ઘાતાંકીય સમીકરણો. લોગરીધમ પદ્ધતિ. ઘાતાંકીય સમીકરણોનો ઉકેલ. ઉદાહરણો સરળ ઘાતાંકીય સમીકરણોના ઉકેલ

આ પાઠ એવા લોકો માટે છે જેઓ માત્ર ઘાતાંકીય સમીકરણો શીખવાનું શરૂ કરી રહ્યા છે. હંમેશની જેમ, ચાલો વ્યાખ્યા અને સરળ ઉદાહરણો સાથે પ્રારંભ કરીએ.

જો તમે આ પાઠ વાંચી રહ્યા છો, તો મને શંકા છે કે તમારી પાસે પહેલાથી જ સરળ સમીકરણોની ઓછામાં ઓછી સમજણ છે - રેખીય અને ચોરસ: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ વગેરે. હવે ચર્ચા કરવામાં આવશે તે વિષયમાં "અટકી" ન રહેવા માટે આવા બાંધકામોને હલ કરવામાં સક્ષમ થવા માટે એકદમ જરૂરી છે.

તેથી, ઘાતાંકીય સમીકરણો. ચાલો હું તમને થોડા ઉદાહરણો આપું:

\[(2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

તેમાંના કેટલાક તમને વધુ જટિલ લાગે છે, તેમાંના કેટલાક, તેનાથી વિપરીત, ખૂબ સરળ છે. પરંતુ તે બધા એક મહત્વપૂર્ણ લક્ષણ દ્વારા એક થયા છે: તેમાં $f\left(x \right)=((a)^(x))$ એક ઘાતાંકીય કાર્ય છે. આમ, અમે વ્યાખ્યા રજૂ કરીએ છીએ:

ઘાતાંકીય સમીકરણ એ કોઈપણ સમીકરણ છે જેમાં ઘાતાંકીય કાર્ય હોય છે, એટલે કે. $(a)^(x))$ ફોર્મની અભિવ્યક્તિ. ઉલ્લેખિત કાર્ય ઉપરાંત, આવા સમીકરણોમાં બીજગણિતીય બાંધકામો - બહુપદી, મૂળ, ત્રિકોણમિતિ, લઘુગણક વગેરે હોઈ શકે છે.

ઠીક પછી. વ્યાખ્યા સમજાઈ. હવે પ્રશ્ન એ છે કે આ બધી બકવાસ કેવી રીતે ઉકેલવી? જવાબ એક જ સમયે સરળ અને જટિલ બંને છે.

ચાલો સારા સમાચાર સાથે શરૂઆત કરીએ: ઘણા વિદ્યાર્થીઓ સાથેના મારા અનુભવ પરથી, હું કહી શકું છું કે તેમાંથી મોટાભાગના માટે, ઘાતાંકીય સમીકરણો સમાન લઘુગણક કરતાં વધુ સરળ છે, અને તેનાથી પણ વધુ ત્રિકોણમિતિ.

પરંતુ એક ખરાબ સમાચાર પણ છે: કેટલીકવાર તમામ પ્રકારની પાઠયપુસ્તકો અને પરીક્ષાઓ માટેની સમસ્યાઓના સંકલનકર્તાઓને "પ્રેરણા" દ્વારા મુલાકાત લેવામાં આવે છે, અને તેમના ડ્રગ-ફૂલેલા મગજ એવા ક્રૂર સમીકરણો ઉત્પન્ન કરવાનું શરૂ કરે છે કે તે માત્ર વિદ્યાર્થીઓ માટે જ નહીં, પરંતુ તેમને હલ કરવા માટે સમસ્યારૂપ બને છે - ઘણા શિક્ષકો પણ આવી સમસ્યાઓમાં અટવાઈ જાય છે.

જો કે, ચાલો ઉદાસી વસ્તુઓ વિશે વાત ન કરીએ. અને ચાલો તે ત્રણ સમીકરણો પર પાછા ફરીએ જે વાર્તાની શરૂઆતમાં જ આપવામાં આવ્યા હતા. ચાલો તેમાંથી દરેકને હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

પ્રથમ સમીકરણ: $((2)^(x))=4$. સારું, નંબર 4 મેળવવા માટે નંબર 2 ને કઈ શક્તિ સુધી વધારવો જોઈએ? કદાચ બીજું? છેવટે, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — અને અમે સાચી સંખ્યાત્મક સમાનતા મેળવી છે, એટલે કે. ખરેખર $x=2$. સારું, આભાર, કેપ, પરંતુ આ સમીકરણ એટલું સરળ હતું કે મારી બિલાડી પણ તેને હલ કરી શકે છે. :)

ચાલો નીચેના સમીકરણ જોઈએ:

\[(5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

પરંતુ અહીં તે થોડું વધારે મુશ્કેલ છે. ઘણા વિદ્યાર્થીઓ જાણે છે કે $((5)^(2))=25$ એ ગુણાકાર કોષ્ટક છે. કેટલાકને એવી પણ શંકા છે કે $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ એ અનિવાર્યપણે નકારાત્મક ઘાતાંકની વ્યાખ્યા છે (સૂત્ર $((a)^(-n))=\ frac(1)(((a)^(n)))$).

છેલ્લે, માત્ર અમુક પસંદગીના લોકો અનુમાન લગાવે છે કે આ તથ્યોને જોડી શકાય છે અને આઉટપુટ નીચે મુજબનું પરિણામ છે:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)((5)^(2))=(5)^(-2))\]

આમ, આપણું મૂળ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવામાં આવશે:

\[(5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

અને હવે આ પહેલેથી જ સંપૂર્ણપણે હલ થઈ ગયું છે! સમીકરણની ડાબી બાજુએ ઘાતાંકીય કાર્ય છે, સમીકરણની જમણી બાજુએ ઘાતાંકીય કાર્ય છે, તેમના સિવાય બીજે ક્યાંય કંઈ નથી. તેથી, પાયાને "કાઢી નાખવું" અને મૂર્ખતાપૂર્વક સૂચકાંકોને સમાન કરવું શક્ય છે:

અમને સૌથી સરળ રેખીય સમીકરણ મળ્યું છે જે કોઈપણ વિદ્યાર્થી માત્ર બે લીટીઓમાં ઉકેલી શકે છે. ઠીક છે, ચાર લીટીઓમાં:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

જો તમે છેલ્લી ચાર લીટીઓમાં શું થયું તે સમજી શકતા નથી, તો "રેખીય સમીકરણો" વિષય પર પાછા ફરવાની ખાતરી કરો અને તેનું પુનરાવર્તન કરો. કારણ કે આ વિષયના સ્પષ્ટ જોડાણ વિના, તમારા માટે ઘાતાંકીય સમીકરણો લેવાનું ખૂબ જ વહેલું છે.

\[(9)^(x))=-3\]

સારું, તમે કેવી રીતે નક્કી કરશો? પ્રથમ વિચાર: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, તેથી મૂળ સમીકરણ આ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[(\left(((3)^(2)) \જમણે))^(x))=-3\]

પછી આપણે યાદ કરીએ છીએ કે જ્યારે પાવરની ડિગ્રી વધારતી વખતે, સૂચકાંકોનો ગુણાકાર થાય છે:

\[(\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

અને આવા નિર્ણય માટે, અમને પ્રામાણિકપણે લાયક ડ્યુસ મળે છે. કારણ કે અમે પોકેમોનની સમાનતા સાથે, ત્રણેયની સામે માઈનસ સાઈન આ ત્રણની શક્તિ પર મોકલી આપી છે. અને તમે તે કરી શકતા નથી. અને તેથી જ. ટ્રિપલની વિવિધ શક્તિઓ પર એક નજર નાખો:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)) 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(મેટ્રિક્સ)\]

આ ટેબ્લેટનું સંકલન કરીને, મેં જલદી વિકૃત કર્યું નથી: મેં સકારાત્મક ડિગ્રી, અને નકારાત્મક અને અપૂર્ણાંક પણ ધ્યાનમાં લીધી ... સારું, અહીં ઓછામાં ઓછી એક નકારાત્મક સંખ્યા ક્યાં છે? તે નથી! અને તે ન હોઈ શકે, કારણ કે ઘાતાંકીય કાર્ય $y=((a)^(x))$, સૌ પ્રથમ, હંમેશા માત્ર હકારાત્મક મૂલ્યો જ લે છે (ભલે તમે એકનો કેટલો પણ ગુણાકાર કરો અથવા બે વડે ભાગો, તે હજુ પણ એક હશે ધન સંખ્યા), અને બીજું, આવા ફંક્શનનો આધાર, $a$, એ વ્યાખ્યા મુજબ ધન સંખ્યા છે!

સારું, તો પછી સમીકરણ $((9)^(x))=-3$ કેવી રીતે હલ કરવું? ના, ત્યાં કોઈ મૂળ નથી. અને આ અર્થમાં, ઘાતાંકીય સમીકરણો ચતુર્ભુજ સમીકરણો જેવા જ છે - ત્યાં કોઈ મૂળ પણ હોઈ શકે નહીં. પરંતુ જો ચતુર્ભુજ સમીકરણોમાં મૂળની સંખ્યા ભેદભાવકર્તા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (ભેદભાવ હકારાત્મક છે - 2 મૂળ, નકારાત્મક - કોઈ મૂળ નથી), તો પછી ઘાતાંકીય સમીકરણોમાં તે બધું સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુએ શું છે તેના પર નિર્ભર છે.

આમ, અમે મુખ્ય નિષ્કર્ષ ઘડીએ છીએ: ફોર્મ $((a)^(x))=b$નું સૌથી સરળ ઘાતાંકીય સમીકરણ જો અને માત્ર $b \gt 0$ હોય તો મૂળ ધરાવે છે. આ સરળ હકીકતને જાણીને, તમે સરળતાથી નક્કી કરી શકો છો કે તમને પ્રસ્તાવિત સમીકરણમાં મૂળ છે કે નહીં. તે. શું તે તેને હલ કરવા યોગ્ય છે અથવા તરત જ લખો કે ત્યાં કોઈ મૂળ નથી.

જ્યારે આપણે વધુ જટિલ સમસ્યાઓ ઉકેલવી હોય ત્યારે આ જ્ઞાન આપણને ઘણી વખત મદદ કરશે. આ દરમિયાન, પર્યાપ્ત ગીતો - ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે મૂળભૂત અલ્ગોરિધમનો અભ્યાસ કરવાનો સમય છે.

ઘાતાંકીય સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા

તેથી, ચાલો સમસ્યાની રચના કરીએ. ઘાતાંકીય સમીકરણ ઉકેલવા માટે તે જરૂરી છે:

\[(a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

"નિષ્કપટ" અલ્ગોરિધમ મુજબ જેનો આપણે અગાઉ ઉપયોગ કર્યો છે, તે $b$ ને $a$ નંબરની શક્તિ તરીકે રજૂ કરવું જરૂરી છે:

વધુમાં, જો $x$ ચલને બદલે કોઈ અભિવ્યક્તિ હોય, તો આપણને એક નવું સમીકરણ મળશે, જે પહેલાથી જ ઉકેલી શકાય છે. દાખ્લા તરીકે:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=(5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\અંત(સંરેખિત)\]

અને વિચિત્ર રીતે, આ યોજના લગભગ 90% કેસોમાં કામ કરે છે. પછી અન્ય 10% વિશે શું? બાકીના 10% ફોર્મના સહેજ "સ્કિઝોફ્રેનિક" ઘાતાંકીય સમીકરણો છે:

\[(2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

3 મેળવવા માટે તમારે 2 વધારવાની જરૂર છે? પ્રથમ માં? પરંતુ ના: $((2)^(1))=2$ પૂરતું નથી. બીજામાં? ન તો: $((2)^(2))=4$ બહુ વધારે નથી. પછી શું?

જાણકાર વિદ્યાર્થીઓએ કદાચ પહેલેથી જ અનુમાન લગાવ્યું છે: આવા કિસ્સાઓમાં, જ્યારે "સુંદર રીતે" હલ ​​કરવું અશક્ય છે, ત્યારે "ભારે આર્ટિલરી" કેસ સાથે જોડાયેલ છે - લોગરીધમ્સ. ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે લઘુગણકનો ઉપયોગ કરીને, કોઈપણ સકારાત્મક સંખ્યાને કોઈપણ અન્ય હકારાત્મક સંખ્યાની શક્તિ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે (એક અપવાદ સિવાય):

આ સૂત્ર યાદ છે? જ્યારે હું મારા વિદ્યાર્થીઓને લઘુગણક વિશે કહું છું, ત્યારે હું હંમેશા તમને ચેતવણી આપું છું: આ સૂત્ર (તે મૂળભૂત લઘુગણક ઓળખ પણ છે અથવા, જો તમને ગમે તો, લઘુગણકની વ્યાખ્યા) તમને ખૂબ લાંબા સમય સુધી હેરાન કરશે અને સૌથી વધુ "ઉભરશે". અનપેક્ષિત સ્થાનો. સારું, તેણી સપાટી પર આવી. ચાલો આપણા સમીકરણ અને આ સૂત્ર જોઈએ:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(સંરેખિત કરો) \]

જો આપણે ધારીએ કે $a=3$ એ આપણી જમણી બાજુની મૂળ સંખ્યા છે, અને $b=2$ એ ઘાતાંકીય ફંક્શનનો ખૂબ જ આધાર છે કે જેના માટે આપણે જમણી બાજુ ઘટાડવા માંગીએ છીએ, તો આપણને નીચે મુજબ મળે છે:

\[\begin(align)& a=(b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\લોગ )_(2))3. \\\અંત(સંરેખિત)\]

અમને થોડો વિચિત્ર જવાબ મળ્યો: $x=((\log )_(2))3$. અન્ય કોઈ કાર્યમાં, આવા જવાબ સાથે, ઘણા શંકા કરશે અને તેમના ઉકેલને બે વાર તપાસવાનું શરૂ કરશે: જો ક્યાંક ભૂલ થઈ ગઈ હોય તો શું? હું તમને ખુશ કરવા ઉતાવળ કરું છું: અહીં કોઈ ભૂલ નથી, અને ઘાતાંકીય સમીકરણોના મૂળમાં લઘુગણક તદ્દન લાક્ષણિક પરિસ્થિતિ છે. તો તેની આદત પાડો. :)

હવે આપણે બાકીના બે સમીકરણોને સમાનતા દ્વારા હલ કરીએ છીએ:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)(\log )_(4))11. \\\અંત(સંરેખિત)\]

બસ એટલું જ! માર્ગ દ્વારા, છેલ્લો જવાબ અલગ રીતે લખી શકાય છે:

તે અમે જ હતા જેમણે લઘુગણકની દલીલમાં ગુણકનો પરિચય આપ્યો હતો. પરંતુ કોઈ પણ અમને આ પરિબળને આધારમાં ઉમેરવાથી અટકાવતું નથી:

તદુપરાંત, ત્રણેય વિકલ્પો સાચા છે - તે એક જ નંબર લખવાના વિવિધ સ્વરૂપો છે. આ નિર્ણયમાં કયું પસંદ કરવું અને લખવું તે તમારા પર છે.

આમ, અમે $(a)^(x))=b$ ફોર્મના કોઈપણ ઘાતાંકીય સમીકરણોને ઉકેલવાનું શીખ્યા છીએ, જ્યાં $a$ અને $b$ સંખ્યાઓ સખત હકારાત્મક છે. જો કે, આપણા વિશ્વની કઠોર વાસ્તવિકતા એ છે કે આવા સરળ કાર્યો તમને ખૂબ જ ભાગ્યે જ મળશે. વધુ વખત તમે આના જેવું કંઈક આવશો:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\અંત(સંરેખિત)\]

સારું, તમે કેવી રીતે નક્કી કરશો? શું આ બિલકુલ ઉકેલી શકાય છે? અને જો એમ હોય તો, કેવી રીતે?

કોઈ ગભરાટ નથી. આ બધા સમીકરણો ઝડપથી અને સરળ રીતે તે સરળ સૂત્રોમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે જે આપણે પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લીધા છે. બીજગણિત કોર્સમાંથી કેટલીક યુક્તિઓ યાદ રાખવા માટે તમારે ફક્ત જાણવાની જરૂર છે. અને અલબત્ત, અહીં ડિગ્રી સાથે કામ કરવા માટે કોઈ નિયમો નથી. હું હવે આ બધા વિશે વાત કરીશ. :)

ઘાતાંકીય સમીકરણોનું પરિવર્તન

યાદ રાખવાની પ્રથમ વસ્તુ એ છે કે કોઈપણ ઘાતાંકીય સમીકરણ, ભલે તે ગમે તેટલું જટિલ હોય, એક અથવા બીજી રીતે સરળ સમીકરણો સુધી ઘટાડવું જોઈએ - તે જ જે આપણે પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લીધા છે અને જેને આપણે કેવી રીતે હલ કરવું તે જાણીએ છીએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈપણ ઘાતાંકીય સમીકરણને ઉકેલવા માટેની યોજના આના જેવી દેખાય છે:

1. મૂળ સમીકરણ લખો. ઉદાહરણ તરીકે: $((4)^(x))+(4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. કેટલાક મૂર્ખ છી કરો. અથવા તો "સમીકરણનું રૂપાંતર" તરીકે ઓળખાતી કેટલીક વાહિયાત;
3. આઉટપુટ પર, $((4)^(x))=4$ અથવા તેના જેવું બીજું કંઈક જેવા સરળ સમીકરણો મેળવો. તદુપરાંત, એક પ્રારંભિક સમીકરણ એકસાથે આવી અનેક અભિવ્યક્તિઓ આપી શકે છે.

પ્રથમ મુદ્દા સાથે, બધું સ્પષ્ટ છે - મારી બિલાડી પણ પાન પર સમીકરણ લખી શકે છે. ત્રીજા મુદ્દા સાથે, એવું પણ લાગે છે, તે વધુ કે ઓછું સ્પષ્ટ છે - અમે ઉપરના આવા સમીકરણોનો સંપૂર્ણ સમૂહ પહેલેથી જ ઉકેલી લીધો છે.

પરંતુ બીજા મુદ્દા વિશે શું? પરિવર્તનો શું છે? શેમાં કન્વર્ટ કરવું? અને કેવી રીતે?

સારું, ચાલો તેને આકૃતિ કરીએ. સૌ પ્રથમ, હું નીચેની બાબતો તરફ ધ્યાન દોરવા માંગુ છું. તમામ ઘાતાંકીય સમીકરણો બે પ્રકારમાં વહેંચાયેલા છે:

1. સમીકરણ સમાન આધાર સાથે ઘાતાંકીય કાર્યોથી બનેલું છે. ઉદાહરણ: $((4)^(x))+(4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. સૂત્રમાં વિવિધ પાયા સાથે ઘાતાંકીય કાર્યો છે. ઉદાહરણો: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ અને $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

ચાલો પ્રથમ પ્રકારનાં સમીકરણોથી પ્રારંભ કરીએ - તે ઉકેલવા માટે સૌથી સરળ છે. અને તેમના ઉકેલમાં અમને સ્થિર અભિવ્યક્તિઓની પસંદગી જેવી તકનીક દ્વારા મદદ કરવામાં આવશે.

સ્થિર અભિવ્યક્તિને હાઇલાઇટ કરવી

ચાલો આ સમીકરણને ફરી જોઈએ:

\[(4)^(x))+((4)^(x-1))=(4)^(x+1))-11\]

આપણે શું જોઈએ છીએ? ચારને અલગ-અલગ ડિગ્રીમાં ઉછેરવામાં આવ્યા છે. પરંતુ આ બધી શક્તિઓ અન્ય સંખ્યાઓ સાથે $x$ ચલનો સરળ સરવાળો છે. તેથી, ડિગ્રી સાથે કામ કરવાના નિયમો યાદ રાખવા જરૂરી છે:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a) )^(y))). \\\અંત(સંરેખિત)\]

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, ઘાતાંકના સરવાળાને સત્તાના ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે, અને બાદબાકી સરળતાથી વિભાજનમાં રૂપાંતરિત થાય છે. ચાલો આ સૂત્રોને આપણા સમીકરણમાંથી શક્તિઓ પર લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\અંત(સંરેખિત કરો)\]

અમે આ હકીકતને ધ્યાનમાં લઈને મૂળ સમીકરણને ફરીથી લખીએ છીએ, અને પછી અમે ડાબી બાજુની બધી શરતો એકત્રિત કરીએ છીએ:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 - અગિયાર; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-(4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\અંત(સંરેખિત)\]

પ્રથમ ચાર શબ્દોમાં તત્વ $((4)^(x))$ હોય છે — ચાલો તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\અંત(સંરેખિત)\]

તે સમીકરણના બંને ભાગોને અપૂર્ણાંક $-\frac(11)(4)$ દ્વારા વિભાજીત કરવાનું બાકી છે, એટલે કે. અનિવાર્યપણે ઊંધી અપૂર્ણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરો - $-\frac(4)(11)$. અમને મળે છે:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\અંત(સંરેખિત)\]

બસ એટલું જ! અમે મૂળ સમીકરણને સરળમાં ઘટાડી અને અંતિમ જવાબ મેળવ્યો.

તે જ સમયે, ઉકેલની પ્રક્રિયામાં, અમે સામાન્ય પરિબળ $((4)^(x))$ શોધ્યું (અને કૌંસમાંથી પણ બહાર કાઢ્યું) - આ સ્થિર અભિવ્યક્તિ છે. તેને નવા ચલ તરીકે નિયુક્ત કરી શકાય છે, અથવા તમે તેને સચોટ રીતે વ્યક્ત કરી શકો છો અને જવાબ મેળવી શકો છો. કોઈ પણ સંજોગોમાં, ઉકેલનો મુખ્ય સિદ્ધાંત નીચે મુજબ છે:

મૂળ સમીકરણમાં ચલ ધરાવતી સ્થિર અભિવ્યક્તિ શોધો જે તમામ ઘાતાંકીય કાર્યોથી સરળતાથી અલગ પડે છે.

સારા સમાચાર એ છે કે લગભગ દરેક ઘાતાંકીય સમીકરણ આવી સ્થિર અભિવ્યક્તિને સ્વીકારે છે.

પરંતુ ખરાબ સમાચાર પણ છે: આવા અભિવ્યક્તિઓ ખૂબ જ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે, અને તેમને અલગ પાડવું ખૂબ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે. તો ચાલો બીજી સમસ્યા જોઈએ:

\[(5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

કદાચ હવે કોઈને પ્રશ્ન થશે: “પાશા, તને પથ્થરમારો થયો છે? અહીં વિવિધ પાયા છે - 5 અને 0.2. પરંતુ ચાલો આધાર 0.2 સાથે પાવર કન્વર્ટ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંકથી છુટકારો મેળવીએ, તેને સામાન્યમાં લાવીએ:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \જમણે))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, નંબર 5 હજુ પણ દેખાયો છે, તેમ છતાં છેદમાં. તે જ સમયે, સૂચક નકારાત્મક તરીકે ફરીથી લખવામાં આવ્યો હતો. અને હવે અમે ડિગ્રી સાથે કામ કરવા માટેના સૌથી મહત્વપૂર્ણ નિયમોમાંના એકને યાદ કરીએ છીએ:

\[((a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

અહીં, અલબત્ત, મેં થોડી છેતરપિંડી કરી. કારણ કે સંપૂર્ણ સમજણ માટે, નકારાત્મક સૂચકાંકોથી છુટકારો મેળવવા માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ લખવું જરૂરી હતું:

\[(a)^(-n))=\frac(1)((a)^(n))=(\left(\frac(1)(a) \right))^(n) ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1)) \ જમણે))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

બીજી બાજુ, કંઈપણ અમને ફક્ત એક અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાથી રોકી શક્યું નથી:

\[(\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left((5)^(-1)) \ જમણે))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

પરંતુ આ કિસ્સામાં, તમારે ડિગ્રીને બીજી ડિગ્રી સુધી વધારવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે (હું તમને યાદ કરાવું છું: આ કિસ્સામાં, સૂચકાંકો ઉમેરવામાં આવે છે). પરંતુ મારે અપૂર્ણાંકોને "ફ્લિપ" કરવાની જરૂર નથી - કદાચ કોઈના માટે તે સરળ હશે. :)

કોઈપણ કિસ્સામાં, મૂળ ઘાતાંકીય સમીકરણ આ રીતે ફરીથી લખવામાં આવશે:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\અંત(સંરેખિત)\]

તેથી તે તારણ આપે છે કે મૂળ સમીકરણ અગાઉ ધ્યાનમાં લેવાયેલા સમીકરણ કરતાં ઉકેલવા માટે વધુ સરળ છે: અહીં તમારે સ્થિર અભિવ્યક્તિને સિંગલ કરવાની પણ જરૂર નથી - બધું જાતે જ ઓછું થઈ ગયું છે. તે ફક્ત યાદ રાખવાનું બાકી છે કે $1=(5)^(0))$, જ્યાંથી આપણને મળે છે:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\અંત(સંરેખિત)\]

તે આખો ઉકેલ છે! અમને અંતિમ જવાબ મળ્યો: $x=-2$. તે જ સમયે, હું એક યુક્તિની નોંધ લેવા માંગુ છું જેણે અમારા માટે બધી ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવી છે:

ઘાતાંકીય સમીકરણોમાં, દશાંશ અપૂર્ણાંકોથી છૂટકારો મેળવવાની ખાતરી કરો, તેમને સામાન્યમાં અનુવાદિત કરો. આ તમને ડિગ્રીના સમાન પાયા જોવા અને ઉકેલને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવવા દેશે.

હવે ચાલો વધુ જટિલ સમીકરણો તરફ આગળ વધીએ જેમાં વિવિધ પાયા છે, જે સામાન્ય રીતે શક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને એકબીજાને ઘટાડી શકાય તેમ નથી.

ઘાતાંક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરવો

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું કે અમારી પાસે બે વધુ ખાસ કરીને કઠોર સમીકરણો છે:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\અંત(સંરેખિત)\]

અહીં મુખ્ય મુશ્કેલી એ છે કે શું અને કયા આધારે દોરી જવું તે સ્પષ્ટ નથી. નિશ્ચિત અભિવ્યક્તિઓ ક્યાં છે? સામાન્ય આધારો ક્યાં છે? આમાંનું કંઈ નથી.

પરંતુ ચાલો બીજી રીતે જવાનો પ્રયાસ કરીએ. જો ત્યાં કોઈ તૈયાર સરખા પાયા ન હોય, તો તમે ઉપલબ્ધ પાયાને ફેક્ટર કરીને તેમને શોધવાનો પ્રયાસ કરી શકો છો.

ચાલો પ્રથમ સમીકરણ સાથે પ્રારંભ કરીએ:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=(\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\અંત(સંરેખિત)\]

પરંતુ છેવટે, તમે તેનાથી વિરુદ્ધ કરી શકો છો - નંબર 7 અને 3 માંથી 21 નંબર બનાવો. ડાબી બાજુએ આ કરવાનું ખાસ કરીને સરળ છે, કારણ કે બંને ડિગ્રીના સૂચકાંકો સમાન છે:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\અંત(સંરેખિત)\]

બસ એટલું જ! તમે ઉત્પાદનમાંથી ઘાતાંકને બહાર કાઢ્યો અને તરત જ એક સુંદર સમીકરણ મેળવ્યું જે બે લીટીઓમાં ઉકેલી શકાય છે.

હવે બીજા સમીકરણ સાથે વ્યવહાર કરીએ. અહીં બધું વધુ જટિલ છે:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \જમણે))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

આ કિસ્સામાં, અપૂર્ણાંક અફર છે, પરંતુ જો કંઈક ઘટાડી શકાય છે, તો તેને ઘટાડવાની ખાતરી કરો. આ ઘણીવાર રસપ્રદ આધારો તરફ દોરી જાય છે જેની સાથે તમે પહેલેથી જ કામ કરી શકો છો.

કમનસીબે, અમે કંઈપણ સાથે આવ્યા નથી. પરંતુ આપણે જોઈએ છીએ કે ઉત્પાદનમાં ડાબી બાજુના ઘાતાંક વિરુદ્ધ છે:

ચાલો હું તમને યાદ કરાવું: ઘાતાંકમાં માઈનસ ચિહ્નથી છુટકારો મેળવવા માટે, તમારે ફક્ત અપૂર્ણાંકને "ફ્લિપ" કરવાની જરૂર છે. તો ચાલો મૂળ સમીકરણ ફરીથી લખીએ:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \જમણે))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\અંત(સંરેખિત)\]

બીજી પંક્તિમાં, અમે $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) નિયમ અનુસાર ઉત્પાદનમાંથી કુલ કૌંસ કર્યું ))^ (x))$, અને બાદમાં તેઓએ ફક્ત 100 નંબરનો અપૂર્ણાંક વડે ગુણાકાર કર્યો.

હવે નોંધ કરો કે ડાબી બાજુ (બેઝ પર) અને જમણી બાજુની સંખ્યાઓ કંઈક અંશે સમાન છે. કેવી રીતે? હા, દેખીતી રીતે: તેઓ સમાન સંખ્યાની શક્તિઓ છે! અમારી પાસે:

\[\શરૂ(સંરેખિત કરો)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))((3)^(3)))=(\left(\frac( 10)(3) \જમણે))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))((10)^(3))=((\left(\frac(3)(10) \જમણે))^(2)). \\\અંત(સંરેખિત)\]

આમ, આપણું સમીકરણ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખવામાં આવશે:

\[(\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \જમણે))^(2))\]

\[((\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \જમણે))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \જમણે))^(3x-3))\]

તે જ સમયે, જમણી બાજુએ, તમે સમાન આધાર સાથે ડિગ્રી પણ મેળવી શકો છો, જેના માટે તે ફક્ત અપૂર્ણાંકને "ફ્લિપ" કરવા માટે પૂરતું છે:

\[(\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

અંતે, આપણું સમીકરણ ફોર્મ લેશે:

\[\શરૂ(સંરેખિત કરો)& ((\left(\frac(10)(3) \જમણે))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \જમણે)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\અંત(સંરેખિત)\]

તે આખો ઉકેલ છે. તેનો મુખ્ય વિચાર એ હકીકત પર ઉકળે છે કે જુદાં જુદાં કારણો હોવા છતાં, અમે આ કારણોને સમાન એકમાં ઘટાડવા માટે હૂક અથવા ક્રૂક દ્વારા પ્રયાસ કરીએ છીએ. આમાં આપણને સમીકરણોના પ્રાથમિક પરિવર્તનો અને શક્તિઓ સાથે કામ કરવાના નિયમો દ્વારા મદદ મળે છે.

પરંતુ કયા નિયમો અને ક્યારે ઉપયોગ કરવો? કેવી રીતે સમજવું કે એક સમીકરણમાં તમારે બંને બાજુઓને કંઈક દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે, અને બીજામાં - ઘાતાંકીય કાર્યના આધારને પરિબળોમાં વિઘટિત કરવા માટે?

આ પ્રશ્નનો જવાબ અનુભવથી મળશે. સરળ સમીકરણો પર પહેલા તમારો હાથ અજમાવો, અને પછી ધીમે ધીમે કાર્યોને જટિલ બનાવો - અને ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં તમારી કુશળતા સમાન USE અથવા કોઈપણ સ્વતંત્ર/પરીક્ષણ કાર્યમાંથી કોઈપણ ઘાતાંકીય સમીકરણ ઉકેલવા માટે પૂરતી હશે.

અને આ મુશ્કેલ કાર્યમાં તમને મદદ કરવા માટે, હું સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે મારી વેબસાઇટ પર સમીકરણોનો સમૂહ ડાઉનલોડ કરવાનું સૂચન કરું છું. બધા સમીકરણોના જવાબો છે, જેથી તમે હંમેશા તમારી જાતને તપાસી શકો.

સામાન્ય રીતે, હું તમને સફળ તાલીમની ઇચ્છા કરું છું. અને પછીના પાઠમાં મળીશું - ત્યાં અમે ખરેખર જટિલ ઘાતાંકીય સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરીશું, જ્યાં ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિઓ હવે પૂરતી નથી. અને એક સરળ વર્કઆઉટ પણ પૂરતું નથી. :)

ઘાતાંકીય સમીકરણોનો ઉકેલ. ઉદાહરણો.

ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
વિશેષ કલમ 555 માં સામગ્રી.
જેઓ ભારપૂર્વક "ખૂબ નથી..."
અને જેઓ "ખૂબ જ...")

શું ઘાતાંકીય સમીકરણ? આ એક સમીકરણ છે જેમાં અજ્ઞાત (x) અને તેમની સાથેના અભિવ્યક્તિઓ છે સૂચકઅમુક ડિગ્રી. અને માત્ર ત્યાં! તે મહત્વનું છે.

ત્યાં છો તમે ઘાતાંકીય સમીકરણોના ઉદાહરણો:

3 x 2 x = 8 x + 3

નૉૅધ! ડિગ્રીના પાયામાં (નીચે) - માત્ર સંખ્યાઓ. એટી સૂચકડિગ્રી (ઉપર) - x સાથે અભિવ્યક્તિઓની વિશાળ વિવિધતા. જો, અચાનક, એક x સમીકરણમાં સૂચક સિવાય ક્યાંક દેખાય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

આ મિશ્ર પ્રકારનું સમીકરણ હશે. આવા સમીકરણોમાં ઉકેલ માટે સ્પષ્ટ નિયમો નથી. અમે હમણાં માટે તેમને ધ્યાનમાં લઈશું નહીં. અહીં આપણે તેની સાથે વ્યવહાર કરીશું ઘાતાંકીય સમીકરણોનો ઉકેલતેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં.

હકીકતમાં, શુદ્ધ ઘાતાંકીય સમીકરણો પણ હંમેશા સ્પષ્ટ રીતે ઉકેલાતા નથી. પરંતુ અમુક પ્રકારના ઘાતાંકીય સમીકરણો છે જે ઉકેલી શકાય છે અને જોઈએ. આ તે પ્રકારો છે જે આપણે જોઈશું.

સૌથી સરળ ઘાતાંકીય સમીકરણોનો ઉકેલ.

ચાલો કંઈક ખૂબ જ મૂળભૂત સાથે શરૂ કરીએ. દાખ્લા તરીકે:

કોઈપણ સિદ્ધાંત વિના પણ, સરળ પસંદગી દ્વારા તે સ્પષ્ટ છે કે x = 2. વધુ કંઈ નહીં, ખરું ને!? અન્ય કોઈ x મૂલ્ય રોલ્સ નથી. અને હવે ચાલો આ મુશ્કેલ ઘાતાંકીય સમીકરણનો ઉકેલ જોઈએ:

અમે શું કર્યું છે? અમે, હકીકતમાં, ફક્ત સમાન બોટમ્સ (ત્રિપલ્સ) ફેંકી દીધા. સંપૂર્ણપણે બહાર ફેંકી દેવામાં આવે છે. અને, શું ખુશ થાય છે, માર્કને હિટ કરો!

ખરેખર, જો ઘાતાંકીય સમીકરણમાં ડાબી અને જમણી બાજુએ હોય સમાનકોઈપણ ડિગ્રીમાં સંખ્યાઓ, આ સંખ્યાઓ દૂર કરી શકાય છે અને ઘાતાંક સમાન છે. ગણિત પરવાનગી આપે છે. તે વધુ સરળ સમીકરણ હલ કરવાનું બાકી છે. તે સારું છે, ખરું ને?)

જો કે, ચાલો વ્યંગાત્મક રીતે યાદ કરીએ: જ્યારે ડાબી અને જમણી બાજુના આધાર નંબરો ભવ્ય અલગતામાં હોય ત્યારે જ તમે પાયાને દૂર કરી શકો છો!કોઈપણ પડોશીઓ અને ગુણાંક વિના. ચાલો સમીકરણોમાં કહીએ:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , અથવા

તમે ડબલ્સને દૂર કરી શકતા નથી!

સારું, અમે સૌથી મહત્વની વસ્તુમાં નિપુણતા મેળવી છે. દુષ્ટ ઘાતાંકીય અભિવ્યક્તિઓમાંથી સરળ સમીકરણોમાં કેવી રીતે ખસેડવું.

"અહીં તે સમય છે!" - તું કૈક કે. "કંટ્રોલ અને પરીક્ષાઓ પર આવું આદિમ કોણ આપશે!?"

સંમત થવાની ફરજ પડી. કોઈ કરશે નહીં. પરંતુ હવે તમે જાણો છો કે મૂંઝવણભર્યા ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે ક્યાં જવું. જ્યારે સમાન આધાર નંબર ડાબી બાજુ - જમણી બાજુએ હોય ત્યારે તેને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. પછી બધું સરળ થઈ જશે. વાસ્તવમાં, આ ગણિતની ક્લાસિક્સ છે. અમે મૂળ ઉદાહરણ લઈએ છીએ અને તેને ઇચ્છિતમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ અમનેમન અલબત્ત, ગણિતના નિયમો અનુસાર.

એવા ઉદાહરણોનો વિચાર કરો કે જેને સરળમાં લાવવા માટે કેટલાક વધારાના પ્રયત્નોની જરૂર છે. ચાલો તેમને બોલાવીએ સરળ ઘાતાંકીય સમીકરણો.

સરળ ઘાતાંકીય સમીકરણોનો ઉકેલ. ઉદાહરણો.

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, મુખ્ય નિયમો છે શક્તિઓ સાથેની ક્રિયાઓ.આ ક્રિયાઓના જ્ઞાન વિના, કંઈપણ કામ કરશે નહીં.

ડિગ્રી સાથેની ક્રિયાઓ માટે, વ્યક્તિએ વ્યક્તિગત અવલોકન અને ચાતુર્ય ઉમેરવું જોઈએ. શું આપણને સમાન આધાર નંબરોની જરૂર છે? તેથી અમે તેમને સ્પષ્ટ અથવા એન્ક્રિપ્ટેડ સ્વરૂપમાં ઉદાહરણમાં શોધી રહ્યા છીએ.

ચાલો જોઈએ કે વ્યવહારમાં આ કેવી રીતે થાય છે?

ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ:

2 2x - 8 x+1 = 0

પર પ્રથમ નજર મેદાન.તેઓ... તેઓ અલગ છે! બે અને આઠ. પરંતુ નિરાશ થવું ખૂબ જ વહેલું છે. તે યાદ કરવાનો સમય છે

ડિગ્રીમાં બે અને આઠ સંબંધીઓ છે.) તે લખવું તદ્દન શક્ય છે:

8 x+1 = (2 3) x+1

જો આપણે શક્તિઓ સાથેની ક્રિયાઓમાંથી સૂત્ર યાદ કરીએ:

(a n) m = a nm ,

તે સામાન્ય રીતે મહાન કામ કરે છે:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

મૂળ ઉદાહરણ આના જેવું લાગે છે:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

અમે સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ 2 3 (x+1)જમણી તરફ (કોઈએ ગણિતની પ્રાથમિક ક્રિયાઓ રદ કરી નથી!), અમને મળે છે:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

તે વ્યવહારીક બધા છે. પાયા દૂર કરી રહ્યા છીએ:

અમે આ રાક્ષસને હલ કરીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ

આ સાચો જવાબ છે.

આ ઉદાહરણમાં, બેની શક્તિઓ જાણવાથી અમને મદદ મળી. અમે ઓળખાયેલઆઠમાં, એન્ક્રિપ્ટેડ ડ્યુસ. ઘાતાંકીય સમીકરણોમાં આ તકનીક (વિવિધ સંખ્યાઓ હેઠળ સામાન્ય પાયાનું એન્કોડિંગ) એ ખૂબ જ લોકપ્રિય યુક્તિ છે! હા, લઘુગણકમાં પણ. વ્યક્તિએ સંખ્યાઓમાં અન્ય સંખ્યાઓની શક્તિઓને ઓળખવામાં સમર્થ હોવા જોઈએ. ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે આ અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે.

હકીકત એ છે કે કોઈપણ સંખ્યાને કોઈપણ શક્તિમાં વધારવી એ કોઈ સમસ્યા નથી. ગુણાકાર કરો, કાગળના ટુકડા પર પણ, અને તે બધુ જ છે. ઉદાહરણ તરીકે, દરેક વ્યક્તિ 3 થી પાંચમી શક્તિ વધારી શકે છે. જો તમે ગુણાકાર કોષ્ટક જાણતા હોવ તો 243 બહાર આવશે.) પરંતુ ઘાતાંકીય સમીકરણોમાં, ઘણી વાર તે શક્તિમાં વધારો ન કરવો જરૂરી છે, પરંતુ ઊલટું ... કઈ સંખ્યા કેટલી હદ સુધીનંબર 243 ની પાછળ છુપાવે છે, અથવા કહો, 343... અહીં કોઈ કેલ્ક્યુલેટર તમને મદદ કરશે નહીં.

તમારે દૃષ્ટિ દ્વારા અમુક સંખ્યાઓની શક્તિઓ જાણવાની જરૂર છે, હા... શું આપણે પ્રેક્ટિસ કરીશું?

કઈ શક્તિઓ અને કઈ સંખ્યાઓ સંખ્યાઓ છે તે નક્કી કરો:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

જવાબો (એક ગડબડમાં, અલબત્ત!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

જો તમે નજીકથી જુઓ, તો તમે એક વિચિત્ર હકીકત જોઈ શકો છો. પ્રશ્નો કરતાં વધુ જવાબો છે! સારું, તે થાય છે... ઉદાહરણ તરીકે, 2 6, 4 3, 8 2 એ બધા 64 છે.

ચાલો ધારીએ કે તમે સંખ્યાઓ સાથે પરિચિતતા વિશેની માહિતીની નોંધ લીધી છે.) ચાલો હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે, અમે અરજી કરીએ છીએ સમગ્રગાણિતિક જ્ઞાનનો સંગ્રહ. જેમાં નિમ્ન-મધ્યમ વર્ગનો સમાવેશ થાય છે. તમે સીધા હાઇસ્કૂલમાં ગયા નથી, ખરું ને?

ઉદાહરણ તરીકે, ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર રાખવાથી ઘણી વાર મદદ મળે છે (હેલો ટુ ગ્રેડ 7!). ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ:

3 2x+4 -11 9 x = 210

અને ફરીથી, પ્રથમ દેખાવ - આધાર પર! ડિગ્રીના પાયા અલગ છે... ત્રણ અને નવ. અને અમે ઇચ્છીએ છીએ કે તેઓ સમાન હોય. ઠીક છે, આ કિસ્સામાં, ઇચ્છા તદ્દન શક્ય છે!) કારણ કે:

9 x = (3 2) x = 3 2x

ડિગ્રી સાથેની ક્રિયાઓ માટે સમાન નિયમો અનુસાર:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

તે સરસ છે, તમે લખી શકો છો:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

અમે સમાન કારણોસર એક ઉદાહરણ આપ્યું. તો, આગળ શું છે!? થ્રીને ફેંકી શકાતી નથી... ડેડ એન્ડ?

જરાય નહિ. સૌથી સાર્વત્રિક અને શક્તિશાળી નિર્ણયના નિયમને યાદ રાખવું બધાગણિત કાર્યો:

જો તમને ખબર ન હોય કે શું કરવું, તો તમે જે કરી શકો તે કરો!

તમે જુઓ, બધું રચાય છે).

આ ઘાતાંકીય સમીકરણમાં શું છે કરી શકો છોકરવું? હા, ડાબી બાજુ સીધી કૌંસ માટે પૂછે છે! 3 2x નો સામાન્ય પરિબળ સ્પષ્ટપણે આનો સંકેત આપે છે. ચાલો પ્રયત્ન કરીએ, અને પછી આપણે જોઈશું:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ઉદાહરણ વધુ સારું થતું રહે છે!

અમે યાદ કરીએ છીએ કે પાયાને દૂર કરવા માટે, અમને કોઈપણ ગુણાંક વિના, શુદ્ધ ડિગ્રીની જરૂર છે. 70 નંબર આપણને પરેશાન કરે છે. તેથી આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને 70 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ, આપણને મળે છે:

ઓપ-પા! બધું સારું થઈ ગયું છે!

આ અંતિમ જવાબ છે.

જો કે, એવું બને છે કે તે જ આધારો પર ટેક્સી ચલાવવું પ્રાપ્ત થાય છે, પરંતુ તેનું લિક્વિડેશન થતું નથી. આ અન્ય પ્રકારના ઘાતાંકીય સમીકરણોમાં થાય છે. ચાલો આ પ્રકાર મેળવીએ.

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવામાં ચલનો ફેરફાર. ઉદાહરણો.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ:

4 x - 3 2 x +2 = 0

પ્રથમ - હંમેશની જેમ. ચાલો આધાર પર આગળ વધીએ. ડ્યુસને.

4 x = (2 2) x = 2 2x

અમને સમીકરણ મળે છે:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

અને અહીં આપણે અટકીશું. અગાઉની યુક્તિઓ કામ કરશે નહીં, પછી ભલે તમે તેને કેવી રીતે ફેરવો. આપણે બીજી શક્તિશાળી અને બહુમુખી રીતના શસ્ત્રાગારમાંથી મેળવવું પડશે. તે કહેવાય છે ચલ અવેજી.

પદ્ધતિનો સાર આશ્ચર્યજનક રીતે સરળ છે. એક જટિલ આયકન (અમારા કિસ્સામાં, 2 x) ને બદલે, અમે બીજું, સરળ લખીએ છીએ (ઉદાહરણ તરીકે, t). આવા મોટે ભાગે અર્થહીન રિપ્લેસમેન્ટ આશ્ચર્યજનક પરિણામો તરફ દોરી જાય છે!) બધું જ સ્પષ્ટ અને સમજી શકાય તેવું બને છે!

તો ચાલો

પછી 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

અમે અમારા સમીકરણમાં તમામ શક્તિઓને x ની t દ્વારા બદલીએ છીએ:

ઠીક છે, તે શરૂ થાય છે?) શું તમે હજી સુધી ચતુર્ભુજ સમીકરણો ભૂલી ગયા નથી? અમે ભેદભાવ દ્વારા હલ કરીએ છીએ, અમને મળે છે:

અહીં, મુખ્ય વસ્તુ અટકવાની નથી, જેમ કે તે થાય છે ... આ હજી સુધી જવાબ નથી, અમને xની જરૂર છે, ટી નહીં. અમે Xs પર પાછા આવીએ છીએ, એટલે કે. રિપ્લેસમેન્ટ બનાવે છે. ટી 1 માટે પ્રથમ:

તે જ,

એક મૂળ મળી આવ્યું. અમે ટી 2 થી બીજાને શોધી રહ્યા છીએ:

અમ... ડાબે 2 x, જમણે 1... એક હરકત? હા, બિલકુલ નહીં! તે યાદ રાખવું પૂરતું છે (ડિગ્રી સાથેની ક્રિયાઓથી, હા ...) કે એકતા છે કોઈપણસંખ્યા શૂન્ય સુધી. કોઈપણ. તમને જે જોઈએ તે અમે મૂકીશું. અમને બેની જરૂર છે. અર્થ:

હવે આટલું જ. 2 મૂળ મળ્યા:

આ જવાબ છે.

મુ ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવાઅંતે, કેટલીક બેડોળ અભિવ્યક્તિ ક્યારેક પ્રાપ્ત થાય છે. પ્રકાર:

સાતમાંથી, સરળ ડિગ્રી દ્વારા ડ્યુસ કામ કરતું નથી. તેઓ સગાં નથી... હું અહીં કેવી રીતે હોઈ શકું? કોઈને મૂંઝવણ થઈ શકે છે ... પરંતુ જે વ્યક્તિ આ સાઇટ પર "લોગરિધમ શું છે?" વિષય વાંચે છે. , માત્ર હળવાશથી સ્મિત કરો અને મક્કમ હાથે એકદમ સાચો જવાબ લખો:

પરીક્ષામાં "બી" કાર્યોમાં આવા કોઈ જવાબ હોઈ શકતા નથી. ચોક્કસ નંબર જરૂરી છે. પરંતુ કાર્યોમાં "સી" - સરળતાથી.

આ પાઠ સૌથી સામાન્ય ઘાતાંકીય સમીકરણોને ઉકેલવાના ઉદાહરણો પૂરા પાડે છે. ચાલો મુખ્યને પ્રકાશિત કરીએ.

વ્યવહારુ ટીપ્સ:

1. સૌ પ્રથમ, આપણે જોઈએ છીએ મેદાનડિગ્રી ચાલો જોઈએ કે તેઓ કરી શકતા નથી સમાનચાલો સક્રિય રીતે ઉપયોગ કરીને આ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ શક્તિઓ સાથેની ક્રિયાઓ.ભૂલશો નહીં કે x વિનાની સંખ્યાઓ પણ ડિગ્રીમાં ફેરવી શકાય છે!

2. જ્યારે ડાબે અને જમણે હોય ત્યારે અમે ઘાતાંકીય સમીકરણને ફોર્મમાં લાવવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ સમાનકોઈપણ ડિગ્રી સુધી સંખ્યાઓ. અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ શક્તિઓ સાથેની ક્રિયાઓઅને ફેક્ટરીકરણસંખ્યામાં શું ગણી શકાય - અમે ગણીએ છીએ.

3. જો બીજી સલાહ કામ ન કરે, તો અમે વેરીએબલ અવેજી લાગુ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ છીએ. પરિણામ એ સમીકરણ હોઈ શકે છે જે સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. મોટેભાગે - ચોરસ. અથવા અપૂર્ણાંક, જે ચોરસ સુધી પણ ઘટે છે.

4. ઘાતાંકીય સમીકરણોને સફળતાપૂર્વક ઉકેલવા માટે, તમારે કેટલીક સંખ્યાઓની ડિગ્રી "દૃષ્ટિ દ્વારા" જાણવાની જરૂર છે.

હંમેશની જેમ, પાઠના અંતે તમને થોડું હલ કરવા માટે આમંત્રિત કરવામાં આવે છે.) તમારા પોતાના પર. સરળ થી જટિલ.

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલો:

વધુ મુશ્કેલ:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

મૂળનું ઉત્પાદન શોધો:

2 3-x + 2 x = 9

થયું?

સારું, તો પછી સૌથી જટિલ ઉદાહરણ (તે હલ થઈ ગયું છે, જો કે, મનમાં ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

વધુ રસપ્રદ શું છે? તો પછી અહીં તમારા માટે એક ખરાબ ઉદાહરણ છે. તદ્દન વધેલી મુશ્કેલી પર ખેંચીને. હું આ ઉદાહરણમાં સંકેત આપીશ કે તમામ ગાણિતિક કાર્યોને ઉકેલવા માટે ચાતુર્ય અને સૌથી સાર્વત્રિક નિયમ બચત કરે છે.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

એક ઉદાહરણ સરળ છે, આરામ માટે):

9 2 x - 4 3 x = 0

અને ડેઝર્ટ માટે. સમીકરણના મૂળનો સરવાળો શોધો:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

હા હા! આ મિશ્ર પ્રકારનું સમીકરણ છે! જેને આપણે આ પાઠમાં ધ્યાનમાં લીધા નથી. અને તેમને શું ધ્યાનમાં લેવું, તેમને હલ કરવાની જરૂર છે!) આ પાઠ સમીકરણને હલ કરવા માટે પૂરતો છે. સારું, ચાતુર્યની જરૂર છે ... અને હા, સાતમો ધોરણ તમને મદદ કરશે (આ એક સંકેત છે!).

જવાબો (અવ્યવસ્થિતમાં, અર્ધવિરામ દ્વારા અલગ):

એક 2; 3; ચાર; ત્યાં કોઈ ઉકેલો નથી; 2; -2; -5; ચાર; 0.

શું બધું સફળ છે? ઉત્તમ.

કોઈ સમસ્યા છે? કોઇ વાંધો નહી! વિશેષ વિભાગ 555 માં, આ તમામ ઘાતાંકીય સમીકરણો વિગતવાર સમજૂતી સાથે ઉકેલવામાં આવે છે. શું, શા માટે, અને શા માટે. અને, અલબત્ત, તમામ પ્રકારના ઘાતાંકીય સમીકરણો સાથે કામ કરવા પર વધારાની મૂલ્યવાન માહિતી છે. આ સાથે જ નહીં.)

વિચારવા માટેનો એક છેલ્લો મજાનો પ્રશ્ન. આ પાઠમાં, અમે ઘાતાંકીય સમીકરણો સાથે કામ કર્યું. મેં અહીં ODZ વિશે એક શબ્દ કેમ ન કહ્યું?સમીકરણોમાં, આ એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ વસ્તુ છે, માર્ગ દ્વારા ...

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. શીખવું - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

તમામ નવા વિડિયો લેસનથી વાકેફ રહેવા અમારી સાઈટની યુટ્યુબ ચેનલ પર.

પ્રથમ, ચાલો ડિગ્રીના મૂળભૂત સૂત્રો અને તેમના ગુણધર્મોને યાદ કરીએ.

સંખ્યાનું ઉત્પાદન aપોતે n વખત થાય છે, આપણે આ અભિવ્યક્તિને a … a=a n તરીકે લખી શકીએ છીએ

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

શક્તિ અથવા ઘાતાંકીય સમીકરણો- આ એવા સમીકરણો છે કે જેમાં ચલ શક્તિઓ (અથવા ઘાતાંક) માં હોય છે, અને આધાર એ સંખ્યા છે.

ઘાતાંકીય સમીકરણોના ઉદાહરણો:

આ ઉદાહરણમાં, નંબર 6 એ આધાર છે, તે હંમેશા તળિયે છે, અને ચલ xડિગ્રી અથવા માપ.

ચાલો ઘાતાંકીય સમીકરણોના વધુ ઉદાહરણો આપીએ.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

હવે ચાલો જોઈએ કે ઘાતાંકીય સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલાય છે?

ચાલો એક સરળ સમીકરણ લઈએ:

2 x = 2 3

આવા દાખલા મનમાં પણ ઉકેલી શકાય. તે જોઈ શકાય છે કે x=3. છેવટે, ડાબી અને જમણી બાજુઓ સમાન થવા માટે, તમારે x ને બદલે 3 નંબર મૂકવાની જરૂર છે.
હવે ચાલો જોઈએ કે આ નિર્ણય કેવી રીતે લેવો જોઈએ:

2 x = 2 3
x = 3

આ સમીકરણને ઉકેલવા માટે, અમે દૂર કર્યું સમાન આધારો(એટલે ​​​​કે, ડીયુસીસ) અને જે બાકી હતું તે લખી દીધું, આ ડિગ્રી છે. અમે જે જવાબ શોધી રહ્યા હતા તે અમને મળ્યો.

હવે ચાલો આપણા ઉકેલનો સારાંશ આપીએ.

ઘાતાંકીય સમીકરણ ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ:
1. તપાસ કરવાની જરૂર છે સમાનશું સમીકરણના પાયા જમણી અને ડાબી બાજુએ છે. જો આધાર સમાન નથી, તો અમે આ ઉદાહરણને ઉકેલવા માટે વિકલ્પો શોધી રહ્યા છીએ.
2. પાયા સમાન હોય પછી, સમાનડિગ્રી મેળવો અને પરિણામી નવા સમીકરણને હલ કરો.

હવે ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો ઉકેલીએ:

ચાલો સરળ શરૂઆત કરીએ.

ડાબી અને જમણી બાજુના પાયા નંબર 2 ની સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે આધારને કાઢી નાખી શકીએ છીએ અને તેમની ડિગ્રી સમાન કરી શકીએ છીએ.

x+2=4 સૌથી સરળ સમીકરણ બહાર આવ્યું છે.
x=4 - 2
x=2
જવાબ: x=2

નીચેના ઉદાહરણમાં, તમે જોઈ શકો છો કે પાયા અલગ છે, આ 3 અને 9 છે.

3 3x - 9 x + 8 = 0

શરૂ કરવા માટે, અમે નવને જમણી બાજુએ સ્થાનાંતરિત કરીએ છીએ, અમને મળે છે:

હવે તમારે સમાન પાયા બનાવવાની જરૂર છે. આપણે જાણીએ છીએ કે 9=3 2. ચાલો પાવર ફોર્મ્યુલા (a n) m = a nm નો ઉપયોગ કરીએ.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

આપણને 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 મળે છે

3 3x \u003d 3 2x + 16 હવે તે સ્પષ્ટ છે કે ડાબી અને જમણી બાજુના પાયા સમાન છે અને ત્રણના સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે આપણે તેમને કાઢી નાખી શકીએ છીએ અને ડિગ્રીને સમાન બનાવી શકીએ છીએ.

3x=2x+16 ને સૌથી સરળ સમીકરણ મળ્યું
3x-2x=16
x=16
જવાબ: x=16.

ચાલો નીચેના ઉદાહરણ જોઈએ:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

સૌ પ્રથમ, આપણે પાયા જોઈએ છીએ, પાયા બે અને ચાર અલગ છે. અને આપણે સમાન બનવાની જરૂર છે. આપણે સૂત્ર (a n) m = a nm અનુસાર ચતુર્ભુજનું રૂપાંતર કરીએ છીએ.

4 x = (2 2) x = 2 2x

અને આપણે એક ફોર્મ્યુલાનો પણ ઉપયોગ કરીએ છીએ a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

સમીકરણમાં ઉમેરો:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

અમે સમાન કારણોસર એક ઉદાહરણ આપ્યું. પરંતુ અન્ય નંબરો 10 અને 24 અમારી સાથે દખલ કરે છે. તેમની સાથે શું કરવું? જો તમે નજીકથી જુઓ, તો તમે જોઈ શકો છો કે ડાબી બાજુએ આપણે 2 2x પુનરાવર્તન કરીએ છીએ, અહીં જવાબ છે - અમે કૌંસની બહાર 2 2x મૂકી શકીએ છીએ:

2 2x (2 4 - 10) = 24

ચાલો કૌંસમાં અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

અમે સમગ્ર સમીકરણને 6 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ:

કલ્પના કરો 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 પાયા સમાન છે, તેમને કાઢી નાખો અને ડિગ્રીની સમાનતા કરો.
2x \u003d 2 એ સૌથી સરળ સમીકરણ હોવાનું બહાર આવ્યું. આપણે તેને 2 વડે ભાગીએ છીએ, આપણને મળે છે
x = 1
જવાબ: x = 1.

ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ:

9 x - 12*3 x +27= 0

ચાલો પરિવર્તન કરીએ:
9 x = (3 2) x = 3 2x

અમને સમીકરણ મળે છે:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

અમારા પાયા સમાન છે, ત્રણ સમાન છે. આ ઉદાહરણમાં, તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ ટ્રિપલમાં બીજા (માત્ર x) કરતાં બે વાર (2x) ડિગ્રી છે. આ કિસ્સામાં, તમે નક્કી કરી શકો છો અવેજી પદ્ધતિ. સૌથી નાની ડિગ્રી સાથેની સંખ્યા આના દ્વારા બદલવામાં આવે છે:

પછી 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

અમે t સાથે સમીકરણમાં તમામ ડિગ્રીને x સાથે બદલીએ છીએ:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
આપણને એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મળે છે. અમે ભેદભાવ દ્વારા હલ કરીએ છીએ, અમને મળે છે:
ડી=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

ચલ પર પાછા જાઓ x.

અમે ટી 1 લઈએ છીએ:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

તે જ,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

એક મૂળ મળી આવ્યું. અમે ટી 2 થી બીજાને શોધી રહ્યા છીએ:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
જવાબ: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

રુચિના પ્રશ્નો પૂછવા માટે તમે જે સાઇટ પર મદદ કરી શકો છો તે વિભાગમાં, અમે તમને ચોક્કસપણે જવાબ આપીશું.

જૂથમાં જોડાઓ

મારા શબ્દોથી ડરશો નહીં, જ્યારે તમે બહુપદીનો અભ્યાસ કર્યો ત્યારે તમે 7 મા ધોરણમાં આ પદ્ધતિનો સામનો કરી ચૂક્યા છો.

ઉદાહરણ તરીકે, જો તમને જરૂર હોય તો:

ચાલો જૂથ કરીએ: પ્રથમ અને ત્રીજા પદો, તેમજ બીજા અને ચોથા.

તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ અને ત્રીજા ચોરસનો તફાવત છે:

અને બીજા અને ચોથામાં ત્રણનો સામાન્ય પરિબળ છે:

પછી મૂળ અભિવ્યક્તિ આની સમકક્ષ છે:

સામાન્ય પરિબળ ક્યાં લેવું તે હવે મુશ્કેલ નથી:

પરિણામે,

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે આપણે લગભગ આ રીતે કાર્ય કરીશું: શરતોમાં "સામાન્યતા" શોધો અને તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢો, સારું, પછી - જે થાય, હું માનું છું કે આપણે ભાગ્યશાળી હોઈશું =))

ઉદાહરણ #14

જમણી બાજુ સાતની શક્તિથી દૂર છે (મેં તપાસ્યું!) અને ડાબી બાજુ - થોડું સારું ...

તમે, અલબત્ત, પ્રથમ ટર્મથી બીજી ટર્મમાંથી પરિબળ aને "કાપી" શકો છો, અને પછી તમને જે પ્રાપ્ત થયું છે તેની સાથે વ્યવહાર કરી શકો છો, પરંતુ ચાલો તમારી સાથે વધુ સમજદારીથી કામ કરીએ.

હું અનિવાર્યપણે "પસંદગી" દ્વારા પેદા થતા અપૂર્ણાંકો સાથે વ્યવહાર કરવા માંગતો નથી, તો શું મારે સહન કરતાં વધુ સારું ન હોવું જોઈએ?

પછી મારી પાસે અપૂર્ણાંક હશે નહીં: જેમ તેઓ કહે છે, બંને વરુ ભરેલા છે અને ઘેટાં સલામત છે:

કૌંસમાં અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરો.

જાદુઈ રીતે, જાદુઈ રીતે, તે તારણ આપે છે કે (આશ્ચર્યજનક રીતે, જો કે આપણે બીજું શું અપેક્ષા રાખી શકીએ?).

પછી આપણે આ પરિબળ દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુઓને ઘટાડીએ છીએ. અમને મળે છે: ક્યાં.

અહીં એક વધુ જટિલ ઉદાહરણ છે (ખૂબ થોડું, ખરેખર):

અહીં મુશ્કેલી છે! અમારી પાસે અહીં કોઈ સામાન્ય જમીન નથી!

હવે શું કરવું તે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ નથી.

અને ચાલો આપણે જે કરી શકીએ તે કરીએ: પ્રથમ, આપણે એક દિશામાં "ચાર" અને બીજી દિશામાં "પાંચ" ખસેડીશું:

ચાલો હવે ડાબી અને જમણી બાજુએ "સામાન્ય" કાઢીએ:

તો હવે શું?

આવા મૂર્ખ જૂથબંધીનો શો ફાયદો? પ્રથમ નજરમાં, તે બિલકુલ દેખાતું નથી, પરંતુ ચાલો વધુ ઊંડાણપૂર્વક જોઈએ:

સારું, હવે ચાલો તેને બનાવીએ કે ડાબી બાજુએ આપણી પાસે માત્ર અભિવ્યક્તિ c છે, અને જમણી બાજુ - બાકીનું બધું.

આપણે તે કેવી રીતે કરી શકીએ?

અને અહીં કેવી રીતે છે: સમીકરણની બંને બાજુઓને પહેલા વડે વિભાજિત કરો (જેથી આપણે જમણી બાજુના ઘાતાંકમાંથી છુટકારો મેળવીએ છીએ), અને પછી બંને બાજુઓને વડે વિભાજીત કરીએ (જેથી આપણે ડાબી બાજુના આંકડાકીય પરિબળથી છૂટકારો મેળવીએ).

છેલ્લે આપણને મળે છે:

ઈનક્રેડિબલ!

ડાબી બાજુએ આપણી પાસે અભિવ્યક્તિ છે, અને જમણી બાજુએ - માત્ર.

પછી અમે તરત જ તે તારણ

ઉદાહરણ #15

હું તેનો સંક્ષિપ્ત ઉકેલ આપીશ (ખરેખર સમજાવવા માટે પરેશાન કરતો નથી), ઉકેલની બધી "સૂક્ષ્મતા" જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

હવે આવરી લેવામાં આવેલ સામગ્રીનું અંતિમ એકત્રીકરણ.

નીચેના 7 કાર્યો સ્વતંત્ર રીતે હલ કરો (જવાબો સાથે)

1. ચાલો કૌંસમાંથી સામાન્ય પરિબળ લઈએ:
2. અમે ફોર્મમાં પ્રથમ અભિવ્યક્તિ રજૂ કરીએ છીએ: , બંને ભાગોને વડે વિભાજીત કરો અને તે મેળવો
3. , પછી મૂળ સમીકરણ ફોર્મમાં રૂપાંતરિત થાય છે: સારું, હવે એક સંકેત - તમે અને મેં આ સમીકરણ પહેલેથી જ ક્યાં હલ કર્યું છે તે જુઓ!
4. કલ્પના કરો કે કેવી રીતે, કેવી રીતે, આહ, સારું, પછી બંને ભાગોને વડે વિભાજીત કરો, જેથી તમને સૌથી સરળ ઘાતાંકીય સમીકરણ મળશે.
5. તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢો.
6. તેને કૌંસમાંથી બહાર કાઢો.

એક્સપોઝિશનલ સમીકરણો. સરેરાશ સ્તર

હું માનું છું કે પ્રથમ લેખ વાંચ્યા પછી, જે કહ્યું ઘાતાંકીય સમીકરણો શું છે અને તેમને કેવી રીતે ઉકેલવા, તમે સૌથી સરળ ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ જ્ઞાનમાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.

હવે હું ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની બીજી પદ્ધતિનું વિશ્લેષણ કરીશ, આ છે...

નવું ચલ (અથવા અવેજી) રજૂ કરવાની પદ્ધતિ

તે ઘાતાંકીય સમીકરણો (અને માત્ર સમીકરણો જ નહીં) વિષય પર મોટાભાગની "મુશ્કેલ" સમસ્યાઓ ઉકેલે છે.

આ પદ્ધતિ તેમાંથી એક છે વ્યવહારમાં સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાય છે.પ્રથમ, હું ભલામણ કરું છું કે તમે તમારી જાતને વિષય સાથે પરિચિત કરો.

તમે નામ પરથી પહેલેથી જ સમજી ગયા છો તેમ, આ પદ્ધતિનો સાર એ છે કે ચલના એવા ફેરફારને રજૂ કરવાનો છે કે તમારું ઘાતાંકીય સમીકરણ ચમત્કારિક રીતે એકમાં રૂપાંતરિત થશે જેને તમે પહેલેથી જ સરળતાથી ઉકેલી શકો છો.

આ ખૂબ જ "સરળ સમીકરણ" ઉકેલ્યા પછી તમારા માટે જે બાકી રહે છે તે "રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ" બનાવવાનું છે: એટલે કે, બદલાયેલમાંથી બદલાયેલ પર પાછા ફરવું.

ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ દ્વારા આપણે જે કહ્યું તે સમજાવીએ:

ઉદાહરણ 16. બદલવાની સરળ પદ્ધતિ

સાથે આ સમીકરણ ઉકેલાય છે "સરળ અવેજી", જેમ કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ તેને અપમાનજનક રીતે કહે છે.

ખરેખર, અહીં અવેજી સૌથી સ્પષ્ટ છે. તે માત્ર તે જોવાની જરૂર છે

પછી મૂળ સમીકરણ બને છે:

જો આપણે વધુમાં કલ્પના કરીએ કે કેવી રીતે, તો તે એકદમ સ્પષ્ટ છે કે તેને બદલવું જરૂરી છે ...

અલબત્ત, .

પછી મૂળ સમીકરણ શું બને? અને અહીં શું છે:

તમે તેના મૂળ તમારા પોતાના પર સરળતાથી શોધી શકો છો:.

હવે શું કરવું જોઈએ?

મૂળ ચલ પર પાછા ફરવાનો સમય છે.

હું શું સમાવવાનું ભૂલી ગયો?

જેમ કે: જ્યારે કોઈ ચોક્કસ ડિગ્રીને નવા ચલ સાથે બદલીએ (એટલે ​​​​કે, જ્યારે કોઈ પ્રકારને બદલીએ ત્યારે), મને તેમાં રસ હશે માત્ર હકારાત્મક મૂળ!

શા માટે તમે સરળતાથી જવાબ આપી શકો છો.

આમ, અમને તમારામાં રસ નથી, પરંતુ બીજું મૂળ અમારા માટે એકદમ યોગ્ય છે:

પછી ક્યાં.

જવાબ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અગાઉના ઉદાહરણમાં, ફેરબદલી અમારા હાથ માટે પૂછતી હતી. કમનસીબે, આ હંમેશા કેસ નથી.

જો કે, ચાલો સીધા ઉદાસી તરફ ન જઈએ, પરંતુ એકદમ સરળ રિપ્લેસમેન્ટ સાથે વધુ એક ઉદાહરણ પર પ્રેક્ટિસ કરીએ

ઉદાહરણ 17. બદલવાની સરળ પદ્ધતિ

તે સ્પષ્ટ છે કે મોટાભાગે તેને બદલવાની જરૂર પડશે (આ આપણા સમીકરણમાં સમાવિષ્ટ શક્તિઓમાં સૌથી નાની છે).

જો કે, રિપ્લેસમેન્ટની રજૂઆત કરતા પહેલા, આપણું સમીકરણ તેના માટે "તૈયાર" હોવું જરૂરી છે, એટલે કે: , .

પછી તમે બદલી શકો છો, પરિણામે મને નીચેની અભિવ્યક્તિ મળશે:

ઓહ હોરર: તેના ઉકેલ માટે એકદમ ભયંકર સૂત્રો સાથેનું ઘન સમીકરણ (સારી રીતે, સામાન્ય શબ્દોમાં બોલતા).

પરંતુ ચાલો તરત જ નિરાશ ન થઈએ, પરંતુ આપણે શું કરવું જોઈએ તે વિશે વિચારીએ.

હું છેતરપિંડીનું સૂચન કરીશ: આપણે જાણીએ છીએ કે "સુંદર" જવાબ મેળવવા માટે, આપણે ત્રણની કેટલીક શક્તિના સ્વરૂપમાં આવવાની જરૂર છે (તે શા માટે હશે, હહ?).

અને ચાલો આપણા સમીકરણના ઓછામાં ઓછા એક મૂળને અનુમાન કરવાનો પ્રયાસ કરીએ (હું ત્રણની શક્તિઓ પરથી અનુમાન લગાવવાનું શરૂ કરીશ).

પ્રથમ અનુમાન. મૂળ નથી. અરે અને આહ...

.
ડાબી બાજુ સમાન છે.
જમણો ભાગ: !

ત્યાં છે! પ્રથમ મૂળ અનુમાન લગાવ્યું. હવે વસ્તુઓ સરળ બનશે!

શું તમે "ખૂણા" વિભાગ યોજના વિશે જાણો છો? અલબત્ત તમે જાણો છો, જ્યારે તમે એક સંખ્યાને બીજા દ્વારા વિભાજીત કરો છો ત્યારે તમે તેનો ઉપયોગ કરો છો.

પરંતુ બહુ ઓછા લોકો જાણે છે કે બહુપદી સાથે પણ આવું કરી શકાય છે.

એક અદ્ભુત પ્રમેય છે:

મારી પરિસ્થિતિને લાગુ પડે છે તે મને કહે છે કે શેષ વિના શું વિભાજ્ય છે.

વિભાજન કેવી રીતે હાથ ધરવામાં આવે છે? એ રીતે:

હું જોઉં છું કે કયો મોનોમિયલ મેળવવા માટે મારે ગુણાકાર કરવો જોઈએ

તે સ્પષ્ટ છે કે, પછી:

હું પરિણામી અભિવ્યક્તિને બાદ કરું છું, મને મળે છે:

હવે, મેળવવા માટે મારે શું ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે?

તે સ્પષ્ટ છે કે ચાલુ, પછી મને મળશે:

અને બાકીના એકમાંથી પરિણામી અભિવ્યક્તિને ફરીથી બાદ કરો:

સારું, છેલ્લું પગલું, હું બાકીની અભિવ્યક્તિમાંથી ગુણાકાર અને બાદબાકી કરું છું:

હુરે, વિભાજન સમાપ્ત થઈ ગયું છે! અમે ખાનગીમાં શું એકઠું કર્યું છે?

પોતે જ: .

પછી આપણને મૂળ બહુપદીનું નીચેનું વિસ્તરણ મળ્યું:

ચાલો બીજું સમીકરણ હલ કરીએ:

તેના મૂળ છે:

પછી મૂળ સમીકરણ:

ત્રણ મૂળ છે:

અમે, અલબત્ત, છેલ્લું મૂળ કાઢી નાખીએ છીએ, કારણ કે તે શૂન્ય કરતાં ઓછું છે.

અને રિવર્સ રિપ્લેસમેન્ટ પછીના પ્રથમ બે આપણને બે મૂળ આપશે:

જવાબ: ..

હું તમને આ ઉદાહરણથી ડરાવવા માંગતો ન હતો!

તેનાથી વિપરિત, મેં તે બતાવવાનું નક્કી કર્યું કે અમારી પાસે એકદમ સરળ રિપ્લેસમેન્ટ હતું, તેમ છતાં, તે એક જટિલ સમીકરણ તરફ દોરી ગયું, જેના ઉકેલ માટે અમારી પાસેથી કેટલીક વિશેષ કુશળતા જરૂરી છે.

ઠીક છે, આમાંથી કોઈ પણ રોગપ્રતિકારક નથી. પરંતુ આ કિસ્સામાં ફેરફાર ખૂબ સ્પષ્ટ હતો.

ઉદાહરણ #18 (ઓછા સ્પષ્ટ અવેજી સાથે)

આપણે શું કરવું જોઈએ તે બિલકુલ સ્પષ્ટ નથી: સમસ્યા એ છે કે આપણા સમીકરણમાં બે જુદા જુદા પાયા છે અને એક આધારને કોઈપણ (વાજબી, કુદરતી રીતે) શક્તિમાં વધારીને બીજામાંથી મેળવી શકાતો નથી.

જો કે, આપણે શું જોઈએ છીએ?

બંને પાયા ફક્ત ચિહ્નમાં અલગ પડે છે, અને તેમનું ઉત્પાદન એક સમાન ચોરસનો તફાવત છે:

વ્યાખ્યા:

આમ, જે સંખ્યાઓ અમારા ઉદાહરણમાં આધાર છે તે સંયોજિત છે.

તે કિસ્સામાં, સ્માર્ટ ચાલ હશે સમીકરણની બંને બાજુઓને સંયોજક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલુ, પછી સમીકરણની ડાબી બાજુ સમાન બનશે, અને જમણી બાજુ.

જો અમે બદલી કરીશું, તો તમારી સાથે અમારું મૂળ સમીકરણ આના જેવું બનશે:

તેના મૂળ, પછી, પરંતુ તે યાદ રાખીને, આપણે તે મેળવીએ છીએ.

જવાબ: , .

એક નિયમ તરીકે, રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ મોટાભાગના "શાળા" ઘાતાંકીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટે પૂરતી છે.

જટિલતાના વધેલા સ્તરના નીચેના કાર્યો પરીક્ષા વિકલ્પોમાંથી લેવામાં આવે છે.

પરીક્ષા વિકલ્પોમાંથી વધેલી જટિલતાના ત્રણ કાર્યો

તમે પહેલેથી જ પૂરતા સાક્ષર છો કે તમે આ ઉદાહરણો જાતે હલ કરી શકો. હું ફક્ત જરૂરી બદલી આપીશ.

1. સમીકરણ ઉકેલો:
2. સમીકરણના મૂળ શોધો:
3. સમીકરણ ઉકેલો: . આ સમીકરણના તમામ મૂળ શોધો જે સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે:

હવે કેટલાક ઝડપી ખુલાસાઓ અને જવાબો માટે:

ઉદાહરણ #19

અહીં તે નોંધવું પૂરતું છે કે અને.

પછી મૂળ સમીકરણ આના સમકક્ષ હશે:

આ સમીકરણ બદલીને હલ થાય છે

નીચેની ગણતરીઓ જાતે કરો.

અંતે, તમારું કાર્ય સૌથી સરળ ત્રિકોણમિતિ (સાઇન અથવા કોસાઇન પર આધાર રાખીને) ઉકેલવા માટે ઘટાડવામાં આવશે. અમે અન્ય વિભાગોમાં આવા ઉદાહરણોના ઉકેલની ચર્ચા કરીશું.

ઉદાહરણ #20

અહીં તમે રિપ્લેસમેન્ટ વિના પણ કરી શકો છો ...

સબટ્રાહેન્ડને જમણી તરફ ખસેડવા અને બેની શક્તિઓ દ્વારા બંને પાયાને પ્રસ્તુત કરવા માટે તે પૂરતું છે: અને પછી તરત જ ચતુર્ભુજ સમીકરણ પર જાઓ.

ઉદાહરણ #21

તે એકદમ પ્રમાણભૂત રીતે પણ ઉકેલાય છે: કેવી રીતે કલ્પના કરો.

પછી, બદલીને આપણને એક ચતુર્ભુજ સમીકરણ મળે છે: પછી,

શું તમે પહેલાથી જ જાણો છો કે લઘુગણક શું છે? નથી? પછી તાકીદે વિષય વાંચો!

પ્રથમ મૂળ, દેખીતી રીતે, સેગમેન્ટથી સંબંધિત નથી, અને બીજું અગમ્ય છે!

પરંતુ અમે ખૂબ જ ટૂંક સમયમાં શોધીશું!

ત્યારથી, ત્યારથી (આ લઘુગણકની મિલકત છે!)

બંને ભાગોમાંથી બાદબાકી કરો, પછી આપણને મળશે:

ડાબી બાજુ આ રીતે રજૂ કરી શકાય છે:

બંને બાજુઓ દ્વારા ગુણાકાર કરો:

દ્વારા ગુણાકાર કરી શકાય છે, પછી

તો ચાલો સરખામણી કરીએ:

ત્યારથી:

પછી બીજું રુટ ઇચ્છિત અંતરાલથી સંબંધિત છે

જવાબ:

જેમ તમે જુઓ છો, ઘાતાંકીય સમીકરણોના મૂળની પસંદગી માટે લઘુગણકના ગુણધર્મોના એકદમ ઊંડા જ્ઞાનની જરૂર છે, તેથી હું તમને ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે શક્ય તેટલું સાવચેત રહેવાની સલાહ આપું છું.

જેમ તમે જાણો છો, ગણિતમાં બધું એકબીજા સાથે જોડાયેલું છે!

જેમ કે મારા ગણિત શિક્ષક કહેતા હતા: "તમે રાતોરાત ઇતિહાસ જેવું ગણિત વાંચી શકતા નથી."

એક નિયમ તરીકે, બધા જટિલતાના વધેલા સ્તરની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં મુશ્કેલી એ સમીકરણના મૂળની પસંદગી છે.

પ્રેક્ટિસનું બીજું ઉદાહરણ...

ઉદાહરણ 22

તે સ્પષ્ટ છે કે સમીકરણ પોતે એકદમ સરળ રીતે હલ થાય છે.

અવેજી કર્યા પછી, અમે અમારા મૂળ સમીકરણને નીચે મુજબ ઘટાડીએ છીએ:

પ્રથમ, ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ પ્રથમ મૂળ.

સરખામણી કરો અને: ત્યારથી, પછી. (લોગરીધમિક ફંક્શનની મિલકત, પર).

પછી તે સ્પષ્ટ છે કે પ્રથમ મૂળ આપણા અંતરાલ સાથે સંબંધિત નથી.

હવે બીજું મૂળ: . તે સ્પષ્ટ છે કે (કાર્ય કે કાર્ય વધી રહ્યું છે).

તે સરખામણી કરવા માટે રહે છે અને

ત્યારથી, પછી, તે જ સમયે.

આમ, હું અને વચ્ચે "એક પેગ ચલાવી શકું છું".

આ પેગ એક નંબર છે.

પ્રથમ અભિવ્યક્તિ તેના કરતા ઓછી છે અને બીજી તેનાથી મોટી છે.

પછી બીજી અભિવ્યક્તિ પ્રથમ કરતાં મોટી છે અને મૂળ અંતરાલ સાથે સંબંધિત છે.

જવાબ:.

નિષ્કર્ષમાં, ચાલો એક સમીકરણનું બીજું ઉદાહરણ જોઈએ જ્યાં રિપ્લેસમેન્ટ બિન-માનક છે.

ઉદાહરણ #23 (નોન-સ્ટાન્ડર્ડ રિપ્લેસમેન્ટ સાથેનું સમીકરણ!)

ચાલો તમે શું કરી શકો તેની સાથે તરત જ શરૂ કરીએ, અને શું - સૈદ્ધાંતિક રીતે, તમે કરી શકો છો, પરંતુ તે ન કરવું વધુ સારું છે.

તે શક્ય છે - ત્રણ, બે અને છની શક્તિઓ દ્વારા દરેક વસ્તુનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું.

તે ક્યાં દોરી જાય છે?

હા, અને કંઈપણ તરફ દોરી જશે નહીં: ડિગ્રીનો હોજપોજ, જેમાંથી કેટલાક છુટકારો મેળવવો ખૂબ મુશ્કેલ હશે.

તો પછી શું જરૂરી છે?

ચાલો નોંધ લઈએ કે એ

અને તે આપણને શું આપશે?

અને હકીકત એ છે કે આપણે આ ઉદાહરણના ઉકેલને એકદમ સરળ ઘાતાંકીય સમીકરણના ઉકેલમાં ઘટાડી શકીએ છીએ!

પ્રથમ, ચાલો આપણા સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખીએ:

હવે આપણે પરિણામી સમીકરણની બંને બાજુઓને આમાં વિભાજીત કરીએ છીએ:

યુરેકા! હવે આપણે બદલી શકીએ છીએ, આપણને મળે છે:

ઠીક છે, હવે પ્રદર્શન માટેની સમસ્યાઓ હલ કરવાનો તમારો વારો છે, અને હું તેમને ફક્ત ટૂંકી ટિપ્પણીઓ આપીશ જેથી તમે ગેરમાર્ગે ન જાઓ! સારા નસીબ!

ઉદાહરણ #24

સૌથી મુશ્કેલ!

અહીં રિપ્લેસમેન્ટ જોવું ઓહ, કેટલું નીચ છે! તેમ છતાં, આ ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને સંપૂર્ણપણે ઉકેલી શકાય છે સંપૂર્ણ ચોરસની પસંદગી.

તેને હલ કરવા માટે, તે નોંધવું પૂરતું છે કે:

તો અહીં તમારું રિપ્લેસમેન્ટ છે:

(નોંધ કરો કે અહીં, અમારા રિપ્લેસમેન્ટ સાથે, અમે નકારાત્મક મૂળને કાઢી શકતા નથી!!! અને શા માટે, તમે શું વિચારો છો?)

હવે, ઉદાહરણ ઉકેલવા માટે, તમારે બે સમીકરણો ઉકેલવા પડશે:

તે બંને "સ્ટાન્ડર્ડ રિપ્લેસમેન્ટ" દ્વારા હલ કરવામાં આવે છે (પરંતુ એક ઉદાહરણમાં બીજું!)

ઉદાહરણ #25

2. તેની નોંધ લો અને અવેજી બનાવો.

ઉદાહરણ #26

3. સંખ્યાને કોપ્રાઈમ પરિબળોમાં વિસ્તૃત કરો અને પરિણામી અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

ઉદાહરણ #27

4. અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને (અથવા જો તમે પસંદ કરો તો) દ્વારા વિભાજીત કરો અને અવેજી બનાવો અથવા.

ઉદાહરણ #28

5. નોંધ કરો કે સંખ્યાઓ અને સંયોજક છે.

લોગરીફિંગની પદ્ધતિ દ્વારા ઘાતાંકીય સમીકરણોનો ઉકેલ. ઉચ્ચ સ્તર

આ ઉપરાંત, ચાલો બીજી રીત જોઈએ - લઘુગણક પદ્ધતિ દ્વારા ઘાતાંકીય સમીકરણોનો ઉકેલ.

હું એમ કહી શકતો નથી કે આ પદ્ધતિ દ્વારા ઘાતાંકીય સમીકરણોનો ઉકેલ ખૂબ જ લોકપ્રિય છે, પરંતુ કેટલાક કિસ્સાઓમાં ફક્ત તે જ આપણને આપણા સમીકરણના સાચા ઉકેલ તરફ દોરી શકે છે.

ખાસ કરીને ઘણીવાર તેનો ઉપયોગ કહેવાતા ઉકેલવા માટે થાય છે. મિશ્ર સમીકરણો': એટલે કે, જ્યાં વિવિધ પ્રકારનાં કાર્યો છે.

ઉદાહરણ #29

સામાન્ય કિસ્સામાં, તે ફક્ત બંને ભાગોના લઘુગણક (ઉદાહરણ તરીકે, આધાર દ્વારા) લઈને ઉકેલી શકાય છે, જેમાં મૂળ સમીકરણ નીચેનામાં ફેરવાય છે:

ચાલો નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ:

તે સ્પષ્ટ છે કે અમને ફક્ત લઘુગણક કાર્યના ODZ માં રસ છે.

જો કે, આ માત્ર લોગરીધમના ODZ થી જ નહીં, પરંતુ અન્ય કારણસર પણ અનુસરે છે.

મને લાગે છે કે તમારા માટે કયું અનુમાન લગાવવું મુશ્કેલ નહીં હોય.

ચાલો આપણા સમીકરણની બંને બાજુના લઘુગણકને આધાર પર લઈએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમારા મૂળ સમીકરણના લઘુગણકને ઝડપથી સાચા (અને સુંદર!) જવાબ તરફ દોરી ગયા.

ચાલો એક વધુ ઉદાહરણ સાથે પ્રેક્ટિસ કરીએ.

ઉદાહરણ #30

અહીં પણ, ચિંતા કરવા જેવું કંઈ નથી: આપણે સમીકરણની બંને બાજુના લઘુગણકને આધારની દ્રષ્ટિએ લઈએ છીએ, પછી આપણને મળે છે:

ચાલો બદલીએ:

જો કે, અમે કંઈક ચૂકી ગયા! શું તમે નોંધ્યું કે મેં ક્યાં ભૂલ કરી છે? છેવટે, પછી:

જે જરૂરિયાતને સંતોષતું નથી (વિચારો કે તે ક્યાંથી આવ્યું છે!)

જવાબ:

નીચે ઘાતાંકીય સમીકરણોનો ઉકેલ લખવાનો પ્રયાસ કરો:

હવે આ સાથે તમારા ઉકેલને તપાસો:

ઉદાહરણ #31

અમે બંને ભાગોના લઘુગણકને આધાર પર લઈએ છીએ, આપેલ છે કે:

(રિપ્લેસમેન્ટને કારણે બીજું રુટ અમને અનુકૂળ નથી)

ઉદાહરણ #32

લોગરીધમ થી આધાર:

ચાલો પરિણામી અભિવ્યક્તિને નીચેના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરીએ:

એક્સપોઝિશનલ સમીકરણો. સંક્ષિપ્ત વર્ણન અને મૂળભૂત ફોર્મ્યુલા

ઘાતાંકીય સમીકરણ

સમીકરણ પ્રકાર:

કહેવાય છે સૌથી સરળ ઘાતાંકીય સમીકરણ.

ડિગ્રી ગુણધર્મો

ઉકેલ અભિગમ

• સમાન આધાર પર ઘટાડો
• સમાન ઘાતાંકમાં ઘટાડો
• વેરિયેબલ અવેજી
• અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો અને ઉપરોક્તમાંથી એક લાગુ કરો.

પાછળ આગળ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકન માત્ર માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની સંપૂર્ણ હદનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકશે નહીં. જો તમને આ કાર્યમાં રસ હોય, તો કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

પાઠનો પ્રકાર

: "ઘાતાંકીય સમીકરણો અને તેમને હલ કરવાની રીતો" વિષય પર જ્ઞાન, કુશળતા અને ક્ષમતાઓના સામાન્યીકરણ અને જટિલ એપ્લિકેશન પરનો પાઠ.

પાઠના લક્ષ્યો.

ટ્યુટોરિયલ્સ:

"ઘાતાંકીય સમીકરણો, તેમના ઉકેલો" વિષયની મુખ્ય સામગ્રીનું પુનરાવર્તન કરો અને વ્યવસ્થિત કરો; વિવિધ પ્રકારના ઘાતાંકીય સમીકરણોને ઉકેલતી વખતે યોગ્ય ગાણિતીક નિયમોનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતાને એકીકૃત કરો; પરીક્ષા માટે તૈયારી.

વિકાસશીલ:

વિદ્યાર્થીઓની તાર્કિક અને સહયોગી વિચારસરણીનો વિકાસ કરો; જ્ઞાનના સ્વતંત્ર ઉપયોગની કુશળતાના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપવા માટે.

શૈક્ષણિક:

સમીકરણો ઉકેલવામાં હેતુપૂર્ણતા, ધ્યાન અને ચોકસાઈ કેળવવી.

સાધન:

કમ્પ્યુટર અને મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર.

પાઠ વાપરે છે માહિતી ટેકનોલોજી : પાઠ માટે પદ્ધતિસરનો આધાર - માઈક્રોસોફ્ટ પાવર પોઈન્ટમાં પ્રસ્તુતિ.

વર્ગો દરમિયાન

દરેક કૌશલ્ય સખત મહેનત સાથે આવે છે.

આઈ. પાઠનું લક્ષ્ય નક્કી કરવું(સ્લાઇડ નંબર 2 )

આ પાઠમાં, અમે "ઘાતાંકીય સમીકરણો, તેમના ઉકેલો" વિષયનો સારાંશ અને સામાન્યીકરણ કરીશું. ચાલો આ વિષય પર વિવિધ વર્ષની પરીક્ષાના લાક્ષણિક કાર્યોથી પરિચિત થઈએ.

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેના કાર્યો USE કાર્યોના કોઈપણ ભાગમાં મળી શકે છે. ભાગમાં " એટી" સામાન્ય રીતે સરળ ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવાનો પ્રસ્તાવ મૂકે છે. ભાગમાં " થી " તમે વધુ જટિલ ઘાતાંકીય સમીકરણોને પૂરી કરી શકો છો, જેનો ઉકેલ સામાન્ય રીતે કાર્યના તબક્કાઓમાંથી એક છે.

દાખ્લા તરીકે ( સ્લાઇડ નંબર 3 ).

• ઉપયોગ - 2007

B 4 - અભિવ્યક્તિનું સૌથી મોટું મૂલ્ય શોધો x y, ક્યાં ( એક્સ; ખાતે) એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે:

• ઉપયોગ - 2008

B 1 - સમીકરણો ઉકેલો:

a) એક્સ 6 3એક્સ – 36 6 3એક્સ = 0;

b) 4 એક્સ +1 + 8 4એક્સ= 3.

• ઉપયોગ - 2009

B 4 - અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો x + y, ક્યાં ( એક્સ; ખાતે) એ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે:

• ઉપયોગ - 2010

– સમીકરણ ઉકેલો: 7 એક્સ– 2 = 49. – સમીકરણના મૂળ શોધો: 4 એક્સ 2 + 3એક્સ – 2 - 0,5 2x2 + 2એક્સ – 1 = 0. - સમીકરણોની સિસ્ટમ ઉકેલો:

II. મૂળભૂત જ્ઞાન અપડેટ કરવું. પુનરાવર્તન

(સ્લાઇડ્સ #4 – 6 વર્ગ પ્રસ્તુતિઓ)

સ્ક્રીન બતાવવામાં આવે છે સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીનો સંદર્ભ સારાંશ આ વિષય પર.

નીચેના પ્રશ્નોની ચર્ચા કરવામાં આવી છે:

1. સમીકરણો શું કહેવાય છે સૂચક?
2. તેમને હલ કરવાની મુખ્ય રીતોને નામ આપો. તેમના પ્રકારોના ઉદાહરણો આપો ( સ્લાઇડ નંબર 4 )

(દરેક પદ્ધતિ માટે સૂચિત સમીકરણોને સ્વ-ઉકેલો અને સ્લાઇડનો ઉપયોગ કરીને સ્વ-પરીક્ષણ કરો)

3. ફોર્મના સરળ ઘાતાંકીય સમીકરણોને ઉકેલવા માટે કયા પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય છે: અને f(x) = a g(x) ?
4. ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલવા માટેની અન્ય કઈ પદ્ધતિઓ અસ્તિત્વમાં છે? ( સ્લાઇડ નંબર 5 )

• ફેક્ટરાઇઝેશન પદ્ધતિ
(સાથે સત્તાના ગુણધર્મો પર આધારિત સમાન પાયા, સ્વાગત: સૌથી નીચા સૂચક સાથેની ડિગ્રી કૌંસમાંથી લેવામાં આવે છે).
• સજાતીય ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, શૂન્ય સિવાયના ઘાતાંકીય અભિવ્યક્તિ દ્વારા ભાગાકાર (ગુણાકાર) નું સ્વાગત
.

• સલાહ:

ઘાતાંકીય સમીકરણો ઉકેલતી વખતે, સમીકરણના બંને ભાગોમાં સમાન પાયા સાથે ડિગ્રી મેળવવા માટે, સૌપ્રથમ રૂપાંતરણ કરવું ઉપયોગી છે.

1. છેલ્લી બે પદ્ધતિઓ અને ટિપ્પણીઓ દ્વારા સમીકરણો ઉકેલવા

(સ્લાઇડ નંબર 6 ).

. 4 એક્સ+ 1 – 2 4 એક્સ– 2 = 124, 4 એક્સ– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 એક્સ– 2 62 = 124,

4 એક્સ– 2 = 2, 4 એક્સ– 2 = 4 0,5 , એક્સ– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 એક્સ 5X - 5 5 2એક્સ= 0¦ : 5 2 એક્સ 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3ટી- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, એક્સ= ?...

III. USE કાર્યો 2010 ઉકેલવા

વિદ્યાર્થીઓ સ્લાઇડ નંબર 3 પર પાઠની શરૂઆતમાં સૂચિત કાર્યોને સ્વતંત્ર રીતે હલ કરે છે, ઉકેલ માટેની સૂચનાઓનો ઉપયોગ કરીને, તેમની નિર્ણય પ્રક્રિયા અને પ્રસ્તુતિનો ઉપયોગ કરીને તેમને જવાબો તપાસો ( સ્લાઇડ નંબર 7). કાર્યની પ્રક્રિયામાં, ઉકેલ માટેના વિકલ્પો અને પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરવામાં આવે છે, ઉકેલમાં સંભવિત ભૂલો તરફ ધ્યાન દોરવામાં આવે છે.

: a) 7 એક્સ– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 એક્સ = 36. જવાબ: a) એક્સ= 4, b) એક્સ = 2. : 4 એક્સ 2 + 3એક્સ – 2 - 0,5 2x2 + 2એક્સ- 1 \u003d 0. (તમે 0.5 \u003d 4 - 0.5 ને બદલી શકો છો)

ઉકેલ. ,

એક્સ 2 + 3એક્સ – 2 = -એક્સ 2 - 4એક્સ + 0,5 …

જવાબ: એક્સ= -5/2, એક્સ = 1/2.

: 5 5 ટીજી y+ 4 = 5 -tg y, cos ખાતે y< 0.

નિર્ણય માટે સૂચન

. 5 5 ટીજી y+ 4 = 5 -tg y 5 ટીજી y 0,

5 5 2 જી y+ 4 5 ટીજી y- 1 = 0. ચાલો એક્સ= 5 ટીજી y , …

5 ટીજી y = -1 (?...), 5 ટીજી y= 1/5.

ત્યારથી tg y= -1 અને cos y< 0, પછી ખાતે II સંકલન ક્વાર્ટર

જવાબ: ખાતે= 3/4 + 2k, k એન.

IV. વ્હાઇટબોર્ડ સહયોગ

ઉચ્ચ સ્તરના શિક્ષણનું કાર્ય ગણવામાં આવે છે - સ્લાઇડ નંબર 8. આ સ્લાઇડની મદદથી, શિક્ષક અને વિદ્યાર્થીઓ વચ્ચે સંવાદ થાય છે, જે ઉકેલના વિકાસમાં ફાળો આપે છે.

- કયા પરિમાણ પર a સમીકરણ 2 2 એક્સ – 3 2 એક્સ + a 2 – 4a= 0 બે મૂળ ધરાવે છે?

દો t= 2 એક્સ, ક્યાં t > 0 . અમને મળે છે t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

એક). સમીકરણમાં બે મૂળ હોવાથી, પછી D > 0;

2). કારણ કે t 1,2 > 0, પછી t 1 t 2 > 0, એટલે કે a 2 – 4a> 0 (?...).

જવાબ: a(– 0.5; 0) અથવા (4; 4.5).

V. ચકાસણી કાર્ય

(સ્લાઇડ નંબર 9 )

વિદ્યાર્થીઓ પ્રદર્શન કરે છે ચકાસણી કાર્યપત્રિકાઓ પર, આત્મ-નિયંત્રણનો વ્યાયામ કરવો અને પ્રસ્તુતિની મદદથી કરવામાં આવેલ કાર્યનું સ્વ-મૂલ્યાંકન, વિષયમાં પોતાને ભારપૂર્વક જણાવવું. તેઓ સ્વતંત્ર રીતે વર્કબુકમાં થયેલી ભૂલોના આધારે જ્ઞાનના નિયમન અને સુધારણા માટેનો પ્રોગ્રામ નક્કી કરે છે. પૂર્ણ થયેલ સ્વતંત્ર કાર્ય સાથેની શીટ્સ ચકાસણી માટે શિક્ષકને સોંપવામાં આવે છે.

રેખાંકિત સંખ્યાઓ મૂળભૂત છે, જે ફૂદડી સાથે છે તે અદ્યતન છે.

ઉકેલ અને જવાબો.

0,3 2એક્સ + 1 = 0,3 – 2 , 2એક્સ + 1 = -2, એક્સ= -1,5.

(1; 1).

3. 2 એક્સ– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 એક્સ– 1 76 = 19, 2 એક્સ– 1 = 1/4, 2 એક્સ– 1 = 2 – 2 , એક્સ– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 એક્સ 5એક્સ+ 5 25 એક્સ | : 25 એક્સ ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) એક્સ+ 5,

3 (9/27) એક્સ = 2 (3/5) એક્સ + 5 = 0,

3 (3/5) 2એક્સ – 2 (3/5) એક્સ - 5 = 0,…, (3/5) એક્સ = -1 (યોગ્ય નથી),

(3/5) એક્સ = 5, x = -1.

VI. ગૃહ કાર્ય

(સ્લાઇડ નંબર 10 )

• § 11, 12 પુનરાવર્તન કરો.
• યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2008 - 2010 ની સામગ્રીમાંથી, વિષય પરના કાર્યો પસંદ કરો અને તેમને હલ કરો.
• હોમ ટેસ્ટ વર્ક
: