Streszczenie i prezentacja do lekcji całki nieoznaczonej. Całka nieoznaczona, jej własności i obliczenia. Całka pierwotna i nieoznaczona. Całka oznaczona, jej główne własności. Wzór Newtona-Leibniza. Zastosowania całki oznaczonej

GBOU SPO „Navashinsky Ship Mechanical College” Całka nieoznaczona. Metody obliczania

Eudoksos z Knidos ok. 408 - ca. 355 pne mi. Rachunek całkowy pojawił się w starożytnym okresie rozwoju nauk matematycznych i rozpoczął się od metody wyczerpania opracowanej przez matematyków Starożytna Grecja i był zbiorem zasad opracowanych przez Eudoksosa z Knidus. Zgodnie z tymi zasadami obliczono powierzchnie i kubatury

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Symbol ∫ został wprowadzony przez Leibniza (1675). Ten znak jest odmianą łacińskiej litery S (pierwsza litera słowa summa).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643-1727) Newton i Leibniz niezależnie odkryli fakt znany jako wzór Newtona-Leibniza.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 1897) Prace Cauchy'ego i Weierstrassa podsumowały wielowiekowy rozwój rachunku całkowego.

W rozwoju rachunku całkowego brali udział rosyjscy matematycy: M.V. Ostrogradsky (1801 - 1862) V.Ya. Bunyakovsky (1804 - 1889) P.L. Czebyszew (1821 - 1894)

CAŁKA NIEOZNACZONA Całką nieoznaczoną funkcji ciągłej f(x) na przedziale (a; b) jest dowolna jej funkcja pierwotna. Gdzie C jest dowolną stałą (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Dopasowanie. Znajdź jeden ogólna forma funkcja pierwotna, która odpowiada danej funkcji. tgx +С

Właściwości integralne

Właściwości integralne

Podstawowe metody całkowania Tabelaryczny. 2. Redukcja do tabelarycznego przekształcenia całki na sumę lub różnicę. 3.Integracja z wykorzystaniem zmiany zmiennej (podstawienia). 4. Całkowanie przez części.

Znajdź pochodne dla funkcji: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x + C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) \u003d 3-2x

Czy to prawda, że: a) c) b) d)

Przykład 1. Całka sumy wyrażeń jest równa sumie całek tych wyrażeń Ze znaku całki można wyprowadzić czynnik stały

Przykład 2. Sprawdź rozwiązanie Zapisz rozwiązanie:

Przykład 3. Sprawdź rozwiązanie Zapisz rozwiązanie:

Przykład 4 . Sprawdź rozwiązanie Zapisz rozwiązanie: Wprowadź nową zmienną i wyraź różnice:

Przykład 5. Sprawdź rozwiązanie Zapisz rozwiązanie:

Praca samodzielna C Znajdź całkę nieoznaczoną Sprawdź rozwiązanie Poziom "A" (przez "3") Poziom "B" (przez "4") Poziom "C" (przez "5")

Zadanie Ustal dopasowanie. Znajdź taką ogólną formę funkcji pierwotnej, która odpowiada danej funkcji.

slajd 1

slajd 2

Informacje historyczne Rachunek całkowy powstał z potrzeby stworzenia ogólnej metody znajdowania obszarów, objętości i środków ciężkości. W swojej embrionalnej formie metoda ta została zastosowana przez Archimedesa. Systematycznie rozwijał się w XVII wieku w pracach Cavalieriego, Torricelliego, Fermama i Pascala. W 1659 r. I. Barrow ustalił związek między problemem znalezienia obszaru a problemem znalezienia stycznej. Newton i Leib-Nitz w latach 70. XVII wieku odwrócili to powiązanie od wspomnianych szczególnych problemów geometrycznych. W ten sposób ustalono związek między rachunkiem całkowym a różniczkowym. To połączenie zostało wykorzystane przez Newtona, Leibniza i ich uczniów do opracowania techniki integracji. Metody integracyjne osiągnęły swój obecny stan głównie w pracach L. Eulera. Prace M.V. Ostrogradsko-Go i P.L. Czebyszewa zakończyły rozwój tych metod.

slajd 3

Pojęcie całki. Niech prosta MN będzie dana równaniem I musimy znaleźć pole F trapezu krzywoliniowego aABb. Podzielmy odcinek ab na n części (równych lub nierównych) i skonstruujmy schodkową figurę pokazaną kreskowaniem na rys. 1 Jego pole, jego pole jest równe (1) Jeśli wprowadzimy zapis Wtedy wzór (1) przyjmie forma (3) Pożądany obszar jest granicą sumy (3) dla nieskończenie dużych n. Leibniz wprowadził oznaczenie tej granicy (4) W którym (kursywa s) jest początkową literą słowa summa (suma), wyrażenie E wskazuje na typową formę poszczególnych terminów. Leibniz zaczął nazywać wyrażenie integralną - od łacińskiego słowa integralis - integralną. J. B. Fourier poprawił notację Leibniza, nadając jej postać. Tutaj początkowe i końcowe wartości x są wyraźnie wskazane.

slajd 4

Związek między integracją a różnicowaniem. Rozważmy stałą i zmienną b. Wtedy całka będzie funkcją b . Różnicą tej funkcji jest

zjeżdżalnia 5

funkcja prymitywna. Niech funkcja będzie pochodną funkcji, T.S. Istnieje różnica funkcji: wtedy funkcja jest nazywana funkcją pierwotną dla funkcji

zjeżdżalnia 6

Przykład znajdowania funkcji pierwotnej. Funkcja jest pierwotną funkcją T.S. Istnieje różniczka funkcji Funkcja jest funkcją pierwotną funkcji

Slajd 7

Całka nieoznaczona. Całka nieoznaczona danego wyrażenia Najogólniejsza forma jego funkcji pierwotnej to tzw. Oznaczono całkę nieoznaczoną wyrażenia Wyrażenie nazywamy wyrażeniem podcałkowym, funkcja nazywamy funkcją podcałkową, zmienna x jest zmienną całkowania. Znalezienie całki nieoznaczonej danej funkcji nazywamy integracją. Anoshina O.V.

Główna literatura

1. V.S. Shipachev, Wyższa Matematyka. Kurs podstawowy: podręcznik i
warsztaty dla kawalerów [Certyfikat Ministerstwa Edukacji Federacji Rosyjskiej] / V. S.
Shipaczow; wyd. A. N. Tichonowa. - wydanie 8, poprawione. i dodatkowe Moskwa: Jurajt, 2015. - 447 s.
2. V.S. Shipachev, Wyższa Matematyka. Pełny kurs: podręcznik
dla Acad. Licencjat [Certyfikat UMO] / V. S. Shipachev; wyd. ALE.
N. Tichonowa. - wyd. 4, ks. i dodatkowe - Moskwa: Jurajt, 2015. - 608
Z
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. wyższa matematyka
w ćwiczeniach i zadaniach. [Tekst] / WP Danko, AG Popow, T.Ya.
Kozhevnikov. O godzinie 2 - M.: Szkoła Wyższa, 2007. - 304 + 415c.

Raportowanie

1.
Test. Wykonywane zgodnie z:
Zadania i wytyczne do wykonywania prac kontrolnych
w dyscyplinie „MATEMATYKA STOSOWANA”, Jekaterynburg, FGAOU
VO „Rosyjskie Państwowe Zawodowe Pedagogiczne
Uniwersytet”, 2016 - 30s.
Wybierz opcję sterowania pracą wg ostatniej cyfry numeru
Dziennik.
2.
Egzamin

Całka nieoznaczona, jej własności i obliczenia Całka pierwotna i nieoznaczona

Definicja. Funkcja F x nazywa się
funkcja pierwotna f x zdefiniowana na
pewien przedział, jeśli F x f x dla
każdy x z tego przedziału.
Na przykład funkcja cos x to
prymitywny funkcje grzechu x , ponieważ
cos x grzech x .

Oczywiście, jeśli F x jest funkcją pierwotną
funkcje f x , to F x C , gdzie C jest pewną stałą, również jest
funkcja pierwotna f x .
Jeśli F x jest jakąś funkcją pierwotną
funkcja f x , to dowolna funkcja postaci
F x F x C jest również
funkcja pierwotna f x i dowolna
prymityw może być reprezentowany w tej formie.

Definicja. Całość wszystkich
pochodne funkcji f x ,
określone na niektórych
pomiędzy nazywa się
całka nieoznaczona z
funkcje f x na tym przedziale i
oznaczone przez f x dx .

Jeśli F x jest jakąś funkcją pierwotną funkcji
f x , to piszą f x dx F x C , chociaż
bardziej poprawne byłoby napisanie f x dx F x C .
My, zgodnie z ustaloną tradycją, napiszemy
f x dx F x C .
Tak więc ten sam symbol
f x dx będzie oznaczać jako całość
zbiór funkcji pierwotnych funkcji f x ,
i dowolny element tego zestawu.

Właściwości integralne

Pochodna nie określona całka jest równe
całka i jego różniczka do całki. Naprawdę:
1.(f(x)dx) (F(x)C)F(x)f(x);
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.

Właściwości integralne

3. Całka nieoznaczona z
dyferencjał ciągły (x)
funkcja różniczkowalna jest sobie równa
tę funkcję do stałej:
d (x) (x) dx (x) C,
ponieważ (x) jest funkcją pierwotną (x).

Właściwości integralne

4. Jeśli funkcje f1 x i f 2 x mają
funkcje pierwotne, to funkcja f1 x f 2 x
ma również funkcję pierwotną i
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
1
x
2. x a dx
C, (a 1) .
1
dx
3. W x C .
x
x
a
4.a x dx
C.
w a
5. w x dx w x C .
6. sin xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C .
grzech x
dx
9. 2tgx C .
bo x
dx
arctgx C .
10.
2
1x

Tabela całek nieoznaczonych

11.
dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
x
12. 2 2 arktan C .
a
a
x
13.
14.
15.
dx
a2x2
x
arcsin C ..
a
dx
1
x a
ja
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sz x

Własności różniczkowe

Podczas integracji jest wygodny w użyciu
właściwości: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Przykłady

Przykład. Oblicz cos 5xdx .
Rozwiązanie. W tabeli całek znajdujemy
cos xdx sin x C .
Przekształćmy tę całkę w całkę tabelaryczną,
korzystając z faktu, że d ax adx .
Następnie:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= grzech 5 x C .
5

Przykłady

Przykład. Oblicz x
3x x 1 dx .
Rozwiązanie. Ponieważ pod znakiem integralnym
to suma czterech wyrazów, to
rozwiń całkę jako sumę czterech
całki:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Niezależność rodzaju zmiennej

Przy obliczaniu całek jest to wygodne
użyj następujących właściwości
całki:
Jeśli f x dx F x C , to
f x b dx F x b C .
Jeśli f x dx F x C , to
1
f ax b dx F ax b C .
a

Przykład

Obliczać
1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5

Metody integracji Integracja przez części

Ta metoda opiera się na formule udv uv vdu .
Następujące całki są brane metodą całkowania przez części:
a) x n sin xdx, gdzie n 1,2...k;
b) x n e x dx , gdzie n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx , gdzie n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , gdzie n 0, 1, 2,... k .
Przy obliczaniu całek a) i b) wpisz
n 1
notacja: x n u , potem du nx dx , i np.
sin xdx dv , a następnie v cos x .
Przy obliczaniu całek c), d) oznaczają dla u funkcję
arctgx , ln x , a dla dv przyjmują x n dx .

Przykłady

Przykład. Oblicz x cos xdx .
Rozwiązanie.
uk, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Przykłady

Przykład. Oblicz
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
W x
=
2
2x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
W x
C.
=
2
2
2
2 2

Zmienna metoda zastępowania

Niech będzie wymagane znalezienie f x dx , oraz
bezpośrednio odebrać prymitywizm
dla f x nie możemy, ale wiemy, że
ona istnieje. Często spotykane
pierwotna przez wprowadzenie nowej zmiennej,
według wzoru
f x dx f t t dt , gdzie x t i t to nowość
zmienny

Całkowanie funkcji zawierających trójmian kwadratowy

Rozważ całkę
axb
dx ,
x px q
zawierający trójmian kwadratowy in
mianownik całki
wyrażenia. Taka całka też jest brana
zmiana metody zmiennych,
wcześniej zidentyfikowane w
mianownik to pełny kwadrat.
2

Przykład

Oblicz
dx
.
x4x5
Rozwiązanie. Przekształćmy x 2 4 x 5 ,
2
wybór pełnego kwadratu według wzoru a b 2 a 2 2ab b 2 .
Następnie otrzymujemy:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Przykład

Odnaleźć
1x
1x
2
dx
tdt
1 tona
2
x t, x t 2 ,
dx2tdt
2
t2
1 tona
2
dt
1 tona
1 tona
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 tona
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 tona
2
dt

Całka oznaczona, jej główne własności. Wzór Newtona-Leibniza. Zastosowania całki oznaczonej.

Pojęcie całki oznaczonej prowadzi do:
problem ze znalezieniem obszaru krzywoliniowego
trapez.
Niech zostanie podany pewien przedział
funkcja ciągła y f (x) 0
Zadanie:
Narysuj jego wykres i znajdź obszar F figury,
ograniczone tą krzywą, dwie proste x = a i x
= b, a od dołu odcinek osi odciętej między punktami
x = a i x = b.

Cyfra aABb nazywa się
trapez krzywoliniowy

Definicja

b
f(x)dx
Pod całką oznaczoną
a
z danej funkcji ciągłej f(x) on
ten segment jest rozumiany
odpowiedni przyrost
prymitywne, to znaczy
K (b) K (a) K (x) /
b
a
Liczby a i b są granicami całkowania,
to przedział integracji.

Reguła:

Całka oznaczona jest równa różnicy
wartości całki pierwotnej
funkcje dla górnych i dolnych limitów
integracja.
Przedstawiamy notację różnicy
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x)dx F (b) F (a)
a
Wzór Newtona-Leibniza.

Podstawowe własności całki oznaczonej.

1) Wartość całki oznaczonej nie zależy od
notacja zmiennych integracyjnych, tj.
b
b
a
a
f(x)dx f (t)dt
gdzie x i t są dowolnymi literami.
2) Całka oznaczona z tym samym
poza
integracja wynosi zero
a
f (x)dx F (a) F (a) 0
a

3) Przy zmianie granic integracji
całka oznaczona odwraca swój znak
b
a
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
a
b
(właściwość addytywności)
4) Jeśli przedział jest podzielony na liczbę skończoną
przedziały cząstkowe, to całka oznaczona,
przejmowana w przedziale jest równa sumie zdefiniowanego
całki pobrane po wszystkich jego przedziałach cząstkowych.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx

5) Stały mnożnik można wyjąć
dla znaku całki oznaczonej.
6) Całka oznaczona z algebraicznego
sumy skończonej liczby ciągłych
funkcje są równe tej samej algebraicznej
suma całek oznaczonych tych
Funkcje.

3. Zmiana zmiennej w całce oznaczonej.

3. Zastąpienie zmiennej w pewnym
całka.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
a
a(), b(), (t)
gdzie
dla t[; ] , funkcje (t) i (t) są ciągłe;
5
Przykład:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Całki nieprawidłowe.

Całki nieprawidłowe.
Definicja. Niech funkcja f(x) będzie zdefiniowana na
nieskończony przedział , gdzie b< + . Если
istnieje
b
Lim
f(x)dx,
b
a
wtedy granica ta nazywana jest niewłaściwym
całka funkcji f(x) na przedziale
}