üstel denklemler. Logaritma yöntemi. Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler Basit üstel denklemlerin çözümü

Bu ders, üstel denklemleri yeni öğrenmeye başlayanlar için hazırlanmıştır. Her zaman olduğu gibi, bir tanım ve basit örneklerle başlayalım.

Bu dersi okuyorsanız, en basit denklemleri en azından asgari düzeyde anladığınızdan şüpheleniyorum - doğrusal ve kare: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ vb. Şimdi tartışılacak konuya “takılmamak” için bu tür yapıları çözebilmek kesinlikle gereklidir.

Yani, üstel denklemler. Size bir iki örnek vereyim:

\[((2)^(x))=4;\dörtlü ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\dörtlü ((9)^(x))=- 3\]

Bazıları size daha karmaşık gelebilir, bazıları ise tam tersine çok basittir. Ancak bunların hepsi önemli bir özellik ile birleştirilmiştir: bunlar bir üstel fonksiyon $f\left(x \right)=((a)^(x))$ içerirler. Böylece, tanımı tanıtıyoruz:

Üstel bir denklem, üstel bir işlev içeren herhangi bir denklemdir, yani. $((a)^(x))$ biçiminde bir ifade. Belirtilen işleve ek olarak, bu tür denklemler diğer cebirsel yapıları içerebilir - polinomlar, kökler, trigonometri, logaritmalar, vb.

Tamam ozaman. Tanımı anladım. Şimdi soru şu: Bütün bu saçmalık nasıl çözülür? Cevap aynı anda hem basit hem de karmaşıktır.

İyi haberle başlayalım: birçok öğrenciyle olan deneyimime göre, çoğu için üstel denklemlerin aynı logaritmalardan ve hatta trigonometriden çok daha kolay olduğunu söyleyebilirim.

Ancak kötü haberler de var: bazen her türlü ders kitabı ve sınav için problem derleyicileri "ilham" tarafından ziyaret edilir ve ilaçla şişmiş beyinleri o kadar acımasız denklemler üretmeye başlar ki, sadece öğrencilerin bunları çözmesi sorunlu hale gelir - Hatta birçok öğretmen bu tür sorunlara takılıp kalıyor.

Ancak, üzücü şeylerden bahsetmeyelim. Ve hikayenin en başında verilen üç denkleme dönelim. Her birini çözmeye çalışalım.

İlk denklem: $((2)^(x))=4$. Peki, 4 sayısını elde etmek için 2 sayısı hangi güce yükseltilmelidir? Belki ikincisi? Sonuçta, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — ve doğru sayısal eşitliği elde ettik, yani. gerçekten $x=2$. Peki, teşekkürler kap, ama bu denklem o kadar basitti ki kedim bile çözebildi. :)

Aşağıdaki denkleme bakalım:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ama burada biraz daha zor. Birçok öğrenci $((5)^(2))=25$'ın çarpım tablosu olduğunu bilir. Bazıları ayrıca $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ öğesinin esasen negatif üslerin tanımı olduğundan şüphelenir ($((a)^(-n))= \ formülüne benzer frac(1)(((a)^(n)))$).

Son olarak, yalnızca birkaç seçilmiş kişi bu gerçeklerin birleştirilebileceğini tahmin eder ve çıktı aşağıdaki sonuçtur:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Böylece, orijinal denklemimiz aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ve şimdi bu zaten tamamen çözüldü! Denklemin sol tarafında üstel bir fonksiyon var, denklemin sağ tarafında bir üstel fonksiyon var, başka hiçbir yerde onlardan başka bir şey yok. Bu nedenle, bazları “atmak” ve göstergeleri aptalca eşitlemek mümkündür:

Herhangi bir öğrencinin birkaç satırda çözebileceği en basit doğrusal denklemi elde ettik. Tamam, dört satırda:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Son dört satırda ne olduğunu anlamadıysanız, “doğrusal denklemler” konusuna döndüğünüzden ve tekrarladığınızdan emin olun. Çünkü bu konunun net bir özümsenmesi olmadan, üstel denklemleri almak için çok erken.

\[((9)^(x))=-3\]

Peki, nasıl karar veriyorsun? İlk düşünce: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, yani orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[((\sol(((3)^(2)) \sağ))^(x))=-3\]

Ardından, bir dereceye kadar bir dereceye yükseltirken göstergelerin çarpıldığını hatırlıyoruz:

\[((\left(((3)^(2)) \sağ))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(hizalama)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(hizalama)\]

Ve böyle bir karar için dürüstçe hak edilmiş bir ikili alıyoruz. Çünkü biz, bir Pokémon sükûnetiyle, üçün önündeki eksi işaretini bu üçün gücüne gönderdik. Ve bunu yapamazsın. Ve bu yüzden. Üçlünün farklı güçlerine bir göz atın:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)() 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matris)\]

Bu tableti derlerken, hemen saptırmadım: Pozitif dereceleri, negatifleri ve hatta kesirli dereceleri düşündüm ... peki, burada en az bir negatif sayı nerede? O değil! Ve olamaz, çünkü üstel fonksiyon $y=((a)^(x))$, ilk olarak, her zaman sadece pozitif değerler alır (biri ne kadar çarparsanız veya ikiye bölerseniz, yine de bir olacaktır. pozitif sayı) ve ikinci olarak, böyle bir fonksiyonun tabanı, $a$ sayısı, tanım gereği pozitif bir sayıdır!

Peki, $((9)^(x))=-3$ denklemi nasıl çözülür? Hayır, kök yok. Ve bu anlamda, üstel denklemler ikinci dereceden denklemlere çok benzer - ayrıca kök olmayabilir. Ancak ikinci dereceden denklemlerde kök sayısı ayrımcı tarafından belirlenirse (ayırıcı pozitif - 2 kök, negatif - kök yok), o zaman üstel denklemlerde hepsi eşittir işaretinin sağında ne olduğuna bağlıdır.

Böylece, kilit sonucu formüle ediyoruz: $((a)^(x))=b$ formunun en basit üstel denklemi, ancak ve ancak $b \gt 0$ ise bir köke sahiptir. Bu basit gerçeği bilerek size önerilen denklemin kökleri olup olmadığını kolayca belirleyebilirsiniz. Şunlar. hiç çözmeye değer mi yoksa hemen kök olmadığını yazın.

Bu bilgi, daha karmaşık sorunları çözmemiz gerektiğinde bize birçok kez yardımcı olacaktır. Bu arada, yeterince şarkı sözü - üstel denklemleri çözmek için temel algoritmayı incelemenin zamanı geldi.

Üstel denklemler nasıl çözülür

Öyleyse problemi formüle edelim. Üstel denklemi çözmek gerekir:

\[((a)^(x))=b,\dört a,b \gt 0\]

Daha önce kullandığımız "saf" algoritmaya göre, $b$ sayısını $a$ sayısının bir kuvveti olarak göstermek gerekir:

Ayrıca, $x$ değişkeni yerine herhangi bir ifade varsa, zaten çözülebilen yeni bir denklem elde ederiz. Örneğin:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(hiza)\]

Ve garip bir şekilde, bu şema vakaların yaklaşık %90'ında işe yarıyor. Peki ya kalan %10? Kalan% 10, formun biraz "şizofrenik" üstel denklemleridir:

\[((2)^(x))=3;\dörtlü ((5)^(x))=15;\dörtlü ((4)^(2x))=11\]

3 elde etmek için 2'yi hangi güce yükseltmeniz gerekir? İlk olarak? Ama hayır: $((2)^(1))=2$ yeterli değil. Saniyede? İkisi de: $((2)^(2))=4$ çok fazla. Sonra ne?

Bilgili öğrenciler muhtemelen zaten tahmin etmişlerdir: bu gibi durumlarda, “güzel” çözmenin imkansız olduğu durumlarda, “ağır topçu” duruma bağlanır - logaritmalar. Logaritma kullanarak, herhangi bir pozitif sayının (biri hariç) herhangi bir pozitif sayının kuvveti olarak gösterilebileceğini hatırlatmama izin verin:

Bu formülü hatırladın mı? Öğrencilerime logaritmalardan bahsettiğimde, sizi her zaman uyarırım: Bu formül (aynı zamanda temel logaritmik özdeşliktir veya isterseniz logaritmanın tanımıdır) sizi çok uzun süre rahatsız edecek ve en çok “ortaya çıkar”. beklenmedik yerler Pekala, ortaya çıktı. Denklemimize ve bu formüle bakalım:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(hiza) \]

$a=3$'ın sağdaki orijinal numaramız olduğunu ve $b=2$'ın tam taban olduğunu varsayarsak üstel fonksiyon, sağ tarafı azaltmak istediğimiz için aşağıdakileri elde ederiz:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(hiza)\]

Biraz garip bir yanıt aldık: $x=((\log )_(2))3$. Başka bir görevde, böyle bir cevapla, çoğu kişi şüphe duyacak ve çözümlerini iki kez kontrol etmeye başlayacak: ya bir yerde bir hata varsa? Sizi memnun etmek için acele ediyorum: burada bir hata yok ve üstel denklemlerin köklerindeki logaritmalar oldukça tipik bir durum. O yüzden alışın. :)

Şimdi kalan iki denklemi analojiyle çözelim:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(hiza)\]

Bu kadar! Bu arada, son cevap farklı şekilde yazılabilir:

Çarpanı logaritma argümanına sokan bizdik. Ancak bu faktörü temele eklememizi kimse engelleyemez:

Ayrıca, üç seçeneğin tümü doğrudur - bunlar yalnızca aynı sayıyı yazmanın farklı biçimleridir. Bu kararda hangisini seçip yazacağınız size kalmış.

Böylece, $a$ ve $b$ sayılarının kesinlikle pozitif olduğu $((a)^(x))=b$ biçimindeki üstel denklemleri çözmeyi öğrendik. Ancak dünyamızın acı gerçeği, bu kadar basit görevlerin çok, çok nadiren karşınıza çıkmasıdır. Daha sık böyle bir şeyle karşılaşacaksınız:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(hiza)\]

Peki, nasıl karar veriyorsun? Bu hiç çözülebilir mi? Ve eğer öyleyse, nasıl?

Panik yok. Tüm bu denklemler, hızlı ve basit bir şekilde, daha önce ele aldığımız basit formüllere indirgenmiştir. Cebir kursundan birkaç numarayı hatırlamanız yeterli. Ve tabii ki burada derece ile çalışmanın bir kuralı yok. Şimdi bunlardan bahsedeceğim. :)

Üstel denklemlerin dönüşümü

Hatırlanması gereken ilk şey, herhangi bir üstel denklemin, ne kadar karmaşık olursa olsun, şu ya da bu şekilde en basit denklemlere indirgenmesi gerektiğidir - daha önce düşündüğümüz ve nasıl çözeceğimizi bildiğimiz denklemler. Başka bir deyişle, herhangi bir üstel denklemi çözme şeması şöyle görünür:

1. Orijinal denklemi yazın. Örneğin: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Biraz aptalca şeyler yap. Ya da "denklemi dönüştürmek" denen bir saçmalık bile;
3. Çıktıda, $((4)^(x))=4$ veya buna benzer bir şey gibi en basit ifadeleri alın. Ayrıca, bir başlangıç ​​denklemi aynı anda birkaç böyle ifade verebilir.

İlk nokta ile her şey açıktır - kedim bile denklemi bir yaprağa yazabilir. Üçüncü nokta ile de, öyle görünüyor ki, az çok açıktır - yukarıda bu tür bir sürü denklemi zaten çözdük.

Ama ikinci nokta ne olacak? Dönüşümler nelerdir? Neyi neye dönüştürmeli? Ve nasıl?

Pekala, çözelim. Öncelikle şunu belirtmek isterim. Tüm üstel denklemler iki türe ayrılır:

1. Denklem, aynı tabana sahip üstel fonksiyonlardan oluşur. Örnek: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formül, farklı tabanlara sahip üstel işlevler içerir. Örnekler: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ve $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

İlk tür denklemlerle başlayalım - çözmesi en kolay olanlardır. Ve çözümlerinde, kararlı ifadelerin seçimi gibi bir teknik bize yardımcı olacaktır.

Sabit bir ifadeyi vurgulama

Bu denkleme tekrar bakalım:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ne görüyoruz? Dördü farklı derecelere yükseltilir. Ancak tüm bu güçler, $x$ değişkeninin diğer sayılarla basit toplamlarıdır. Bu nedenle, derecelerle çalışma kurallarını hatırlamak gerekir:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):(((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(hiza)\]

Basitçe söylemek gerekirse, üslerin eklenmesi bir kuvvetler ürününe dönüştürülebilir ve çıkarma işlemi kolayca bölmeye dönüştürülebilir. Bu formülleri denklemimizin kuvvetlerine uygulamaya çalışalım:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(hiza)\]

Bu gerçeği dikkate alarak orijinal denklemi yeniden yazıyoruz ve ardından soldaki tüm terimleri topluyoruz:

\[\begin(hizalama)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -onbir; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(hiza)\]

İlk dört terim $((4)^(x))$ öğesini içerir — hadi onu parantezden çıkaralım:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \sağ)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \sol(-\frac(11)(4) \sağ)=-11. \\\end(hiza)\]

Geriye denklemin her iki parçasını $-\frac(11)(4)$ fraksiyonuna bölmek kalır, yani. esasen ters çevrilmiş kesir ile çarpın - $-\frac(4)(11)$. Alırız:

\[\begin(hizalama)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \sağ)\cdot \left(-\frac(4)(11) \sağ )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \sağ); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(hiza)\]

Bu kadar! Orijinal denklemi en basitine indirgedik ve son cevabı aldık.

Aynı zamanda, çözme sürecinde $((4)^(x))$ ortak faktörünü keşfettik (ve hatta parantezden çıkardık) - bu kararlı ifadedir. Yeni bir değişken olarak tanımlanabilir veya basitçe doğru bir şekilde ifade edebilir ve bir cevap alabilirsiniz. Her durumda, çözümün temel prensibi aşağıdaki gibidir:

Orijinal denklemde, tüm üstel işlevlerden kolayca ayırt edilebilen bir değişken içeren kararlı bir ifade bulun.

İyi haber şu ki, hemen hemen her üstel denklem böyle kararlı bir ifadeyi kabul ediyor.

Ancak kötü haberler de var: Bu tür ifadeler çok yanıltıcı olabilir ve bunları ayırt etmek oldukça zor olabilir. Öyleyse başka bir soruna bakalım:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Belki şimdi birisinin bir sorusu olacaktır: “Paşa, taşlandın mı? İşte farklı bazlar - 5 ve 0.2. Ama 0.2 tabanlı bir gücü dönüştürmeye çalışalım. Örneğin, ondalık kesirden kurtulalım, onu her zamanki haline getirelim:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \sağ)))=((\left(\frac(2)(10)) ) \sağ))^(-\sol(x+1 \sağ)))=((\sol(\frac(1)(5) \sağ))^(-\sol(x+1 \sağ)) )\]

Gördüğünüz gibi, paydada da olsa 5 sayısı hala ortaya çıktı. Aynı zamanda, gösterge negatif olarak yeniden yazılmıştır. Ve şimdi derecelerle çalışmanın en önemli kurallarından birini hatırlıyoruz:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \sağ))^( -\sol(x+1 \sağ)))=((\sol(\frac(5)(1) \sağ))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Burada elbette biraz aldattım. Çünkü tam bir anlayış için olumsuz göstergelerden kurtulmanın formülünün şu şekilde yazılması gerekiyordu:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\sol(\frac(1)(a) \sağ))^(n ))\Rightarrow ((\sol(\frac(1)(5) \sağ))^(-\sol(x+1 \sağ)))=((\sol(\frac(5)(1) \ sağ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Öte yandan, hiçbir şey bizi tek bir kesirle çalışmaktan alıkoyamadı:

\[((\sol(\frac(1)(5) \sağ))^(-\sol(x+1 \sağ)))=((\sol(((5)^(-1)) \ sağ))^(-\sol(x+1 \sağ)))=((5)^(\sol(-1 \sağ)\cdot \sol(-\sol(x+1 \sağ) \sağ) ))=((5)^(x+1))\]

Ancak bu durumda, bir dereceyi başka bir dereceye yükseltebilmeniz gerekir (Size hatırlatırım: bu durumda göstergeler toplanır). Ama kesirleri "çevirmek" zorunda değildim - belki birileri için daha kolay olacaktır. :)

Her durumda, orijinal üstel denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(hizalama)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(hiza)\]

Böylece, orijinal denklemi çözmenin daha önce düşünülenden daha kolay olduğu ortaya çıktı: burada kararlı bir ifade seçmenize bile gerek yok - her şey kendi kendine azaldı. Geriye sadece $1=((5)^(0))$'ın nereden geldiğini hatırlamak kalıyor:

\[\begin(hizalama)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(hiza)\]

Bütün çözüm bu! Son yanıtı aldık: $x=-2$. Aynı zamanda, bizim için tüm hesaplamaları büyük ölçüde basitleştiren bir numarayı not etmek istiyorum:

Üstel denklemlerde, kurtulduğunuzdan emin olun. ondalık kesirler, onları normale çevirin. Bu, derecelerin aynı temellerini görmenizi ve çözümü büyük ölçüde basitleştirmenizi sağlayacaktır.

Şimdi, genellikle kuvvetler kullanılarak birbirine indirgenemeyen farklı tabanların olduğu daha karmaşık denklemlere geçelim.

Üs özelliğini kullanma

Size özellikle sert iki denklemimiz olduğunu hatırlatmama izin verin:

\[\begin(hizalama)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(hiza)\]

Buradaki temel zorluk, neyin ve hangi temele gidileceğinin net olmamasıdır. Sabit ifadeler nerede? Ortak noktalar nerede? Bunun hiçbiri yok.

Ama diğer tarafa gitmeyi deneyelim. Hazır özdeş bazlar yoksa, mevcut bazları çarpanlarına ayırarak bunları bulmaya çalışabilirsiniz.

İlk denklemle başlayalım:

\[\begin(hizalama)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\sol(7\cdot 3 \sağ))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(hiza)\]

Ancak sonuçta, bunun tersini yapabilirsiniz - 21 sayısını 7 ve 3 sayılarından yapın. Bunu soldan yapmak özellikle kolaydır, çünkü her iki derecenin göstergeleri aynıdır:

\[\begin(hizalama)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\sol(7\cdot 3 \sağ))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(hiza)\]

Bu kadar! Üssü çarpımdan çıkardınız ve hemen birkaç satırda çözülebilecek güzel bir denklem elde ettiniz.

Şimdi ikinci denklemle ilgilenelim. Burada her şey çok daha karmaşık:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\sol(\frac(27)(10) \sağ))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Bu durumda, kesirlerin indirgenemez olduğu ortaya çıktı, ancak bir şey azaltılabilirse, onu azalttığınızdan emin olun. Bu, genellikle zaten çalışabileceğiniz ilginç gerekçelerle sonuçlanacaktır.

Ne yazık ki, hiçbir şey bulamadık. Ancak üründe soldaki üslerin zıt olduğunu görüyoruz:

Size hatırlatmama izin verin: Üsteki eksi işaretinden kurtulmak için kesri "çevirmeniz" yeterlidir. Öyleyse orijinal denklemi yeniden yazalım:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \sağ))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\sol(100\cdot \frac(10)(27) \sağ))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\sol(\frac(1000)(27) \sağ))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(hiza)\]

İkinci satırda, az önce çıkardık toplam puan$((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$ kuralına göre parantez çarpımından, ve ikincisinde 100 sayısını bir kesirle çarparız.

Şimdi soldaki (tabandaki) ve sağdaki sayıların biraz benzer olduğuna dikkat edin. Nasıl? Evet, açıkçası: bunlar aynı sayıdaki güçlerdir! Sahibiz:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \sağ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \sağ))^(2)). \\\end(hiza)\]

Böylece denklemimiz aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

\[((\sol(((\sol(\frac(10)(3) \sağ))^(3)) \sağ))^(x-1))=((\sol(\frac(3) )(10) \sağ))^(2))\]

\[((\sol(((\sol(\frac(10)(3) \sağ))^(3)) \sağ))^(x-1))=((\sol(\frac(10) )(3) \sağ))^(3\sol(x-1 \sağ)))=((\sol(\frac(10)(3) \sağ))^(3x-3))\]

Aynı zamanda, sağda, aynı temele sahip bir derece de alabilirsiniz, bunun için sadece kesri “çevirmek” yeterlidir:

\[((\sol(\frac(3)(10) \sağ))^(2))=((\sol(\frac(10)(3) \sağ))^(-2))\]

Son olarak denklemimiz şu şekli alacaktır:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \sağ))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \sağ)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(hiza)\]

Bütün çözüm bu. Onun ana fikri şudur ki, farklı bazlar x Kanca veya sahtekarlıkla bu gerekçeleri bir ve aynı hale getirmeye çalışıyoruz. Bunda, denklemlerin temel dönüşümleri ve kuvvetlerle çalışma kuralları bize yardımcı olur.

Ama hangi kurallar ve ne zaman kullanılır? Bir denklemde her iki tarafı bir şeye bölmeniz gerektiğini ve diğerinde - üstel fonksiyonun tabanını faktörlere ayırmanız gerektiğini nasıl anlayabilirim?

Bu sorunun cevabı tecrübe ile gelecektir. Elinizi ilk önce basit denklemler üzerinde deneyin ve ardından görevleri yavaş yavaş karmaşıklaştırın - ve çok yakında becerileriniz aynı KULLANIM'dan veya herhangi bir bağımsız / test çalışmasından herhangi bir üstel denklemi çözmek için yeterli olacaktır.

Ve bu zor görevde size yardımcı olmak için web siteme bir dizi denklem indirmeyi öneriyorum. bağımsız karar. Tüm denklemlerin cevapları vardır, böylece her zaman kendinizi kontrol edebilirsiniz.

Genel olarak, size başarılı bir eğitim diliyorum. Ve bir sonraki derste görüşmek üzere - orada yukarıda açıklanan yöntemlerin artık yeterli olmadığı gerçekten karmaşık üstel denklemleri analiz edeceğiz. Ve basit bir egzersiz de yeterli olmayacaktır. :)

Üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Ne üstel denklem? Bu, bilinmeyenlerin (x) ve onlarla birlikte ifadelerin olduğu bir denklemdir. göstergeler bazı dereceler. Ve sadece orada! Bu önemli.

İşte buradasın üstel denklem örnekleri:

3 x 2 x = 8 x + 3

Not! Derece bazında (aşağıda) - Sadece sayılar. AT göstergeler derece (yukarıda) - x ile çok çeşitli ifadeler. Birdenbire denklemde göstergeden başka bir yerde bir x belirirse, örneğin:

bu karma tip bir denklem olacaktır. Bu tür denklemlerin çözümü için net kuralları yoktur. Şimdilik onları dikkate almayacağız. Burada ilgileneceğiz üstel denklemlerin çözümü en saf haliyle.

Aslında, saf üstel denklemler bile her zaman net bir şekilde çözülmez. Ancak çözülebilecek ve çözülmesi gereken belirli üstel denklem türleri vardır. Bakacağımız türler bunlar.

En basit üstel denklemlerin çözümü.

Çok temel bir şeyle başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir teori olmadan bile, basit seçimle x = 2 olduğu açıktır. Daha fazlası değil, değil mi!? Başka x değeri rulosu yok. Şimdi bu zorlu üstel denklemin çözümüne bakalım:

Ne yaptık? Aslında, aynı dipleri (üçlü) attık. Tamamen dışarı atıldı. Ve ne mutlu, işareti vur!

Gerçekten de, eğer soldaki ve sağdaki üstel denklemde ise aynısı herhangi bir derecede sayılar, bu sayılar kaldırılabilir ve üsler eşittir. Matematik izin verir. Geriye çok daha basit bir denklemi çözmek kalıyor. İyi, değil mi?)

Ancak ironik bir şekilde hatırlayalım: tabanları ancak sol ve sağdaki taban sayıları muhteşem bir izolasyonda olduğunda kaldırabilirsiniz! Komşular ve katsayılar olmadan. Diyelim ki denklemlerde:

2 x +2 x + 1 = 2 3 veya

Çiftleri kaldıramazsınız!

Neyse, en önemli konuda ustalaştık. Kötü üstel ifadelerden daha basit denklemlere nasıl geçilir?

"İşte o zamanlar!" - diyorsun. "Kontrol ve sınavlarda böyle bir ilkelliği kim verecek!?"

Anlaşmaya zorlandı. Kimse yapmaz. Ama artık kafa karıştırıcı örnekleri çözerken nereye gideceğinizi biliyorsunuz. Aynı taban numarası solda - sağda olduğunda akla getirmek gerekir. O zaman her şey daha kolay olacak. Aslında, bu matematiğin klasiğidir. Orijinal örneği alıp istenen şekle dönüştürüyoruz. biz zihin. Elbette matematik kurallarına göre.

Onları en basitine getirmek için biraz ek çaba gerektiren örnekleri düşünün. onları arayalım basit üstel denklemler.

Basit üstel denklemlerin çözümü. Örnekler.

Üstel denklemleri çözerken ana kurallar şunlardır: yetkileri olan eylemler. Bu eylemlerin bilgisi olmadan hiçbir şey işe yaramaz.

Dereceli eylemlere kişisel gözlem ve ustalık eklenmelidir. Aynı temel sayılara ihtiyacımız var mı? Bu yüzden onları örnekte açık veya şifreli bir biçimde arıyoruz.

Bakalım pratikte bu nasıl yapılıyor?

Bize bir örnek verelim:

2 2x - 8 x+1 = 0

İlk bakış gerekçesiyle. Onlar... Onlar farklı! İki ve sekiz. Ama cesaretini kırmak için çok erken. Bunu hatırlamanın zamanı geldi

İki ve sekiz derece akrabadır.) Yazmak oldukça mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Güçleri olan eylemlerden formülü hatırlarsak:

(bir n) m = bir nm ,

genellikle harika çalışıyor:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal örnek şöyle görünür:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

transfer ediyoruz 2 3 (x+1) sağa (kimse matematiğin temel eylemlerini iptal etmedi!), şunu elde ederiz:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Hemen hemen hepsi bu. Bazların çıkarılması:

Bu canavarı çözüyoruz ve

Bu doğru cevap.

Bu örnekte, ikisinin güçlerini bilmek bize yardımcı oldu. Biz tanımlanmış sekizde, şifreli ikili. Bu teknik (ortak tabanları farklı sayılar altında kodlamak) üstel denklemlerde çok popüler bir numaradır! Evet, logaritmalarda bile. Sayılardaki diğer sayıların güçlerini tanıyabilmelidir. Bu, üstel denklemleri çözmek için son derece önemlidir.

Gerçek şu ki, herhangi bir sayıyı herhangi bir güce yükseltmek sorun değil. Bir kağıt parçası üzerinde bile çarpın, hepsi bu. Örneğin, herkes 3'ü beşinci güce yükseltebilir. Çarpım tablosunu biliyorsanız 243 ortaya çıkacaktır.) Ancak üstel denklemlerde, çok daha sık bir güce yükseltmemek gerekir, bunun tersi de geçerlidir ... hangi sayı ne kadar 243, ya da diyelim ki 343'ün arkasına saklanıyor... Burada hiçbir hesap makinesi size yardımcı olmaz.

Bazı sayıların kuvvetlerini görerek bilmeniz gerekiyor, evet... Pratik yapalım mı?

Hangi güçlerin ve hangi sayıların sayı olduğunu belirleyin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cevaplar (tabii ki karışıklık içinde!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Yakından bakarsanız, garip bir gerçeği görebilirsiniz. Sorulardan çok cevaplar var! Şey, olur... Örneğin, 2 6 , 4 3 , 8 2'nin tamamı 64'tür.

Sayılarla tanışma ile ilgili bilgileri not aldığınızı varsayalım.) Üstel denklemleri çözmek için uyguladığımızı hatırlatalım. bütün matematiksel bilgi stoku. Alt-orta sınıflar dahil. Doğrudan liseye gitmedin, değil mi?

Örneğin, üstel denklemleri çözerken, ortak çarpanı parantezlerin dışında bırakmak çoğu zaman yardımcı olur (7. sınıfa merhaba!). Bir örnek görelim:

3 2x+4 -11 9x = 210

Ve yine, ilk bakış - gerekçesiyle! Derecelerin tabanları farklı... Üç ve dokuz. Ve biz onların aynı olmasını istiyoruz. Eh, bu durumda, arzu oldukça uygulanabilir!) Çünkü:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Dereceli eylemler için aynı kurallara göre:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Bu harika, şunu yazabilirsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Peki, sırada ne var!? Üçler atılamaz ... Çıkmaz mı?

Hiç de bile. En evrensel ve güçlü karar kuralını hatırlamak tüm matematik görevleri:

Ne yapacağınızı bilmiyorsanız, elinizden geleni yapın!

Bakıyorsun, her şey oluşuyor).

Bu üstel denklemde ne var? Yapabilmek yapmak? Evet, sol taraf doğrudan parantez istiyor! 3 2x'in ortak çarpanı bunu açıkça göstermektedir. Deneyelim ve sonra göreceğiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Örnek daha iyi ve daha iyi olmaya devam ediyor!

Bazları elemek için katsayısız saf bir dereceye ihtiyacımız olduğunu hatırlıyoruz. 70 sayısı bizi rahatsız ediyor. Denklemin her iki tarafını da 70'e bölersek şunu elde ederiz:

Op-pa! Her şey yolunda gitti!

Bu son cevap.

Bununla birlikte, aynı gerekçelerle taksiye binme elde edilir, ancak bunların tasfiyesi gerçekleşmez. Bu, başka bir tür üstel denklemlerde olur. Bu türü alalım.

Üstel denklemlerin çözümünde değişken değişimi. Örnekler.

Denklemi çözelim:

4 x - 3 2 x +2 = 0

İlk - her zamanki gibi. Üsse geçelim. İkiliye.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Denklemi elde ederiz:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ve burada asılacağız. Nasıl çevirirseniz çevirin, önceki numaralar çalışmayacaktır. Cephanelikten başka bir güçlü ve çok yönlü yol almamız gerekecek. denir değişken ikame.

Yöntemin özü şaşırtıcı derecede basittir. Karmaşık bir simge yerine (bizim durumumuzda 2 x), daha basit bir tane daha yazıyoruz (örneğin, t). Böyle görünüşte anlamsız bir değiştirme, şaşırtıcı sonuçlara yol açar!) Her şey net ve anlaşılır hale geliyor!

Öyleyse izin ver

Sonra 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Denklemimizde tüm güçleri x'lerle t ile değiştiririz:

Şafak söküyor mu?) İkinci dereceden denklemleri henüz unutmadın mı? Diskriminant aracılığıyla çözeriz, şunu elde ederiz:

Burada asıl mesele, olduğu gibi durmamaktır ... Bu henüz cevap değil, x'e ihtiyacımız var, t'ye değil. X'lere dönüyoruz, yani. değiştirme yapmak. t 1 için ilk:

Yani,

Bir kök bulundu. t 2'den ikincisini arıyoruz:

Um... Sol 2 x, Sağ 1... Bir aksama mı? Evet, hiç de değil! (Dereceli eylemlerden, evet ...) bir birliğin olduğunu hatırlamak yeterlidir. hiç sayı sıfır. Hiç. Neye ihtiyacın varsa onu koyarız. İkiye ihtiyacımız var. Anlamına geliyor:

Şimdi hepsi bu. 2 kök var:

Cevap bu.

saat üstel denklemleri çözme sonunda, bazen garip bir ifade elde edilir. Tip:

Yediden, basit bir dereceye kadar bir ikili çalışmaz. Akraba değiller... Nasıl burada olabilirim? Birinin kafası karışmış olabilir... Ama bu sitede "logaritma nedir?" konusunu okuyan kişi. , sadece dikkatli bir şekilde gülümse ve kesinlikle doğru cevabı sağlam bir el ile yaz:

Sınavdaki "B" görevlerinde böyle bir cevap olamaz. Belirli bir sayı gereklidir. Ancak "C" görevlerinde - kolayca.

Bu ders, en yaygın üstel denklemleri çözme örnekleri sağlar. Ana olanı vurgulayalım.

Pratik İpuçları:

1. Her şeyden önce, zemin derece. bakalım yapamayacaklar mı aynısı. Bunu aktif olarak kullanarak yapmaya çalışalım. yetkileri olan eylemler. Unutmayın ki x'siz sayılar da kuvvetlere dönüştürülebilir!

2. Sol ve sağ olduğunda üstel denklemi forma getirmeye çalışıyoruz. aynısı herhangi bir dereceye kadar sayılar. Kullanırız yetkileri olan eylemler ve çarpanlara ayırma. Sayılarla ne sayılabilir - sayarız.

3. İkinci tavsiye işe yaramadıysa, değişken ikamesini uygulamaya çalışırız. Sonuç, kolayca çözülebilen bir denklem olabilir. Çoğu zaman - kare. Veya kareye indirgeyen kesirli.

4. Üstel denklemleri başarılı bir şekilde çözmek için bazı sayıların derecelerini "görerek" bilmeniz gerekir.

Her zamanki gibi, dersin sonunda biraz çözmeye davetlisiniz.) Kendi başınıza. Basitten karmaşığa.

Üstel denklemleri çözün:

Daha zor:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Köklerin ürününü bulun:

2 3-x + 2x = 9

Olmuş?

Peki, o zaman en karmaşık örnek (ancak akılda çözüldü ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Daha ilginç olan nedir? O zaman işte size kötü bir örnek. Artan zorlukta oldukça çekiyor. Bu örnekte, tüm matematiksel görevleri çözmek için yaratıcılığın ve en evrensel kuralın kurtardığını ima edeceğim.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Gevşeme için bir örnek daha basittir):

9 2 x - 4 3 x = 0

Tatlı olarak da. Denklemin köklerinin toplamını bulun:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Evet evet! Bu karma tip bir denklemdir! Bu derste dikkate almadık. Ve onları ne düşünmeli, çözülmesi gerekiyor!) Bu ders denklemi çözmek için oldukça yeterli. Eh, marifet gereklidir ... Ve evet, yedinci sınıf size yardımcı olacaktır (bu bir ipucu!).

Yanıtlar (düzensiz, noktalı virgülle ayrılmış):

bir; 2; 3; dört; çözüm yok; 2; -2; -5; dört; 0.

Her şey başarılı mı? Harika.

Bir problem var? Sorun değil! Özel Bölüm 555'te tüm bu üstel denklemler detaylı açıklamalarla çözülmüştür. Ne, neden ve neden. Ve elbette, her türden üstel denklemle çalışma konusunda ek değerli bilgiler var. Sadece bunlarla değil.)

Düşünülmesi gereken son bir eğlenceli soru. Bu dersimizde üstel denklemlerle çalıştık. Neden burada ODZ hakkında bir şey söylemedim? Bu arada denklemlerde bu çok önemli bir şey...

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Tüm yeni video derslerden haberdar olmak için sitemizin youtube kanalına.

İlk olarak, derecelerin temel formüllerini ve özelliklerini hatırlayalım.

Bir sayının çarpımı a kendi başına n kez olur, bu ifadeyi a … a=a n şeklinde yazabiliriz.

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. bir n bir m = bir n + m

4. (bir n) m = bir nm

5. bir n b n = (ab) n

7. bir n / a m \u003d bir n - m

Güç veya üstel denklemler- bunlar, değişkenlerin kuvvetlerde (veya üslerde) olduğu ve tabanın bir sayı olduğu denklemlerdir.

Üstel denklem örnekleri:

Bu örnekte, 6 sayısı tabandır, her zaman alttadır ve değişken x derece veya ölçü.

Daha fazla üstel denklem örneği verelim.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Şimdi üstel denklemlerin nasıl çözüldüğüne bakalım.

Basit bir denklem alalım:

2 x = 2 3

Böyle bir örnek akılda bile çözülebilir. x=3 olduğu görülebilir. Sonuçta, sol ve sağ tarafların eşit olması için x yerine 3 sayısını koymanız gerekir.
Şimdi bu kararın nasıl verilmesi gerektiğine bakalım:

2 x = 2 3
x = 3

Bu denklemi çözmek için kaldırdık aynı gerekçe(yani ikililer) ve kalanları yazdı, bunlar derecelerdir. Aradığımız cevabı aldık.

Şimdi çözümümüzü özetleyelim.

Üstel denklemi çözmek için algoritma:
1. Kontrol etmeniz gerekiyor aynısı Sağda ve solda denklemin tabanları olsun. Gerekçeler aynı değilse, bu örneği çözmek için seçenekler arıyoruz.
2. Bazlar aynı olduktan sonra, kıyaslanmak derece ve elde edilen yeni denklemi çözün.

Şimdi birkaç örnek çözelim:

Basitten başlayalım.

Sol ve sağ taraftaki tabanlar 2 sayısına eşittir, bu da tabanı atıp derecelerini eşitleyebileceğimiz anlamına gelir.

x+2=4 En basit denklem ortaya çıktı.
x=4 - 2
x=2
Cevap: x=2

Aşağıdaki örnekte tabanların farklı olduğunu görebilirsiniz, bunlar 3 ve 9'dur.

3 3x - 9x + 8 = 0

Başlamak için, dokuzu sağ tarafa aktarıyoruz, şunu elde ediyoruz:

Şimdi aynı üsleri yapmanız gerekiyor. 9=3 2 olduğunu biliyoruz. (a n) m = a nm güç formülünü kullanalım.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 alıyoruz

3 3x \u003d 3 2x + 16 şimdi sol ve sağ taraftaki tabanların aynı ve üçe eşit olduğu açıktır, bu da onları atıp dereceleri eşitleyebileceğimiz anlamına gelir.

3x=2x+16 en basit denklemi elde etti
3x-2x=16
x=16
Cevap: x=16.

Aşağıdaki örneğe bakalım:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Öncelikle üslere bakıyoruz, üsler farklı iki ve dört. Ve aynı olmamız gerekiyor. Dörtlü (a n) m = a nm formülüne göre dönüştürüyoruz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ayrıca a n a m = a n + m formülünü de kullanırız:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Denkleme ekleyin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Aynı nedenlerle bir örnek verdik. Ancak diğer 10 ve 24 sayıları bize müdahale ediyor, onlarla ne yapmalı? Yakından bakarsanız, sol tarafta 2 2x tekrarladığımızı görebilirsiniz, işte cevap - 2 2x'i parantezlerin dışına koyabiliriz:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Parantez içindeki ifadeyi hesaplayalım:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Tüm denklemi 6'ya böleriz:

4=2 2 düşünün:

2 2x \u003d 2 2 taban aynıdır, onları atın ve dereceleri eşitleyin.
2x \u003d 2 en basit denklem olduğu ortaya çıktı. 2'ye bölersek,
x = 1
Cevap: x=1.

Denklemi çözelim:

9 x - 12*3 x +27= 0

Hadi dönüştürelim:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Denklemi elde ederiz:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Tabanlarımız aynı, üçe eşit.Bu örnekte, ilk üçlünün ikinciden (sadece x) iki kat (2x) dereceye sahip olduğu açıktır. Bu durumda karar verebilirsiniz ikame yöntemi. Derecesi en küçük olan sayı şu şekilde değiştirilir:

Sonra 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

t ile denklemde tüm dereceleri x'lerle değiştiririz:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
İkinci dereceden bir denklem elde ederiz. Diskriminant aracılığıyla çözeriz, şunu elde ederiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Değişkene Geri Dön x.

1'i alıyoruz:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Yani,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök bulundu. t 2'den ikincisini arıyoruz:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cevap: x 1 \u003d 2; x2 = 1.

Sitede YARDIM KARAR VER bölümünden merak ettiğiniz soruları sorabilirsiniz, size kesinlikle cevap vereceğiz.

Gruba katılmak

Benim sözümden korkmayın, bu yöntemle zaten 7. sınıfta polinomları okurken karşılaşmışsınızdır.

Örneğin, ihtiyacınız varsa:

Gruplandıralım: birinci ve üçüncü terimlerin yanı sıra ikinci ve dördüncü terimler.

Birinci ve üçüncünün karelerin farkı olduğu açıktır:

ve ikinci ve dördüncü ortak bir üç faktöre sahiptir:

O zaman orijinal ifade buna eşdeğerdir:

Ortak faktörün nereden çıkarılacağı artık zor değil:

Sonuç olarak,

Üstel denklemleri çözerken yaklaşık olarak böyle davranacağız: terimler arasında “ortaklığı” arayın ve parantezden çıkarın ve sonra - ne olursa olsun, şanslı olacağımıza inanıyorum =))

Örnek 14

Sağda yedi güçten uzak (kontrol ettim!) Ve solda - biraz daha iyi ...

Tabii ki, ikinci terimden a faktörünü birinci terimden “kesebilirsiniz” ve sonra aldığınız şeyle ilgilenebilirsiniz, ama gelin sizinle daha ihtiyatlı davranalım.

Kaçınılmaz olarak "seçim" tarafından üretilen kesirlerle uğraşmak istemiyorum, bu yüzden dayanmam daha iyi olmaz mı?

O zaman kesirlerim olmayacak: dedikleri gibi, hem kurtlar dolu hem de koyunlar güvende:

İfadeyi parantez içinde sayın.

Sihirli bir şekilde, sihirli bir şekilde ortaya çıkıyor (şaşırtıcı bir şekilde, başka ne bekleyebiliriz ki?).

Sonra denklemin her iki tarafını da bu faktörle azaltırız. Anlıyoruz: nerede.

İşte daha karmaşık bir örnek (biraz, gerçekten):

İşte sıkıntı! Burada ortak noktamız yok!

Şimdi ne yapılacağı tam olarak belli değil.

Ve elimizden geleni yapalım: ilk olarak, "dörtlü" bir yönde ve "beşli" diğerinde hareket edeceğiz:

Şimdi soldaki ve sağdaki "ortak" olanı çıkaralım:

Peki şimdi ne olacak?

Böyle aptal bir gruplandırmanın faydası nedir? İlk bakışta hiç görünmüyor, ama daha derine bakalım:

Şimdi, solda sadece c ifadesi ve sağda - diğer her şey olacak şekilde yapalım.

Nasıl yapabiliriz?

Ve işte şu şekilde: Denklemin her iki tarafını da önce (sağdaki üsten kurtulalım) ve sonra her iki tarafı da bölün (soldaki sayısal faktörden kurtulalım).

Sonunda şunu elde ederiz:

İnanılmaz!

Solda bir ifademiz var ve sağda - sadece.

O zaman hemen şu sonuca varıyoruz:

Örnek 15

Onun kısa çözümünü vereceğim (açıklamakla gerçekten uğraşmıyorum), çözümün tüm “inceliklerini” kendiniz bulmaya çalışacağım.

Şimdi kapsanan malzemenin son konsolidasyonu.

Aşağıdaki 7 görevi bağımsız olarak çözün (cevaplarla birlikte)

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkaralım:
2. İlk ifadeyi şu şekilde temsil ediyoruz: , her iki parçayı da bölün ve şunu elde edin
3. , sonra orijinal denklem şu şekle dönüştürülür: Şimdi bir ipucu - bu denklemi nerede çözdüğümüze bakın!
4. Nasıl, nasıl, ah, peki, sonra her iki parçayı da böldüğünü hayal edin, böylece en basit üstel denklemi elde edersiniz.
5. Parantezlerden çıkarın.
6. Parantezlerden çıkarın.

AÇIKLAMA DENKLEMLERİ. ORTALAMA SEVİYE

Sanırım ilk makaleyi okuduktan sonra, üstel denklemler nelerdir ve nasıl çözülür, en basit örnekleri çözmek için gereken minimum bilgi birikimine hakim oldunuz.

Şimdi üstel denklemleri çözmek için başka bir yöntemi analiz edeceğim, bu ...

Yeni bir değişken (veya ikame) tanıtma yöntemi

Üstel denklemler (ve sadece denklemler değil) konusundaki "zor" problemlerin çoğunu çözer.

Bu yöntem bunlardan biri pratikte en yaygın olarak kullanılır.Öncelikle konuya aşina olmanızı tavsiye ederim.

Adından da anladığınız gibi, bu yöntemin özü, üstel denkleminizin mucizevi bir şekilde zaten kolayca çözebileceğiniz bir değişkene dönüşeceği bir değişken değişikliği getirmektir.

Bu çok “basitleştirilmiş denklemi” çözdükten sonra size kalan tek şey “ters değiştirme” yapmaktır: yani değiştirilenden değiştirilene geri dönmek.

Az önce söylediğimizi çok basit bir örnekle açıklayalım:

Örnek 16. Basit değiştirme yöntemi

Bu denklem ile çözülür "basit ikame", matematikçilerin aşağılayıcı olarak adlandırdıkları gibi.

Gerçekten de, buradaki ikame en bariz olanıdır. Sadece bunun görülmesi gerekiyor

O zaman orijinal denklem şu hale gelir:

Ek olarak nasıl olduğunu hayal edersek, değiştirmenin gerekli olduğu oldukça açıktır ...

Tabii ki, .

O zaman orijinal denklem ne olur? Ve işte ne:

Köklerini kendi başınıza kolayca bulabilirsiniz:

Şimdi ne yapmalıyız?

Orijinal değişkene dönme zamanı.

Neyi dahil etmeyi unuttum?

Yani: belirli bir dereceyi yeni bir değişkenle değiştirirken (yani, bir türü değiştirirken), ilgileneceğim sadece pozitif kökler!

Nedenini kendiniz kolayca cevaplayabilirsiniz.

Bu nedenle, sizinle ilgilenmiyoruz, ancak ikinci kök bizim için oldukça uygundur:

Sonra nereye.

Cevap:

Gördüğünüz gibi, önceki örnekte, değiştirme elimizi soruyordu. Ne yazık ki, bu her zaman böyle değildir.

Ancak, doğrudan üzücü olana gitmeyelim, ancak oldukça basit bir değiştirme ile bir örnek üzerinde daha pratik yapalım.

Örnek 17. Basit değiştirme yöntemi

Büyük olasılıkla değiştirilmesi gerekeceği açıktır (bu, denklemimize dahil edilen güçlerin en küçüğüdür).

Bununla birlikte, bir değiştirmeyi tanıtmadan önce, denklemimizin bunun için “hazırlanması” gerekir, yani: , .

Sonra değiştirebilirsiniz, sonuç olarak aşağıdaki ifadeyi alacağım:

Oh dehşet: çözümü için kesinlikle korkunç formüllere sahip kübik bir denklem (genel anlamda konuşursak).

Ama hemen umutsuzluğa kapılmayalım, ne yapmamız gerektiğini düşünelim.

Aldatmayı önereceğim: "güzel" bir cevap alabilmek için üçün bir kuvvetini almamız gerektiğini biliyoruz (neden bu, ha?).

Ve denklemimizin en az bir kökünü tahmin etmeye çalışalım (üçün kuvvetlerinden tahmin etmeye başlayacağım).

İlk tahmin. bir kök değildir. Ne yazık ki...

.
Sol taraf eşittir.
Sağ kısım: !

Var! İlk kökü tahmin ettim. Şimdi işler daha kolay olacak!

"Köşe" bölme şeması hakkında bilginiz var mı? Elbette bilirsiniz, bir sayıyı diğerine bölerken kullanırsınız.

Ancak çok az insan aynı şeyin polinomlarla yapılabileceğini biliyor.

Harika bir teorem var:

Benim durumuma göre kalansız bölünebilir olanı söyler.

Bölünme nasıl yapılır? Bu nasıl:

Hangi tek terimliyi elde etmek için çarpmam gerektiğine bakıyorum

Açıktır ki, o zaman:

Ortaya çıkan ifadeyi şundan çıkarırım, şunu elde ederim:

Şimdi, elde etmek için neyi çarpmam gerekiyor?

Açıktır ki, o zaman alacağım:

ve elde edilen ifadeyi kalan ifadeden tekrar çıkarın:

Pekala, son adım, çarpıyorum ve kalan ifadeden çıkarıyorum:

Yaşasın, bölünme bitti! Özelde ne biriktirdik?

Kendi kendine: .

Sonra orijinal polinomun aşağıdaki genişlemesini elde ettik:

İkinci denklemi çözelim:

Kökleri vardır:

Sonra orijinal denklem:

üç kökü vardır:

Elbette, sıfırdan küçük olduğu için son kökü atıyoruz.

Ve ters değiştirmeden sonraki ilk ikisi bize iki kök verecektir:

Cevap: ..

Bu örnekle sizi korkutmak istemedim!

Aksine, oldukça basit bir ikamemiz olmasına rağmen, bunun çözümü bizden bazı özel beceriler gerektiren oldukça karmaşık bir denkleme yol açtığını göstermek için yola çıktım.

Eh, hiç kimse bundan bağışık değildir. Ancak bu durumdaki değişiklik oldukça açıktı.

Örnek #18 (daha az belirgin bir ikame ile)

Ne yapmamız gerektiği hiç belli değil: Sorun şu ki, denklemimizde iki farklı taban var ve bir taban diğerinden herhangi bir (makul, doğal olarak) herhangi bir güce yükseltilerek elde edilemez.

Ancak, ne görüyoruz?

Her iki taban da yalnızca işaret bakımından farklıdır ve ürünleri, bire eşit karelerin farkıdır:

Tanım:

Bu nedenle, örneğimizde baz olan sayılar eşleniktir.

Bu durumda akıllıca hareket Denklemin her iki tarafını eşlenik sayı ile çarpın.

Örneğin, o zaman denklemin sol tarafı eşit olacak ve sağ taraf olacak.

Bir değiştirme yaparsak, sizinle olan orijinal denklemimiz şöyle olacaktır:

kökleri, o zaman, ama bunu hatırlayarak, bunu anlıyoruz.

Cevap: , .

Kural olarak, değiştirme yöntemi "okul" üstel denklemlerinin çoğunu çözmek için yeterlidir.

Artan karmaşıklık düzeyindeki aşağıdaki görevler sınav seçeneklerinden alınmıştır.

Sınav seçeneklerinden artan karmaşıklığa sahip üç görev

Bu örnekleri kendi başınıza çözecek kadar okuryazarsınız zaten. Sadece gerekli değişimi vereceğim.

1. Denklemi çözün:
2. Denklemin köklerini bulun:
3. Denklemi çözün: . Segmente ait olan bu denklemin tüm köklerini bulun:

Şimdi bazı hızlı açıklamalar ve cevaplar için:

Örnek #19

Burada şunu belirtmek yeterlidir.

O zaman orijinal denklem buna eşdeğer olacaktır:

Bu denklem değiştirilerek çözülür.

Aşağıdaki hesaplamaları kendiniz yapın.

Sonunda, göreviniz en basit trigonometriyi (sinüs veya kosinüs'e bağlı olarak) çözmeye indirgenecektir. Bu tür örneklerin çözümünü diğer bölümlerde ele alacağız.

Örnek #20

Burada değiştirmeden bile yapabilirsiniz ...

Çıkarılanı sağa hareket ettirmek ve her iki tabanı da ikinin kuvvetleriyle sunmak yeterlidir: ve sonra hemen ikinci dereceden denkleme gidin.

Örnek 21

Aynı zamanda oldukça standart bir şekilde çözülür: nasıl olduğunu hayal edin.

Ardından, yerine ikinci dereceden bir denklem elde ederiz: sonra,

Logaritmanın ne olduğunu zaten biliyor musunuz? Değil? O zaman acilen konuyu okuyun!

İlk kök, açıkçası, segmente ait değil ve ikincisi anlaşılmaz!

Ama çok yakında öğreneceğiz!

O zamandan beri (bu logaritmanın bir özelliğidir!)

Her iki kısımdan da çıkar, sonra şunu elde ederiz:

Sol taraf şu şekilde temsil edilebilir:

her iki tarafı da şu şekilde çarpın:

ile çarpılabilir, o zaman

O zaman karşılaştıralım:

o zamandan beri:

Daha sonra ikinci kök istenen aralığa aittir.

Cevap:

Gördüğünüz gibi, üstel denklemlerin köklerinin seçimi, logaritmaların özellikleri hakkında oldukça derin bir bilgi gerektirir., bu yüzden üstel denklemleri çözerken mümkün olduğunca dikkatli olmanızı tavsiye ederim.

Bildiğiniz gibi matematikte her şey birbiriyle bağlantılıdır!

Matematik öğretmenimin dediği gibi: "Matematiği bir gecede tarih gibi okuyamazsınız."

Kural olarak, tüm artan karmaşıklık düzeyindeki problemleri çözmedeki zorluk, tam olarak denklemin köklerinin seçimidir.

Başka bir uygulama örneği...

Örnek 22

Denklemin kendisinin oldukça basit bir şekilde çözüldüğü açıktır.

Değiştirmeyi yaptıktan sonra, orijinal denklemimizi aşağıdakine indirgeriz:

İlk olarak, düşünelim ilk kök.

Karşılaştır ve: o zamandan beri. (logaritmik fonksiyonun özelliği, at).

O zaman ilk kökün de bizim aralığa ait olmadığı açıktır.

Şimdi ikinci kök: . Açıktır ki (çünkü fonksiyon artıyor).

Karşılaştırmak için kalır ve

o zamandan beri, aynı zamanda.

Böylece, ve arasında "peg kullanabilirim".

Bu mandal bir sayıdır.

İlk ifade küçüktür ve ikincisi büyüktür.

O zaman ikinci ifade birinciden daha büyüktür ve kök aralığa aittir.

Cevap: .

Sonuç olarak, değiştirmenin standart dışı olduğu başka bir denklem örneğine bakalım.

Örnek 23 (Standart olmayan bir ikame ile bir denklem!)

Hemen ne yapabileceğinizle başlayalım ve ne - prensipte yapabilirsiniz, ancak yapmamak daha iyidir.

Her şeyi üç, iki ve altının güçleriyle temsil etmek mümkündür.

Nereye götürüyor?

Evet ve hiçbir şeye yol açmayacak: bazılarından kurtulması oldukça zor olacak bir derece karmakarışıklığı.

O zaman neye ihtiyaç var?

not edelim ki bir

Ve bize ne verecek?

Ve bu örneğin çözümünü oldukça basit bir üstel denklemin çözümüne indirgeyebileceğimiz gerçeği!

İlk önce denklemimizi şu şekilde yeniden yazalım:

Şimdi ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da bölüyoruz:

Evreka! Şimdi değiştirebiliriz, şunu elde ederiz:

Pekala, şimdi gösteri için sorunları çözme sırası sizde ve yanlış yola sapmamanız için onlara sadece kısa yorumlar vereceğim! İyi şanlar!

Örnek #24

En zor!

Burada bir yedek görmek ah, ne kadar çirkin! Yine de, bu örnek kullanılarak tamamen çözülebilir tam kare seçimi.

Bunu çözmek için şunu belirtmek yeterlidir:

İşte sizin yedeğiniz:

(Burada, bizim değiştirmemizle, negatif kökü atamayacağımıza dikkat edin!!! Ve neden, ne düşünüyorsunuz?)

Şimdi, örneği çözmek için iki denklemi çözmeniz gerekiyor:

Her ikisi de "standart değiştirme" ile çözüldü (ancak bir örnekte ikincisi!)

Örnek 25

2. Bunu fark edin ve bir değişiklik yapın.

Örnek #26

3. Sayıyı asal çarpanlara genişletin ve elde edilen ifadeyi basitleştirin.

Örnek #27

4. Kesrin payını ve paydasını (veya tercih ederseniz) ile bölün ve veya yerine koyun.

Örnek #28

5. Sayıların ve sayıların eşlenik olduğuna dikkat edin.

ÜSLÜ DENKLEMLERİN LOGARIFLEME YÖNTEMİYLE ÇÖZÜMÜ. İLERİ DÜZEY

Ek olarak, başka bir yola bakalım - logaritma yöntemiyle üstel denklemlerin çözümü.

Bu yöntemle üstel denklemlerin çözümünün çok popüler olduğunu söyleyemem, ancak bazı durumlarda sadece denklemimizin doğru çözümüne bizi götürebilir.

Özellikle sık sık sözde çözmek için kullanılır " karışık denklemler': yani, farklı türde işlevlerin olduğu yerler.

Örnek #29

genel durumda, yalnızca orijinal denklemin aşağıdakine dönüştüğü her iki parçanın (örneğin, tabana göre) logaritması alınarak çözülebilir:

Aşağıdaki örneği ele alalım:

Sadece logaritmik fonksiyonun ODZ'si ile ilgilendiğimiz açıktır.

Bununla birlikte, bu sadece logaritmanın ODZ'sinden değil, başka bir nedenden de kaynaklanmaktadır.

Hangisi olduğunu tahmin etmenizin zor olmayacağını düşünüyorum.

Denklemin her iki tarafının logaritmasını tabana alalım:

Gördüğünüz gibi, orijinal denklemimizin logaritmasını almak bizi hızlı bir şekilde doğru (ve güzel!) cevaba götürdü.

Bir örnekle daha çalışalım.

Örnek #30

Burada da endişelenecek bir şey yok: denklemin her iki tarafının taban cinsinden logaritmasını alıyoruz, sonra şunu elde ediyoruz:

Bir değiştirme yapalım:

Ancak, bir şeyi kaçırdık! Nerede hata yaptığımı fark ettin mi? Sonuçta, o zaman:

hangi gereksinimi karşılamaz (nereden geldiğini düşünün!)

Cevap:

Aşağıdaki üstel denklemlerin çözümünü yazmaya çalışın:

Şimdi çözümünüzü bununla kontrol edin:

Örnek #31

Aşağıdakiler göz önüne alındığında, her iki parçanın da logaritmasını tabana alıyoruz:

(ikinci kök, değiştirme nedeniyle bize uymuyor)

Örnek #32

Tabana logaritma:

Ortaya çıkan ifadeyi aşağıdaki forma dönüştürelim:

AÇIKLAMA DENKLEMLERİ. KISA AÇIKLAMA VE TEMEL FORMÜL

üstel denklem

Tip denklemi:

aranan en basit üstel denklem.

Derece özellikleri

Çözüm Yaklaşımları

• Aynı tabana indirgeme
• Aynı üsse indirgeme
• Değişken ikame
• İfadeyi sadeleştirin ve yukarıdakilerden birini uygulayın.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgi amaçlıdır ve sunumun tam kapsamını temsil etmeyebilir. Eğer ilgini çektiyse bu iş lütfen tam sürümü indirin.

ders türü

: “Üssel denklemler ve bunları çözmenin yolları” konusundaki bilgi, beceri ve yeteneklerin genelleştirilmesi ve karmaşık uygulaması hakkında bir ders.

Ders hedefleri.

Öğreticiler:

“Üslü denklemler, çözümleri” konusunun ana materyalini tekrarlamak ve sistematize etmek; çeşitli türlerde üstel denklemleri çözerken uygun algoritmaları kullanma yeteneğini pekiştirmek; sınava hazırlık.

Geliştirme:

öğrencilerin mantıksal ve ilişkisel düşünmelerini geliştirmek; bilginin bağımsız uygulama becerisinin gelişimini teşvik etmek.

eğitici:

Denklemleri çözmede amaçlılık, dikkat ve doğruluk geliştirmek.

Teçhizat:

bilgisayar ve multimedya projektörü.

ders kullanır Bilgi Teknolojisi : ders için metodolojik destek - Microsoft Power Point'te sunum.

Dersler sırasında

Her beceri sıkı çalışma ile gelir.

BEN. Dersin hedefini belirleme(2 numaralı slayt )

Bu dersimizde “Üslü Denklemler, Çözümleri” konusunu özetleyip genelleyeceğiz. Bu konudaki farklı yılların sınavının tipik görevlerini tanıyalım.

Üstel denklemleri çözme görevleri, USE görevlerinin herhangi bir bölümünde bulunabilir. Parçada " " genellikle en basit üstel denklemleri çözmeyi önerir. Parçada " İTİBAREN " çözümü genellikle görevin aşamalarından biri olan daha karmaşık üstel denklemlerle karşılaşabilirsiniz.

Örneğin ( 3 numaralı slayt ).

• KULLANIM - 2007

B 4 - İfadenin en büyük değerini bulun x y, nerede ( X; de) sistemin çözümüdür:

• KULLANIM - 2008

B 1 - Denklemleri Çöz:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• KULLANIM - 2009

B 4 - İfadenin değerini bulun x + y, nerede ( X; de) sistemin çözümüdür:

• KULLANIM - 2010

– Denklemi çözün: 7 X– 2 = 49. – Denklemin köklerini bulun: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Denklem sistemini çözün:

II. Temel bilgilerin güncellenmesi. Tekrarlama

(Slaytlar #4 – 6 sınıf sunumları)

ekran gösteriliyor teorik materyalin referans özeti Bu konuda.

Aşağıdaki sorular tartışılmaktadır:

1. Hangi denklemler denir gösterge?
2. Bunları çözmenin ana yollarını adlandırın. türlerine örnekler veriniz ( 4 numaralı slayt )

(Her yöntem için önerilen denklemleri kendi kendinize çözün ve slaytı kullanarak kendi kendine test yapın)

3. Formun en basit üstel denklemlerini çözmek için hangi teorem kullanılır: ve f(x) = bir g(x) ?
4. Üstel denklemleri çözmek için başka hangi yöntemler var? ( 5 numaralı slayt )

• Çarpanlara ayırma yöntemi
(kuvvetlerin özelliklerine göre aynı bazlar, alım: en düşük göstergeye sahip derece parantez içinden alınır).
• Homojen üstel denklemleri çözerken sıfırdan farklı bir üstel ifade ile bölme (çarpma) alımı
.

• Tavsiye:

üstel denklemleri çözerken, önce denklemin her iki bölümünde de aynı tabanlara sahip dereceler elde ederek dönüşümler yapmak yararlıdır.

1. Denklemleri son iki yöntemle ve ardından yorumlarla çözme

(slayt numarası 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. KULLANIM görevlerini çözme 2010

Öğrenciler, 3 numaralı slaytta dersin başında önerilen görevleri, çözüm talimatlarını kullanarak bağımsız olarak çözer, çözümlerini ve sunuyu kullanarak cevaplarını kontrol eder ( 7 numaralı slayt). Çalışma sürecinde, çözüm seçenekleri ve yöntemleri tartışılır, çözümdeki olası hatalara dikkat çekilir.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7x = 36. Cevap: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (0,5 \u003d 4 - 0,5'i değiştirebilirsiniz)

Çözüm. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Cevap: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5tg y+ 4 = 5 -tg y, cos'ta y< 0.

Karar için öneri

. 5 5 kilo y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tl y 0,

5 5 2g y+ 4 5 tg y- 1 = 0. X= 5 tg y , …

5 kilo y = -1 (?...), 5 kilo y= 1/5.

TG'den beri y= -1 ve cos y< 0, o zaman de II koordinat çeyreği

Cevap: de= 3/4 + 2k, k N.

IV. Beyaz Tahta İşbirliği

Yüksek düzeyde bir öğrenme görevi kabul edilir - 8 numaralı slayt. Bu slayt yardımıyla öğretmen ve öğrenciler arasında çözümün geliştirilmesine katkıda bulunan bir diyalog vardır.

- Hangi parametrede a denklem 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0'ın iki kökü var mı?

İzin vermek t= 2 X, nerede t > 0 . alırız t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

bir). Denklemin iki kökü olduğundan, D > 0;

2). Çünkü t 1,2 > 0, o zaman t 1 t 2 > 0, yani a 2 – 4a> 0 (?...).

Cevap: a(– 0,5; 0) veya (4; 4,5).

V. Doğrulama çalışması

(9 numaralı slayt )

Öğrenciler gerçekleştirmek doğrulama çalışması broşürler üzerinde, kendini kontrol etme ve bir sunum yardımıyla yapılan çalışmanın öz değerlendirmesini yapma, konuda kendini ifade etme. Çalışma kitaplarında yapılan hatalara dayanarak bilgiyi düzenlemek ve düzeltmek için bağımsız olarak kendileri için bir program belirlerler. Tamamlanmış bağımsız çalışma içeren sayfalar, doğrulama için öğretmene teslim edilir.

Altı çizili sayılar - yıldız işaretiyle temel düzey - artan karmaşıklık.

Çözüm ve cevaplar.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (uygun değil),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Ev ödevi

(10 numaralı slayt )

• § 11, 12'yi tekrarlayın.
• Birleşik Devlet Sınavı 2008 - 2010 materyallerinden konuyla ilgili görevleri seçin ve çözün.
• Evde test çalışması
: