රකුසා විසඳා ගන්නෙමු
මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි.
මෙම උදාහරණයේදී, දෙදෙනෙකුගේ බලතල දැනගැනීම අපට උපකාර විය. අප හඳුනාගෙන ඇතඅටේ, සංකේතාත්මක ඩියුස්. මෙම තාක්ෂණය (විවිධ සංඛ්යා යටතේ පොදු පාද කේතනය කිරීම) ඝාතීය සමීකරණවල ඉතා ජනප්‍රිය උපක්‍රමයකි! ඔව්, ලඝුගණක වල පවා. අංකවල අනෙක් සංඛ්‍යාවල බලයන් හඳුනා ගැනීමට කෙනෙකුට හැකි විය යුතුය. ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා මෙය අතිශයින් වැදගත් වේ.
කාරණය වන්නේ ඕනෑම අංකයක් ඕනෑම බලයකට නැංවීම ගැටළුවක් නොවන බවයි. කඩදාසි කැබැල්ලක පවා ගුණ කරන්න, එපමණයි. නිදසුනක් වශයෙන්, සෑම කෙනෙකුටම 3 සිට පස්වන බලය දක්වා ඉහළ නැංවිය හැකිය. ඔබ ගුණ කිරීමේ වගුව දන්නේ නම් 243 හැරෙනු ඇත.) නමුත් ඝාතීය සමීකරණවලදී, එය බොහෝ විට අවශ්ය වන්නේ බලයක් දක්වා ඉහළ නැංවීමට නොව, නමුත් අනෙක් අතට ... කුමන සංඛ්‍යාව කොපමණ ද යන්නඅංක 243 පිටුපස සැඟවී ඇත, නැතහොත්, කියන්න, 343... කිසිදු ගණක යන්ත්‍රයක් ඔබට මෙහි උදව් නොකරනු ඇත.
සමහර සංඛ්‍යාවල බලතල දැකීමෙන් දැනගත යුතුයි, ඔව්... අපි පුහුණු වෙමුද?
සංඛ්යා යනු කුමන බලතල සහ කුමන සංඛ්‍යාද යන්න තීරණය කරන්න:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
පිළිතුරු (අවුලක් තුළ, ඇත්ත වශයෙන්ම!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
හොඳින් බැලුවොත් අමුතුම කරුණක් දකින්න පුළුවන්. ප්‍රශ්න වලට වඩා උත්තර තියෙනවා! හොඳයි, එය සිදු වේ ... උදාහරණයක් ලෙස, 2 6 , 4 3 , 8 2 සියල්ලම 64 වේ.
අංක සමඟ දැන හඳුනා ගැනීම පිළිබඳ තොරතුරු ඔබ සටහන් කර ඇති බව උපකල්පනය කරමු.) ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා අපි අදාළ වන බව ද මම ඔබට මතක් කරමි. මුළුගණිත දැනුම තොගය. පහළ මධ්‍යම පන්තිකයින් ඇතුළුව. කෙලින්ම උසස් පෙළට ගියේ නෑ නේද?
උදාහරණයක් ලෙස, ඝාතීය සමීකරණ විසඳන විට, පොදු සාධකය වරහන් වලින් පිටතට දැමීම බොහෝ විට උපකාරී වේ (7 ශ්‍රේණියට ආයුබෝවන්!). අපි උදාහරණයක් බලමු:
3 2x+4 -11 9 x = 210
නැවතත්, පළමු පෙනුම - භූමියේ! උපාධිවල පාද වෙනස් ... තුන සහ නවය. ඒ වගේම අපි ඔවුන්ව සමාන වීමට කැමතියි. හොඳයි, මේ අවස්ථාවේ දී, ආශාව බෙහෙවින් ශක්ය වේ!) මන්ද:
9 x = (3 2) x = 3 2x
උපාධි සමඟ ක්රියා සඳහා එකම නීතිවලට අනුව:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
එය විශිෂ්ටයි, ඔබට ලිවිය හැකිය:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
අපි එකම හේතු නිසා උදාහරණයක් දුන්නා. ඉතින්, ඊළඟට මොකක්ද!? ත්‍රිත්වය ඉවතට විසි කළ නොහැක ... මළ අවසානයද?
කොහෙත්ම නැහැ. වඩාත්ම විශ්වීය හා බලවත් තීරණ ගැනීමේ රීතිය මතක තබා ගැනීම සෑමගණිත කාර්යයන්:
ඔබ කුමක් කළ යුතු දැයි නොදන්නේ නම්, ඔබට කළ හැකි දේ කරන්න!
ඔබ බලන්න, සියල්ල සෑදී ඇත).
මොකක්ද මේ ඝාතීය සමීකරණයේ තියෙන්නේ පුළුවන්කරන්නද? ඔව්, වම් පැත්ත කෙලින්ම වරහන් ඉල්ලයි! 3 2x හි පොදු සාධකය මේ පිළිබඳව පැහැදිලිව ඉඟි කරයි. අපි උත්සාහ කරමු, පසුව අපි බලමු:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
ආදර්ශය හොඳ අතට හැරෙමින් පවතී!
පදනම් ඉවත් කිරීම සඳහා අපට කිසිදු සංගුණකයකින් තොරව පිරිසිදු උපාධියක් අවශ්ය බව අපට මතකයි. අංක 70 අපට කරදර කරයි. එබැවින් අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම 70 න් බෙදන්න, අපට ලැබෙන්නේ:
ඔප්-පා! සෑම දෙයක්ම හොඳින් සිදු විය!
අවසාන පිළිතුර මෙයයි.
කෙසේ වෙතත්, එය සිදු වන්නේ, එම පදනම මත බදු දීම ලබා ගැනීම, නමුත් ඔවුන්ගේ ඈවර කිරීම නොවේ. මෙය සිදු වන්නේ වෙනත් වර්ගයක ඝාතීය සමීකරණවල ය. අපි මේ වර්ගය ලබා ගනිමු.
ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේදී විචල්යය වෙනස් කිරීම. උදාහරණ.
අපි සමීකරණය විසඳමු:
4 x - 3 2 x +2 = 0
පළමු - සුපුරුදු පරිදි. අපි පදනමට යමු. ඩියුස් වෙත.
4 x = (2 2) x = 2 2x
අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
මෙන්න අපි එල්ලෙන්නෙමු. පෙර උපක්‍රම ක්රියා නොකරනු ඇත, ඔබ එය කෙසේ හැරෙව්වත්. අපට තවත් බලවත් හා බහුකාර්ය මාර්ගයක අවි ගබඩාවෙන් ලබා ගැනීමට සිදුවනු ඇත. එය හැඳින්වේ විචල්ය ආදේශනය.
ක්රමයේ සාරය පුදුම සහගත ලෙස සරල ය. එක් සංකීර්ණ අයිකනයක් වෙනුවට (අපගේ නඩුවේදී, 2 x), අපි තවත් සරල එකක් ලියන්නෙමු (උදාහරණයක් ලෙස, t). එවැනි පෙනෙන පරිදි අර්ථ විරහිත ආදේශකයක් විශ්මයජනක ප්රතිඵලවලට මග පාදයි!) සෑම දෙයක්ම පැහැදිලි සහ තේරුම් ගත හැකිය!
ඉතින් ඉඩ දෙන්න
ඉන්පසු 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
අපි අපගේ සමීකරණයේ සියලුම බල x සමඟ t මගින් ප්රතිස්ථාපනය කරමු:
හොඳයි, එය උදාවෙයිද?) තවමත් චතුරස්රාකාර සමීකරණ අමතක වී නැද්ද? අපි වෙනස්කම් කරන්නා හරහා විසඳන්නෙමු, අපට ලැබෙන්නේ:
මෙන්න, ප්රධාන දෙය වන්නේ එය සිදු වන පරිදි, නතර කිරීම නොවේ ... මෙය තවමත් පිළිතුර නොවේ, අපට x, t නොවේ. අපි Xs වෙත ආපසු, i.e. ආදේශකයක් සෑදීම. t 1 සඳහා පළමුව:
එනම්,
එක් මූලයක් හමු විය. අපි t 2 සිට දෙවැන්න සොයන්නෙමු:
ම්... වම 2 x, දකුණ 1... බාධාවක්ද? ඔව්, කොහෙත්ම නැහැ! ඒකීය භාවයක් බව (උපාධි සහිත ක්‍රියාවන්ගෙන්, ඔව්...) මතක තබා ගැනීම ප්රමාණවත්ය කිසියම්අංකය බිංදුවට. කිසියම්. ඔබට අවශ්ය ඕනෑම දෙයක් අපි එය තබන්නෙමු. අපිට දෙකක් ඕන. අදහස්:
දැන් එච්චරයි. මූල 2 ක් ඇත:
පිළිතුර මෙයයි.
හිදී ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමඅවසානයේදී, සමහර විට යම් අපහසු ප්රකාශනයක් ලබා ගනී. වර්ගය:
හතෙන්, සරල උපාධියක් හරහා ඩියුස් වැඩ කරන්නේ නැත. ඔවුන් නෑදෑයන් නොවේ ... මම මෙහි සිටින්නේ කෙසේද? කවුරුහරි ව්යාකූල විය හැක ... නමුත් මෙම වෙබ් අඩවියේ මාතෘකාව කියවන පුද්ගලයා "ලඝුගණකයක් යනු කුමක්ද?" , අරපිරිමැස්මෙන් සිනාසෙන්න සහ ස්ථිර අතින් නිවැරදි පිළිතුර ලියන්න:
විභාගයේ "B" කාර්යයන්හි එවැනි පිළිතුරක් තිබිය නොහැක. නිශ්චිත අංකයක් අවශ්ය වේ. නමුත් "C" කාර්යයන් වලදී - පහසුවෙන්.
මෙම පාඩම වඩාත් පොදු ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා උදාහරණ සපයයි. අපි ප්රධාන එක ඉස්මතු කරමු.
ප්‍රායෝගික උපදෙස්:
1. මුලින්ම අපි බලමු භූමියඋපාධි. බලමු ඒවා කරන්න බැරිද කියලා එකම.සක්රියව භාවිතා කිරීමෙන් මෙය කිරීමට උත්සාහ කරමු බලතල සහිත ක්රියා. x නොමැති සංඛ්යා ද අංශක බවට පත් කළ හැකි බව අමතක නොකරන්න!
2. වම් සහ දකුණ ඇති විට අපි ඝාතීය සමීකරණය පෝරමයට ගෙන ඒමට උත්සාහ කරමු එකමඕනෑම මට්ටමකට සංඛ්යා. අපි පාවිච්චි කරන්නේ බලතල සහිත ක්රියාහා සාධකකරණය.අංක වලින් ගණන් කළ හැකි දේ - අපි ගණන් කරමු.
3. දෙවන උපදෙස් වැඩ නොකළේ නම්, අපි විචල්ය ආදේශනය යෙදීමට උත්සාහ කරමු. ප්රතිඵලය පහසුවෙන් විසඳිය හැකි සමීකරණයක් විය හැකිය. බොහෝ විට - හතරැස්. නැතහොත් භාගික, එය ද චතුරස්රයක් දක්වා අඩු කරයි.
4. ඝාතීය සමීකරණ සාර්ථකව විසඳීම සඳහා, ඔබ "පෙනුමෙන්" සමහර සංඛ්යා වල අංශක දැනගත යුතුය.
සුපුරුදු පරිදි, පාඩම අවසානයේ ඔබට ටිකක් විසඳීමට ආරාධනා කරනු ලැබේ.) ඔබම. සරල සිට සංකීර්ණ දක්වා.
ඝාතීය සමීකරණ විසඳන්න:
වඩා දුෂ්කර:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0
මුල්වල නිෂ්පාදන සොයන්න:
2 3-x + 2 x = 9
සිදුවීද?
හොඳයි, එවිට වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණය (එය විසඳනු ලැබේ, කෙසේ වෙතත්, මනසෙහි ...):
7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3
වඩා රසවත් කුමක්ද? එහෙනම් මෙන්න ඔබට නරක ආදර්ශයක්. වැඩි වූ දුෂ්කරතාවය තරමක් ඇදගෙන යාම. මෙම උදාහරණයේ දී, සියලු ගණිතමය කාර්යයන් විසඳීම සඳහා දක්ෂතාවය සහ වඩාත්ම විශ්වීය රීතිය ඉතිරි වන බව මම ඉඟි කරමි.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
විවේකය සඳහා උදාහරණයක් සරල ය:
9 2 x - 4 3 x = 0
සහ අතුරුපස සඳහා. සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව සොයන්න:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
ඔව් ඔව්! මෙය මිශ්ර ආකාරයේ සමීකරණයකි! මෙම පාඩමේදී අප සලකා බැලූයේ නැත. සහ ඒවා සලකා බැලිය යුතු දේ, ඒවා විසඳිය යුතුය!) මෙම පාඩම සමීකරණය විසඳීමට ප්රමාණවත්ය. හොඳයි, දක්ෂතාවය අවශ්යයි ... ඔව්, හත්වන ශ්‍රේණිය ඔබට උපකාරී වනු ඇත (මෙය ඉඟියකි!).
පිළිතුරු (අවුල් සහගතව, අර්ධ කොමා වලින් වෙන් කර ඇත):
එක; 2; 3; හතර; විසඳුම් නැත; 2; -2; -5; හතර; 0.
සියල්ල සාර්ථකද? විශිෂ්ටයි.
ගැටලුවක් තිබේද? කිසිම ප්රශ්නයක් නැ! විශේෂ 555 වගන්තියේ, මෙම සියලු ඝාතීය සමීකරණ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීම් සමඟ විසඳා ඇත. කුමක්ද, ඇයි සහ ඇයි. තවද, ඇත්ත වශයෙන්ම, සියලු වර්ගවල ඝාතීය සමීකරණ සමඟ වැඩ කිරීම පිළිබඳ අමතර වටිනා තොරතුරු තිබේ. මේවා සමඟ පමණක් නොවේ.)
සලකා බැලිය යුතු අවසාන විනෝදජනක ප්රශ්නයක්. මෙම පාඩමේදී අපි ඝාතීය සමීකරණ සමඟ වැඩ කළෙමු. ඇයි මම මෙතන ODZ ගැන වචනයක් කිව්වේ නැත්තේ?සමීකරණවලදී, මෙය ඉතා වැදගත් දෙයක්, මාර්ගයෙන් ...
ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...
මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)
ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. ඉගෙනීම - උනන්දුවෙන්!)
ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.
සියලුම නව වීඩියෝ පාඩම් පිළිබඳව දැනුවත් වීමට අපගේ වෙබ් අඩවියේ youtube නාලිකාව වෙත.
පළමුව, අංශකවල මූලික සූත්‍ර සහ ඒවායේ ගුණාංග සිහිපත් කරමු.
අංකයක නිෂ්පාදනයක් ඒ n වාරයක් සිදු වේ, අපට මෙම ප්‍රකාශය a ... a=a n ලෙස ලිවිය හැක
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m \u003d a n - m
බලය හෝ ඝාතීය සමීකරණ- මේවා විචල්‍යයන් බලවල (හෝ ඝාතක) ඇති සමීකරණ වන අතර පාදය සංඛ්‍යාවක් වේ.
ඝාතීය සමීකරණ සඳහා උදාහරණ:
මෙම උදාහරණයේ දී, අංක 6 පදනම වේ, එය සෑම විටම පහළින්, සහ විචල්යය වේ xඋපාධිය හෝ මිනුම.
අපි ඝාතීය සමීකරණ සඳහා තවත් උදාහරණ ලබා දෙමු.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
දැන් අපි බලමු ඝාතීය සමීකරණ විසඳන ආකාරය?
අපි සරල සමීකරණයක් ගනිමු:
2 x = 2 3
එවැනි උදාහරණයක් මනසින් පවා විසඳිය හැකිය. x=3 බව දැකිය හැක. සියල්ලට පසු, වම් සහ දකුණු පැති සමාන වීමට නම්, ඔබ x වෙනුවට අංක 3 තැබිය යුතුය.
දැන් අපි බලමු කොහොමද මේ තීරණය ගන්නේ කියලා.
2 x = 2 3
x = 3
මෙම සමීකරණය විසඳීම සඳහා, අපි ඉවත් කළා එකම බිම්(එනම්, deuces) සහ ඉතිරි වූ දේ ලියා ඇත, මේවා උපාධි වේ. අපි සොයන පිළිතුර අපට ලැබුණා.
දැන් අපි අපගේ විසඳුම සාරාංශ කරමු.
ඝාතීය සමීකරණය විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:
1. පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්යයි එකමදකුණේ සහ වම් පස සමීකරණයේ පාදද යන්න. හේතු සමාන නොවේ නම්, අපි මෙම උදාහරණය විසඳීමට විකල්ප සොයමින් සිටිමු.
2. පදනම් සමාන වූ පසු, සමාන කරන්නඋපාධිය සහ ප්රතිඵලය වන නව සමීකරණය විසඳන්න.
දැන් අපි උදාහරණ කිහිපයක් විසඳා ගනිමු:
අපි සරලව පටන් ගනිමු.
වම් සහ දකුණු පැතිවල ඇති පාදයන් අංක 2 ට සමාන වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ අපට පාදය ඉවත දමා ඒවායේ අංශක සමාන කළ හැකි බවයි.
x+2=4 සරලම සමීකරණය සිදුවී ඇත.
x=4 - 2
x=2
පිළිතුර: x=2
පහත උදාහරණයේ දී, පදනම් වෙනස් බව ඔබට පෙනෙනු ඇත, මේවා 3 සහ 9 වේ.
3 3x - 9 x + 8 = 0
ආරම්භ කිරීම සඳහා, අපි නවය දකුණු පැත්තට මාරු කරමු, අපට ලැබෙන්නේ:
දැන් ඔබ එකම පදනමක් සෑදිය යුතුය. අපි දන්නවා 9=3 2 කියලා. අපි බල සූත්‍රය (a n) m = a nm භාවිතා කරමු.
3 3x \u003d (3 2) x + 8
අපට 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 ලැබේ
3 3x \u003d 3 2x + 16 වම් සහ දකුණු පැතිවල පාදම සමාන වන අතර තුනකට සමාන බව දැන් පැහැදිලිය, එයින් අදහස් කරන්නේ අපට ඒවා ඉවත දමා අංශක සමාන කළ හැකි බවයි.
3x=2x+16 සරලම සමීකරණය ලබා ගත්තා
3x-2x=16
x=16
පිළිතුර: x=16.
පහත උදාහරණය දෙස බලමු.
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
පළමුවෙන්ම, අපි පදනම් දෙස බලමු, පදනම් දෙක සහ හතර වෙනස් වේ. ඒ වගේම අපිත් එහෙම වෙන්න ඕන. අපි සූත්‍රය (a n) m = a nm අනුව හතර ගුණයක් පරිවර්තනය කරමු.
4 x = (2 2) x = 2 2x
තවද අපි එක් සූත්‍රයක් a n a m = a n + m ද භාවිතා කරමු:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
සමීකරණයට එකතු කරන්න:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
අපි එකම හේතු නිසා උදාහරණයක් දුන්නා. නමුත් වෙනත් අංක 10 සහ 24 අපට බාධා කරයි, ඒවාට කුමක් කළ යුතුද? ඔබ සමීපව බැලුවහොත්, වම් පැත්තේ අපි 2 2x නැවත නැවත කරන බව ඔබට පෙනෙනු ඇත, මෙන්න පිළිතුර - අපට වරහන් වලින් 2 2x දැමිය හැකිය:
2 2x (2 4 - 10) = 24
වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය ගණනය කරමු:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
අපි සම්පූර්ණ සමීකරණය 6 න් බෙදන්නෙමු:
සිතන්න 4=2 2:
2 2x \u003d 2 පාදම සමාන වේ, ඒවා ඉවත දමා අංශක සමාන කරන්න.
2x \u003d 2 සරලම සමීකරණය බවට පත් විය. අපි එය 2 න් බෙදන්න, අපි ලබා ගනිමු
x = 1
පිළිතුර: x = 1.
අපි සමීකරණය විසඳමු:
9 x - 12*3 x +27= 0
අපි පරිවර්තනය කරමු:
9 x = (3 2) x = 3 2x
අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
පාදයන් අපට සමාන වේ, තුනට සමාන වේ.මෙම උදාහරණයේ දී, පළමු ත්රිත්ව දෙවන (හුදෙක් x) ට වඩා දෙගුණයක් (2x) උපාධියක් ඇති බව දැකිය හැකිය. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට තීරණය කළ හැකිය ආදේශන ක්රමය. කුඩාම උපාධිය සහිත අංකය ප්රතිස්ථාපනය කරනු ලබන්නේ:
ඉන්පසු 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
අපි t සමඟ සමීකරණයේ සියලුම අංශක x සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරමු:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
අපට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලැබේ. අපි වෙනස්කම් කරන්නා හරහා විසඳන්නෙමු, අපට ලැබෙන්නේ:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
විචල්යය වෙත ආපසු x.
අපි t 1 ගන්නෙමු:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
එනම්,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
එක් මූලයක් හමු විය. අපි t 2 සිට දෙවැන්න සොයන්නෙමු:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
පිළිතුර: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
වෙබ් අඩවියේ ඔබට උනන්දුවක් දක්වන ප්‍රශ්න ඇසීමට උදව් තීරණය කරන්න යන කොටසේ, අපි ඔබට අනිවාර්යයෙන්ම පිළිතුරු දෙන්නෙමු.
කණ්ඩායමකට එකතු වන්න
මගේ වචනවලට බිය නොවන්න, ඔබ බහුපද අධ්යයනය කරන විට 7 වන ශ්‍රේණියේ දී ඔබ දැනටමත් මෙම ක්‍රමයට මුහුණ දී ඇත.
උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට අවශ්ය නම්:
අපි කණ්ඩායම් කරමු: පළමු සහ තුන්වන පද, මෙන්ම දෙවන සහ සිව්වන.
පළමු හා තෙවන වර්ගවල වෙනස බව පැහැදිලිය:
දෙවන සහ හතරවන පොදු සාධක තුනක ඇත:
එවිට මුල් ප්‍රකාශනය මෙයට සමාන වේ:
පොදු සාධකය ඉවත් කිරීම තවදුරටත් අපහසු නැත:
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,
ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේදී අපි ක්රියා කරන්නේ දළ වශයෙන් මෙයයි: නියමයන් අතර “සාමාන්‍යභාවය” සොයන්න සහ වරහන් වලින් එය ඉවත් කරන්න, හොඳයි, එසේ නම් - කුමක් වුවත්, අපි වාසනාවන්ත වනු ඇතැයි මම විශ්වාස කරමි =))
උදාහරණ #14
දකුණු පසින් හතක බලයට වඩා දුරින් (මම පරීක්ෂා කළෙමි!) සහ වම් පසින් - ටිකක් හොඳයි ...
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට පළමු වාරයේ සිට දෙවන වාරයේ සිට a සාධකය “කපා දමන්න”, පසුව ඔබට ලැබුණු දේ සමඟ ගනුදෙනු කළ හැකිය, නමුත් අපි ඔබ සමඟ වඩාත් කල්පනාකාරීව ක්රියා කරමු.
"තේරීම" මගින් අනිවාර්යයෙන්ම නිපදවන කොටස් සමඟ කටයුතු කිරීමට මට අවශ්ය නැත, එබැවින් මම විඳදරාගැනීම වඩා හොඳ නොවේද?
එවිට මට කොටස් නොමැත: ඔවුන් පවසන පරිදි, වෘකයන් දෙකම පිරී ඇති අතර බැටළුවන් ආරක්ෂිතයි:
ප්‍රකාශනය වරහන් තුළ ගණන් කරන්න.
ඉන්ද්‍රජාලිකව, ඉන්ද්‍රජාලිකව, එය හැරෙනවා (පුදුමයට කරුණක් වුවද, අපට තවත් කුමක් අපේක්ෂා කළ හැකිද?).
එවිට අපි මෙම සාධකය මගින් සමීකරණයේ දෙපැත්තම අඩු කරමු. අපට ලැබෙන්නේ: කොහෙද.
මෙන්න වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් (තරමක්, ඇත්තටම):
මෙන්න අවුල! අපට මෙහි පොදු පදනමක් නැත!
දැන් කුමක් කළ යුතුද යන්න සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි නැත.
අපට කළ හැකි දේ කරමු: පළමුව, අපි “හතර” එක දිශාවකට ද “පහ” අනෙක් දිශාවට ද ගෙන යන්නෙමු:
දැන් අපි වම් සහ දකුණේ ඇති "පොදු" ඉවත් කරමු:
ඉතින් දැන් මොකද?
මෙවන් මෝඩ සමූහයකින් ඇති ප්‍රයෝජනය කුමක්ද? මුලින්ම බැලූ බැල්මට එය කිසිසේත් නොපෙනේ, නමුත් අපි ගැඹුරින් බලමු:
හොඳයි, දැන් අපි එය සාදන්නෙමු එවිට වම් පසින් අපට ඇත්තේ c ප්‍රකාශනය පමණක් වන අතර දකුණු පසින් - අනෙක් සියල්ල.
අපට එය කළ හැක්කේ කෙසේද?
සහ මෙන්න මෙහෙමයි: සමීකරණයේ දෙපැත්තම පළමුවෙන් බෙදන්න (එබැවින් අපි දකුණු පස ඇති ඝාතකයා ඉවත් කරමු), ඉන්පසු දෙපැත්තෙන්ම බෙදන්න (එබැවින් අපි වමේ සංඛ්‍යාත්මක සාධකය ඉවත් කරමු).
අවසානයේ අපට ලැබෙන්නේ:
ඇදහිය නොහැකි!
වම් පසින් අපට ප්රකාශනයක් ඇත, සහ දකුණු පසින් - හුදෙක්.
එවිට අපි වහාම එය නිගමනය කරමු
උදාහරණ #15
මම ඔහුගේ කෙටි විසඳුම ලබා දෙන්නෙමි (ඇත්ත වශයෙන්ම පැහැදිලි කිරීමට කරදර නොවන්න), විසඳුමේ සියලුම “සියුම්කම” ඔබම සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න.
දැන් ආවරණය කරන ලද ද්රව්යයේ අවසාන ඒකාබද්ධ කිරීම.
පහත සඳහන් කාර්යයන් 7 ස්වාධීනව විසඳන්න (පිළිතුරු සමඟ)
- අපි පොදු සාධකය වරහන් වලින් ඉවත් කරමු:
- අපි පෝරමයේ පළමු ප්‍රකාශනය නියෝජනය කරන්නෙමු: , කොටස් දෙකම බෙදා එය ලබා ගන්න
- , එවිට මුල් සමීකරණය පෝරමයට පරිවර්තනය වේ: හොඳයි, දැන් ඉඟියක් - ඔබ සහ මම දැනටමත් මෙම සමීකරණය විසඳා ඇත්තේ කොතැනදැයි සොයා බලන්න!
- කොහොමද, කොහොමද, හොඳයි, පසුව කොටස් දෙකම බෙදන්න, එවිට ඔබට සරලම ඝාතීය සමීකරණය ලැබේ.
- එය වරහන් වලින් ඉවතට ගන්න.
- එය වරහන් වලින් ඉවතට ගන්න.
ප්රකාශන සමීකරණ. සාමාන්ය මට්ටම
කියා ඇති පළමු ලිපිය කියවීමෙන් පසුව මම උපකල්පනය කරමි ඝාතීය සමීකරණ යනු කුමක්ද සහ ඒවා විසඳන්නේ කෙසේද, සරලම උදාහරණ විසඳීමට අවශ්ය අවම දැනුම ඔබ ප්‍රගුණ කර ඇත.
දැන් මම ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා තවත් ක්රමයක් විශ්ලේෂණය කරමි, මෙය ...
නව විචල්‍යයක් (හෝ ආදේශනය) හඳුන්වාදීමේ ක්රමය
ඝාතීය සමීකරණ (සහ සමීකරණ පමණක් නොව) යන මාතෘකාව මත ඔහු "දුෂ්කර" ගැටළු බොහොමයක් විසඳයි.
මෙම ක්රමය ඉන් එකකි ප්රායෝගිකව වඩාත් බහුලව භාවිතා වේ.පළමුව, මාතෘකාව සමඟ ඔබ හුරුපුරුදු වන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි.
ඔබ දැනටමත් නමෙන් තේරුම් ගෙන ඇති පරිදි, මෙම ක්රමයේ සාරය නම් එවැනි විචල්ය වෙනසක් හඳුන්වා දීමයි, ඔබේ ඝාතීය සමීකරණය ආශ්චර්යමත් ලෙස ඔබට දැනටමත් පහසුවෙන් විසඳිය හැකි එකක් බවට පරිවර්තනය වේ.
මෙම “සරල කළ සමීකරණය” විසඳීමෙන් පසු ඔබට ඉතිරිව ඇත්තේ “ප්‍රතිලෝම ප්‍රතිස්ථාපනයක්” කිරීම පමණි: එනම්, ප්‍රතිස්ථාපනයෙන් ප්රතිස්ථාපනය වෙත ආපසු යාමයි.
අපි දැන් කියපු දේ ඉතා සරල උදාහරණයකින් පැහැදිලි කරමු.
උදාහරණ 16. සරල ආදේශන ක්රමය
මෙම සමීකරණය විසඳනු ලැබේ "සරල ආදේශනය", ගණිතඥයන් එය නින්දිත ලෙස හඳුන්වන පරිදි.
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහි ආදේශනය වඩාත් පැහැදිලිය. එය දැකීමට පමණක් අවශ්ය වේ
එවිට මුල් සමීකරණය වන්නේ:
අපි අතිරේකව සිතන්නේ කෙසේදැයි සිතන්නේ නම්, එය ප්රතිස්ථාපනය කිරීම අවශ්ය බව පැහැදිලිය ...
ඇත්ත වශයෙන්, .
එවිට මුල් සමීකරණය වන්නේ කුමක්ද? සහ මෙන්න මේ දේ:
ඔබට පහසුවෙන්ම එහි මූලයන් සොයාගත හැකිය:
අපි දැන් කුමක් කළ යුතුද?
මුල් විචල්යය වෙත ආපසු යාමට කාලයයි.
මට ඇතුළත් කිරීමට අමතක වූයේ කුමක්ද?
එනම්: යම් උපාධියක් නව විචල්‍යයක් සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරන විට (එනම්, වර්ගයක් ප්රතිස්ථාපනය කිරීමේදී), මම උනන්දු වනු ඇත ධනාත්මක මූලයන් පමණි!
එයට හේතුව ඔබටම පහසුවෙන් පිළිතුරු දිය හැක.
මේ අනුව, අපි ඔබ ගැන උනන්දු නොවෙමු, නමුත් දෙවන මූල අපට බෙහෙවින් සුදුසු ය:
එහෙනම් කොහෙද.
පිළිතුර:
ඔබට පෙනෙන පරිදි, පෙර උදාහරණයේදී, ආදේශකය අපේ දෑත් ඉල්ලා සිටියේය. අවාසනාවකට මෙන්, මෙය සැමවිටම නොවේ.
කෙසේ වෙතත්, අපි කෙලින්ම දුකට නොයමු, නමුත් තරමක් සරල ආදේශකයක් සමඟ තවත් එක් උදාහරණයක් භාවිතා කරන්න
උදාහරණ 17. සරල ආදේශන ක්රමය
බොහෝ විට එය ප්රතිස්ථාපනය කිරීමට අවශ්ය වනු ඇති බව පැහැදිලිය (මෙය අපගේ සමීකරණයට ඇතුළත් කර ඇති කුඩාම බලතල වේ).
කෙසේ වෙතත්, ආදේශකයක් හඳුන්වා දීමට පෙර, අපගේ සමීකරණය ඒ සඳහා "සූදානම්" කළ යුතුය, එනම්: , .
එවිට ඔබට ප්රතිස්ථාපනය කළ හැකිය, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස මට පහත ප්‍රකාශනය ලැබෙනු ඇත:
ඔහ් භීෂණය: එහි විසඳුම සඳහා පරම භයානක සූත්‍ර සහිත ඝන සමීකරණයක් (හොඳයි, සාමාන්යයෙන් කථා කිරීම).
නමුත් අපි වහාම බලාපොරොත්තු සුන් නොකරමු, නමුත් අප කළ යුතු දේ ගැන සිතා බලමු.
මම වංචා කිරීමට යෝජනා කරමි: "ලස්සන" පිළිතුරක් ලබා ගැනීම සඳහා, අපට තුනක බලයක් ලබා ගත යුතු බව අපි දනිමු (එය එසේ වන්නේ ඇයි, හහ්?).
ඒ වගේම අපි අපේ සමීකරණයේ අවම වශයෙන් එක් මූලයක් අනුමාන කිරීමට උත්සාහ කරමු (මම තුනේ බලයෙන් අනුමාන කිරීමට පටන් ගනිමි).
පළමු අනුමානය. මූලයක් නොවේ. අහෝ අහෝ...
.
වම් පැත්ත සමාන වේ.
දකුණු කොටස:!
අර තියෙන්නේ! පළමු මූලය අනුමාන කළා. දැන් දේවල් පහසු වනු ඇත!
"කෝනර්" බෙදීමේ යෝජනා ක්රමය ගැන ඔබ දන්නවාද? ඇත්ත වශයෙන්ම ඔබ දන්නවා, ඔබ එක් අංකයකින් තවත් අංකයක් බෙදන විට එය භාවිතා කරයි.
නමුත් බහුපද සමඟද එය කළ හැකි බව ස්වල්ප දෙනෙක් දනිති.
එක් අපූරු ප්‍රමේයයක් තිබේ:
මගේ තත්වයට අදාළ වන පරිදි එය ඉතිරියකින් තොරව බෙදිය හැකි දේ මට කියයි.
බෙදීම සිදු කරන්නේ කෙසේද? ඒ මෙසේය.
ලබා ගැනීමට මා ගුණ කළ යුත්තේ කුමන මොනොනියල් ද යන්න මම බලමි
එසේ නම්, එය පැහැදිලිය:
මම ලැබෙන ප්‍රකාශනය එයින් අඩු කරමි, මට ලැබෙන්නේ:
දැන්, ලබා ගැනීමට මා ගුණ කළ යුත්තේ කුමක්ද?
මත බව පැහැදිලිය, එවිට මට ලැබෙන්නේ:
සහ ඉතිරි එකින් ලැබෙන ප්‍රකාශනය නැවත අඩු කරන්න:
හොඳයි, අවසාන පියවර, මම ඉතිරි ප්‍රකාශනයෙන් ගුණ කර අඩු කරමි:
හුරේ, බෙදීම අවසන්! අපි පුද්ගලිකව රැස්කරගෙන ඇත්තේ මොනවාද?
එය විසින්ම: .
එවිට අපට මුල් බහුපදයේ පහත ප්‍රසාරණය ලැබුණි:
අපි දෙවන සමීකරණය විසඳමු:
එහි මූලයන් ඇත:
එවිට මුල් සමීකරණය:
මූල තුනක් ඇත:
ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි අවසාන මූලය ඉවතලන්නෙමු, මන්ද එය ශුන්‍යයට වඩා අඩුය.
ප්‍රතිලෝම ප්‍රතිස්ථාපනයෙන් පසු පළමු දෙක අපට මූලයන් දෙකක් ලබා දෙනු ඇත:
පිළිතුර: ..
මම මේ උදාහරණයෙන් ඔබව බිය ගැන්වීමට අදහස් කළේ නැත!
ඒ වෙනුවට, ඊට පටහැනිව, අපට තරමක් සරල ආදේශකයක් තිබුණද, එය තරමක් සංකීර්ණ සමීකරණයකට තුඩු දුන් බව පෙන්වීමට මම පිටත් වුණෙමි, එයට විසඳුම සඳහා අපෙන් විශේෂ කුසලතා අවශ්ය විය.
හොඳයි, කිසිවෙකු මෙයින් නිදහස් නොවේ. නමුත් මෙම නඩුවේ වෙනස ඉතා පැහැදිලිය.
උදාහරණ #18 (අඩු පැහැදිලි ආදේශනයක් සමඟ)
අප කළ යුත්තේ කුමක්ද යන්න කිසිසේත්ම පැහැදිලි නැත: ගැටලුව වන්නේ අපගේ සමීකරණයේ විවිධ පාද දෙකක් ඇති අතර එක් පදනමක් ඕනෑම (සාධාරණ, ස්වාභාවික) මට්ටමකට නැංවීමෙන් අනෙකෙන් ලබා ගත නොහැකි වීමයි.
කෙසේ වෙතත්, අප දකින්නේ කුමක්ද?
පාද දෙකම වෙනස් වන්නේ ලකුණෙන් පමණක් වන අතර ඒවායේ නිෂ්පාදිතය එකකට සමාන වර්ගවල වෙනස වේ:
අර්ථ දැක්වීම:
මේ අනුව, අපගේ උදාහරණයේ පදනම් වන සංඛ්යා සංයුක්ත වේ.
එවැනි අවස්ථාවක, බුද්ධිමත් පියවර වනු ඇත සමීකරණයේ දෙපැත්තම සංයුජ අංකයෙන් ගුණ කරන්න.
උදාහරණයක් ලෙස, on, එවිට සමීකරණයේ වම් පැත්ත සමාන වනු ඇත, සහ දකුණු පැත්ත.
අපි ආදේශකයක් කරන්නේ නම්, ඔබ සමඟ අපගේ මුල් සමීකරණය මේ වගේ වනු ඇත:
එහි මුල්, නමුත් එය මතක තබා ගැනීමෙන් අපට එය ලැබේ.
පිළිතුර: , .
රීතියක් ලෙස, "පාසල්" ඝාතීය සමීකරණ බොහොමයක් විසඳීමට ප්රතිස්ථාපන ක්රමය ප්රමාණවත් වේ.
වැඩි සංකීර්ණ මට්ටමේ පහත සඳහන් කාර්යයන් විභාග විකල්ප වලින් ගනු ලැබේ.
විභාග විකල්පයන්ගෙන් සංකීර්ණත්වය වැඩි කරන කාර්යයන් තුනක්
මෙම උදාහරණ ඔබ විසින්ම විසඳා ගැනීමට ඔබ දැනටමත් සාක්ෂරතාවයෙන් යුක්තය. මම අවශ්ය ආදේශනය පමණක් දෙන්නම්.
- සමීකරණය විසඳන්න:
- සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න:
- සමීකරණය විසඳන්න: . ඛණ්ඩයට අයත් මෙම සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් සොයන්න:
දැන් ඉක්මන් පැහැදිලි කිරීම් සහ පිළිතුරු සඳහා:
උදාහරණ #19
මෙන්න එය සටහන් කිරීම ප්රමාණවත්ය සහ.
එවිට මුල් සමීකරණය මෙයට සමාන වනු ඇත:
මෙම සමීකරණය ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් විසඳනු ලැබේ
පහත ගණනය කිරීම් ඔබම කරන්න.
අවසානයේදී, ඔබගේ කාර්යය සරලම ත්‍රිකෝණමිතික (සයින් හෝ කොසයින් මත පදනම්ව) විසඳීමට අඩු කරනු ඇත. එවැනි උදාහරණවල විසඳුම අපි වෙනත් කොටස්වල සාකච්ඡා කරමු.
උදාහරණ #20
මෙන්න ඔබට ආදේශ කිරීමකින් තොරව පවා කළ හැකිය ...
subtrahend දකුණට ගෙනයාම සහ දෙකේ බල හරහා පාද දෙකම ඉදිරිපත් කිරීම ප්රමාණවත්ය: ඉන්පසු වහාම චතුරස්රාකාර සමීකරණයට යන්න.
උදාහරණ #21
එය ද තරමක් සම්මත ලෙස විසඳනු ලැබේ: කෙසේ දැයි සිතා බලන්න.
එවිට, ප්රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් අපට චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලැබේ: එවිට,
ලඝුගණකයක් යනු කුමක්දැයි ඔබ දැනටමත් දන්නවාද? නැහැ? එවිට මාතෘකාව ඉක්මනින් කියවන්න!
පළමු මූලය, පැහැදිලිවම, කොටසට අයත් නොවන අතර, දෙවැන්න තේරුම්ගත නොහැකිය!
නමුත් අපි ඉතා ඉක්මනින් සොයා ගන්නෙමු!
එතැන් සිට (මෙය ලඝුගණකයේ ගුණයකි!)
කොටස් දෙකෙන්ම අඩු කරන්න, එවිට අපට ලැබෙන්නේ:
වම් පැත්ත මෙසේ දැක්විය හැක.
දෙපස ගුණ කරන්න:
එවිට ගුණ කළ හැක
ඉන්පසු අපි සංසන්දනය කරමු:
එදින සිට:
එවිට දෙවන මූලය අපේක්ෂිත පරතරයට අයත් වේ
පිළිතුර:
ඔබ දකින අයුරින්, ඝාතීය සමීකරණවල මූලයන් තෝරාගැනීමට ලඝුගණකවල ගුණ පිළිබඳ තරමක් ගැඹුරු දැනුමක් අවශ්ය වේ, එබැවින් ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේදී හැකිතාක් ප්‍රවේශම් වන ලෙස මම ඔබට උපදෙස් දෙමි.
ඔබ දන්නා පරිදි, ගණිතයේ සෑම දෙයක්ම එකිනෙකට සම්බන්ධයි!
මගේ ගණිත ගුරුවරයා නිතර කීවාක් මෙන්: "ඔබට ඉතිහාසය මෙන් එක රැයකින් ගණිතය කියවිය නොහැක."
රීතියක් ලෙස, සියල්ල සංකීර්ණත්වයේ වැඩි මට්ටමක ගැටළු විසඳීමේ දුෂ්කරතාවය හරියටම සමීකරණයේ මූලයන් තෝරා ගැනීමයි.
තවත් පුහුණු උදාහරණයක්...
උදාහරණ 22
සමීකරණය ඉතා සරලව විසඳා ඇති බව පැහැදිලිය.
ආදේශනය සිදු කිරීමෙන් පසු, අපි අපගේ මුල් සමීකරණය පහත දක්වා අඩු කරමු:
පළමුව, අපි සලකා බලමු පළමු මූල.
සංසන්දනය කර: සිට, පසුව. (ලඝුගණක ශ්‍රිතයේ ගුණය, at).
එතකොට තේරෙනවා මුල්ම මූලයත් අපේ අන්තරයට අයිති නැති බව.
දැන් දෙවන මූල: . (කාර්යය වැඩි වන බැවින්) බව පැහැදිලිය.
එය සංසන්දනය කිරීමට ඉතිරිව ඇත
එතැන් සිට, එම අවස්ථාවේදීම.
මේ අනුව, මට සහ අතර "ඇණක් ධාවනය" කළ හැකිය.
මෙම ඇණ අංකයකි.
පළමු ප්‍රකාශනය ට වඩා අඩු වන අතර දෙවැන්න ඊට වඩා වැඩි ය.
එවිට දෙවන ප්‍රකාශනය පළමු ප්‍රකාශනයට වඩා විශාල වන අතර මූලය අන්තරයට අයත් වේ.
පිළිතුර: .
අවසාන වශයෙන්, ප්රතිස්ථාපනය තරමක් සම්මත නොවන සමීකරණයක තවත් උදාහරණයක් බලමු.
උදාහරණ #23 (සම්මත නොවන ආදේශනයක් සහිත සමීකරණයක්!)
ඔබට කළ හැකි දේ සමඟ වහාම ආරම්භ කරමු, සහ කුමක්ද - ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, ඔබට කළ හැකිය, නමුත් එය නොකිරීමට වඩා හොඳය.
එය කළ හැකි ය - තුන, දෙක සහ හය යන බලයන් හරහා සියල්ල නියෝජනය කිරීම.
එය යොමු කරන්නේ කොතැනටද?
ඔව්, සහ කිසිම දෙයකට මඟ පාදන්නේ නැත: අංශක වල හොජ්පොජ් එකක්, සමහර ඒවා ඉවත් කිරීම තරමක් අපහසු වනු ඇත.
එවිට අවශ්ය වන්නේ කුමක්ද?
අපි සටහන් කරමු a
සහ එය අපට ලබා දෙන්නේ කුමක්ද?
මෙම උදාහරණයේ විසඳුම තරමක් සරල ඝාතීය සමීකරණයක විසඳුමකට අඩු කළ හැකි බව!
පළමුව, අපගේ සමීකරණය මෙසේ නැවත ලියමු:
දැන් අපි ලැබෙන සමීකරණයේ දෙපැත්තටම බෙදන්නෙමු:
යුරේකා! දැන් අපට ප්රතිස්ථාපනය කළ හැකිය, අපට ලැබෙන්නේ:
හොඳයි, දැන් එය නිරූපණය සඳහා ගැටළු විසඳීමට ඔබේ වාරය වන අතර, ඔබ නොමඟ නොයන ලෙස මම ඔවුන්ට කෙටි අදහස් පමණක් දෙන්නෙමි! වාසනාව!
උදාහරණ #24
වඩාත්ම දුෂ්කර!
මෙහි ආදේශකයක් දැකීම ඔහ්, කෙතරම් කැතද! කෙසේ වෙතත්, මෙම උදාහරණය භාවිතයෙන් සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳා ගත හැකිය සම්පූර්ණ චතුරස්රයක් තෝරාගැනීම.
එය විසඳීම සඳහා, එය සටහන් කිරීම ප්රමාණවත්ය:
ඉතින් මෙන්න ඔබේ ආදේශකය:
(මෙහි, අපගේ ප්රතිස්ථාපනය සමඟින්, අපට සෘණ මූලය ඉවත දැමිය නොහැකි බව සලකන්න!!! සහ ඇයි, ඔබ සිතන්නේ කුමක්ද?)
දැන්, උදාහරණය විසඳීමට, ඔබ සමීකරණ දෙකක් විසඳිය යුතුය:
ඒවා දෙකම විසඳනු ලබන්නේ "සම්මත ආදේශනය" මගිනි (නමුත් එක් උදාහරණයක දෙවැන්න!)
උදාහරණ #25
2. එය සටහන් කර ආදේශනයක් කරන්න.
උදාහරණ #26
3. සංඛ්‍යාව coprime සාධක බවට විස්තාරණය කර ලැබෙන ප්‍රකාශනය සරල කරන්න.
උදාහරණ #27
4. භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය (හෝ ඔබ කැමති නම්) මගින් බෙදා ආදේශ කිරීම හෝ කරන්න.
උදාහරණ #28
5. ඉලක්කම් සහ සංයෝජන බව සලකන්න.
LOGARIFMING ක්රමය මගින් ඝාතීය සමීකරණ විසදීම. උසස් පෙළ
ඊට අමතරව, අපි තවත් ක්රමයක් බලමු - ලඝුගණක ක්රමය මගින් ඝාතීය සමීකරණවල විසඳුම.
මෙම ක්රමය මගින් ඝාතීය සමීකරණ විසඳුම ඉතා ජනප්‍රිය යැයි මට පැවසිය නොහැක, නමුත් සමහර අවස්ථාවල එය අපගේ සමීකරණයේ නිවැරදි විසඳුම වෙත අපව ගෙන යා හැකිය.
විශේෂයෙන් බොහෝ විට එය ඊනියා "" විසඳීමට භාවිතා කරයි. මිශ්ර සමීකරණ': එනම්, විවිධ වර්ගවල කාර්යයන් ඇති ඒවා.
උදාහරණ #29
සාමාන්ය අවස්ථාවෙහිදී, එය විසඳිය හැක්කේ කොටස් දෙකෙහිම ලඝුගණකය ගැනීමෙන් පමණි (උදාහරණයක් ලෙස, පාදම අනුව), එහි මුල් සමීකරණය පහත පරිදි පරිවර්තනය වේ:
පහත උදාහරණය සලකා බලමු.
ලඝුගණක ශ්‍රිතයේ ODZ ගැන පමණක් අප උනන්දු වන බව පැහැදිලිය.
කෙසේ වෙතත්, මෙය ලඝුගණකයේ ODZ වලින් පමණක් නොව, තවත් හේතුවක් නිසා අනුගමනය කරයි.
කුමන එකක්දැයි අනුමාන කිරීම ඔබට අපහසු නොවනු ඇතැයි මම සිතමි.
අපගේ සමීකරණයේ දෙපැත්තේම ලඝුගණකය පාදයට ගනිමු:
ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපගේ මුල් සමීකරණයේ ලඝුගණකය ගැනීම ඉක්මනින් නිවැරදි (සහ ලස්සන!) පිළිතුර වෙත අපව ගෙන ගියේය.
අපි තවත් එක් උදාහරණයක් සමඟ පුහුණු වෙමු.
උදාහරණ #30
මෙහිදී ද කරදර වීමට කිසිවක් නැත: අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තේ ලඝුගණකය පදනම අනුව ගනිමු, එවිට අපට ලැබෙන්නේ:
අපි ආදේශකයක් කරමු:
කෙසේ වෙතත්, අපට යමක් මග හැරී ඇත! මට වැරදුනේ කොතනදැයි ඔබ දුටුවාද? සියල්ලට පසු, එසේ නම්:
අවශ්‍යතාවය තෘප්තිමත් නොකරන (එය පැමිණියේ කොහෙන්දැයි සිතන්න!)
පිළිතුර:
පහත ඝාතීය සමීකරණවල විසඳුම ලිවීමට උත්සාහ කරන්න:
දැන් මෙය සමඟ ඔබේ විසඳුම පරීක්ෂා කරන්න:
උදාහරණ #31
අපි කොටස් දෙකෙහිම ලඝුගණකය පාදයට ගනිමු, එය ලබා දී ඇත:
(ආදේශ කිරීම නිසා දෙවන මූලය අපට නොගැලපේ)
උදාහරණ #32
ලඝුගණකය පදනමට:
ලැබෙන ප්‍රකාශනය පහත ආකෘතියට පරිවර්තනය කරමු:
ප්රකාශන සමීකරණ. සංක්ෂිප්ත විස්තරය සහ මූලික සූත්‍රය
ඝාතීය සමීකරණය
වර්ග සමීකරණය:
කියලා සරලම ඝාතීය සමීකරණය.
උපාධි ගුණාංග
විසඳුම් ප්රවේශයන්
- එකම පදනමට අඩු කිරීම
- එකම ඝාතකයට අඩු කිරීම
- විචල්ය ආදේශනය
- ප්‍රකාශනය සරල කර ඉහත එකක් යොදන්න.
ආපසු ඉදිරියට
අවධානය! විනිවිදක පෙරදසුන තොරතුරු අරමුණු සඳහා පමණක් වන අතර ඉදිරිපත් කිරීමේ සම්පූර්ණ ප්‍රමාණය නියෝජනය නොකළ හැකිය. ඔබ මෙම කාර්යයට කැමති නම්, කරුණාකර සම්පූර්ණ අනුවාදය බාගත කරන්න.
පාඩම් වර්ගය
: "ඝාතීය සමීකරණ සහ ඒවා විසඳීමට ක්රම" යන මාතෘකාව මත දැනුම, කුසලතා සහ හැකියාවන් සාමාන්යකරණය කිරීම සහ සංකීර්ණ භාවිතය පිළිබඳ පාඩමක්.පාඩම් ඉලක්ක.
උපකරණ:
පරිගණක සහ බහුමාධ්‍ය ප්‍රොජෙක්ටරය.පාඩම භාවිතා කරයි තොරතුරු තාක්ෂණය : පාඩම සඳහා ක්‍රමවේද සහය - Microsoft Power Point හි ඉදිරිපත් කිරීම.
පන්ති අතරතුර
සෑම කුසලතාවයක්ම වෙහෙස මහන්සි වී වැඩ කරයි.
මම. පාඩමේ ඉලක්කය සැකසීම(විනිවිදක අංක 2 )
මෙම පාඩමේදී, අපි "ඝාතීය සමීකරණ, ඒවායේ විසඳුම්" යන මාතෘකාව සාරාංශ කර සාමාන්යකරණය කරමු. මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ විවිධ වසරවල විභාගයේ සාමාන්ය කාර්යයන් සමඟ අපි දැන හඳුනා ගනිමු.
ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා වන කාර්යයන් USE කාර්යයන්හි ඕනෑම කොටසකින් සොයාගත හැකිය. කොටසේ " හිදී " සාමාන්යයෙන් සරලම ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට යෝජනා කරයි. කොටසේ " සිට " ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ ඝාතීය සමීකරණ හමුවිය හැක, එහි විසඳුම සාමාන්යයෙන් කාර්යයේ එක් අදියරකි.
උදාහරණ වශයෙන් ( විනිවිදක අංක 3 ).
- භාවිතය - 2007
B 4 - ප්රකාශනයේ විශාලතම අගය සොයන්න x y, කොහෙද ( X; හිදී) පද්ධතියේ විසඳුම:
B 1 - සමීකරණ විසඳන්න:
ඒ) x 6 3x – 36 6 3x = 0;
ආ) 4 x +1 + 8 4x= 3.
B 4 - ප්රකාශනයේ අගය සොයන්න x + y, කොහෙද ( X; හිදී) පද්ධතියේ විසඳුම:
- භාවිතය - 2010
II. මූලික දැනුම යාවත්කාලීන කිරීම. පුනරාවර්තනය
(විනිවිදක #4 - 6 පන්ති ඉදිරිපත් කිරීම්)තිරය පෙන්වයි න්‍යායාත්මක ද්‍රව්‍යවල සමුද්දේශ සාරාංශය මෙම මාතෘකාව මත.
පහත ප්‍රශ්න සාකච්ඡා කෙරේ:
- කුමන සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ ඇඟවුම් කරන?
- ඒවා විසඳීමට ප්රධාන ක්රම නම් කරන්න. ඔවුන්ගේ වර්ග සඳහා උදාහරණ දෙන්න ( විනිවිදක අංක 4 )
- පෝරමයේ සරලම ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට භාවිතා කරන ප්‍රමේයය: සහ f(x) = a g(x) ?
- ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා පවතින වෙනත් ක්රම මොනවාද? ( විනිවිදක අංක 5 )
(එක් එක් ක්රමය සඳහා යෝජිත සමීකරණ ස්වයං-විසඳා ස්ලයිඩය භාවිතයෙන් ස්වයං පරීක්ෂණයක් කරන්න)
- සාධකකරණ ක්රමය (බලතලවල ගුණාංග මත පදනම්ව එකම පදනම, පිළිගැනීම: අඩුම දර්ශකය සහිත උපාධිය වරහන් වලින් ඉවත් කරනු ලැබේ).
- සමජාතීය ඝාතීය සමීකරණ විසඳන විට ශුන්‍ය හැර වෙනත් ඝාතීය ප්‍රකාශනයකින් බෙදීම (ගුණ කිරීම) ලබා ගැනීම .
- උපදෙස්:
-
අවසාන ක්රම දෙක සමඟ සමීකරණ විසඳීම සහ අදහස් දැක්වීම
(විනිවිදක අංක 6 ).
. 4 x+ 1 – 2 4 x– 2 = 124, 4 x– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 x– 2 62 = 124,4 x– 2 = 2, 4 x– 2 = 4 0,5 , x– 2 = 0,5, x = 2,5 .
2 2 2x - 3 2 x 5X - 5 5 2x= 0¦: 5 2 x 0,2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,
t = (2/5) x, ටී > 0, 2ටී 2 - 3ටී- 5 = 0,ටී= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, x= ?...
III. භාවිත කාර්යයන් විසඳීම 2010
විසඳුම සඳහා උපදෙස් භාවිතා කරමින්, විනිවිදක අංක 3 හි පාඩම ආරම්භයේ දී යෝජනා කරන ලද කාර්යයන් සිසුන් ස්වාධීනව විසඳා, ඉදිරිපත් කිරීම භාවිතා කර ඔවුන්ගේ විසඳුම සහ ඒවාට පිළිතුරු පරීක්ෂා කරන්න ( විනිවිදක අංක 7) වැඩ කිරීමේ ක්‍රියාවලියේදී, විසඳීම සඳහා විකල්ප සහ ක්රම සාකච්ඡා කරනු ලැබේ, විසඳුමේ ඇති විය හැකි දෝෂ කෙරෙහි අවධානය යොමු කෙරේ.
: a) 7 x– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. පිළිතුර: ඒ) x= 4, ආ) x = 2. : 4 x 2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x- 1 \u003d 0. (ඔබට 0.5 \u003d 4 - 0.5 ආදේශ කළ හැක)විසඳුමක්. ,
x 2 + 3x – 2 = -x 2 - 4x + 0,5 …
පිළිතුර: x= -5/2, x = 1/2.
: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, cos දී y< 0.තීරණයක් සඳහා යෝජනාව
. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,5 5 2 ග්රෑම් y+ 4 5 tg y- 1 = 0. ඉඩ දෙන්න x= 5 tg y , …
5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.
tg සිට y= -1 සහ පිරිවැය y< 0, පසුව හිදී II සම්බන්ධීකරණ කාර්තුව
පිළිතුර: හිදී= 3/4 + 2කේ, කේ එන්.
IV. වයිට්බෝඩ් සහයෝගිතාව
ඉහළ මට්ටමේ ඉගෙනීමේ කාර්යය ලෙස සැලකේ - විනිවිදක අංක 8. මෙම ස්ලයිඩයේ ආධාරයෙන්, විසඳුම සංවර්ධනය කිරීමට දායක වන ගුරුවරයා සහ සිසුන් අතර සංවාදයක් ඇත.
- කුමන පරාමිතියකද ඒ සමීකරණය 2 2 x – 3 2 x + ඒ 2 – 4ඒ= 0 ට මූල දෙකක් තිබේද?ඉඩ ටී= 2 x, කොහෙද ටී > 0 . අපිට ලැබෙනවා ටී 2 – 3ටී + (ඒ 2 – 4ඒ) = 0 .
එක). සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇති බැවින්, D > 0;
2) නිසා ටී 1,2 > 0, පසුව ටී 1 ටී 2 > 0, එනම් ඒ 2 – 4ඒ> 0 (?...).
පිළිතුර: ඒ(- 0.5; 0) හෝ (4; 4.5).
V. තහවුරු කිරීමේ කාර්යය
(විනිවිදක අංක 9 )සිසුන් ඉටු කරයි තහවුරු කිරීමේ කාර්යයපත්‍රිකා මත, ස්වයං පාලනයක් ක්‍රියාත්මක කිරීම සහ ඉදිරිපත් කිරීමක ආධාරයෙන් සිදු කරන ලද කාර්යය පිළිබඳ ස්වයං තක්සේරුව, මාතෘකාව තුළ ප්‍රකාශ කිරීම. වැඩපොත් වල සිදු කරන ලද වැරදි මත පදනම්ව දැනුම නියාමනය කිරීම සහ නිවැරදි කිරීම සඳහා වැඩසටහනක් ඔවුන් ස්වාධීනව තීරණය කරයි. සම්පුර්ණ කරන ලද ස්වාධීන වැඩ සහිත පත්රිකා සත්යාපනය සඳහා ගුරුවරයා වෙත භාර දෙනු ලැබේ.
යටින් ඉරි ඇඳ ඇති සංඛ්යා මූලික වේ, තරු ලකුණක් ඇති ඒවා උසස් වේ.
විසඳුම සහ පිළිතුරු.
3. 2 x– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 x– 1 76 = 19, 2 x– 1 = 1/4, 2 x– 1 = 2 – 2 , x– 1 = -2,
x = -1.
4 *.3 9 x = 2 3 x 5x+ 5 25 x | : 25 x ,
3 (9/25) x = 2 (3/5) x+ 5,
3 (9/27) x = 2 (3/5) x + 5 = 0,
3 (3/5) 2x – 2 (3/5) x - 5 = 0,…, (3/5) x = -1 (සුදුසු නොවේ),
(3/5) x = 5, x = -1.
VI ගෙදර වැඩ
(විනිවිදක අංක 10 )- § 11, 12 නැවත කරන්න.
- 2008 - 2010 ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයේ ද්රව්ය වලින්, මාතෘකාව පිළිබඳ කාර්යයන් තෝරා ඒවා විසඳන්න.
- නිවසේ පරීක්ෂණ කටයුතු :
සමාන ලිපි
-
රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ රජයේ නියෝගය 307
කොන්ත්‍රාත්කරු නිවාස හිමියන්ගේ හවුල්කාරිත්වයක් නම්, නිවාස ඉදිකිරීමක්, නිවාස හෝ වෙනත් විශේෂිත පාරිභෝගික සමුපකාරයක් හෝ කළමනාකරණ සංවිධානයක් නම්, උපයෝගිතා සඳහා ගෙවීම් ප්‍රමාණය ගණනය කිරීම සහ ...
-
පිරිමින්ගේ ශක්තිය අඩු කරන්නේ කෙසේද?
සමහර විට මිනිසෙකුගේ වැඩි ශක්තිය අඩු කෙනෙකුට වඩා අඩු අපහසුතාවයක් ඇති කළ හැකිය. ශක්තිමත් ලිංගිකත්වයේ සමහර නියෝජිතයින් ලිබිඩෝ මට්ටම අඩු කිරීමට කැමැත්තක් දක්වයි, මන්ද ශිෂේණය ඍජු වීම දිනකට දස වතාවක් දක්වා සිදු වේ. විශේෂයෙන්ම මේ ප්‍රවණතාවය...
-
වසරක් සඳහා ඇල්ෆා දේපල රක්ෂණය සඳහා AlfaStrakhovanie රීති වල දේපල රක්ෂණය
ප්‍රභූ සේවාලාභීන් සඳහා සේවාව ප්‍රභූ සේවාලාභියෙකු වන්නේ කෙසේද රක්ෂණ වර්ග වාහන රක්ෂණ ව්‍යාපාර ගුවන් සේවා රක්ෂණ දේපල රක්ෂණ යාත්‍රාව සහ බෝට්ටු රක්ෂණය සංස්කෘතික දේපල රක්ෂණය ජාත්‍යන්තර සෞඛ්‍ය රක්ෂණ...
-
සිහින පොතට අනුව රාජද්රෝහීත්වය ගැන සිහින දකින්නේ ඇයි සිහින අර්ථ නිරූපණය සිහින අර්ථ නිරූපණය රාජද්රෝහීත්වය ගැන සිහින දකින්නේ ඇයි?
S. Karatov ගේ සිහින අර්ථ නිරූපණය සිහින පොතට අනුව රාජද්රෝහීත්වය ගැන සිහින දකින්නේ ඇයි: රාජද්රෝහීත්වය, වෙනස් කිරීම - ඔබ රවටා ඇති බව දැකීම ඔබට පක්ෂපාතීත්වයේ සලකුණකි. ඔයා වෙනස් කරපු දේ දැක්කම පාඩුයි.බලන්න. මෙයද බලන්න: බිරිඳගේ සිහිනය කුමක්ද, ස්වාමිපුරුෂයාගේ සිහිනය කුමක්ද, සිහිනය කුමක්ද ...
-
බර අඩු කර ගැනීම සඳහා පොඟවා ගත් සහල් සෞඛ්‍ය සම්පන්න වන්නේ ඇයි සහ එය නිසි ලෙස පිසින්නේ කෙසේද?
නූතන මිනිසුන් අතර පෝෂණ ගැටළු ඉතා ජනප්රියයි, විශේෂයෙන්ම අනවශ්ය බර ඉවත් කිරීමට අවශ්ය අය. සහල් ආහාර ක්රමය ගැන සහ දුඹුරු සහ ...
-
පොස්පේට් බෆර ද්රාවණය සකස් කිරීම
රක්තපාත අධ්යයනය සඳහා ජීව විද්‍යාත්මක ද්රව්ය එකතු කිරීම සහ සකස් කිරීම සඳහා අවශ්‍යතා රක්තවේද අධ්යයනය සඳහා ජීව විද්‍යාත්මක ද්රව්ය ප්‍රවාහනය හා ගබඩා කිරීම සඳහා අවශ්‍යතා. නිවැරදි...