persamaan eksponen. Kaedah logaritma. Penyelesaian persamaan eksponen. Contoh Penyelesaian persamaan eksponen mudah

Pelajaran ini bertujuan untuk mereka yang baru mula mempelajari persamaan eksponen. Seperti biasa, mari kita mulakan dengan definisi dan contoh mudah.

Jika anda membaca pelajaran ini, maka saya mengesyaki bahawa anda sudah mempunyai sekurang-kurangnya pemahaman minimum tentang persamaan termudah - linear dan segi empat sama: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ dsb. Untuk dapat menyelesaikan pembinaan sedemikian sangat diperlukan agar tidak "menggantung" dalam topik yang akan dibincangkan sekarang.

Jadi, persamaan eksponen. Biar saya berikan anda beberapa contoh:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Sesetengah daripada mereka mungkin kelihatan lebih rumit kepada anda, sesetengah daripada mereka, sebaliknya, terlalu mudah. Tetapi kesemuanya disatukan oleh satu ciri penting: ia mengandungi fungsi eksponen $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Oleh itu, kami memperkenalkan definisi:

Persamaan eksponen ialah sebarang persamaan yang mengandungi fungsi eksponen, i.e. ungkapan bentuk $((a)^(x))$. Sebagai tambahan kepada fungsi yang ditentukan, persamaan tersebut boleh mengandungi sebarang pembinaan algebra lain - polinomial, punca, trigonometri, logaritma, dsb.

Baiklah. Memahami definisi. Sekarang persoalannya ialah: bagaimana untuk menyelesaikan semua omong kosong ini? Jawapannya adalah mudah dan kompleks pada masa yang sama.

Mari kita mulakan dengan berita baik: daripada pengalaman saya dengan ramai pelajar, saya boleh mengatakan bahawa bagi kebanyakan mereka, persamaan eksponen adalah lebih mudah daripada logaritma yang sama, dan lebih-lebih lagi trigonometri.

Tetapi ada juga berita buruk: kadang-kadang penyusun masalah untuk semua jenis buku teks dan peperiksaan dikunjungi oleh "inspirasi", dan otak mereka yang meradang dadah mula menghasilkan persamaan yang kejam sehingga menjadi masalah bukan sahaja untuk pelajar menyelesaikannya - malah ramai guru yang terjebak dengan masalah sebegini.

Namun, janganlah kita bercakap tentang perkara yang menyedihkan. Dan mari kita kembali kepada tiga persamaan yang diberikan pada awal cerita. Mari cuba selesaikan setiap daripada mereka.

Persamaan pertama: $((2)^(x))=4$. Nah, pada kuasa apa nombor 2 mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor 4? Mungkin yang kedua? Lagipun, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — dan kami telah memperoleh kesamaan berangka yang betul, i.e. sesungguhnya $x=2$. Nah, terima kasih, topi, tetapi persamaan ini sangat mudah sehingga kucing saya boleh menyelesaikannya. :)

Mari kita lihat persamaan berikut:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Tetapi di sini ia adalah sedikit lebih sukar. Ramai pelajar tahu bahawa $((5)^(2))=25$ ialah jadual pendaraban. Ada juga yang mengesyaki bahawa $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ pada dasarnya adalah takrifan eksponen negatif (serupa dengan formula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Akhir sekali, hanya sebilangan kecil yang meneka bahawa fakta ini boleh digabungkan dan outputnya adalah hasil berikut:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Oleh itu, persamaan asal kami akan ditulis semula seperti berikut:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Anak panah Kanan ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Dan sekarang ini sudah diselesaikan sepenuhnya! Di sebelah kiri persamaan terdapat fungsi eksponen, di sebelah kanan persamaan terdapat fungsi eksponen, tidak ada apa-apa selain mereka di tempat lain. Oleh itu, adalah mungkin untuk "membuang" pangkalan dan secara bodoh menyamakan penunjuk:

Kami mendapat persamaan linear termudah yang mana-mana pelajar boleh menyelesaikan hanya dalam beberapa baris. Okay, dalam empat baris:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Jika anda tidak faham apa yang berlaku dalam empat baris terakhir, pastikan anda kembali ke topik "persamaan linear" dan ulanginya. Kerana tanpa asimilasi yang jelas tentang topik ini, adalah terlalu awal untuk anda mengambil persamaan eksponen.

\[((9)^(x))=-3\]

Nah, bagaimana anda membuat keputusan? Fikiran pertama: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, jadi persamaan asal boleh ditulis semula seperti ini:

\[((\kiri(((3)^(2)) \kanan))^(x))=-3\]

Kemudian kita ingat bahawa apabila menaikkan tahap kepada kuasa, penunjuk didarabkan:

\[((\kiri(((3)^(2)) \kanan))^(x))=((3)^(2x))\Anak panah Kanan ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Dan untuk keputusan sedemikian, kami mendapat deuce yang layak. Bagi kami, dengan keseimbangan Pokémon, menghantar tanda tolak di hadapan ketiga-tiga kepada kuasa tiga ini. Dan anda tidak boleh berbuat demikian. Dan itulah sebabnya. Lihatlah pelbagai kuasa triple:

\[\begin(matriks) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriks)\]

Semasa menyusun tablet ini, saya tidak menyeleweng sebaik sahaja saya melakukannya: Saya menganggap darjah positif, dan negatif, dan juga pecahan ... baik, di manakah sekurang-kurangnya satu nombor negatif di sini? Dia bukan! Dan tidak boleh, kerana fungsi eksponen $y=((a)^(x))$, pertama sekali, sentiasa mengambil nilai positif ​​(tidak kira berapa banyak anda mendarab satu atau membahagi dua, ia tetap akan menjadi nombor positif), dan kedua, asas bagi fungsi sedemikian, nombor $a$, mengikut definisi nombor positif!

Nah, bagaimana untuk menyelesaikan persamaan $((9)^(x))=-3$? Tidak, tidak ada akar. Dan dalam pengertian ini, persamaan eksponen sangat serupa dengan persamaan kuadratik - mungkin juga tiada punca. Tetapi jika dalam persamaan kuadratik bilangan punca ditentukan oleh diskriminasi (diskriminan adalah positif - 2 punca, negatif - tiada punca), maka dalam persamaan eksponen semuanya bergantung pada apa yang berada di sebelah kanan tanda sama.

Oleh itu, kami merumuskan kesimpulan utama: persamaan eksponen termudah bagi bentuk $((a)^(x))=b$ mempunyai punca jika dan hanya jika $b \gt 0$. Mengetahui fakta mudah ini, anda boleh dengan mudah menentukan sama ada persamaan yang dicadangkan kepada anda mempunyai punca atau tidak. Itu. adakah ia bernilai menyelesaikannya sama sekali atau segera tulis bahawa tiada akar.

Pengetahuan ini akan membantu kita berkali-kali apabila kita perlu menyelesaikan masalah yang lebih kompleks. Sementara itu, lirik yang mencukupi - sudah tiba masanya untuk mengkaji algoritma asas untuk menyelesaikan persamaan eksponen.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan eksponen

Jadi, mari kita rumuskan masalahnya. Adalah perlu untuk menyelesaikan persamaan eksponen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Menurut algoritma "naif" yang kami gunakan sebelum ini, adalah perlu untuk mewakili nombor $b$ sebagai kuasa nombor $a$:

Di samping itu, jika bukannya pembolehubah $x$ terdapat sebarang ungkapan, kita akan mendapat persamaan baharu, yang sudah boleh diselesaikan. Sebagai contoh:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Anak panah kanan ((3)^(-x))=((3)^(4))\Anak panah kanan -x=4\Anak panah kanan x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Anak panah kanan ((5)^(2x))=((5)^(3))\Anak panah kanan 2x=3\Anak panah kanan x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Dan anehnya, skim ini berfungsi dalam kira-kira 90% kes. Bagaimana pula dengan 10% yang lain? Baki 10% adalah persamaan eksponen "skizofrenia" dalam bentuk:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Untuk kuasa apa yang anda perlukan untuk menaikkan 2 untuk mendapatkan 3? Yang pertama? Tetapi tidak: $((2)^(1))=2$ tidak mencukupi. Pada yang kedua? Kedua-duanya: $((2)^(2))=4$ terlalu banyak. Selepas itu, apa?

Pelajar yang berpengetahuan mungkin sudah meneka: dalam kes sedemikian, apabila mustahil untuk menyelesaikan "dengan indah", "artileri berat" disambungkan ke kes itu - logaritma. Biar saya ingatkan anda bahawa menggunakan logaritma, sebarang nombor positif boleh diwakili sebagai kuasa mana-mana nombor positif lain (kecuali satu):

Ingat formula ini? Apabila saya memberitahu pelajar saya tentang logaritma, saya sentiasa memberi amaran kepada anda: formula ini (ia juga identiti logaritma asas atau, jika anda suka, takrifan logaritma) akan menghantui anda untuk masa yang sangat lama dan "muncul" paling banyak. tempat yang tidak dijangka. Nah, dia muncul. Mari kita lihat persamaan kita dan formula ini:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Jika kita mengandaikan bahawa $a=3$ ialah nombor asal kami di sebelah kanan, dan $b=2$ ialah asasnya fungsi eksponen, yang kami sangat ingin mengurangkan bahagian kanan, kami mendapat yang berikut:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Anak panah Kanan ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Anak panah kanan x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Kami mendapat jawapan yang sedikit pelik: $x=((\log )_(2))3$. Dalam beberapa tugas lain, dengan jawapan sedemikian, ramai yang akan meragui dan mula menyemak semula penyelesaian mereka: bagaimana jika ada kesilapan di suatu tempat? Saya menyegerakan untuk menggembirakan anda: tiada ralat di sini, dan logaritma dalam akar persamaan eksponen adalah situasi yang agak tipikal. Jadi biasakan diri. :)

Sekarang kita selesaikan dengan analogi dua persamaan yang tinggal:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Anak panah kanan ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Anak panah kanan 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Itu sahaja! Dengan cara ini, jawapan terakhir boleh ditulis secara berbeza:

Kamilah yang memperkenalkan pengganda ke dalam hujah logaritma. Tetapi tiada siapa yang menghalang kami daripada menambah faktor ini ke pangkalan:

Lebih-lebih lagi, ketiga-tiga pilihan adalah betul - ia hanyalah bentuk penulisan nombor yang sama yang berbeza. Yang mana satu untuk dipilih dan ditulis dalam keputusan ini terpulang kepada anda.

Oleh itu, kita telah belajar untuk menyelesaikan sebarang persamaan eksponen dalam bentuk $((a)^(x))=b$, di mana nombor $a$ dan $b$ adalah positif. Walau bagaimanapun, realiti pahit dunia kita ialah tugas mudah seperti itu akan menemui anda sangat, sangat jarang. Lebih kerap anda akan menemui sesuatu seperti ini:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]

Nah, bagaimana anda membuat keputusan? Adakah ini boleh diselesaikan sama sekali? Dan jika ya, bagaimana?

Tiada panik. Semua persamaan ini dengan cepat dan ringkas dikurangkan kepada formula mudah yang telah kita pertimbangkan. Anda hanya perlu tahu untuk mengingati beberapa helah dari kursus algebra. Dan sudah tentu, tiada peraturan untuk bekerja dengan ijazah di sini. Saya akan bercakap tentang semua ini sekarang. :)

Transformasi persamaan eksponen

Perkara pertama yang perlu diingat ialah mana-mana persamaan eksponen, tidak kira betapa kompleksnya, satu cara atau yang lain mesti dikurangkan kepada persamaan yang paling mudah - persamaan yang telah kita pertimbangkan dan yang kita tahu bagaimana untuk menyelesaikannya. Dengan kata lain, skema untuk menyelesaikan sebarang persamaan eksponen kelihatan seperti ini:

1. Tuliskan persamaan asal. Contohnya: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Buat perkara bodoh. Atau bahkan beberapa omong kosong yang dipanggil "mengubah persamaan";
3. Pada output, dapatkan ungkapan paling mudah seperti $((4)^(x))=4$ atau sesuatu yang lain seperti itu. Selain itu, satu persamaan awal boleh memberikan beberapa ungkapan tersebut sekaligus.

Dengan titik pertama, semuanya jelas - walaupun kucing saya boleh menulis persamaan pada daun. Dengan titik ketiga juga, nampaknya, lebih kurang jelas - kami telah menyelesaikan banyak persamaan di atas.

Tetapi bagaimana dengan perkara kedua? Apakah transformasi? Apa yang hendak ditukar kepada apa? Dan bagaimana?

Baiklah, mari kita fikirkan. Pertama sekali, saya ingin menunjukkan perkara berikut. Semua persamaan eksponen dibahagikan kepada dua jenis:

1. Persamaan ini terdiri daripada fungsi eksponen dengan asas yang sama. Contoh: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula mengandungi fungsi eksponen dengan asas yang berbeza. Contoh: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ dan $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

Mari kita mulakan dengan persamaan jenis pertama - ia adalah yang paling mudah untuk diselesaikan. Dan dalam penyelesaian mereka, kita akan dibantu oleh teknik seperti pemilihan ungkapan yang stabil.

Menyerlahkan ungkapan yang stabil

Mari kita lihat persamaan ini sekali lagi:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Apa yang kita nampak? Keempatnya dinaikkan ke darjat yang berbeza. Tetapi semua kuasa ini adalah jumlah mudah pembolehubah $x$ dengan nombor lain. Oleh itu, adalah perlu untuk mengingati peraturan untuk bekerja dengan ijazah:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Ringkasnya, penambahan eksponen boleh ditukar kepada hasil darab kuasa, dan penolakan mudah ditukar kepada pembahagian. Mari cuba gunakan formula ini kepada kuasa dari persamaan kita:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Kami menulis semula persamaan asal dengan mengambil kira fakta ini, dan kemudian kami mengumpulkan semua istilah di sebelah kiri:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -sebelas; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

Empat istilah pertama mengandungi elemen $((4)^(x))$ — mari kita keluarkan daripada kurungan:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Ia kekal untuk membahagikan kedua-dua bahagian persamaan dengan pecahan $-\frac(11)(4)$, i.e. pada asasnya darab dengan pecahan terbalik - $-\frac(4)(11)$. Kita mendapatkan:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Itu sahaja! Kami mengurangkan persamaan asal kepada yang paling mudah dan mendapat jawapan akhir.

Pada masa yang sama, dalam proses penyelesaian, kami menemui (malah mengeluarkan daripada kurungan) faktor sepunya $((4)^(x))$ - ini ialah ungkapan yang stabil. Ia boleh ditetapkan sebagai pembolehubah baharu, atau anda boleh menyatakannya dengan tepat dan mendapatkan jawapan. Walau apa pun, prinsip utama penyelesaian adalah seperti berikut:

Cari dalam persamaan asal ungkapan stabil yang mengandungi pembolehubah yang mudah dibezakan daripada semua fungsi eksponen.

Berita baiknya ialah hampir setiap persamaan eksponen mengakui ungkapan yang stabil.

Tetapi terdapat juga berita buruk: ungkapan sedemikian boleh menjadi sangat rumit, dan agak sukar untuk membezakannya. Jadi mari kita lihat masalah lain:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Mungkin seseorang kini akan mempunyai soalan: "Pasha, adakah anda direjam? Berikut adalah asas yang berbeza - 5 dan 0.2. Tetapi mari kita cuba menukar kuasa dengan asas 0.2. Sebagai contoh, mari kita hapuskan pecahan perpuluhan, menjadikannya seperti biasa:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(2)(10 ) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)) )\]

Seperti yang anda lihat, nombor 5 masih muncul, walaupun dalam penyebut. Pada masa yang sama, penunjuk telah ditulis semula sebagai negatif. Dan sekarang kita ingat salah satu peraturan yang paling penting untuk bekerja dengan ijazah:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(5)(1) \kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Di sini, sudah tentu, saya menipu sedikit. Kerana untuk pemahaman yang lengkap, formula untuk menyingkirkan penunjuk negatif perlu ditulis seperti berikut:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\kiri(\frac(1)(a) \kanan))^(n ))\Anak panah Kanan ((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(\frac(5)(1) \ kanan))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Sebaliknya, tiada apa yang menghalang kami daripada bekerja dengan hanya satu pecahan:

\[((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((\kiri(((5)^(-1)) \ kanan))^(-\kiri(x+1 \kanan)))=((5)^(\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-\kiri(x+1 \kanan) \kanan) ))=((5)^(x+1))\]

Tetapi dalam kes ini, anda perlu dapat meningkatkan ijazah ke tahap yang lain (saya mengingatkan anda: dalam kes ini, penunjuk ditambah). Tetapi saya tidak perlu "membalikkan" pecahan - mungkin bagi seseorang ia akan menjadi lebih mudah. ​​:)

Walau apa pun, persamaan eksponen asal akan ditulis semula sebagai:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Jadi ternyata persamaan asal lebih mudah untuk diselesaikan daripada yang dipertimbangkan sebelum ini: di sini anda tidak perlu memilih ungkapan yang stabil - semuanya telah dikurangkan dengan sendirinya. Ia kekal hanya untuk mengingati bahawa $1=((5)^(0))$, dari mana kita mendapat:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Itulah penyelesaian keseluruhan! Kami mendapat jawapan akhir: $x=-2$. Pada masa yang sama, saya ingin ambil perhatian satu helah yang sangat memudahkan semua pengiraan untuk kami:

Dalam persamaan eksponen, pastikan anda menyingkirkannya pecahan perpuluhan, tukarkannya kepada normal. Ini akan membolehkan anda melihat asas darjah yang sama dan memudahkan penyelesaiannya.

Sekarang mari kita beralih kepada persamaan yang lebih kompleks di mana terdapat asas yang berbeza, yang secara amnya tidak boleh dikurangkan antara satu sama lain menggunakan kuasa.

Menggunakan sifat eksponen

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa kita mempunyai dua persamaan yang lebih keras:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]

Kesukaran utama di sini ialah tidak jelas apa dan atas dasar apa untuk memimpin. Di manakah ungkapan tetap? Di manakah alasan bersama? Tidak ada ini.

Tetapi mari kita cuba pergi ke arah lain. Jika tiada pangkalan serupa sedia, anda boleh cuba mencarinya dengan memfaktorkan pangkalan yang tersedia.

Mari kita mulakan dengan persamaan pertama:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Anak panah Kanan ((21)^(3x))=((\kiri(7\cdot 3 \kanan))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Tetapi selepas semua, anda boleh melakukan sebaliknya - membentuk nombor 21 dari nombor 7 dan 3. Sangat mudah untuk melakukan ini di sebelah kiri, kerana penunjuk kedua-dua darjah adalah sama:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

Itu sahaja! Anda mengeluarkan eksponen daripada produk dan serta-merta mendapat persamaan cantik yang boleh diselesaikan dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita berurusan dengan persamaan kedua. Di sini semuanya jauh lebih rumit:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\kiri(\frac(27)(10) \kanan))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Dalam kes ini, pecahan ternyata tidak dapat dikurangkan, tetapi jika sesuatu boleh dikurangkan, pastikan untuk mengurangkannya. Ini selalunya akan menghasilkan alasan menarik yang anda sudah boleh bekerjasama.

Malangnya, kami tidak menghasilkan apa-apa. Tetapi kita melihat bahawa eksponen di sebelah kiri dalam produk adalah bertentangan:

Biar saya ingatkan anda: untuk menghilangkan tanda tolak dalam eksponen, anda hanya perlu "membalikkan" pecahan. Jadi mari kita tulis semula persamaan asal:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\kiri(100\cdot \frac(10)(27) \kanan))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

Di baris kedua, kami baru sahaja keluar jumlah markah daripada hasil darab kurungan mengikut peraturan $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, dan dalam yang terakhir hanya mendarabkan nombor 100 dengan pecahan.

Sekarang ambil perhatian bahawa nombor di sebelah kiri (di pangkal) dan di sebelah kanan agak serupa. Bagaimana? Ya, jelas sekali: mereka adalah kuasa nombor yang sama! Kami ada:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \kanan))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \kanan))^(2)). \\\end(align)\]

Oleh itu, persamaan kami akan ditulis semula seperti berikut:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \kanan))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \kanan))^(3\kiri(x-1 \kanan)))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(3x-3))\]

Pada masa yang sama, di sebelah kanan, anda juga boleh mendapatkan ijazah dengan asas yang sama, yang mana cukup untuk "membalik" pecahan:

\[((\kiri(\frac(3)(10) \kanan))^(2))=((\kiri(\frac(10)(3) \kanan))^(-2))\]

Akhirnya, persamaan kami akan mengambil bentuk:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Itulah penyelesaian keseluruhan. Idea utamanya ialah walaupun asas yang berbeza x kami cuba dengan cangkuk atau dengan penjahat untuk mengurangkan alasan ini kepada satu dan sama. Dalam hal ini kita dibantu oleh transformasi asas persamaan dan peraturan untuk bekerja dengan kuasa.

Tetapi apakah peraturan dan bila hendak digunakan? Bagaimana untuk memahami bahawa dalam satu persamaan anda perlu membahagikan kedua-dua belah dengan sesuatu, dan dalam yang lain - untuk menguraikan asas fungsi eksponen menjadi faktor?

Jawapan kepada soalan ini akan datang dengan pengalaman. Cuba tangan anda pada mulanya pada persamaan mudah, dan kemudian secara beransur-ansur merumitkan tugas - dan tidak lama lagi kemahiran anda akan mencukupi untuk menyelesaikan sebarang persamaan eksponen daripada PENGGUNAAN yang sama atau mana-mana kerja bebas / ujian.

Dan untuk membantu anda dalam tugas yang sukar ini, saya mencadangkan untuk memuat turun di tapak web saya satu set persamaan untuk penyelesaian bebas. Semua persamaan mempunyai jawapan, jadi anda sentiasa boleh menyemak sendiri.

Secara umum, saya doakan anda berjaya menjalani latihan. Dan jumpa anda dalam pelajaran seterusnya - di sana kita akan menganalisis persamaan eksponen yang sangat kompleks, di mana kaedah yang diterangkan di atas tidak lagi mencukupi. Dan senaman ringkas juga tidak akan mencukupi. :)

Penyelesaian persamaan eksponen. Contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Apa persamaan eksponen? Ini ialah persamaan di mana tidak diketahui (x) dan ungkapan dengannya berada dalam penunjuk beberapa darjah. Dan hanya di sana! Ia penting.

Ada awak contoh persamaan eksponen:

3 x 2 x = 8 x + 3

Catatan! Dalam asas darjah (di bawah) - nombor sahaja. AT penunjuk darjah (di atas) - pelbagai jenis ungkapan dengan x. Jika, secara tiba-tiba, x muncul dalam persamaan di suatu tempat selain penunjuk, sebagai contoh:

ini akan menjadi persamaan jenis campuran. Persamaan sedemikian tidak mempunyai peraturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Kami tidak akan mempertimbangkan mereka buat masa ini. Di sini kita akan berurusan penyelesaian persamaan eksponen dalam bentuk yang paling tulen.

Malah, walaupun persamaan eksponen tulen tidak selalu diselesaikan dengan jelas. Tetapi terdapat jenis persamaan eksponen tertentu yang boleh dan harus diselesaikan. Ini adalah jenis yang akan kita lihat.

Penyelesaian persamaan eksponen termudah.

Mari kita mulakan dengan sesuatu yang sangat asas. Sebagai contoh:

Walaupun tanpa sebarang teori, dengan pemilihan mudah adalah jelas bahawa x = 2. Tiada lagi, kan!? Tiada gulung nilai x lain. Dan sekarang mari kita lihat penyelesaian persamaan eksponen yang rumit ini:

Apa yang telah kita lakukan? Kami, sebenarnya, hanya membuang bahagian bawah yang sama (tiga kali ganda). Dibuang sepenuhnya. Dan, apa yang menggembirakan, mencapai sasaran!

Sesungguhnya, jika dalam persamaan eksponen di sebelah kiri dan di sebelah kanan adalah sama nombor dalam mana-mana darjah, nombor ini boleh dialih keluar dan eksponen yang sama. Matematik membenarkan. Ia kekal untuk menyelesaikan persamaan yang lebih mudah. Ia bagus, kan?)

Walau bagaimanapun, mari kita ingat secara ironi: anda boleh mengeluarkan tapak hanya apabila nombor asas di kiri dan kanan berada dalam pengasingan yang sangat baik! Tanpa sebarang jiran dan pekali. Katakan dalam persamaan:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , atau

Anda tidak boleh mengalih keluar beregu!

Nah, kami telah menguasai perkara yang paling penting. Bagaimana untuk beralih daripada ungkapan eksponen jahat kepada persamaan yang lebih mudah.

"Inilah masa-masa itu!" - kamu berkata. "Siapa yang akan memberikan primitif seperti itu pada kawalan dan peperiksaan!?"

Terpaksa bersetuju. Tiada siapa yang akan. Tetapi kini anda tahu ke mana hendak pergi apabila menyelesaikan contoh yang mengelirukan. Perlu diingatkan, apabila nombor asas yang sama berada di sebelah kiri - di sebelah kanan. Kemudian semuanya akan menjadi lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah klasik matematik. Kami mengambil contoh asal dan mengubahnya kepada yang dikehendaki kami fikiran. Mengikut peraturan matematik, sudah tentu.

Pertimbangkan contoh yang memerlukan usaha tambahan untuk membawanya kepada yang paling mudah. Jom panggil mereka persamaan eksponen mudah.

Penyelesaian persamaan eksponen mudah. Contoh.

Apabila menyelesaikan persamaan eksponen, peraturan utama ialah tindakan dengan kuasa. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini, tiada apa yang akan berjaya.

Untuk tindakan dengan darjah, seseorang mesti menambah pemerhatian dan kepintaran peribadi. Adakah kita memerlukan nombor asas yang sama? Jadi kami sedang mencari mereka dalam contoh dalam bentuk yang jelas atau disulitkan.

Mari lihat bagaimana ini dilakukan dalam amalan?

Mari kita berikan contoh:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pandangan pertama pada alasan. Mereka... Mereka berbeza! Dua dan lapan. Tetapi masih terlalu awal untuk berkecil hati. Sudah tiba masanya untuk mengingati itu

Dua dan lapan adalah saudara dalam ijazah.) Sangat mungkin untuk menulis:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jika kita ingat formula daripada tindakan dengan kuasa:

(a n) m = a nm ,

ia biasanya berfungsi hebat:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Contoh asal kelihatan seperti ini:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Kami pindahkan 2 3 (x+1) ke kanan (tiada siapa yang membatalkan tindakan asas matematik!), kita dapat:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Itu sahaja. Mengeluarkan pangkalan:

Kami menyelesaikan raksasa ini dan dapatkan

Ini adalah jawapan yang betul.

Dalam contoh ini, mengetahui kuasa dua orang membantu kami. Kami dikenalpasti dalam lapan, deuce yang disulitkan. Teknik ini (mengekodkan asas biasa di bawah nombor yang berbeza) ialah helah yang sangat popular dalam persamaan eksponen! Ya, walaupun dalam logaritma. Seseorang mesti dapat mengenali kuasa nombor lain dalam nombor. Ini amat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponen.

Hakikatnya ialah menaikkan sebarang nombor kepada mana-mana kuasa tidak menjadi masalah. Darab, walaupun pada sekeping kertas, dan itu sahaja. Sebagai contoh, semua orang boleh menaikkan 3 kepada kuasa kelima. 243 akan berubah jika anda mengetahui jadual pendaraban.) Tetapi dalam persamaan eksponen, lebih kerap adalah perlu untuk tidak menaikkan kuasa, tetapi sebaliknya ... berapa bilangan setakat mana bersembunyi di sebalik nombor 243, atau, katakan, 343... Tiada kalkulator akan membantu anda di sini.

Anda perlu mengetahui kuasa beberapa nombor dengan penglihatan, ya ... Bolehkah kita berlatih?

Tentukan kuasa dan nombor apakah nombor:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Jawapan (dalam keadaan huru-hara, sudah tentu!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jika anda melihat dengan teliti, anda boleh melihat fakta yang aneh. Terdapat lebih banyak jawapan daripada soalan! Nah, ia berlaku... Contohnya, 2 6 , 4 3 , 8 2 semuanya 64.

Andaikan anda telah mengambil perhatian tentang maklumat tentang berkenalan dengan nombor.) Biar saya ingatkan anda bahawa untuk menyelesaikan persamaan eksponen, kami menggunakan keseluruhan stok pengetahuan matematik. Termasuk dari golongan menengah ke bawah. Awak tak pergi sekolah menengah terus kan?

Sebagai contoh, apabila menyelesaikan persamaan eksponen, meletakkan faktor sepunya daripada kurungan selalunya membantu (hello kepada gred 7!). Mari lihat contoh:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dan sekali lagi, pandangan pertama - atas alasan! Asas darjah adalah berbeza ... Tiga dan sembilan. Dan kami mahu mereka menjadi sama. Nah, dalam kes ini, keinginan itu agak boleh dilaksanakan!) Kerana:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Mengikut peraturan yang sama untuk tindakan dengan darjah:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Itu bagus, anda boleh menulis:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Kami memberi contoh atas sebab yang sama. Jadi, apa seterusnya!? Tiga tidak boleh dibuang ... Jalan buntu?

Tidak sama sekali. Mengingati peraturan keputusan yang paling universal dan berkuasa semua tugasan matematik:

Jika anda tidak tahu apa yang perlu dilakukan, lakukan apa yang anda boleh!

Anda lihat, semuanya terbentuk).

Apakah yang terdapat dalam persamaan eksponen ini boleh buat? Ya, sebelah kiri terus meminta tanda kurung! Faktor sepunya 3 2x jelas membayangkan perkara ini. Mari cuba, dan kemudian kita akan lihat:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Contoh terus menjadi lebih baik dan lebih baik!

Kami ingat bahawa untuk menghapuskan asas, kami memerlukan tahap tulen, tanpa sebarang pekali. Nombor 70 mengganggu kita. Jadi kita bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 70, kita dapat:

Op-pa! Semuanya baik-baik saja!

Ini adalah jawapan muktamad.

Ia berlaku, bagaimanapun, bahawa teksi keluar atas alasan yang sama diperolehi, tetapi pembubaran mereka tidak. Ini berlaku dalam persamaan eksponen jenis lain. Jom dapatkan jenis ini.

Perubahan pembolehubah dalam menyelesaikan persamaan eksponen. Contoh.

Mari kita selesaikan persamaan:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pertama - seperti biasa. Mari kita beralih ke pangkalan. Kepada deuce.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Kami mendapat persamaan:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dan di sini kita akan menggantung. Helah sebelumnya tidak akan berfungsi, tidak kira bagaimana anda mengubahnya. Kita perlu mendapatkan daripada senjata cara lain yang berkuasa dan serba boleh. Ia dipanggil penggantian berubah-ubah.

Intipati kaedah ini sangat mudah. Daripada satu ikon kompleks (dalam kes kami, 2 x), kami menulis satu lagi, lebih mudah (contohnya, t). Penggantian yang seolah-olah tidak bermakna membawa kepada hasil yang menakjubkan!) Semuanya menjadi jelas dan mudah difahami!

Jadi biarlah

Kemudian 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Kami menggantikan dalam persamaan kami semua kuasa dengan x dengan t:

Nah, ia fajar?) Masih belum melupakan persamaan kuadratik? Kami menyelesaikan melalui diskriminasi, kami mendapat:

Di sini, perkara utama adalah tidak berhenti, kerana ia berlaku ... Ini belum jawapannya, kita perlukan x, bukan t. Kami kembali ke Xs, i.e. membuat pengganti. Pertama untuk t 1:

Itu dia,

Satu akar ditemui. Kami sedang mencari yang kedua, dari t 2:

Um... Kiri 2 x, Kanan 1... Halangan? Ya, tidak sama sekali! Cukuplah untuk mengingati (dari tindakan dengan darjah, ya ...) bahawa perpaduan adalah mana-mana nombor kepada sifar. mana-mana. Apa sahaja yang anda perlukan, kami akan meletakkannya. Kami memerlukan dua. Bermaksud:

Sekarang itu sahaja. Mempunyai 2 akar:

Ini jawapannya.

Pada menyelesaikan persamaan eksponen pada akhirnya, beberapa ungkapan janggal kadang-kadang diperolehi. Jenis:

Daripada tujuh, deuce melalui ijazah mudah tidak berfungsi. Mereka bukan saudara ... Bagaimana saya boleh berada di sini? Seseorang mungkin keliru ... Tetapi orang yang membaca di laman web ini topik "Apakah logaritma?" , senyum sahaja dan tulis dengan tangan yang tegas jawapan yang betul-betul betul:

Tidak boleh ada jawapan sedemikian dalam tugasan "B" pada peperiksaan. Terdapat nombor tertentu yang diperlukan. Tetapi dalam tugas "C" - dengan mudah.

Pelajaran ini menyediakan contoh penyelesaian persamaan eksponen yang paling biasa. Mari kita serlahkan yang utama.

Petua Praktikal:

1. Pertama sekali, kita lihat alasan darjah. Mari kita lihat jika mereka tidak boleh dilakukan sama. Mari cuba lakukan ini dengan menggunakan secara aktif tindakan dengan kuasa. Jangan lupa bahawa nombor tanpa x juga boleh ditukar menjadi kuasa!

2. Kami cuba membawa persamaan eksponen ke bentuk apabila kiri dan kanan adalah sama nombor ke mana-mana tahap. Kami guna tindakan dengan kuasa dan pemfaktoran. Apa yang boleh dikira dalam nombor - kita mengira.

3. Jika nasihat kedua tidak berjaya, kami cuba menggunakan penggantian pembolehubah. Hasilnya boleh menjadi persamaan yang mudah diselesaikan. Selalunya - persegi. Atau pecahan, yang juga berkurang kepada segi empat sama.

4. Untuk berjaya menyelesaikan persamaan eksponen, anda perlu mengetahui darjah beberapa nombor "dengan penglihatan".

Seperti biasa, di akhir pelajaran anda dijemput untuk menyelesaikan sedikit.) Sendiri. Dari yang mudah kepada yang kompleks.

Selesaikan persamaan eksponen:

Lebih sukar:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

Cari hasil darab akar:

2 3-x + 2 x = 9

Terjadi?

Nah, contoh yang paling rumit (ia diselesaikan, bagaimanapun, dalam fikiran ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

Apa yang lebih menarik? Kemudian inilah contoh buruk untuk anda. Cukup menarik peningkatan kesukaran. Saya akan membayangkan bahawa dalam contoh ini, kepintaran dan peraturan yang paling universal untuk menyelesaikan semua tugas matematik menyelamatkan.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Contohnya lebih mudah, untuk bersantai):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dan untuk pencuci mulut. Cari hasil tambah punca-punca persamaan:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ya Ya! Ini adalah persamaan jenis campuran! Yang tidak kami pertimbangkan dalam pelajaran ini. Dan apa yang perlu dipertimbangkan, mereka perlu diselesaikan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan. Nah, kepintaran diperlukan ... Dan ya, gred ketujuh akan membantu anda (ini adalah petunjuk!).

Jawapan (bercelaru, dipisahkan dengan koma bertitik):

satu; 2; 3; empat; tiada penyelesaian; 2; -2; -5; empat; 0.

Adakah semuanya berjaya? Cemerlang.

Ada masalah? Tiada masalah! Dalam Seksyen Khas 555, semua persamaan eksponen ini diselesaikan dengan penjelasan terperinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, sudah tentu, terdapat maklumat berharga tambahan tentang bekerja dengan semua jenis persamaan eksponen. Bukan sahaja dengan ini.)

Satu soalan terakhir yang menyeronokkan untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini, kami bekerja dengan persamaan eksponen. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Dalam persamaan, ini adalah perkara yang sangat penting, dengan cara itu ...

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Ke saluran youtube tapak laman web kami untuk mengetahui semua pelajaran video baharu.

Mula-mula, mari kita ingat semula formula asas darjah dan sifatnya.

Hasil daripada nombor a berlaku pada dirinya sendiri n kali, kita boleh menulis ungkapan ini sebagai a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Kuasa atau persamaan eksponen- ini adalah persamaan di mana pembolehubah berada dalam kuasa (atau eksponen), dan asasnya ialah nombor.

Contoh persamaan eksponen:

Dalam contoh ini, nombor 6 adalah asas, ia sentiasa di bahagian bawah, dan pembolehubah x darjah atau ukuran.

Mari kita berikan lebih banyak contoh persamaan eksponen.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Sekarang mari kita lihat bagaimana persamaan eksponen diselesaikan?

Mari kita ambil persamaan mudah:

2 x = 2 3

Contoh sedemikian boleh diselesaikan walaupun dalam fikiran. Dapat dilihat bahawa x=3. Lagipun, agar bahagian kiri dan kanan sama, anda perlu meletakkan nombor 3 dan bukannya x.
Sekarang mari kita lihat bagaimana keputusan ini harus dibuat:

2 x = 2 3
x = 3

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kami mengalih keluar alasan yang sama(iaitu, deuces) dan menulis apa yang tinggal, ini adalah darjah. Kami mendapat jawapan yang kami cari.

Sekarang mari kita ringkaskan penyelesaian kami.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan eksponen:
1. Perlu semak sama sama ada asas persamaan di sebelah kanan dan di sebelah kiri. Jika alasannya tidak sama, kami sedang mencari pilihan untuk menyelesaikan contoh ini.
2. Selepas tapaknya sama, samakan darjah dan selesaikan persamaan baharu yang terhasil.

Sekarang mari kita selesaikan beberapa contoh:

Mari kita mulakan dengan mudah.

Pangkalan di sebelah kiri dan kanan adalah sama dengan nombor 2, yang bermaksud kita boleh membuang pangkalan dan menyamakan darjahnya.

x+2=4 Persamaan termudah telah muncul.
x=4 - 2
x=2
Jawapan: x=2

Dalam contoh berikut, anda boleh melihat bahawa asas adalah berbeza, ini adalah 3 dan 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Sebagai permulaan, kami memindahkan sembilan ke sebelah kanan, kami mendapat:

Sekarang anda perlu membuat asas yang sama. Kita tahu bahawa 9=3 2 . Mari kita gunakan formula kuasa (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Kami mendapat 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 kini jelas bahawa pangkalan di sebelah kiri dan kanan adalah sama dan sama dengan tiga, yang bermaksud kita boleh membuangnya dan menyamakan darjah.

3x=2x+16 mendapat persamaan termudah
3x-2x=16
x=16
Jawapan: x=16.

Mari kita lihat contoh berikut:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Pertama sekali, kita melihat pangkalan, pangkalannya berbeza dua dan empat. Dan kita perlu sama. Kami mengubah empat kali ganda mengikut formula (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dan kami juga menggunakan satu formula a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tambahkan pada persamaan:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Kami memberi contoh atas sebab yang sama. Tetapi nombor lain 10 dan 24 mengganggu kita. Apa yang perlu dilakukan dengan mereka? Jika anda melihat dengan teliti, anda dapat melihat bahawa di sebelah kiri kita mengulangi 2 2x, inilah jawapannya - kita boleh meletakkan 2 2x daripada kurungan:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mari kita hitung ungkapan dalam kurungan:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Kami membahagikan keseluruhan persamaan dengan 6:

Bayangkan 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 asas adalah sama, buangnya dan samakan darjah.
2x \u003d 2 ternyata menjadi persamaan yang paling mudah. Kita bahagikan dengan 2, kita dapat
x = 1
Jawapan: x = 1.

Mari kita selesaikan persamaan:

9 x - 12*3 x +27= 0

Mari kita ubah:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Kami mendapat persamaan:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Asas kami adalah sama, sama dengan tiga. Dalam contoh ini, jelas bahawa rangkap tiga pertama mempunyai darjah dua kali (2x) daripada yang kedua (hanya x). Dalam kes ini, anda boleh membuat keputusan kaedah penggantian. Nombor dengan darjah terkecil digantikan dengan:

Kemudian 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Kami menggantikan semua darjah dengan x dalam persamaan dengan t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Kami mendapat persamaan kuadratik. Kami menyelesaikan melalui diskriminasi, kami mendapat:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Kembali ke Pembolehubah x.

Kami mengambil t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Itu dia,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Satu akar ditemui. Kami sedang mencari yang kedua, dari t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Jawapan: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Di laman web anda boleh di bahagian MEMBANTU MEMUTUSKAN untuk bertanya soalan yang menarik, kami pasti akan menjawab anda.

Sertai kumpulan

Jangan takut dengan kata-kata saya, anda telah menemui kaedah ini dalam darjah 7 semasa anda belajar polinomial.

Sebagai contoh, jika anda memerlukan:

Mari berkumpul: penggal pertama dan ketiga, serta penggal kedua dan keempat.

Jelas bahawa yang pertama dan ketiga ialah perbezaan petak:

dan yang kedua dan keempat mempunyai faktor sepunya tiga:

Kemudian ungkapan asal adalah bersamaan dengan ini:

Di mana untuk mengambil faktor biasa tidak lagi sukar:

Akibatnya,

Beginilah kira-kira bagaimana kita akan bertindak apabila menyelesaikan persamaan eksponen: cari "kesamaan" di antara istilah dan keluarkannya dari kurungan, dan kemudian - apa pun yang mungkin, saya percaya bahawa kita akan bertuah =))

Contoh #14

Di sebelah kanan jauh dari kuasa tujuh (saya periksa!) Dan di sebelah kiri - lebih baik sedikit ...

Anda boleh, sudah tentu, "memotong" faktor a daripada penggal kedua daripada penggal pertama, dan kemudian berurusan dengan apa yang anda terima, tetapi mari kita bertindak dengan lebih berhemat dengan anda.

Saya tidak mahu berurusan dengan pecahan yang pasti dihasilkan oleh "pemilihan", jadi tidakkah saya lebih baik bertahan?

Kemudian saya tidak akan mempunyai pecahan: seperti yang mereka katakan, kedua-dua serigala kenyang dan kambing biri-biri selamat:

Kira ungkapan dalam kurungan.

Secara ajaib, secara ajaib, ternyata (mengejutkan, walaupun apa lagi yang boleh kita harapkan?).

Kemudian kita kurangkan kedua-dua belah persamaan dengan faktor ini. Kami mendapat: di mana.

Berikut ialah contoh yang lebih rumit (agak-agak, sungguh):

Inilah masalahnya! Kami tidak mempunyai titik persamaan di sini!

Ia tidak sepenuhnya jelas apa yang perlu dilakukan sekarang.

Dan mari kita lakukan apa yang kita boleh: pertama, kita akan menggerakkan "empat" ke satu arah, dan "lima" ke arah yang lain:

Sekarang mari kita keluarkan "biasa" di kiri dan kanan:

Jadi apa sekarang?

Apakah faedah kumpulan bodoh seperti itu? Pada pandangan pertama, ia tidak kelihatan sama sekali, tetapi mari kita lihat lebih mendalam:

Nah, sekarang mari kita buat supaya di sebelah kiri kita hanya mempunyai ungkapan c, dan di sebelah kanan - segala-galanya.

Bagaimana kita boleh melakukannya?

Begini caranya: Bahagikan kedua-dua belah persamaan terlebih dahulu dengan (supaya kita menyingkirkan eksponen di sebelah kanan), dan kemudian bahagikan kedua-dua belah dengan (supaya kita menyingkirkan faktor berangka di sebelah kiri).

Akhirnya kita dapat:

Luar biasa!

Di sebelah kiri kita mempunyai ungkapan, dan di sebelah kanan - hanya.

Kemudian kami segera membuat kesimpulan bahawa

Contoh #15

Saya akan memberikan penyelesaian ringkasnya (tidak terlalu mengganggu untuk menerangkan), cuba fikirkan sendiri semua "kehalusan" penyelesaian itu.

Sekarang penyatuan terakhir bahan yang dilindungi.

Selesaikan 7 tugasan berikut secara bebas (dengan jawapan)

1. Mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:
2. Kami mewakili ungkapan pertama dalam bentuk: , bahagikan kedua-dua bahagian dengan dan dapatkannya
3. , maka persamaan asal ditukar kepada bentuk: Nah, sekarang petunjuk - cari di mana anda dan saya telah menyelesaikan persamaan ini!
4. Bayangkan bagaimana, bagaimana, ah, baik, kemudian bahagikan kedua-dua bahagian dengan, supaya anda mendapat persamaan eksponen termudah.
5. Keluarkan ia daripada kurungan.
6. Keluarkan ia daripada kurungan.

PERSAMAAN EKSPOSISI. TAHAP PURATA

Saya menganggap bahawa selepas membaca artikel pertama, yang memberitahu apakah persamaan eksponen dan cara menyelesaikannya, anda telah menguasai pengetahuan minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan contoh paling mudah.

Sekarang saya akan menganalisis kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan eksponen, ini adalah ...

Kaedah untuk memperkenalkan pembolehubah baharu (atau penggantian)

Dia menyelesaikan kebanyakan masalah "sukar", mengenai topik persamaan eksponen (dan bukan sahaja persamaan).

Kaedah ini adalah salah satu daripada paling biasa digunakan dalam amalan. Pertama, saya mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengan topik tersebut.

Seperti yang telah anda fahami daripada namanya, intipati kaedah ini adalah untuk memperkenalkan perubahan pembolehubah sedemikian sehingga persamaan eksponen anda secara ajaib akan berubah menjadi satu yang anda sudah boleh selesaikan dengan mudah.

Apa yang tinggal untuk anda selepas menyelesaikan "persamaan yang dipermudahkan" ini ialah membuat "penggantian terbalik": iaitu, untuk kembali daripada yang diganti kepada yang diganti.

Mari kita jelaskan apa yang baru sahaja kita katakan dengan contoh yang sangat mudah:

Contoh 16. Kaedah penggantian mudah

Persamaan ini diselesaikan dengan "penggantian mudah", sebagai ahli matematik memanggilnya dengan memperlekehkan.

Sesungguhnya, penggantian di sini adalah yang paling jelas. Ia hanya perlu dilihat itu

Kemudian persamaan asal menjadi:

Jika kita juga membayangkan bagaimana, maka agak jelas bahawa perlu untuk menggantikan ...

Sudah tentu, .

Apakah kemudiannya menjadi persamaan asal? Dan inilah yang:

Anda boleh mencari akarnya sendiri dengan mudah:.

Apa yang patut kita lakukan sekarang?

Sudah tiba masanya untuk kembali kepada pembolehubah asal.

Apa yang saya lupa masukkan?

Iaitu: apabila menggantikan darjah tertentu dengan pembolehubah baru (iaitu, apabila menggantikan jenis), saya akan berminat untuk hanya akar positif!

Anda sendiri boleh menjawab dengan mudah mengapa.

Oleh itu, kami tidak berminat dengan anda, tetapi akar kedua agak sesuai untuk kami:

Kemudian di mana.

Jawapan:

Seperti yang anda lihat, dalam contoh sebelumnya, pengganti itu meminta tangan kami. Malangnya, ini tidak selalu berlaku.

Walau bagaimanapun, jangan terus kepada yang menyedihkan, tetapi amalkan satu lagi contoh dengan penggantian yang agak mudah

Contoh 17. Kaedah penggantian mudah

Adalah jelas bahawa kemungkinan besar ia akan diperlukan untuk menggantikan (ini adalah kuasa terkecil yang termasuk dalam persamaan kami).

Walau bagaimanapun, sebelum memperkenalkan penggantian, persamaan kita perlu "disediakan" untuknya, iaitu: , .

Kemudian anda boleh menggantikan, sebagai hasilnya saya akan mendapat ungkapan berikut:

Oh seram: persamaan padu dengan formula yang sangat mengerikan untuk penyelesaiannya (baik, bercakap dalam istilah umum).

Tetapi jangan langsung putus asa, tetapi fikirkan apa yang patut kita lakukan.

Saya akan mencadangkan menipu: kita tahu bahawa untuk mendapatkan jawapan yang "cantik", kita perlu mendapatkan kuasa tiga (mengapa begitu, ya?).

Dan mari cuba meneka sekurang-kurangnya satu punca persamaan kita (saya akan mula meneka dari kuasa tiga).

tekaan pertama. Bukan akar. Aduhai dan ah...

.
Bahagian kiri adalah sama.
Bahagian kanan:!

Terdapat! Meneka akar pertama. Kini keadaan akan menjadi lebih mudah!

Adakah anda tahu tentang skim pembahagian "sudut"? Sudah tentu anda tahu, anda menggunakannya apabila anda membahagi satu nombor dengan yang lain.

Tetapi beberapa orang tahu bahawa perkara yang sama boleh dilakukan dengan polinomial.

Terdapat satu teorem yang indah:

Berkenaan dengan situasi saya, ia memberitahu saya apa yang boleh dibahagikan tanpa baki oleh.

Bagaimanakah pembahagian dijalankan? Begitulah caranya:

Saya melihat monomial mana yang perlu saya darabkan untuk mendapatkan

Adalah jelas bahawa pada, kemudian:

Saya menolak ungkapan yang terhasil daripada, saya dapat:

Sekarang, apa yang perlu saya darabkan untuk mendapatkan?

Sudah jelas bahawa pada, maka saya akan mendapat:

dan sekali lagi tolak ungkapan yang terhasil daripada yang selebihnya:

Nah, langkah terakhir, saya darab dengan, dan tolak daripada ungkapan yang tinggal:

Hooray, pembahagian sudah tamat! Apa yang telah kita kumpul secara peribadi?

Dengan sendirinya: .

Kemudian kami mendapat pengembangan berikut bagi polinomial asal:

Mari kita selesaikan persamaan kedua:

Ia mempunyai akar:

Kemudian persamaan asal:

mempunyai tiga akar:

Kami, sudah tentu, membuang akar terakhir, kerana ia adalah kurang daripada sifar.

Dan dua yang pertama selepas penggantian terbalik akan memberi kita dua punca:

Jawapan: ..

Saya tidak bermaksud untuk menakutkan anda dengan contoh ini!

Sebaliknya, sebaliknya, saya ingin menunjukkan bahawa walaupun kami mempunyai penggantian yang agak mudah, namun, ia membawa kepada persamaan yang agak rumit, penyelesaiannya memerlukan beberapa kemahiran khas daripada kami.

Nah, tiada siapa yang kebal daripada ini. Tetapi perubahan dalam kes ini cukup jelas.

Contoh #18 (dengan penggantian yang kurang jelas)

Ia sama sekali tidak jelas apa yang harus kita lakukan: masalahnya ialah dalam persamaan kita terdapat dua asas yang berbeza dan satu asas tidak boleh diperoleh daripada yang lain dengan menaikkannya kepada mana-mana kuasa (munasabah, secara semula jadi).

Namun, apa yang kita lihat?

Kedua-dua tapak hanya berbeza dalam tanda, dan hasil darabnya ialah perbezaan segi empat sama dengan satu:

Definisi:

Oleh itu, nombor yang menjadi asas dalam contoh kita adalah konjugat.

Dalam kes itu, langkah bijak adalah darab kedua-dua belah persamaan dengan nombor konjugat.

Sebagai contoh, pada, maka bahagian kiri persamaan akan menjadi sama, dan bahagian kanan.

Jika kami membuat penggantian, maka persamaan asal kami dengan anda akan menjadi seperti ini:

akarnya, kemudian, tetapi mengingati itu, kita mendapat itu.

Jawapan: , .

Sebagai peraturan, kaedah penggantian sudah cukup untuk menyelesaikan kebanyakan persamaan eksponen "sekolah".

Tugas-tugas berikut yang meningkatkan tahap kerumitan diambil daripada pilihan peperiksaan.

Tiga tugas peningkatan kerumitan daripada pilihan peperiksaan

Anda sudah cukup celik untuk menyelesaikan contoh ini sendiri. Saya hanya akan memberikan penggantian yang diperlukan.

1. Selesaikan persamaan:
2. Cari punca-punca persamaan:
3. Selesaikan persamaan: . Cari semua punca persamaan ini yang tergolong dalam segmen:

Sekarang untuk beberapa penjelasan dan jawapan pantas:

Contoh #19

Di sini sudah memadai untuk diperhatikan bahawa dan.

Kemudian persamaan asal akan bersamaan dengan ini:

Persamaan ini diselesaikan dengan menggantikan

Lakukan sendiri pengiraan berikut.

Pada akhirnya, tugas anda akan dikurangkan kepada menyelesaikan trigonometri yang paling mudah (bergantung pada sinus atau kosinus). Kami akan membincangkan penyelesaian contoh sedemikian dalam bahagian lain.

Contoh #20

Di sini anda juga boleh melakukannya tanpa penggantian ...

Ia cukup untuk menggerakkan subtrahend ke kanan dan mengemukakan kedua-dua pangkalan melalui kuasa dua: dan kemudian segera pergi ke persamaan kuadratik.

Contoh #21

Ia juga diselesaikan dengan agak standard: bayangkan bagaimana.

Kemudian, menggantikan kita mendapat persamaan kuadratik: kemudian,

Adakah anda sudah tahu apa itu logaritma? bukan? Kemudian baca topik dengan segera!

Akar pertama, jelas, tidak tergolong dalam segmen, dan yang kedua tidak dapat difahami!

Tetapi kita akan mengetahui tidak lama lagi!

Sejak, kemudian (ini adalah sifat logaritma!)

Kurangkan kedua-dua bahagian, maka kita dapat:

Bahagian kiri boleh diwakili sebagai:

darab kedua-dua belah dengan:

boleh didarab dengan, kemudian

Kemudian mari kita bandingkan:

sejak itu:

Kemudian akar kedua tergolong dalam selang yang dikehendaki

Jawapan:

Seperti yang anda lihat, pemilihan punca persamaan eksponen memerlukan pengetahuan yang agak mendalam tentang sifat-sifat logaritma, jadi saya menasihati anda supaya berhati-hati semasa menyelesaikan persamaan eksponen.

Seperti yang anda tahu, dalam matematik semuanya saling berkaitan!

Seperti yang pernah guru matematik saya katakan: "Anda tidak boleh membaca matematik seperti sejarah dalam sekelip mata."

Sebagai peraturan, semua kesukaran dalam menyelesaikan masalah tahap peningkatan kerumitan adalah tepat pemilihan punca persamaan.

Contoh amalan lain...

Contoh 22

Jelas bahawa persamaan itu sendiri diselesaikan dengan mudah.

Setelah membuat penggantian, kami mengurangkan persamaan asal kami kepada yang berikut:

Pertama, mari kita pertimbangkan akar pertama.

Bandingkan dan: sejak, kemudian. (sifat fungsi logaritma, at).

Maka jelaslah bahawa akar pertama juga tidak tergolong dalam selang kita.

Sekarang akar kedua: . Adalah jelas bahawa (memandangkan fungsi semakin meningkat).

Ia kekal untuk membandingkan dan

sejak, kemudian, pada masa yang sama.

Oleh itu, saya boleh "memacu pasak" antara dan.

Pasak ini ialah nombor.

Ungkapan pertama kurang daripada dan yang kedua lebih besar daripada.

Kemudian ungkapan kedua lebih besar daripada yang pertama dan akarnya tergolong dalam selang.

Jawapan: .

Sebagai kesimpulan, mari kita lihat satu lagi contoh persamaan di mana penggantiannya agak tidak standard.

Contoh #23 (Persamaan dengan penggantian bukan standard!)

Mari kita mulakan segera dengan apa yang boleh anda lakukan, dan apa - pada dasarnya, anda boleh, tetapi lebih baik tidak melakukannya.

Ia adalah mungkin - untuk mewakili segala-galanya melalui kuasa tiga, dua dan enam.

Ke mana arahnya?

Ya, dan tidak akan membawa kepada apa-apa: hodgepodge darjah, beberapa daripadanya akan agak sukar untuk disingkirkan.

Apa yang diperlukan?

Mari kita ambil perhatian bahawa a

Dan apa yang akan diberikan kepada kita?

Dan hakikat bahawa kita boleh mengurangkan penyelesaian contoh ini kepada penyelesaian persamaan eksponen yang agak mudah!

Pertama, mari kita tulis semula persamaan kita sebagai:

Sekarang kita bahagikan kedua-dua belah persamaan yang terhasil kepada:

Eureka! Sekarang kita boleh menggantikan, kita dapat:

Nah, kini giliran anda untuk menyelesaikan masalah untuk demonstrasi, dan saya hanya akan memberi mereka ulasan ringkas supaya anda tidak sesat! Semoga berjaya!

Contoh #24

Yang paling susah!

Melihat pengganti di sini oh, betapa hodohnya! Walau bagaimanapun, contoh ini boleh diselesaikan sepenuhnya menggunakan pemilihan petak penuh.

Untuk menyelesaikannya, cukup untuk diperhatikan bahawa:

Jadi inilah pengganti anda:

(Perhatikan bahawa di sini, dengan penggantian kami, kami tidak boleh membuang punca negatif!!! Dan mengapa, apa pendapat anda?)

Sekarang, untuk menyelesaikan contoh, anda perlu menyelesaikan dua persamaan:

Kedua-duanya diselesaikan dengan "penggantian standard" (tetapi yang kedua dalam satu contoh!)

Contoh #25

2. Perhatikan itu dan buat penggantian.

Contoh #26

3. Kembangkan nombor kepada faktor koprima dan mudahkan ungkapan yang terhasil.

Contoh #27

4. Bahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan (atau jika anda lebih suka) dan buat penggantian atau.

Contoh #28

5. Perhatikan bahawa nombor dan adalah konjugat.

PENYELESAIAN PERSAMAAN EKSPONEN DENGAN KAEDAH LOGARIFMING. TAHAP MAJU

Di samping itu, mari kita lihat cara lain - penyelesaian persamaan eksponen dengan kaedah logaritma.

Saya tidak boleh mengatakan bahawa penyelesaian persamaan eksponen dengan kaedah ini sangat popular, tetapi dalam beberapa kes hanya ia boleh membawa kita kepada penyelesaian yang betul bagi persamaan kita.

Terutama sering ia digunakan untuk menyelesaikan apa yang dipanggil " persamaan campuran': iaitu, mereka yang terdapat fungsi pelbagai jenis.

Contoh #29

dalam kes umum, ia hanya boleh diselesaikan dengan mengambil logaritma kedua-dua bahagian (contohnya, mengikut asas), di mana persamaan asal bertukar kepada yang berikut:

Mari kita pertimbangkan contoh berikut:

Adalah jelas bahawa kita hanya berminat dengan ODZ bagi fungsi logaritma.

Walau bagaimanapun, ini mengikuti bukan sahaja dari ODZ logaritma, tetapi untuk sebab lain.

Saya fikir ia tidak akan sukar untuk anda meneka yang mana satu.

Mari kita ambil logaritma kedua-dua belah persamaan kita ke pangkalan:

Seperti yang anda lihat, mengambil logaritma persamaan asal kami dengan cepat membawa kami kepada jawapan yang betul (dan cantik!).

Mari berlatih dengan satu lagi contoh.

Contoh #30

Di sini juga, tiada apa yang perlu dibimbangkan: kita ambil logaritma kedua-dua belah persamaan dalam sebutan asas, kemudian kita dapat:

Mari buat pengganti:

Namun, kami terlepas sesuatu! Adakah anda perasan di mana saya membuat kesilapan? Lagipun, kemudian:

yang tidak memenuhi keperluan (fikir dari mana asalnya!)

Jawapan:

Cuba tuliskan penyelesaian persamaan eksponen di bawah:

Sekarang semak penyelesaian anda dengan ini:

Contoh #31

Kami mengambil logaritma kedua-dua bahagian ke pangkalan, memandangkan:

(akar kedua tidak sesuai dengan kita kerana penggantian)

Contoh #32

Logaritma kepada asas:

Mari ubah ungkapan yang terhasil kepada bentuk berikut:

PERSAMAAN EKSPOSISI. HURAIAN RINGKAS DAN FORMULA ASAS

persamaan eksponen

Jenis persamaan:

dipanggil persamaan eksponen termudah.

Sifat ijazah

Pendekatan Penyelesaian

• Pengurangan kepada asas yang sama
• Pengurangan kepada eksponen yang sama
• Penggantian berubah
• Ringkaskan ungkapan dan gunakan salah satu daripada di atas.

Belakang ke hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili tahap penuh pembentangan. Jika anda berminat kerja ini sila muat turun versi penuh.

Jenis pelajaran

: pelajaran tentang generalisasi dan aplikasi kompleks pengetahuan, kemahiran dan kebolehan pada topik "Persamaan eksponen dan cara untuk menyelesaikannya".

Matlamat pelajaran.

Tutorial:

ulangi dan sistematikkan bahan utama topik "Persamaan eksponen, penyelesaiannya"; menyatukan keupayaan untuk menggunakan algoritma yang sesuai semasa menyelesaikan persamaan eksponen pelbagai jenis; persediaan menghadapi peperiksaan.

Membangunkan:

membangunkan pemikiran logik dan bersekutu pelajar; untuk menggalakkan pembangunan kemahiran aplikasi bebas pengetahuan.

Pendidikan:

untuk memupuk tujuan, perhatian dan ketepatan dalam menyelesaikan persamaan.

peralatan:

projektor komputer dan multimedia.

Pelajaran menggunakan Teknologi maklumat : sokongan metodologi untuk pelajaran - pembentangan dalam Microsoft Power Point.

Semasa kelas

Setiap kemahiran datang dengan kerja keras.

saya. Menetapkan matlamat pelajaran(nombor slaid 2 )

Dalam pelajaran ini, kita akan meringkaskan dan membuat generalisasi topik "Persamaan Eksponen, Penyelesaiannya". Mari kita berkenalan dengan tugas tipikal peperiksaan tahun yang berbeza mengenai topik ini.

Tugas untuk menyelesaikan persamaan eksponen boleh didapati di mana-mana bahagian tugas USE. Di bahagian" DI" biasanya mencadangkan untuk menyelesaikan persamaan eksponen termudah. Di bahagian" DARI " anda boleh memenuhi persamaan eksponen yang lebih kompleks, penyelesaian yang biasanya merupakan salah satu peringkat tugas.

Sebagai contoh ( nombor slaid 3 ).

• PENGGUNAAN - 2007

B 4 - Cari nilai terbesar bagi ungkapan itu x y, di mana ( X; di) ialah penyelesaian sistem:

• PENGGUNAAN - 2008

B 1 - Selesaikan Persamaan:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• PENGGUNAAN - 2009

B 4 - Cari nilai ungkapan itu x + y, di mana ( X; di) ialah penyelesaian sistem:

• PENGGUNAAN - 2010

– Selesaikan persamaan: 7 X– 2 = 49. – Cari punca-punca persamaan: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Selesaikan sistem persamaan:

II. Pengemaskinian pengetahuan asas. Pengulangan

(Slaid #4 – 6 pembentangan kelas)

Skrin ditunjukkan ringkasan rujukan bahan teori mengenai topik ini.

Soalan berikut dibincangkan:

1. Apakah persamaan yang dipanggil petunjuk?
2. Namakan cara utama untuk menyelesaikannya. Berikan contoh jenisnya ( nombor slaid 4 )

(Selesaikan sendiri persamaan yang dicadangkan untuk setiap kaedah dan lakukan ujian kendiri menggunakan slaid)

3. Apakah teorem yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan eksponen termudah dalam bentuk: dan f(x) = a g(x) ?
4. Apakah kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan eksponen wujud? ( nombor slaid 5 )

• Kaedah pemfaktoran
(berdasarkan sifat kuasa dengan pangkalan yang sama, penerimaan: darjah dengan penunjuk terendah dikeluarkan daripada kurungan).
• Penerimaan pembahagian (pendaraban) dengan ungkapan eksponen selain sifar, apabila menyelesaikan persamaan eksponen homogen
.

• Nasihat:

apabila menyelesaikan persamaan eksponen, adalah berguna untuk membuat transformasi dahulu, mendapatkan darjah dengan asas yang sama dalam kedua-dua bahagian persamaan.

1. Menyelesaikan persamaan dengan dua kaedah terakhir diikuti dengan ulasan

(nombor slaid 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Menyelesaikan tugas USE 2010

Pelajar secara bebas menyelesaikan tugasan yang dicadangkan pada permulaan pelajaran pada slaid No. 3, menggunakan arahan untuk penyelesaiannya, semak penyelesaian mereka dan jawapan kepada mereka menggunakan pembentangan ( nombor slaid 7). Dalam proses kerja, pilihan dan kaedah penyelesaian dibincangkan, perhatian diberikan kepada kemungkinan ralat dalam penyelesaian.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Jawapan: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (Anda boleh menggantikan 0.5 \u003d 4 - 0.5)

Penyelesaian. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Jawapan: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, pada cos y< 0.

Cadangan untuk keputusan

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y+ 4 5 tg y- 1 = 0. Biarkan X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

Sejak tg y= -1 dan kos y< 0, kemudian di II koordinat suku

Jawapan: di= 3/4 + 2k, k N.

IV. Kerjasama Papan Putih

Tugas tahap pembelajaran yang tinggi dipertimbangkan - nombor slaid 8. Dengan bantuan slaid ini, terdapat dialog antara guru dan pelajar, yang menyumbang kepada pembangunan penyelesaian.

- Pada parameter apa a persamaan 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0 mempunyai dua punca?

biarlah t= 2 X, di mana t > 0 . Kita mendapatkan t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

satu). Oleh kerana persamaan mempunyai dua punca, maka D > 0;

2). Kerana t 1,2 > 0, maka t 1 t 2 > 0, iaitu a 2 – 4a> 0 (?...).

Jawapan: a(– 0.5; 0) atau (4; 4.5).

V. Kerja pengesahan

(nombor slaid 9 )

Pelajar membuat persembahan kerja pengesahan pada risalah, menjalankan kawalan diri dan penilaian kendiri kerja yang dilakukan dengan bantuan pembentangan, menegaskan dirinya dalam topik. Mereka secara bebas menentukan sendiri program untuk mengawal selia dan membetulkan pengetahuan berdasarkan kesilapan yang dibuat dalam buku kerja. Helaian dengan kerja bebas yang telah siap diserahkan kepada guru untuk pengesahan.

Nombor bergaris - aras asas, dengan asterisk - peningkatan kerumitan.

Penyelesaian dan jawapan.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (tidak sesuai),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Kerja rumah

(nombor slaid 10 )

• Ulang § 11, 12.
• Daripada bahan Peperiksaan Negeri Bersatu 2008 - 2010, pilih tugasan mengenai topik dan selesaikannya.
• Kerja ujian rumah
: