equazioni esponenziali. Metodo logaritmico. Soluzione di equazioni esponenziali. Esempi Soluzione di semplici equazioni esponenziali

Questa lezione è rivolta a coloro che stanno appena iniziando a imparare le equazioni esponenziali. Come sempre, iniziamo con una definizione e semplici esempi.

Se stai leggendo questa lezione, allora sospetto che tu abbia già almeno una minima comprensione delle equazioni più semplici - lineare e quadrata: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ ecc. Per essere in grado di risolvere tali costruzioni è assolutamente necessario per non "impiccarsi" nell'argomento che verrà discusso ora.

Quindi, equazioni esponenziali. Lascia che ti faccia un paio di esempi:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Alcuni possono sembrarti più complicati, altri, al contrario, sono troppo semplici. Ma tutti sono uniti da una caratteristica importante: contengono una funzione esponenziale $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Introduciamo quindi la definizione:

Un'equazione esponenziale è qualsiasi equazione che contiene una funzione esponenziale, ad es. un'espressione della forma $((a)^(x))$. Oltre alla funzione specificata, tali equazioni possono contenere qualsiasi altra costruzione algebrica: polinomi, radici, trigonometria, logaritmi, ecc.

Va bene allora. Capito la definizione. Ora la domanda è: come risolvere tutte queste stronzate? La risposta è allo stesso tempo semplice e complessa.

Cominciamo con la buona notizia: dalla mia esperienza con molti studenti, posso dire che per la maggior parte di loro le equazioni esponenziali sono molto più facili degli stessi logaritmi, e ancor di più la trigonometria.

Ma ci sono anche cattive notizie: a volte i compilatori di problemi per tutti i tipi di libri di testo ed esami sono visitati da "ispirazione" e il loro cervello infiammato dalla droga inizia a produrre equazioni così brutali che diventa problematico non solo per gli studenti risolverle - anche molti insegnanti rimangono bloccati su tali problemi.

Tuttavia, non parliamo di cose tristi. E torniamo a quelle tre equazioni che sono state date proprio all'inizio della storia. Proviamo a risolverli ciascuno.

Prima equazione: $((2)^(x))=4$. Ebbene, a quale potenza deve essere elevato il numero 2 per ottenere il numero 4? Forse il secondo? Dopotutto, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — e abbiamo ottenuto l'uguaglianza numerica corretta, cioè infatti $x=2$. Bene, grazie, cap, ma questa equazione era così semplice che anche il mio gatto poteva risolverla. :)

Diamo un'occhiata alla seguente equazione:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ma qui è un po' più difficile. Molti studenti sanno che $((5)^(2))=25$ è la tabellina. Alcuni sospettano anche che $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ sia essenzialmente la definizione di esponenti negativi (simile alla formula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Infine, solo pochi eletti ipotizzano che questi fatti possano essere combinati e l'output è il seguente risultato:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Pertanto, la nostra equazione originale verrà riscritta come segue:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Freccia destra ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

E ora questo è già completamente risolto! Sul lato sinistro dell'equazione c'è una funzione esponenziale, sul lato destro dell'equazione c'è una funzione esponenziale, non c'è altro che loro da qualche altra parte. Pertanto, è possibile "scartare" le basi e equiparare stupidamente gli indicatori:

Abbiamo l'equazione lineare più semplice che qualsiasi studente può risolvere in solo un paio di righe. Ok, in quattro righe:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Se non hai capito cosa stava succedendo nelle ultime quattro righe, assicurati di tornare all'argomento "equazioni lineari" e ripetilo. Perché senza una chiara assimilazione di questo argomento, è troppo presto per affrontare le equazioni esponenziali.

\[((9)^(x))=-3\]

Bene, come si decide? Primo pensiero: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, quindi l'equazione originale può essere riscritta in questo modo:

\[((\sinistra(((3)^(2)) \destra))^(x))=-3\]

Ricordiamo poi che elevando un grado a potenza, gli indicatori si moltiplicano:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Freccia destra ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

E per una tale decisione, otteniamo un onestamente meritato due. Perché noi, con l'equanimità di un Pokémon, abbiamo inviato il segno meno davanti ai tre alla potenza di questi stessi tre. E non puoi farlo. Ed ecco perché. Dai un'occhiata ai diversi poteri della tripla:

\[\begin(matrice) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

Compilando questa tavoletta, non ho pervertito non appena l'ho fatto: ho considerato i gradi positivi, negativi e anche frazionari ... beh, dov'è almeno un numero negativo qui? Lui non è! E non può essere, perché la funzione esponenziale $y=((a)^(x))$, in primo luogo, assume sempre solo valori positivi (non importa quanto moltiplichi uno o dividi per due, sarà comunque un numero positivo), e in secondo luogo, la base di tale funzione, il numero $a$, è per definizione un numero positivo!

Bene, come risolvere l'equazione $((9)^(x))=-3$? No, non ci sono radici. E in questo senso, le equazioni esponenziali sono molto simili a quelle quadratiche: potrebbero anche non esserci radici. Ma se nelle equazioni quadratiche il numero di radici è determinato dal discriminante (il discriminante è positivo - 2 radici, negativo - nessuna radice), allora nelle equazioni esponenziali tutto dipende da cosa c'è a destra del segno di uguale.

Pertanto, formuliamo la conclusione chiave: l'equazione esponenziale più semplice della forma $((a)^(x))=b$ ha una radice se e solo se $b \gt 0$. Conoscendo questo semplice fatto, puoi facilmente determinare se l'equazione che ti viene proposta ha radici o meno. Quelli. vale la pena risolverlo o annotare immediatamente che non ci sono radici.

Questa conoscenza ci aiuterà molte volte quando dovremo risolvere problemi più complessi. Nel frattempo, abbastanza testi: è tempo di studiare l'algoritmo di base per risolvere le equazioni esponenziali.

Come risolvere equazioni esponenziali

Quindi, formuliamo il problema. È necessario risolvere l'equazione esponenziale:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Secondo l'algoritmo "ingenuo" che abbiamo utilizzato in precedenza, è necessario rappresentare il numero $b$ come una potenza del numero $a$:

Inoltre, se al posto della variabile $x$ c'è qualche espressione, otterremo una nuova equazione, che può essere già risolta. Per esempio:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Freccia destra ((2)^(x))=((2)^(3))\Freccia destra x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Freccia destra ((3)^(-x))=((3)^(4))\Freccia destra -x=4\Freccia destra x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Freccia destra ((5)^(2x))=((5)^(3))\Freccia destra 2x=3\Freccia destra x=\frac(3)( 2). \\\fine(allineamento)\]

E stranamente, questo schema funziona in circa il 90% dei casi. E l'altro 10% allora? Il restante 10% sono equazioni esponenziali leggermente "schizofreniche" della forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

A quale potenza devi aumentare 2 per ottenere 3? Nel primo? Ma no: $((2)^(1))=2$ non è abbastanza. Nel secondo? Nessuno dei due: $((2)^(2))=4$ è troppo. Cosa poi?

Gli studenti esperti hanno probabilmente già intuito: in questi casi, quando è impossibile risolvere "bellamente", "artiglieria pesante" è collegata al caso: i logaritmi. Lascia che ti ricordi che usando i logaritmi, qualsiasi numero positivo può essere rappresentato come una potenza di qualsiasi altro numero positivo (ad eccezione di uno):

Ricordi questa formula? Quando parlo di logaritmi ai miei studenti, vi avverto sempre: questa formula (è anche l'identità logaritmica di base o, se volete, la definizione del logaritmo) vi perseguiterà a lungo e “emergerà” nel modo più luoghi inaspettati. Bene, è emersa. Diamo un'occhiata alla nostra equazione e a questa formula:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Se assumiamo che $a=3$ sia il nostro numero originale a destra, e $b=2$ sia la base stessa funzione esponenziale, a cui vogliamo così ridurre il lato destro, otteniamo quanto segue:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Freccia destra 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Freccia destra ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Freccia destra x=( (\log )_(2))3. \\\fine(allineamento)\]

Abbiamo una risposta un po' strana: $x=((\log )_(2))3$. In qualche altro compito, con una risposta del genere, molti dubiterebbero e inizierebbero a ricontrollare la loro soluzione: e se ci fosse un errore da qualche parte? Mi affretto a farti piacere: qui non c'è errore e i logaritmi nelle radici delle equazioni esponenziali sono una situazione abbastanza tipica. Quindi abituati. :)

Ora risolviamo per analogia le restanti due equazioni:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Freccia destra ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Freccia destra x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Freccia destra ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Freccia destra 2x=( (\log )_(4))11\Freccia destra x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\fine(allineamento)\]

È tutto! A proposito, l'ultima risposta può essere scritta diversamente:

Siamo stati noi a introdurre il moltiplicatore nell'argomento del logaritmo. Ma nessuno ci impedisce di aggiungere questo fattore alla base:

Inoltre, tutte e tre le opzioni sono corrette: sono solo forme diverse di scrittura dello stesso numero. Quale scegliere e annotare in questa decisione dipende da te.

Quindi, abbiamo imparato a risolvere qualsiasi equazione esponenziale della forma $((a)^(x))=b$, dove i numeri $a$ e $b$ sono strettamente positivi. Tuttavia, la dura realtà del nostro mondo è che compiti così semplici ti incontreranno molto, molto raramente. Più spesso ti imbatterai in qualcosa del genere:

\[\begin(allineamento)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fine(allineamento)\]

Bene, come si decide? Questo può essere risolto? E se sì, come?

Niente panico. Tutte queste equazioni vengono rapidamente e semplicemente ridotte a quelle semplici formule che abbiamo già considerato. Devi solo sapere per ricordare un paio di trucchi del corso di algebra. E, naturalmente, non ci sono regole per lavorare con i diplomi qui. Parlerò di tutto questo ora. :)

Trasformazione di equazioni esponenziali

La prima cosa da ricordare è che qualsiasi equazione esponenziale, per quanto complessa possa essere, in un modo o nell'altro deve essere ridotta alle equazioni più semplici, proprio quelle che abbiamo già considerato e che sappiamo come risolvere. In altre parole, lo schema per risolvere qualsiasi equazione esponenziale si presenta così:

1. Annota l'equazione originale. Ad esempio: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Fai delle cazzate stupide. O anche qualche stronzata chiamata "trasforma l'equazione";
3. All'output, ottieni le espressioni più semplici come $((4)^(x))=4$ o qualcos'altro del genere. Inoltre, un'equazione iniziale può dare più di tali espressioni contemporaneamente.

Con il primo punto, tutto è chiaro: anche il mio gatto può scrivere l'equazione su una foglia. Anche con il terzo punto, a quanto pare, è più o meno chiaro: abbiamo già risolto un sacco di equazioni del genere sopra.

Ma che dire del secondo punto? Quali sono le trasformazioni? Cosa convertire in cosa? E come?

Bene, scopriamolo. Innanzi tutto vorrei sottolineare quanto segue. Tutte le equazioni esponenziali sono divise in due tipi:

1. L'equazione è composta da funzioni esponenziali con la stessa base. Esempio: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. La formula contiene funzioni esponenziali con basi diverse. Esempi: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ e $((100)^(x-1) )\cpunto ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Iniziamo con le equazioni del primo tipo: sono le più facili da risolvere. E nella loro soluzione saremo aiutati da una tecnica come la selezione di espressioni stabili.

Evidenziando un'espressione stabile

Esaminiamo nuovamente questa equazione:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Cosa vediamo? I quattro sono elevati a gradi diversi. Ma tutte queste potenze sono semplici somme della variabile $x$ con altri numeri. Pertanto, è necessario ricordare le regole per lavorare con i gradi:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\fine(allineamento)\]

In poche parole, l'addizione di esponenti può essere convertita in un prodotto di potenze e la sottrazione è facilmente convertita in divisione. Proviamo ad applicare queste formule alle potenze della nostra equazione:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\fine(allineamento)\]

Riscriviamo l'equazione originale tenendo conto di questo fatto, quindi raccogliamo tutti i termini a sinistra:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -undici; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fine(allineamento)\]

I primi quattro termini contengono l'elemento $((4)^(x))$ — estraiamolo dalla parentesi:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\fine(allineamento)\]

Resta da dividere entrambe le parti dell'equazione per la frazione $-\frac(11)(4)$, cioè essenzialmente moltiplicare per la frazione invertita - $-\frac(4)(11)$. Noi abbiamo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\fine(allineamento)\]

È tutto! Abbiamo ridotto l'equazione originale alla più semplice e ottenuto la risposta finale.

Allo stesso tempo, nel processo di risoluzione, abbiamo scoperto (e persino tolto dalla parentesi) il fattore comune $((4)^(x))$ - questa è l'espressione stabile. Può essere designato come una nuova variabile, oppure puoi semplicemente esprimerlo accuratamente e ottenere una risposta. In ogni caso, il principio chiave della soluzione è il seguente:

Trova nell'equazione originale un'espressione stabile contenente una variabile facilmente distinguibile da tutte le funzioni esponenziali.

La buona notizia è che quasi ogni equazione esponenziale ammette un'espressione così stabile.

Ma ci sono anche cattive notizie: tali espressioni possono essere molto complicate e può essere abbastanza difficile distinguerle. Quindi diamo un'occhiata a un altro problema:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cpunto ((5)^(x+1))=2\]

Forse qualcuno ora avrà una domanda: "Pasha, sei lapidato? Qui ci sono diverse basi: 5 e 0.2. Ma proviamo a convertire una potenza con base 0.2. Per esempio, sbarazziamoci della frazione decimale, portandola al solito:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\sinistra(x+1 \destra)))=((\sinistra(\frac(2)(10 ) \destra))^(-\sinistra(x+1 \destra)))=((\sinistra(\frac(1)(5) \destra))^(-\sinistra(x+1 \destra)) )\]

Come puoi vedere, il numero 5 è ancora apparso, anche se al denominatore. Contestualmente, l'indicatore è stato riscritto come negativo. E ora ricordiamo una delle regole più importanti per lavorare con i gradi:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Freccia destra ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\sinistra(x+1 \destra)))=((\sinistra(\frac(5)(1) \destra))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Qui, ovviamente, ho barato un po'. Perché per una comprensione completa, la formula per sbarazzarsi degli indicatori negativi doveva essere scritta come segue:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Freccia destra ((\sinistra(\frac(1)(5) \destra))^(-\sinistra(x+1 \destra))))=((\sinistra(\frac(5)(1) \ destra))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Nulla invece ci ha impedito di lavorare con una sola frazione:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ destra))^(-\sinistra(x+1 \destra)))=((5)^(\sinistra(-1 \destra)\cdot \sinistra(-\sinistra(x+1 \destra) \destra) ))=((5)^(x+1))\]

Ma in questo caso bisogna poter elevare una laurea ad un'altra laurea (vi ricordo: in questo caso gli indicatori si sommano). Ma non ho dovuto "capovolgere" le frazioni - forse per qualcuno sarà più facile. :)

In ogni caso, l'equazione esponenziale originale verrà riscritta come:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cpunto ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cpunto ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fine(allineamento)\]

Quindi si scopre che l'equazione originale è ancora più facile da risolvere di quella considerata in precedenza: qui non è nemmeno necessario individuare un'espressione stabile: tutto è stato ridotto da solo. Resta solo da ricordare che $1=((5)^(0))$, da cui otteniamo:

\[\begin(allineamento)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\fine(allineamento)\]

Questa è l'intera soluzione! Abbiamo la risposta finale: $x=-2$. Allo stesso tempo, vorrei notare un trucco che ha semplificato notevolmente tutti i calcoli per noi:

Nelle equazioni esponenziali, assicurati di sbarazzartene frazioni decimali, convertili in normali. Questo ti permetterà di vedere le stesse basi dei gradi e semplificherà notevolmente la soluzione.

Passiamo ora a equazioni più complesse in cui esistono basi diverse, che generalmente non si riducono tra loro con l'ausilio delle potenze.

Usando la proprietà dell'esponente

Lascia che ti ricordi che abbiamo altre due equazioni particolarmente dure:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fine(allineamento)\]

La difficoltà principale qui è che non è chiaro cosa e su quale base condurre. Dove sono le espressioni fisse? Dove sono i terreni comuni? Non c'è niente di tutto questo.

Ma proviamo ad andare dall'altra parte. Se non ci sono basi identiche già pronte, puoi provare a trovarle calcolando le basi disponibili.

Partiamo dalla prima equazione:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cpunto 3\Freccia destra ((21)^(3x))=((\sinistra(7\cpunto 3 \destra))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\fine(allineamento)\]

Ma puoi fare il contrario: crea il numero 21 dai numeri 7 e 3. È particolarmente facile farlo a sinistra, poiché gli indicatori di entrambi i gradi sono gli stessi:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\fine(allineamento)\]

È tutto! Hai tolto l'esponente dal prodotto e hai subito ottenuto una bellissima equazione che può essere risolta in un paio di righe.

Ora affrontiamo la seconda equazione. Qui tutto è molto più complicato:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

In questo caso, le frazioni si sono rivelate irriducibili, ma se qualcosa può essere ridotto, assicurati di ridurlo. Ciò si tradurrà spesso in motivi interessanti con cui puoi già lavorare.

Sfortunatamente, non abbiamo inventato nulla. Ma vediamo che gli esponenti a sinistra nel prodotto sono opposti:

Lascia che te lo ricordi: per eliminare il segno meno nell'esponente, devi solo "capovolgere" la frazione. Quindi riscriviamo l'equazione originale:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fine(allineamento)\]

Nella seconda riga, abbiamo appena eliminato punteggio totale dal prodotto tra parentesi secondo la regola $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, e in quest'ultimo semplicemente moltiplicato il numero 100 per una frazione.

Ora nota che i numeri a sinistra (alla base) ea destra sono in qualche modo simili. Come? Sì, ovviamente: sono potenze dello stesso numero! Abbiamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \destra))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \destra))^(2)). \\\fine(allineamento)\]

Pertanto, la nostra equazione sarà riscritta come segue:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \destra))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \destra))^(3\sinistra(x-1 \destra)))=((\sinistra(\frac(10)(3) \destra))^(3x-3))\]

Contemporaneamente, a destra, si può ottenere anche una laurea con la stessa base, per la quale basta “capovolgere” la frazione:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Infine, la nostra equazione assumerà la forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\fine(allineamento)\]

Questa è l'intera soluzione. La sua idea principale è che anche se basi diverse x stiamo cercando con le buone o con le cattive di ridurre questi motivi a uno e lo stesso. In questo ci aiutano le trasformazioni elementari delle equazioni e le regole per lavorare con le potenze.

Ma quali regole e quando usarlo? Come capire che in un'equazione è necessario dividere entrambi i lati per qualcosa e in un'altra fattorizzare la base della funzione esponenziale?

La risposta a questa domanda arriverà con l'esperienza. Mettiti alla prova dapprima con semplici equazioni, quindi complica gradualmente i compiti - e molto presto le tue abilità saranno sufficienti per risolvere qualsiasi equazione esponenziale dello stesso USE o qualsiasi lavoro di prova/indipendente.

E per aiutarti in questo difficile compito, propongo di scaricare sul mio sito una serie di equazioni per decisione indipendente. Tutte le equazioni hanno risposte, quindi puoi sempre controllare te stesso.

In generale, ti auguro un allenamento di successo. E ci vediamo alla prossima lezione: lì analizzeremo equazioni esponenziali davvero complesse, dove i metodi sopra descritti non sono più sufficienti. E non basterà nemmeno un semplice allenamento. :)

Soluzione di equazioni esponenziali. Esempi.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi fortemente "non molto..."
E per chi "molto...")

Che cosa equazione esponenziale? Questa è un'equazione in cui si trovano le incognite (x) e le espressioni con esse indicatori alcuni gradi. E solo lì! È importante.

Eccoti esempi di equazioni esponenziali:

3 x 2 x = 8 x + 3

Nota! Nelle basi dei gradi (sotto) - solo numeri. A indicatori gradi (sopra) - un'ampia varietà di espressioni con x. Se, all'improvviso, appare una x nell'equazione da qualche parte diversa dall'indicatore, ad esempio:

questa sarà un'equazione di tipo misto. Tali equazioni non hanno regole chiare per la risoluzione. Non li considereremo per ora. Qui ci occuperemo soluzione di equazioni esponenziali nella sua forma più pura.

In effetti, anche le equazioni esponenziali pure non sono sempre risolte in modo chiaro. Ma ci sono alcuni tipi di equazioni esponenziali che possono e devono essere risolte. Questi sono i tipi che esamineremo.

Soluzione delle equazioni esponenziali più semplici.

Cominciamo con qualcosa di molto semplice. Per esempio:

Anche senza alcuna teoria, per semplice selezione è chiaro che x = 2. Niente di più, vero!? Nessun altro tiro di valore x. E ora diamo un'occhiata alla soluzione di questa complicata equazione esponenziale:

Cosa abbiamo fatto? Noi, infatti, abbiamo appena buttato fuori gli stessi fondi (triple). Completamente buttato fuori. E, che piacere, colpisci nel segno!

Infatti, se nell'equazione esponenziale a sinistra ea destra sono lo stesso numeri in qualsiasi grado, questi numeri possono essere rimossi e gli esponenti uguali. La matematica permette. Resta da risolvere un'equazione molto più semplice. va bene, vero?)

Tuttavia, ricordiamo ironicamente: puoi togliere le basi solo quando i numeri delle basi sono a sinistra ea destra in splendido isolamento! Senza vicini e coefficienti. Diciamo nelle equazioni:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , o

Non puoi rimuovere i doppi!

Bene, abbiamo imparato la cosa più importante. Come passare da espressioni esponenziali malvagie a equazioni più semplici.

"Ecco quei tempi!" - tu dici. "Chi darà un tale primitivo sul controllo e sugli esami!?"

Costretto ad accettare. Nessuno lo farà. Ma ora sai dove andare quando risolvi esempi confusi. È necessario ricordarlo, quando lo stesso numero di base è a sinistra - a destra. Allora tutto sarà più facile. In realtà, questi sono i classici della matematica. Prendiamo l'esempio originale e lo trasformiamo nel desiderato noi mente. Secondo le regole della matematica, ovviamente.

Considera esempi che richiedono uno sforzo aggiuntivo per portarli al più semplice. Chiamiamoli semplici equazioni esponenziali.

Soluzione di semplici equazioni esponenziali. Esempi.

Quando si risolvono equazioni esponenziali, le regole principali sono azioni con poteri. Senza la conoscenza di queste azioni, nulla funzionerà.

Alle azioni con gradi, bisogna aggiungere l'osservazione personale e l'ingegnosità. Abbiamo bisogno degli stessi numeri di base? Quindi li stiamo cercando nell'esempio in una forma esplicita o crittografata.

Vediamo come si fa in pratica?

Facciamo un esempio:

2 2x - 8x+1 = 0

Primo sguardo a motivi. Loro... Sono diversi! Due e otto. Ma è troppo presto per scoraggiarsi. È tempo di ricordarlo

Due e otto sono parenti in grado.) È del tutto possibile scrivere:

8 x+1 = (2 3) x+1

Se ricordiamo la formula dalle azioni con poteri:

(un n) m = un nm ,

generalmente funziona benissimo:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

L'esempio originale si presenta così:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Trasferiamo 2 3 (x+1) a destra (nessuno ha cancellato le azioni elementari della matematica!), otteniamo:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Questo è praticamente tutto. Rimozione delle basi:

Risolviamo questo mostro e otteniamo

Questa è la risposta corretta.

In questo esempio, conoscere i poteri di due ci ha aiutato. Noi individuato negli otto, il criptato deuce. Questa tecnica (codifica di basi comuni con numeri diversi) è un trucco molto popolare nelle equazioni esponenziali! Sì, anche nei logaritmi. Bisogna essere in grado di riconoscere i poteri di altri numeri nei numeri. Questo è estremamente importante per risolvere equazioni esponenziali.

Il fatto è che elevare qualsiasi numero a qualsiasi potere non è un problema. Moltiplica, anche su un pezzo di carta, e questo è tutto. Ad esempio, tutti possono aumentare 3 alla quinta potenza. 243 risulterà se conosci la tabellina.) Ma nelle equazioni esponenziali, molto più spesso è necessario non elevare a potenza, ma viceversa ... quale numero in che misura si nasconde dietro il numero 243, o, diciamo, 343... Nessuna calcolatrice ti aiuterà qui.

Devi conoscere a vista i poteri di alcuni numeri, sì ... Facciamo pratica?

Determina quali potenze e quali numeri sono numeri:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Risposte (in un pasticcio, ovviamente!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Se guardi da vicino, puoi vedere un fatto strano. Ci sono più risposte che domande! Bene, succede... Ad esempio, 2 6 , 4 3 , 8 2 fa tutto 64.

Supponiamo che tu abbia preso nota delle informazioni sulla conoscenza dei numeri.) Lascia che ti ricordi che per risolvere le equazioni esponenziali, applichiamo il tutto riserva di conoscenze matematiche. Compreso dalle classi medio-basse. Non sei andato direttamente al liceo, vero?

Ad esempio, quando si risolvono equazioni esponenziali, molto spesso è utile mettere il fattore comune tra parentesi (buongiorno al grado 7!). Vediamo un esempio:

3 2x+4 -11 9x = 210

E ancora, il primo sguardo - sul terreno! Le basi dei gradi sono diverse... Tre e nove. E vogliamo che siano gli stessi. Bene, in questo caso, il desiderio è abbastanza fattibile!) Perché:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Secondo le stesse regole per le azioni con gradi:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

È fantastico, puoi scrivere:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Abbiamo fatto un esempio per le stesse ragioni. Allora, qual è il prossimo passo!? I tre non possono essere buttati fuori ... Vicolo cieco?

Affatto. Ricordando la regola decisionale più universale e potente tutto compiti di matematica:

Se non sai cosa fare, fai quello che puoi!

Guardi, tutto è formato).

Cosa c'è in questa equazione esponenziale Potere fare? Sì, il lato sinistro chiede direttamente le parentesi! Il fattore comune di 3 2x suggerisce chiaramente questo. Proviamo e poi vedremo:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

L'esempio continua a migliorare sempre di più!

Ricordiamo che per eliminare le basi occorre un grado puro, senza coefficienti. Il numero 70 ci dà fastidio. Quindi dividiamo entrambi i membri dell'equazione per 70, otteniamo:

Op-pa! Tutto è andato bene!

Questa è la risposta finale.

Succede, però, che si ottenga il rullaggio per gli stessi motivi, ma non la loro liquidazione. Ciò accade nelle equazioni esponenziali di un altro tipo. Prendiamo questo tipo.

Cambio di variabile nella risoluzione di equazioni esponenziali. Esempi.

Risolviamo l'equazione:

4x - 3 2x +2 = 0

Primo - come al solito. Passiamo alla base. Al diavolo.

4x = (2 2)x = 2 2x

Otteniamo l'equazione:

2 2x - 3 2x +2 = 0

E qui ci impiccheremo. I trucchi precedenti non funzioneranno, non importa come lo giri. Dovremo ottenere dall'arsenale di un altro modo potente e versatile. È chiamato sostituzione variabile.

L'essenza del metodo è sorprendentemente semplice. Invece di un'icona complessa (nel nostro caso, 2 x), ne scriviamo un'altra, più semplice (ad esempio, t). Una tale sostituzione apparentemente insignificante porta a risultati sorprendenti!) Tutto diventa semplicemente chiaro e comprensibile!

Quindi lascia

Quindi 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Sostituiamo nella nostra equazione tutte le potenze con x con t:

Bene, albe?) Non hai ancora dimenticato le equazioni quadratiche? Risolviamo attraverso il discriminante, otteniamo:

Ecco, l'importante è non fermarsi, come succede ... Questa non è ancora la risposta, abbiamo bisogno di x, non di t. Torniamo a Xs, cioè facendo una sostituzione. Primo per t 1:

Questo è,

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo, da t 2:

Um... Sinistra 2 x, Destra 1... Un intoppo? Sì, per niente! Basta ricordare (da azioni con gradi, sì...) che un'unità è qualunque numero a zero. Qualunque. Qualunque cosa tu abbia bisogno, la metteremo noi. Abbiamo bisogno di un due. Significa:

Ora è tutto. Ha 2 radici:

Questa è la risposta.

In risoluzione di equazioni esponenziali alla fine, a volte si ottiene qualche espressione goffa. Tipo:

Dai sette, un due attraverso un grado semplice non funziona. Non sono parenti... Come posso essere qui? Qualcuno potrebbe essere confuso ... Ma la persona che ha letto su questo sito l'argomento "Cos'è un logaritmo?" , sorridi solo con parsimonia e scrivi con mano ferma la risposta assolutamente corretta:

Non ci può essere una risposta del genere nei compiti "B" dell'esame. C'è un numero specifico richiesto. Ma nelle attività "C" - facilmente.

Questa lezione fornisce esempi di risoluzione delle equazioni esponenziali più comuni. Evidenziamo quello principale.

Consigli pratici:

1. Prima di tutto, guardiamo motivi gradi. Vediamo se non si possono fare lo stesso. Proviamo a farlo usando attivamente azioni con poteri. Non dimenticare che anche i numeri senza x possono essere trasformati in gradi!

2. Cerchiamo di portare l'equazione esponenziale nella forma in cui si trovano la sinistra e la destra lo stesso numeri a qualsiasi livello. Noi usiamo azioni con poteri e fattorizzazione. Cosa si può contare in numeri - contiamo.

3. Se il secondo consiglio non ha funzionato, proviamo ad applicare la sostituzione della variabile. Il risultato può essere un'equazione facilmente risolvibile. Molto spesso - quadrato. O frazionario, che si riduce anche a un quadrato.

4. Per risolvere con successo equazioni esponenziali, è necessario conoscere i gradi di alcuni numeri "a vista".

Come al solito, alla fine della lezione sei invitato a risolvere un po'.) Da solo. Dal semplice al complesso.

Risolvi equazioni esponenziali:

Più difficile:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Trova prodotto di radici:

2 3x + 2x = 9

Accaduto?

Bene, allora l'esempio più complicato (si risolve, però, nella mente...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Cosa c'è di più interessante? Allora ecco un cattivo esempio per te. Abbastanza tirando su una maggiore difficoltà. Suggerirò che in questo esempio, l'ingegno e la regola più universale per risolvere tutti i compiti matematici salvano.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Un esempio è più semplice, per il relax):

9 2 x - 4 3 x = 0

E per dessert. Trova la somma delle radici dell'equazione:

x 3 x - 9 x + 7 3 x - 63 = 0

Si si! Questa è un'equazione di tipo misto! Che non abbiamo considerato in questa lezione. E cosa considerarli, devono essere risolti!) Questa lezione è abbastanza per risolvere l'equazione. Bene, l'ingegnosità è necessaria ... E sì, la seconda media ti aiuterà (questo è un suggerimento!).

Risposte (in disordine, separate da punto e virgola):

uno; 2; 3; quattro; non ci sono soluzioni; 2; -2; -5; quattro; 0.

Tutto ha successo? Eccellente.

C'è un problema? Nessun problema! Nella Sezione Speciale 555, tutte queste equazioni esponenziali vengono risolte con spiegazioni dettagliate. Cosa, perché e perché. E, naturalmente, ci sono ulteriori preziose informazioni su come lavorare con tutti i tipi di equazioni esponenziali. Non solo con questi.)

Un'ultima domanda divertente da considerare. In questa lezione abbiamo lavorato con le equazioni esponenziali. Perché non ho detto una parola su ODZ qui? Nelle equazioni, questa è una cosa molto importante, tra l'altro ...

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A proposito, ho un altro paio di siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Imparare - con interesse!)

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Per prima cosa, ricordiamo le formule di base dei gradi e le loro proprietà.

Prodotto di un numero un accade su se stesso n volte, possiamo scrivere questa espressione come a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. un n un m = un n + m

4. (un n) m = un nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Equazioni di potenza o esponenziali- sono equazioni in cui le variabili sono in potenze (o esponenti) e la base è un numero.

Esempi di equazioni esponenziali:

In questo esempio, il numero 6 è la base, è sempre in basso, e la variabile X grado o misura.

Diamo altri esempi di equazioni esponenziali.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Ora diamo un'occhiata a come vengono risolte le equazioni esponenziali?

Prendiamo una semplice equazione:

2x = 2 3

Un tale esempio può essere risolto anche nella mente. Si può notare che x=3. Dopotutto, affinché i lati sinistro e destro siano uguali, devi inserire il numero 3 invece di x.
Ora vediamo come dovrebbe essere presa questa decisione:

2x = 2 3
x = 3

Per risolvere questa equazione, abbiamo rimosso stessi motivi(cioè, due) e annota ciò che è rimasto, questi sono gradi. Abbiamo ottenuto la risposta che stavamo cercando.

Ora riassumiamo la nostra soluzione.

Algoritmo per risolvere l'equazione esponenziale:
1. Necessità di controllare lo stesso se le basi dell'equazione a destra ea sinistra. Se i motivi non sono gli stessi, stiamo cercando opzioni per risolvere questo esempio.
2. Dopo che le basi sono le stesse, equiparare grado e risolvere la nuova equazione risultante.

Ora risolviamo alcuni esempi:

Iniziamo in modo semplice.

Le basi sui lati sinistro e destro sono uguali al numero 2, il che significa che possiamo scartare la base e uguagliare i loro gradi.

x+2=4 L'equazione più semplice è risultata.
x=4 - 2
x=2
Risposta: x=2

Nell'esempio seguente, puoi vedere che le basi sono diverse, queste sono 3 e 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Per cominciare, trasferiamo i nove sul lato destro, otteniamo:

Ora devi fare le stesse basi. Sappiamo che 9=3 2 . Usiamo la formula della potenza (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otteniamo 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ora è chiaro che le basi sui lati sinistro e destro sono le stesse e uguali a tre, il che significa che possiamo scartarle ed eguagliare i gradi.

3x=2x+16 ha ottenuto l'equazione più semplice
3x-2x=16
x=16
Risposta: x=16.

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

2 2x + 4 - 10 4x \u003d 2 4

Prima di tutto, guardiamo le basi, le basi sono due e quattro diverse. E dobbiamo essere gli stessi. Trasformiamo la quadrupla secondo la formula (a n) m = a nm .

4x = (2 2)x = 2 2x

E usiamo anche una formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Aggiungi all'equazione:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Abbiamo fatto un esempio per le stesse ragioni. Ma altri numeri 10 e 24 interferiscono con noi: cosa farne? Se guardi da vicino, puoi vedere che sul lato sinistro ripetiamo 2 2x, ecco la risposta: possiamo mettere 2 2x tra parentesi:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calcoliamo l'espressione tra parentesi:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Dividiamo l'intera equazione per 6:

Immagina 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 basi sono le stesse, scartale e identifica i gradi.
2x \u003d 2 si è rivelata l'equazione più semplice. Lo dividiamo per 2, otteniamo
x = 1
Risposta: x = 1.

Risolviamo l'equazione:

9 x - 12*3 x +27= 0

Trasformiamo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otteniamo l'equazione:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Le basi per noi sono le stesse, pari a 3. In questo esempio si vede che la prima tripla ha grado doppio (2x) della seconda (appena x). In questo caso, puoi decidere metodo di sostituzione. Il numero con il grado più piccolo è sostituito da:

Quindi 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Sostituiamo tutti i gradi con x nell'equazione con t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Otteniamo un'equazione quadratica. Risolviamo attraverso il discriminante, otteniamo:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Torna a Variabile X.

Prendiamo t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Questo è,

3x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo, da t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Risposta: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sul sito puoi nella sezione AIUTARE A DECIDERE di porre domande di tuo interesse, ti risponderemo sicuramente.

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Non aver paura delle mie parole, hai già incontrato questo metodo in 7a elementare quando hai studiato i polinomi.

Ad esempio, se hai bisogno di:

Raggruppiamo: il primo e il terzo termine, nonché il secondo e il quarto.

È chiaro che il primo e il terzo sono la differenza dei quadrati:

e il secondo e il quarto hanno un fattore comune di tre:

Quindi l'espressione originale è equivalente a questa:

Dove eliminare il fattore comune non è più difficile:

Di conseguenza,

Questo è approssimativamente il modo in cui agiremo quando risolviamo equazioni esponenziali: cerca "comune" tra i termini e toglilo dalle parentesi, e poi - qualunque cosa accada, credo che saremo fortunati =))

Esempio #14

A destra è lontano da una potenza di sette (ho controllato!) E a sinistra - un po 'meglio ...

Puoi, ovviamente, "tagliare" il fattore a dal secondo mandato dal primo mandato, e poi occuparti di ciò che hai ricevuto, ma agiamo in modo più prudente con te.

Non voglio avere a che fare con le frazioni che inevitabilmente sono prodotte dalla "selezione", quindi non dovrei stare meglio a sopportare?

Allora non avrò frazioni: come si suol dire, entrambi i lupi sono sazi e le pecore sono al sicuro:

Conta l'espressione tra parentesi.

Magicamente, magicamente, si scopre che (sorprendentemente, anche se cos'altro possiamo aspettarci?).

Quindi riduciamo entrambi i lati dell'equazione di questo fattore. Otteniamo: dove.

Ecco un esempio più complicato (un po', in realtà):

Ecco il problema! Non abbiamo un terreno comune qui!

Non è del tutto chiaro cosa fare ora.

E facciamo quello che possiamo: in primo luogo, sposteremo i "quattro" in una direzione e i "cinque" nell'altra:

Ora eliminiamo il "comune" a sinistra e a destra:

Così quello che ora?

Qual è il vantaggio di un raggruppamento così stupido? A prima vista, non è affatto visibile, ma osserviamo più in profondità:

Bene, ora facciamo in modo che a sinistra abbiamo solo l'espressione c e a destra - tutto il resto.

Come possiamo farlo?

Ed ecco come: dividere prima entrambi i lati dell'equazione per (quindi eliminiamo l'esponente a destra), quindi dividi entrambi i lati per (quindi eliminiamo il fattore numerico a sinistra).

Infine otteniamo:

Incredibile!

A sinistra abbiamo un'espressione ea destra - solo.

Quindi lo concludiamo immediatamente

Esempio #15

Darò la sua breve soluzione (non mi preoccupo di spiegare), prova a capire da solo tutte le "sottigliezze" della soluzione.

Ora il consolidamento definitivo del materiale coperto.

Risolvi autonomamente i seguenti 7 compiti (con risposte)

1. Togliamo da parentesi il fattore comune:
2. Rappresentiamo la prima espressione nella forma: , dividi entrambe le parti per e ottieni quella
3. , quindi l'equazione originale viene convertita nella forma: Bene, ora un suggerimento: cerca dove tu ed io abbiamo già risolto questa equazione!
4. Immagina come, come, ah, bene, quindi dividi entrambe le parti per, in modo da ottenere l'equazione esponenziale più semplice.
5. Toglilo dalle parentesi.
6. Toglilo dalle parentesi.

EQUAZIONI ESPOSITIVE. LIVELLO MEDIO

Presumo che dopo aver letto il primo articolo, che raccontava cosa sono le equazioni esponenziali e come risolverle, hai padroneggiato il minimo necessario di conoscenza necessario per risolvere gli esempi più semplici.

Ora analizzerò un altro metodo per risolvere le equazioni esponenziali, questo è ...

Metodo per l'introduzione di una nuova variabile (o sostituzione)

Risolve la maggior parte dei problemi "difficili", sul tema delle equazioni esponenziali (e non solo).

Questo metodo è uno dei più comunemente usato nella pratica. Innanzitutto, ti consiglio di familiarizzare con l'argomento.

Come hai già capito dal nome, l'essenza di questo metodo è introdurre un tale cambiamento di variabile che la tua equazione esponenziale si trasformi miracolosamente in una che puoi già facilmente risolvere.

Dopo aver risolto questa “equazione molto semplificata” non ti resta che fare una “sostituzione inversa”: cioè tornare dal sostituito al sostituito.

Illustriamo quanto appena detto con un esempio molto semplice:

Esempio 16. Metodo di sostituzione semplice

Questa equazione è risolta con "semplice sostituzione", come lo chiamano sprezzantemente i matematici.

In effetti, la sostituzione qui è la più ovvia. Ha solo bisogno di essere visto

Allora l'equazione originale diventa:

Se immaginiamo inoltre come, allora è abbastanza chiaro che è necessario sostituire ...

Certo, .

Che cosa diventa allora l'equazione originale? Ed ecco cosa:

Puoi facilmente trovare le sue radici da solo:.

Cosa dovremmo fare adesso?

È ora di tornare alla variabile originale.

Cosa ho dimenticato di includere?

Vale a dire: quando si sostituisce un certo grado con una nuova variabile (cioè quando si sostituisce un tipo), mi interesserà solo radici positive!

Tu stesso puoi facilmente rispondere perché.

Quindi, non siamo interessati a te, ma la seconda radice è abbastanza adatta per noi:

Poi dove.

Risposta:

Come puoi vedere, nell'esempio precedente, il sostituto chiedeva le nostre mani. Sfortunatamente, questo non è sempre il caso.

Tuttavia, non andiamo direttamente al triste, ma esercitiamoci su un altro esempio con una sostituzione abbastanza semplice

Esempio 17. Metodo di sostituzione semplice

È chiaro che molto probabilmente sarà necessario sostituire (questo è il più piccolo dei poteri inclusi nella nostra equazione).

Tuttavia, prima di introdurre una sostituzione, la nostra equazione deve essere "preparata" per esso, vale a dire: , .

Quindi puoi sostituire, di conseguenza otterrò la seguente espressione:

Oh orrore: un'equazione cubica con formule assolutamente terribili per la sua soluzione (beh, parlando in termini generali).

Ma non disperiamo subito, ma pensiamo a cosa dovremmo fare.

Suggerirò di barare: sappiamo che per ottenere una risposta "bella" dobbiamo ottenere una potenza del tre (perché dovrebbe essere, eh?).

E proviamo a indovinare almeno una radice della nostra equazione (comincerò a indovinare dalle potenze di tre).

Prima ipotesi. Non è una radice. Ahimè e ah...

.
Il lato sinistro è uguale.
Parte destra: !

C'è! Indovinato la prima radice. Ora le cose diventeranno più facili!

Conoscete lo schema di divisione "ad angolo"? Ovviamente lo usi quando dividi un numero per un altro.

Ma pochi sanno che lo stesso può essere fatto con i polinomi.

C'è un meraviglioso teorema:

Applicabile alla mia situazione mi dice cosa è divisibile senza resto per.

Come si effettua la divisione? Ecco come:

Guardo quale monomio dovrei moltiplicare per ottenere

È chiaro che su, quindi:

Sottrarre l'espressione risultante da, ottengo:

Ora, cosa devo moltiplicare per ottenere?

È chiaro che su, quindi otterrò:

e di nuovo sottrai l'espressione risultante da quella rimanente:

Bene, l'ultimo passaggio, moltiplico per e sottraggo dall'espressione rimanente:

Evviva, la divisione è finita! Cosa abbiamo accumulato in privato?

Da solo: .

Quindi abbiamo ottenuto la seguente espansione del polinomio originale:

Risolviamo la seconda equazione:

Ha radici:

Quindi l'equazione originale:

ha tre radici:

Ovviamente scartiamo l'ultima radice, poiché è minore di zero.

E i primi due dopo la sostituzione inversa ci daranno due radici:

Risposta: ..

Non volevo spaventarti con questo esempio!

Piuttosto, al contrario, mi sono proposto di mostrare che, sebbene avessimo una sostituzione abbastanza semplice, tuttavia, essa portava a un'equazione piuttosto complessa, la cui soluzione richiedeva alcune abilità speciali da parte nostra.

Ebbene, nessuno è immune da questo. Ma il cambiamento in questo caso era abbastanza ovvio.

Esempio #18 (con una sostituzione meno ovvia)

Non è per niente chiaro cosa dovremmo fare: il problema è che nella nostra equazione ci sono due basi diverse e non si può ricavare una base dall'altra elevandola a qualsiasi (ragionevole, naturalmente) grado.

Tuttavia, cosa vediamo?

Entrambe le basi differiscono solo nel segno e il loro prodotto è la differenza di quadrati pari a uno:

Definizione:

Pertanto, i numeri che sono basi nel nostro esempio sono coniugati.

In tal caso, la mossa intelligente sarebbe moltiplica entrambi i membri dell'equazione per il numero coniugato.

Ad esempio, su, il lato sinistro dell'equazione diventerà uguale e il lato destro.

Se effettuiamo una sostituzione, la nostra equazione originale con te diventerà così:

le sue radici, quindi, ma ricordandolo, lo otteniamo.

Risposta: , .

Di norma, il metodo di sostituzione è sufficiente per risolvere la maggior parte delle equazioni esponenziali "di scuola".

Le seguenti attività di un livello di complessità maggiore sono tratte dalle opzioni dell'esame.

Tre compiti di maggiore complessità dalle opzioni dell'esame

Sei già abbastanza alfabetizzato per risolvere questi esempi da solo. Darò solo la sostituzione richiesta.

1. Risolvi l'equazione:
2. Trova le radici dell'equazione:
3. Risolvi l'equazione: . Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento:

Ora per alcune rapide spiegazioni e risposte:

Esempio #19

Qui è sufficiente notare che e.

Quindi l'equazione originale sarà equivalente a questa:

Questa equazione si risolve sostituendo

Fai tu stesso i seguenti calcoli.

Alla fine, il tuo compito si ridurrà alla risoluzione del trigonometrico più semplice (a seconda del seno o del coseno). Discuteremo la soluzione di tali esempi in altre sezioni.

Esempio #20

Qui puoi anche fare a meno della sostituzione ...

Basta spostare il sottraendo a destra e presentare entrambe le basi per potenze di due: e poi passare subito all'equazione quadratica.

Esempio #21

Viene anche risolto in modo abbastanza standard: immagina come.

Quindi, sostituendo otteniamo un'equazione quadratica: quindi,

Sai già cos'è un logaritmo? Non? Quindi leggi urgentemente l'argomento!

La prima radice, ovviamente, non appartiene al segmento, e la seconda è incomprensibile!

Ma lo scopriremo molto presto!

Poiché, allora (questa è una proprietà del logaritmo!)

Sottraendo da entrambe le parti, otteniamo:

Il lato sinistro può essere rappresentato come:

moltiplica entrambi i membri per:

può essere moltiplicato per, quindi

Allora confrontiamo:

da allora:

Quindi la seconda radice appartiene all'intervallo desiderato

Risposta:

Come vedi, la selezione delle radici delle equazioni esponenziali richiede una conoscenza abbastanza approfondita delle proprietà dei logaritmi, quindi ti consiglio di stare il più attento possibile quando risolvi equazioni esponenziali.

Come sai, in matematica tutto è interconnesso!

Come diceva il mio insegnante di matematica: "Non puoi leggere la matematica come la storia dall'oggi al domani".

Di regola, tutti la difficoltà nel risolvere problemi di maggiore complessità è proprio la selezione delle radici dell'equazione.

Un altro esempio pratico...

Esempio 22

È chiaro che l'equazione stessa è risolta in modo molto semplice.

Dopo aver effettuato la sostituzione, riduciamo la nostra equazione originale alla seguente:

Innanzitutto, consideriamo prima radice.

Confronta e: da allora. (proprietà della funzione logaritmica, at).

Allora è chiaro che anche la prima radice non appartiene al nostro intervallo.

Ora la seconda radice: . È chiaro che (poiché la funzione è crescente).

Resta da confrontare e

da allora, allo stesso tempo.

Quindi, posso "guidare un piolo" tra e.

Questo piolo è un numero.

La prima espressione è minore di e la seconda maggiore di.

Quindi la seconda espressione è maggiore della prima e la radice appartiene all'intervallo.

Risposta: .

In conclusione, diamo un'occhiata a un altro esempio di equazione in cui la sostituzione è piuttosto non standard.

Esempio #23 (Un'equazione con una sostituzione non standard!)

Cominciamo subito con quello che puoi fare, e cosa - in linea di principio, puoi, ma è meglio non farlo.

È possibile - rappresentare tutto attraverso i poteri di tre, due e sei.

Dove conduce?

Sì, e non porterà a nulla: un miscuglio di gradi, alcuni dei quali saranno abbastanza difficili da eliminare.

Cosa occorre allora?

Notiamo che a

E cosa ci darà?

E il fatto che possiamo ridurre la soluzione di questo esempio alla soluzione di un'equazione esponenziale abbastanza semplice!

Innanzitutto, riscriviamo la nostra equazione come:

Ora dividiamo entrambi i lati dell'equazione risultante in:

Eureka! Ora possiamo sostituire, otteniamo:

Bene, ora tocca a te risolvere i problemi per la dimostrazione, e darò loro solo brevi commenti in modo che tu non ti smarrisca! Buona fortuna!

Esempio #24

Il più difficile!

Vedere un sostituto qui è oh, che brutto! Tuttavia, questo esempio può essere completamente risolto utilizzando selezione di un quadrato intero.

Per risolverlo è sufficiente notare che:

Quindi ecco il tuo sostituto:

(Nota che qui, con il nostro sostituto, non possiamo scartare la radice negativa!!! E perché, cosa ne pensi?)

Ora, per risolvere l'esempio, devi risolvere due equazioni:

Entrambi sono risolti dalla "sostituzione standard" (ma la seconda in un esempio!)

Esempio #25

2. Notalo e fai una sostituzione.

Esempio #26

3. Espandi il numero in fattori coprimi e semplifica l'espressione risultante.

Esempio #27

4. Dividi numeratore e denominatore della frazione per (o se preferisci) e fai la sostituzione o.

Esempio #28

5. Notare che i numeri e sono coniugati.

SOLUZIONE DI EQUAZIONI ESPONENZIALI CON IL METODO DELLA LOGARIFMING. LIVELLO AVANZATO

Inoltre, diamo un'occhiata in un altro modo - soluzione di equazioni esponenziali con il metodo dei logaritmi.

Non posso dire che la soluzione di equazioni esponenziali con questo metodo sia molto popolare, ma solo in alcuni casi può portarci alla soluzione corretta della nostra equazione.

Soprattutto spesso viene utilizzato per risolvere i cosiddetti " equazioni miste': cioè quelle dove sono presenti funzioni di diverso tipo.

Esempio #29

nel caso generale, può essere risolto solo prendendo il logaritmo di entrambe le parti (ad esempio per base), in cui l'equazione originale diventa la seguente:

Consideriamo il seguente esempio:

È chiaro che ci interessa solo l'ODZ della funzione logaritmica.

Tuttavia, ciò deriva non solo dall'ODZ del logaritmo, ma per un altro motivo.

Penso che non sarà difficile per te indovinare quale.

Prendiamo alla base il logaritmo di entrambi i membri della nostra equazione:

Come puoi vedere, prendere il logaritmo della nostra equazione originale ci ha portato rapidamente alla risposta corretta (e bella!).

Facciamo pratica con un altro esempio.

Esempio #30

Anche qui non c'è nulla di cui preoccuparsi: prendiamo il logaritmo di entrambi i membri dell'equazione in termini di base, quindi otteniamo:

Facciamo una sostituzione:

Tuttavia, ci siamo persi qualcosa! Hai notato dove ho commesso un errore? Dopotutto, allora:

che non soddisfa il requisito (pensa da dove viene!)

Risposta:

Prova a scrivere la soluzione delle equazioni esponenziali di seguito:

Ora controlla la tua soluzione con questo:

Esempio #31

Prendiamo alla base il logaritmo di entrambe le parti, dato che:

(la seconda radice non ci soddisfa a causa della sostituzione)

Esempio #32

Logaritmo in base:

Trasformiamo l'espressione risultante nella forma seguente:

EQUAZIONI ESPOSITIVE. BREVE DESCRIZIONE E FORMULA BASE

equazione esponenziale

Digita l'equazione:

chiamato l'equazione esponenziale più semplice.

Proprietà di laurea

Approcci risolutivi

• Riduzione alla stessa base
• Riduzione allo stesso esponente
• Sostituzione di variabili
• Semplifica l'espressione e applica una delle precedenti.

Indietro avanti

Attenzione! L'anteprima della diapositiva è solo a scopo informativo e potrebbe non rappresentare l'intera portata della presentazione. Se siete interessati questo lavoro si prega di scaricare la versione completa.

Tipo di lezione

: una lezione sulla generalizzazione e l'applicazione complessa di conoscenze, abilità e abilità sul tema “Equazioni esponenziali e modi per risolverle”.

Obiettivi della lezione.

Esercitazioni:

ripetere e sistematizzare il materiale principale dell'argomento "Equazioni esponenziali, loro soluzioni"; consolidare la capacità di utilizzare algoritmi appropriati nella risoluzione di equazioni esponenziali di vario tipo; preparazione all'esame.

Sviluppando:

sviluppare il pensiero logico e associativo degli studenti; promuovere lo sviluppo della capacità di applicazione indipendente della conoscenza.

Educativo:

coltivare la determinazione, l'attenzione e l'accuratezza nella risoluzione delle equazioni.

Attrezzatura:

computer e proiettore multimediale.

La lezione usa Tecnologie dell'informazione : supporto metodologico per la lezione - presentazione in Microsoft Power Point.

Durante le lezioni

Ogni abilità viene con il duro lavoro.

IO. Stabilire l'obiettivo della lezione(diapositiva numero 2 )

In questa lezione riassumeremo e generalizzeremo l'argomento "Equazioni esponenziali, loro soluzioni". Facciamo conoscenza con i compiti tipici dell'esame di diversi anni su questo argomento.

Le attività per la risoluzione di equazioni esponenziali possono essere trovate in qualsiasi parte delle attività USE. Nella parte " A " di solito si propone di risolvere le equazioni esponenziali più semplici. Nella parte " DA " puoi incontrare equazioni esponenziali più complesse, la cui soluzione è solitamente una delle fasi del compito.

Per esempio ( diapositiva numero 3 ).

• UTILIZZO - 2007

B 4 - Trova il valore più grande dell'espressione x y, dove ( X; a) è la soluzione del sistema:

• UTILIZZO - 2008

B 1 - Risolvi equazioni:

un) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• UTILIZZO - 2009

B 4 - Trova il valore dell'espressione x + y, dove ( X; a) è la soluzione del sistema:

• UTILIZZO - 2010

– Risolvi l'equazione: 7 X– 2 = 49. – Trova le radici dell'equazione: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Risolvi il sistema di equazioni:

II. Aggiornamento delle conoscenze di base. Ripetizione

(Diapositive n. 4 – 6 presentazioni in classe)

Viene visualizzata la schermata sintesi di riferimento del materiale teorico su questo argomento.

Vengono discusse le seguenti domande:

1. Come si chiamano le equazioni indicativo?
2. Indica i modi principali per risolverli. Fornisci esempi dei loro tipi ( diapositiva numero 4 )

(Risolvere autonomamente le equazioni proposte per ciascun metodo ed eseguire un autotest utilizzando la diapositiva)

3. Quale teorema viene utilizzato per risolvere le equazioni esponenziali più semplici della forma: e f(x) = a g(x) ?
4. Quali altri metodi esistono per risolvere le equazioni esponenziali? ( diapositiva numero 5 )

• Metodo di fattorizzazione
(basato sulle proprietà dei poteri con le stesse basi, ricezione: tra parentesi viene tolto il grado con l'indicatore più basso).
• Ricezione della divisione (moltiplicazione) per un'espressione esponenziale diversa da zero, quando si risolvono equazioni esponenziali omogenee
.

• Consiglio:

quando si risolvono equazioni esponenziali, è utile effettuare prima delle trasformazioni, ottenendo gradi con le stesse basi in entrambe le parti dell'equazione.

1. Risolvere equazioni con gli ultimi due metodi seguiti da commenti

(diapositiva numero 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Risolvere le attività USE 2010

Gli studenti risolvono autonomamente i compiti proposti all'inizio della lezione nella diapositiva n. 3, utilizzando le istruzioni per la soluzione, controllano il loro processo decisionale e rispondono ad essi utilizzando la presentazione ( diapositiva numero 7). Nel processo di lavoro, vengono discusse opzioni e metodi per la risoluzione, si attira l'attenzione su possibili errori nella soluzione.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Risposta: un) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (Puoi sostituire 0,5 \u003d 4 - 0,5)

Soluzione. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Risposta: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, al cos y< 0.

Suggerimento per una decisione

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2 g y+ 4 5 tg si- 1 = 0. Let X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

Dal tg y= -1 e cos y< 0, allora a II trimestre coordinato

Risposta: a= 3/4 + 2K, K N.

IV. Collaborazione lavagna

Il compito di un alto livello di apprendimento è considerato - diapositiva numero 8. Con l'aiuto di questa diapositiva, c'è un dialogo tra l'insegnante e gli studenti, che contribuisce allo sviluppo della soluzione.

- A quale parametro un equazione 2 2 X – 3 2 X + un 2 – 4un= 0 ha due radici?

Permettere t= 2 X, dove t > 0 . Noi abbiamo t 2 – 3t + (un 2 – 4un) = 0 .

uno). Poiché l'equazione ha due radici, allora D > 0;

2). Perché t 1,2 > 0, quindi t 1 t 2 > 0, cioè un 2 – 4un> 0 (?...).

Risposta: un(– 0,5; 0) o (4; 4,5).

V. Lavoro di verifica

(diapositiva numero 9 )

Gli studenti si esibiscono lavoro di verifica sui volantini, esercitando autocontrollo e autovalutazione del lavoro svolto con l'ausilio di una presentazione, affermandosi nel tema. Determinano autonomamente un programma per regolare e correggere le conoscenze sulla base degli errori commessi nelle cartelle di lavoro. I fogli con il lavoro indipendente completato vengono consegnati all'insegnante per la verifica.

Numeri sottolineati - livello base, con un asterisco - maggiore complessità.

Soluzione e risposte.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (25/9) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (non adatto),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Compiti a casa

(diapositiva numero 10 )

• Ripetere § 11, 12.
• Dai materiali dell'esame di stato unificato 2008 - 2010, seleziona le attività sull'argomento e risolvile.
• Lavoro di prova a casa
: