Tabella delle formule trigonometriche di base. Equazioni trigonometriche - formule, soluzioni, esempi. Ci sono molte formule in trigonometria

Puoi ordinare una soluzione dettagliata al tuo problema !!!

Un'uguaglianza contenente un'incognita sotto il segno di una funzione trigonometrica (`sin x, cos x, tg x` o `ctg x`) è chiamata equazione trigonometrica e considereremo ulteriormente le loro formule.

Le equazioni più semplici sono `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, dove `x` è l'angolo da trovare, `a` è un numero qualsiasi. Scriviamo le formule radice per ciascuno di essi.

1. Equazione `sin x=a`.

Per `|a|>1` non ha soluzioni.

Con `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.

Formula radice: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Equazione `cos x=a`

Per `|a|>1` - come nel caso del seno, non ci sono soluzioni tra i numeri reali.

Con `|a| \leq 1` ha un numero infinito di soluzioni.

Formula radice: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casi speciali per seno e coseno nei grafici.

3. Equazione `tg x=a`

Ha un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di `a`.

Formula radice: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Equazione `ctg x=a`

Ha anche un numero infinito di soluzioni per qualsiasi valore di `a`.

Formula radice: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule per le radici delle equazioni trigonometriche nella tabella

Per seno:
Per coseno:
Per tangente e cotangente:
Formule per la risoluzione di equazioni contenenti funzioni trigonometriche inverse:

Metodi per la risoluzione di equazioni trigonometriche

La soluzione di qualsiasi equazione trigonometrica consiste in due fasi:

• usando per convertirlo nel più semplice;
• risolvere la semplice equazione risultante usando le formule precedenti per le radici e le tabelle.

Consideriamo i principali metodi di soluzione usando esempi.

metodo algebrico.

In questo metodo viene eseguita la sostituzione di una variabile e la sua sostituzione in uguaglianza.

Esempio. Risolvi l'equazione: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

fare una sostituzione: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, quindi `2y^2-3y+1=0`,

troviamo le radici: `y_1=1, y_2=1/2`, da cui seguono due casi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Risposta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Fattorizzazione.

Esempio. Risolvi l'equazione: `sin x+cos x=1`.

Soluzione. Sposta a sinistra tutti i termini di uguaglianza: `sin x+cos x-1=0`. Usando , trasformiamo e fattorizziamo il lato sinistro:

`peccato x - 2peccato^2 x/2=0`,

`2peccato x/2 cos x/2-2peccato^2 x/2=0`,

`2peccato x/2 (cos x/2-peccato x/2)=0`,

1. `peccato x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Risposta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Riduzione ad un'equazione omogenea

Innanzitutto, devi portare questa equazione trigonometrica in una delle due forme seguenti:

`a sin x+b cos x=0` (equazione omogenea di primo grado) o `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (equazione omogenea di secondo grado).

Quindi dividi entrambe le parti per `cos x \ne 0` per il primo caso e per `cos^2 x \ne 0` per il secondo. Otteniamo le equazioni per `tg x`: `a tg x+b=0` e `a tg^2 x + b tg x +c =0`, che devono essere risolte usando metodi noti.

Esempio. Risolvi l'equazione: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Soluzione. Scriviamo il lato destro come `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+peccato x cos x — cos^2 x=` `peccato^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+peccato x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`peccato^2 x+peccato x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Questa è un'equazione trigonometrica omogenea di secondo grado, dividendo i suoi lati sinistro e destro per `cos^2 x \ne 0`, otteniamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Introduciamo la sostituzione `tg x=t`, come risultato `t^2 + t - 2=0`. Le radici di questa equazione sono `t_1=-2` e `t_2=1`. Quindi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Risposta. `x_1=arco (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Vai a Mezzo angolo

Esempio. Risolvi l'equazione: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluzione. Applicando le formule del doppio angolo, il risultato è: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Applicando il metodo algebrico sopra descritto, otteniamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Risposta. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arco 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introduzione di un angolo ausiliario

Nell'equazione trigonometrica `a sin x + b cos x =c`, dove a,b,c sono coefficienti e x è una variabile, dividiamo entrambe le parti per `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2))`.

I coefficienti sul lato sinistro hanno le proprietà di seno e coseno, cioè la somma dei loro quadrati è 1 e il loro modulo è al massimo 1. Indichiamoli come segue: `\frac a(sqrt (a^2+b^ 2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C` , poi:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Diamo un'occhiata più da vicino al seguente esempio:

Esempio. Risolvi l'equazione: `3 sin x+4 cos x=2`.

Soluzione. Dividendo entrambi i membri dell'equazione per `sqrt (3^2+4^2)`, otteniamo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Denota `3/5 = cos \varphi` , `4/5=peccato \varphi`. Poiché `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, prendiamo `\varphi=arcsin 4/5` come angolo ausiliario. Quindi scriviamo la nostra uguaglianza nella forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Applicando la formula per la somma degli angoli per il seno, scriviamo la nostra uguaglianza nella forma seguente:

`peccato(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Risposta. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Equazioni trigonometriche frazionario-razionali

Si tratta di uguaglianze con frazioni, nei cui numeratori e denominatori sono presenti funzioni trigonometriche.

Esempio. Risolvi l'equazione. `\frac (peccato x)(1+cos x)=1-cos x`.

Soluzione. Moltiplica e dividi il lato destro dell'equazione per `(1+cos x)`. Di conseguenza, otteniamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Dato che il denominatore non può essere zero, otteniamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Uguaglia il numeratore della frazione a zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Quindi `sin x=0` o `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-peccato x=0`, `peccato x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dato che ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, le soluzioni sono `x=2\pi n, n \in Z` e `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Risposta. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

La trigonometria, e in particolare le equazioni trigonometriche, sono utilizzate in quasi tutte le aree della geometria, della fisica e dell'ingegneria. Lo studio inizia al decimo anno, ci sono sempre compiti per l'esame, quindi cerca di ricordare tutte le formule delle equazioni trigonometriche: ti torneranno sicuramente utili!

Tuttavia, non è nemmeno necessario memorizzarli, l'importante è capirne l'essenza ed essere in grado di dedurli. Non è così difficile come sembra. Guarda tu stesso guardando il video.

Le formule di base della trigonometria sono formule che stabiliscono relazioni tra le funzioni trigonometriche di base. Seno, coseno, tangente e cotangente sono interconnessi da molte relazioni. Di seguito diamo le principali formule trigonometriche e per comodità le raggruppiamo in base al loro scopo. Usando queste formule, puoi risolvere quasi tutti i problemi del corso di trigonometria standard. Notiamo subito che di seguito sono riportate solo le formule stesse, e non la loro derivazione, a cui saranno dedicati articoli separati.

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Identità di base della trigonometria

Le identità trigonometriche forniscono una relazione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo, consentendo di esprimere una funzione in termini di un'altra.

Identità trigonometriche

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2α

Queste identità derivano direttamente dalle definizioni di circonferenza unitaria, seno (sin), coseno (cos), tangente (tg) e cotangente (ctg).

Formule di colata

Le formule di colata ti consentono di passare dal lavorare con angoli arbitrari e arbitrariamente grandi a lavorare con angoli che vanno da 0 a 90 gradi.

Formule di colata

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = peccato α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - peccato α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = peccato α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - peccato α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Le formule di riduzione sono una conseguenza della periodicità delle funzioni trigonometriche.

Formule di addizione trigonometriche

Le formule di addizione in trigonometria consentono di esprimere la funzione trigonometrica della somma o differenza di angoli in termini di funzioni trigonometriche di questi angoli.

Formule di addizione trigonometriche

sin α ± β = sin α cos β ± cos α sin β cos α + β = cos α cos β - sin α sin β cos α - β = cos α cos β + sin α sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Sulla base delle formule di addizione, vengono derivate formule trigonometriche per un angolo multiplo.

Formule di angoli multipli: doppio, triplo, ecc.

Formule del doppio e del triplo angolo

sin 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 t g 2 α \ u003d 2 t g α 1 - t g 2 α con t g 2 α \u003d con t g 2 α - 1 2 con t g α sin 3 α \u003d 3 sin α cos 2 α - sin 3 α, sin 3 α \u003d 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Formule a mezzo angolo

Le formule del mezzo angolo in trigonometria sono una conseguenza delle formule del doppio angolo ed esprimono la relazione tra le funzioni di base del mezzo angolo e il coseno dell'angolo intero.

Formule a mezzo angolo

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formule di riduzione

Formule di riduzione

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Spesso, nei calcoli, è scomodo operare con poteri ingombranti. Le formule di riduzione del grado consentono di ridurre il grado di una funzione trigonometrica da arbitrariamente grande al primo. Ecco la loro visione generale:

Forma generale delle formule di riduzione

per anche n

peccato n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k C k n cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

per n. dispari

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Somma e differenza di funzioni trigonometriche

La differenza e la somma delle funzioni trigonometriche possono essere rappresentate come un prodotto. Fattorizzare le differenze di seno e coseno è molto comodo da usare quando si risolvono equazioni trigonometriche e si semplificano le espressioni.

Somma e differenza di funzioni trigonometriche

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β \u003d - 2 sin α + β 2 sin α - β 2, cos α - cos β \u003d 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Prodotto di funzioni trigonometriche

Se le formule per la somma e la differenza delle funzioni ti consentono di andare al loro prodotto, le formule per il prodotto delle funzioni trigonometriche effettuano la transizione inversa, dal prodotto alla somma. Si considerano le formule per il prodotto di seno, coseno e seno per coseno.

Formule per il prodotto di funzioni trigonometriche

sin α sin β = 1 2 (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = 1 2 (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (peccato (α - β) + peccato (α + β))

Sostituzione trigonometrica universale

Tutte le funzioni trigonometriche di base - seno, coseno, tangente e cotangente - possono essere espresse in termini di tangente di un semiangolo.

Sostituzione trigonometrica universale

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

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Centrato in un punto UN.
α è un angolo espresso in radianti.

Definizione
Senoè una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Coseno (cos α)è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, uguale al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB| alla lunghezza dell'ipotenusa |AC|.

Designazioni accettate

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Grafico della funzione seno, y = sin x

Grafico della funzione coseno, y = cos x

Proprietà di seno e coseno

Periodicità

Funzioni y= peccato x e y= cos x periodico con un punto 2 π.

Parità

La funzione seno è dispari. La funzione coseno è pari.

Dominio di definizione e valori, extrema, aumento, diminuzione

Le funzioni seno e coseno sono continue nel loro dominio di definizione, cioè per ogni x (vedi la prova di continuità). Le loro proprietà principali sono presentate nella tabella (n - intero).

	y= peccato x	y= cos x
Ambito e continuità	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Intervallo di valori	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Ascendente
Discendente
Massimi, y= 1
Minimo, y = - 1
Zero, y= 0
Punti di intersezione con l'asse y, x = 0	y= 0	y= 1

Formule di base

Somma di seno e coseno al quadrato

Formule seno e coseno per somma e differenza

;
;

Formule per il prodotto di seni e coseni

Formule di somma e differenza

Espressione da seno a coseno

;
;
;
.

Espressione del coseno attraverso il seno

;
;
;
.

Espressione in termini di tangente

; .

Per , abbiamo:
; .

In :
; .

Tabella di seni e coseni, tangenti e cotangenti

Questa tabella mostra i valori di seno e coseno per alcuni valori dell'argomento.

Espressioni attraverso variabili complesse

;

formula di Eulero

Espressioni in termini di funzioni iperboliche

;
;

Derivati

; . Derivazione di formule > > >

Derivati ​​dell'ennesimo ordine:
{ -∞ < x < +∞ }

Secante, cosecante

Funzioni inverse

Le funzioni inverse a seno e coseno sono rispettivamente arcoseno e arcocoseno.

Arcseno, arcsino

Arcoseno, arccos

Riferimenti:
IN. Bronstein, KA Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti di istituti di istruzione superiore, Lan, 2009.

Continuiamo la nostra conversazione sulle formule più utilizzate in trigonometria. Le più importanti sono le formule di addizione.

Definizione 1

Le formule di addizione consentono di esprimere le funzioni della differenza o somma di due angoli utilizzando le funzioni trigonometriche di questi angoli.

Per cominciare, forniremo un elenco completo di formule di addizione, quindi le dimostreremo e analizzeremo alcuni esempi illustrativi.

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Formule di addizione di base in trigonometria

Esistono otto formule di base: il seno della somma e il seno della differenza di due angoli, i coseni della somma e della differenza, rispettivamente le tangenti e le cotangenti della somma e della differenza. Di seguito sono riportate le loro formulazioni e calcoli standard.

1. Il seno della somma di due angoli si ottiene come segue:

Calcoliamo il prodotto del seno del primo angolo per il coseno del secondo;

Moltiplica il coseno del primo angolo per il seno del primo;

Somma i valori risultanti.

La scrittura grafica della formula si presenta così: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Il seno della differenza viene calcolato quasi allo stesso modo, solo i prodotti risultanti non devono essere aggiunti, ma sottratti l'uno dall'altro. Pertanto, calcoliamo i prodotti del seno del primo angolo per il coseno del secondo e il coseno del primo angolo per il seno del secondo e troviamo la loro differenza. La formula si scrive così: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Coseno della somma. Per esso, troviamo i prodotti del coseno del primo angolo per il coseno del secondo e il seno del primo angolo per il seno del secondo, rispettivamente, e troviamo la loro differenza: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Differenza coseno: calcoliamo i prodotti dei seni e coseni degli angoli dati, come prima, e li aggiungiamo. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangente della somma. Questa formula è espressa come una frazione, al cui numeratore è la somma delle tangenti degli angoli desiderati, e al denominatore è l'unità da cui viene sottratto il prodotto delle tangenti degli angoli desiderati. Tutto è chiaro dalla sua notazione grafica: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Tangente di differenza. Calcoliamo i valori della differenza e il prodotto delle tangenti di questi angoli e li trattiamo in modo simile. Al denominatore aggiungiamo a uno, e non viceversa: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Cotangente della somma. Per i calcoli con questa formula, abbiamo bisogno del prodotto e della somma delle cotangenti di questi angoli, con cui procediamo come segue: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Cotangente della differenza . La formula è simile alla precedente, ma al numeratore e al denominatore - meno e non più c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Probabilmente hai notato che queste formule sono simili a coppie. Usando i segni ± (più-meno) e ∓ (meno-più), possiamo raggrupparli per facilità di notazione:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Di conseguenza, abbiamo una formula di registrazione per la somma e la differenza di ciascun valore, solo in un caso prestiamo attenzione al segno superiore, nell'altro - a quello inferiore.

Definizione 2

Possiamo prendere qualsiasi angolo α e β e le formule di addizione per coseno e seno funzioneranno per loro. Se riusciamo a determinare correttamente i valori delle tangenti e delle cotangenti di questi angoli, anche per loro saranno valide le formule di addizione per la tangente e la cotangente.

Come la maggior parte dei concetti in algebra, le formule di addizione possono essere dimostrate. La prima formula che dimostreremo è la formula del coseno differenza. Da esso, puoi quindi facilmente dedurre il resto delle prove.

Chiariamo i concetti di base. Abbiamo bisogno di un cerchio unitario. Risulterà se prendiamo un certo punto A e ruotiamo attorno al centro (punto O) gli angoli α e β. Allora l'angolo tra i vettori O A 1 → e O A → 2 sarà uguale a (α - β) + 2 π z o 2 π - (α - β) + 2 π z (z è un qualsiasi intero). I vettori risultanti formano un angolo uguale a α - β o 2 π - (α - β), oppure può differire da questi valori di un numero intero di rivoluzioni complete. Dai un'occhiata alla foto:

Abbiamo utilizzato le formule di riduzione e abbiamo ottenuto i seguenti risultati:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

In conclusione: il coseno dell'angolo tra i vettori O A 1 → e O A 2 → è uguale al coseno dell'angolo α - β, quindi cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

Ricordiamo le definizioni di seno e coseno: il seno è funzione di un angolo uguale al rapporto tra la gamba dell'angolo opposto e l'ipotenusa, il coseno è il seno dell'angolo aggiuntivo. Pertanto, i punti A 1 e A2 hanno coordinate (cos α , sin α) e (cos β , sin β) .

Otteniamo quanto segue:

O A 1 → = (cos α , sin α) e O A 2 → = (cos β , sin β)

Se non è chiaro, guarda le coordinate dei punti situati all'inizio e alla fine dei vettori.

Le lunghezze dei vettori sono uguali a 1, perché abbiamo un unico cerchio.

Analizziamo ora il prodotto scalare dei vettori O A 1 → e O A 2 → . In coordinate appare così:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

Da ciò possiamo dedurre l'uguaglianza:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Si dimostra quindi la formula per il coseno della differenza.

Ora dimostreremo la seguente formula: il coseno della somma. Questo è più facile perché possiamo usare i calcoli precedenti. Prendi la rappresentazione α + β = α - (- β) . Abbiamo:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Questa è la dimostrazione della formula per il coseno della somma. L'ultima riga utilizza la proprietà del seno e del coseno di angoli opposti.

La formula per il seno della somma può essere ricavata dalla formula per il coseno della differenza. Prendiamo la formula di riduzione per questo:

della forma sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Così
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = peccato α cos β + cos α sin β

Ed ecco la dimostrazione della formula per il seno della differenza:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Notare l'uso delle proprietà seno e coseno di angoli opposti nell'ultimo calcolo.

Successivamente, abbiamo bisogno di prove delle formule di addizione per la tangente e la cotangente. Ricordiamo le definizioni di base (tangente è il rapporto tra seno e coseno e cotangente è viceversa) e prendiamo le formule già derivate in anticipo. Ce l'abbiamo fatta:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Abbiamo una frazione complessa. Successivamente, dobbiamo dividere numeratore e denominatore per cos α cos β , dato che cos α ≠ 0 e cos β ≠ 0 , otteniamo:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β

Ora riduciamo le frazioni e otteniamo una formula della seguente forma: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Abbiamo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Questa è la dimostrazione della formula dell'addizione tangente.

La prossima formula che dimostreremo è la formula della tangente alla differenza. Tutto è chiaramente mostrato nei calcoli:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Le formule per la cotangente si dimostrano in modo simile:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
Ulteriore:
c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β