exponentiella ekvationer. Logaritmmetoden. Lösning av exponentiella ekvationer. Exempel Lösning av enkla exponentialekvationer

Den här lektionen är avsedd för dem som precis har börjat lära sig exponentiella ekvationer. Låt oss som alltid börja med en definition och enkla exempel.

Om du läser den här lektionen, då misstänker jag att du redan har åtminstone en minimal förståelse för de enklaste ekvationerna - linjära och kvadratiska: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ osv. Att kunna lösa sådana konstruktioner är absolut nödvändigt för att inte "hänga" i ämnet som kommer att diskuteras nu.

Exponentiella ekvationer alltså. Låt mig ge dig ett par exempel:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Vissa av dem kan verka mer komplicerade för dig, vissa av dem är tvärtom för enkla. Men alla förenas av en viktig egenskap: de innehåller en exponentiell funktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Därför introducerar vi definitionen:

En exponentiell ekvation är vilken ekvation som helst som innehåller en exponentialfunktion, dvs. ett uttryck av formen $((a)^(x))$. Förutom den specificerade funktionen kan sådana ekvationer innehålla andra algebraiska konstruktioner - polynom, rötter, trigonometri, logaritmer, etc.

Okej då. Förstod definitionen. Nu är frågan: hur löser man allt detta skit? Svaret är både enkelt och komplext på samma gång.

Låt oss börja med de goda nyheterna: från min erfarenhet av många elever kan jag säga att för de flesta av dem är exponentiella ekvationer mycket lättare än samma logaritmer, och ännu mer trigonometri.

Men det finns också dåliga nyheter: ibland besöks kompilatorerna av problem för alla typer av läroböcker och tentor av "inspiration", och deras droginflammerade hjärna börjar producera så brutala ekvationer att det blir problematiskt inte bara för studenter att lösa dem - även många lärare fastnar för sådana problem.

Men låt oss inte prata om sorgliga saker. Och låt oss återgå till de tre ekvationerna som gavs i början av berättelsen. Låt oss försöka lösa var och en av dem.

Första ekvationen: $((2)^(x))=4$. Tja, till vilken makt måste siffran 2 höjas för att få siffran 4? Kanske den andra? När allt kommer omkring är $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — och vi har fått den korrekta numeriska likheten, d.v.s. faktiskt $x=2$. Tja, tack, mössa, men den här ekvationen var så enkel att även min katt kunde lösa den. :)

Låt oss titta på följande ekvation:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Men här är det lite svårare. Många elever vet att $((5)^(2))=25$ är multiplikationstabellen. Vissa misstänker också att $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ i huvudsak är definitionen av negativa exponenter (liknande formeln $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Slutligen är det bara ett fåtal utvalda som gissar att dessa fakta kan kombineras och resultatet är följande resultat:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2)))\]

Således kommer vår ursprungliga ekvation att skrivas om enligt följande:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Högerpil ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Och nu är detta redan helt löst! På vänster sida av ekvationen finns en exponentialfunktion, på höger sida av ekvationen finns en exponentialfunktion, det finns inget annat än dem någon annanstans. Därför är det möjligt att "kassera" baserna och dumt likställa indikatorerna:

Vi har den enklaste linjära ekvationen som alla elever kan lösa på bara ett par rader. Okej, på fyra rader:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Om du inte förstår vad som hände på de senaste fyra raderna, se till att gå tillbaka till ämnet "linjära ekvationer" och upprepa det. För utan en tydlig assimilering av detta ämne är det för tidigt för dig att ta dig an exponentiella ekvationer.

\[((9)^(x))=-3\]

Tja, hur bestämmer du dig? Första tanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, så den ursprungliga ekvationen kan skrivas om så här:

\[((\vänster(((3)^(2)) \höger))^(x))=-3\]

Sedan minns vi att när man höjer en grad till en makt, multipliceras indikatorerna:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Högerpil ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Och för ett sådant beslut får vi en ärligt välförtjänt tvåa. För vi, med en Pokémons jämnmod, skickade minustecknet framför de tre till kraften av just dessa tre. Och det kan du inte göra. Och det är varför. Ta en titt på trippelns olika krafter:

\[\begin(matris) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matris)\]

När jag kompilerade den här surfplattan perverterade jag inte så fort jag gjorde det: jag övervägde positiva grader och negativa och till och med bråkdelar ... ja, var finns åtminstone ett negativt tal här? Han är inte! Och det kan det inte vara, eftersom exponentialfunktionen $y=((a)^(x))$, för det första, alltid tar bara positiva värden (oavsett hur mycket du multiplicerar en eller dividerar med två, kommer det fortfarande att vara en positivt tal), och för det andra är basen för en sådan funktion, talet $a$, per definition ett positivt tal!

Tja, hur löser man då ekvationen $((9)^(x))=-3$? Nej, det finns inga rötter. Och i denna mening är exponentiella ekvationer väldigt lika andragradsekvationer - det kanske inte heller finns några rötter. Men om antalet rötter i andragradsekvationer bestäms av diskriminanten (diskriminanten är positiv - 2 rötter, negativ - inga rötter), så beror allt i exponentiella ekvationer på vad som står till höger om likhetstecknet.

Således formulerar vi nyckelslutsatsen: den enklaste exponentiella ekvationen av formen $((a)^(x))=b$ har en rot om och endast om $b \gt 0$. Genom att känna till detta enkla faktum kan du enkelt avgöra om ekvationen som föreslagits dig har rötter eller inte. De där. är det värt att lösa det alls eller omedelbart skriva ner att det inte finns några rötter.

Denna kunskap kommer att hjälpa oss många gånger om när vi ska lösa mer komplexa problem. Under tiden, tillräckligt med texter - det är dags att studera den grundläggande algoritmen för att lösa exponentiella ekvationer.

Hur man löser exponentiella ekvationer

Så låt oss formulera problemet. Det är nödvändigt att lösa exponentialekvationen:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Enligt den "naiva" algoritmen som vi använde tidigare är det nödvändigt att representera talet $b$ som en potens av talet $a$:

Dessutom, om det istället för variabeln $x$ finns något uttryck, får vi en ny ekvation, som redan kan lösas. Till exempel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Högerpil ((2)^(x))=((2)^(3))\Högerpil x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Högerpil ((3)^(-x))=((3)^(4))\Högerpil -x=4\Högerpil x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Högerpil ((5)^(2x))=((5)^(3))\Högerpil 2x=3\Högerpil x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]

Och konstigt nog fungerar detta system i cirka 90% av fallen. Hur är det med de övriga 10% då? De återstående 10% är lätt "schizofrena" exponentiella ekvationer av formen:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Till vilken makt behöver du höja 2 för att få 3? I den första? Men nej: $((2)^(1))=2$ räcker inte. På sekunden? Inte heller: $((2)^(2))=4$ är för mycket. Vad händer då?

Kunniga studenter har förmodligen redan gissat: i sådana fall, när det är omöjligt att lösa "vackert", är "tungt artilleri" kopplat till fallet - logaritmer. Låt mig påminna dig om att med logaritmer kan vilket positivt tal som helst representeras som en potens av vilket annat positivt tal som helst (med undantag av ett):

Kommer du ihåg den här formeln? När jag berättar för mina elever om logaritmer varnar jag er alltid: den här formeln (det är också den grundläggande logaritmiska identiteten eller, om du vill, definitionen av logaritmen) kommer att förfölja dig under mycket lång tid och "uppstå" i de flesta oväntade platser. Nåväl, hon dök upp. Låt oss titta på vår ekvation och denna formel:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Om vi ​​antar att $a=3$ är vårt ursprungliga tal till höger, och $b=2$ är själva basen för den exponentialfunktion som vi så vill reducera den högra sidan till, får vi följande:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Högerpil 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Högerpil ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Högerpil x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]

Vi fick ett lite konstigt svar: $x=((\log )_(2))3$. I någon annan uppgift, med ett sådant svar, skulle många tvivla och börja dubbelkolla sin lösning: tänk om det fanns ett misstag någonstans? Jag skyndar mig att behaga dig: det finns inget fel här, och logaritmer i rötterna till exponentiella ekvationer är en ganska typisk situation. Så vänja dig. :)

Nu löser vi analogt de återstående två ekvationerna:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Högerpil ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Högerpil x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Högerpil ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Högerpil 2x=( (\log )_(4))11\Högerpil x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]

Det är allt! Förresten, det sista svaret kan skrivas annorlunda:

Det var vi som introducerade multiplikatorn i logaritmens argument. Men ingen hindrar oss från att lägga till denna faktor till basen:

Dessutom är alla tre alternativen korrekta - de är bara olika former av att skriva samma nummer. Vilken du ska välja och skriva ner i detta beslut är upp till dig.

Vi har alltså lärt oss att lösa alla exponentiella ekvationer av formen $((a)^(x))=b$, där talen $a$ och $b$ är strikt positiva. Men den hårda verkligheten i vår värld är att sådana enkla uppgifter kommer att möta dig mycket, mycket sällan. Oftare kommer du att stöta på något i stil med detta:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Tja, hur bestämmer du dig? Går detta överhuvudtaget att lösa? Och i så fall hur?

Ingen panik. Alla dessa ekvationer reduceras snabbt och enkelt till de enkla formler som vi redan har övervägt. Du behöver bara veta för att komma ihåg ett par knep från algebrakursen. Och självklart finns det inga regler för att arbeta med examina här. Jag ska prata om allt det här nu. :)

Transformation av exponentiella ekvationer

Det första att komma ihåg är att varje exponentiell ekvation, oavsett hur komplex den kan vara, på ett eller annat sätt måste reduceras till de enklaste ekvationerna - just de som vi redan har övervägt och som vi vet hur vi ska lösa. Med andra ord, schemat för att lösa alla exponentiella ekvationer ser ut så här:

1. Skriv ner den ursprungliga ekvationen. Till exempel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Gör lite dumt skit. Eller till och med något skit som heter "förvandla ekvationen";
3. Vid utgången får du de enklaste uttrycken som $((4)^(x))=4$ eller något annat liknande. Dessutom kan en initial ekvation ge flera sådana uttryck samtidigt.

Med den första punkten är allt klart - även min katt kan skriva ekvationen på ett löv. Även med den tredje punkten verkar det vara mer eller mindre klart - vi har redan löst en hel massa sådana ekvationer ovan.

Men hur är det med den andra punkten? Vilka är förvandlingarna? Vad ska man konvertera till vad? Och hur?

Nåväl, låt oss ta reda på det. Först och främst vill jag påpeka följande. Alla exponentiella ekvationer är indelade i två typer:

1. Ekvationen är sammansatt av exponentialfunktioner med samma bas. Exempel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formeln innehåller exponentialfunktioner med olika baser. Exempel: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ och $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Låt oss börja med ekvationer av den första typen – de är lättast att lösa. Och i deras lösning kommer vi att få hjälp av en sådan teknik som valet av stabila uttryck.

Att lyfta fram ett stabilt uttryck

Låt oss titta på denna ekvation igen:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Vad ser vi? De fyra är upphöjda i olika grad. Men alla dessa potenser är enkla summor av variabeln $x$ med andra tal. Därför är det nödvändigt att komma ihåg reglerna för att arbeta med grader:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]

Enkelt uttryckt kan addition av exponenter omvandlas till en produkt av potenser, och subtraktion omvandlas enkelt till division. Låt oss försöka tillämpa dessa formler på potenserna från vår ekvation:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]

Vi skriver om den ursprungliga ekvationen med hänsyn till detta faktum, och sedan samlar vi alla termer till vänster:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+(4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elva; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]

De första fyra termerna innehåller elementet $((4)^(x))$ — låt oss ta det ur parentesen:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]

Det återstår att dividera båda delarna av ekvationen med bråket $-\frac(11)(4)$, d.v.s. i huvudsak multiplicera med det inverterade bråket - $-\frac(4)(11)$. Vi får:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(align)\]

Det är allt! Vi reducerade den ursprungliga ekvationen till den enklaste och fick det slutliga svaret.

Samtidigt upptäckte vi (och tog till och med ur parentesen) under processen att lösa den gemensamma faktorn $((4)^(x))$ - detta är det stabila uttrycket. Den kan betecknas som en ny variabel, eller så kan du helt enkelt uttrycka den korrekt och få ett svar. I vilket fall som helst är nyckelprincipen för lösningen följande:

Hitta i den ursprungliga ekvationen ett stabilt uttryck som innehåller en variabel som lätt kan särskiljas från alla exponentialfunktioner.

Den goda nyheten är att nästan varje exponentiell ekvation medger ett så stabilt uttryck.

Men det finns också dåliga nyheter: sådana uttryck kan vara väldigt knepiga, och det kan vara ganska svårt att skilja dem åt. Så låt oss titta på ett annat problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Kanske kommer någon nu att ha en fråga: "Pasha, är du stenad? Här finns olika baser - 5 och 0,2. Men låt oss försöka omvandla en potens med basen 0,2. Låt oss till exempel bli av med decimalbråket och föra det till det vanliga:

\[(((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\vänster(x+1 \höger))))=((\left(\frac(2)(10) ) \höger))^(-\vänster(x+1 \höger)))=((\vänster(\frac(1)(5) \höger))^(-\vänster(x+1 \höger)) )\]

Som du kan se dök siffran 5 fortfarande upp, om än i nämnaren. Samtidigt skrevs indikatorn om till negativ. Och nu minns vi en av de viktigaste reglerna för att arbeta med examina:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Högerpil ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\vänster(x+1 \höger)))=((\vänster(\frac(5)(1) \höger))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Här fuskade jag såklart lite. För för en fullständig förståelse måste formeln för att bli av med negativa indikatorer skrivas enligt följande:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Högerpil ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ höger))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Å andra sidan hindrade ingenting oss från att arbeta med endast en bråkdel:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ höger))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Men i det här fallet måste du kunna höja en grad till en annan grad (jag påminner dig: i det här fallet läggs indikatorerna ihop). Men jag behövde inte "vända" bråken - kanske för någon blir det lättare. :)

I vilket fall som helst kommer den ursprungliga exponentiella ekvationen att skrivas om som:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]

Så det visar sig att den ursprungliga ekvationen är ännu lättare att lösa än den tidigare övervägda: här behöver du inte ens peka ut ett stabilt uttryck - allt har reducerats av sig självt. Det återstår bara att komma ihåg att $1=((5)^(0))$, varifrån vi får:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(align)\]

Det är hela lösningen! Vi fick det sista svaret: $x=-2$. Samtidigt skulle jag vilja notera ett knep som avsevärt förenklade alla beräkningar för oss:

I exponentiella ekvationer, se till att bli av med decimalbråk, översätt dem till vanliga. Detta gör att du kan se samma grunder för graderna och avsevärt förenkla lösningen.

Låt oss nu gå vidare till mer komplexa ekvationer där det finns olika baser, som i allmänhet inte kan reduceras till varandra med hjälp av potenser.

Använder exponentegenskapen

Låt mig påminna dig om att vi har ytterligare två särskilt hårda ekvationer:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(align)\]

Den största svårigheten här är att det inte är klart vad och till vilken grund man ska leda. Var finns de fasta uttrycken? Var finns de gemensamma grunderna? Det finns inget av detta.

Men låt oss försöka gå åt andra hållet. Om det inte finns några färdiga identiska baser kan du försöka hitta dem genom att faktorisera de tillgängliga baserna.

Låt oss börja med den första ekvationen:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Högerpil ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(align)\]

Men trots allt kan du göra det motsatta - gör upp siffran 21 från siffrorna 7 och 3. Det är särskilt lätt att göra detta till vänster, eftersom indikatorerna för båda graderna är desamma:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(align)\]

Det är allt! Du tog exponenten ur produkten och fick genast en vacker ekvation som kan lösas på ett par rader.

Låt oss nu ta itu med den andra ekvationen. Här är allt mycket mer komplicerat:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

I det här fallet visade sig fraktionerna vara irreducerbara, men om något kunde reduceras, se till att minska det. Detta kommer ofta att resultera i intressanta grunder som du redan kan arbeta med.

Tyvärr har vi inte kommit fram till något. Men vi ser att exponenterna till vänster i produkten är motsatta:

Låt mig påminna dig: för att bli av med minustecknet i exponenten behöver du bara "vända" bråket. Så låt oss skriva om den ursprungliga ekvationen:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]

På den andra raden placerade vi bara inom parentes summan från produkten enligt regeln $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, och i den senare multiplicerade de helt enkelt talet 100 med en bråkdel.

Notera nu att siffrorna till vänster (vid basen) och till höger är något liknande. Hur? Ja, uppenbarligen: de är makter av samma antal! Vi har:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \höger))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \höger))^(2)). \\\end(align)\]

Således kommer vår ekvation att skrivas om enligt följande:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(3) )(10) \höger))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(10) )(3) \höger))^(3\vänster(x-1 \höger)))=((\vänster(\frac(10)(3) \höger))^(3x-3))\]

Samtidigt, till höger, kan du också få en examen med samma bas, för vilken det räcker att bara "vända" bråkdelen:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Slutligen kommer vår ekvation att ta formen:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Det är hela lösningen. Dess huvudidé kokar ner till det faktum att även av olika anledningar försöker vi med krok eller skurk reducera dessa skäl till samma. I detta har vi hjälp av elementära transformationer av ekvationer och reglerna för att arbeta med potenser.

Men vilka regler och när ska man använda? Hur förstår man att i en ekvation måste du dela båda sidor med något, och i en annan - för att dekomponera basen för exponentialfunktionen i faktorer?

Svaret på denna fråga kommer med erfarenhet. Försök först med enkla ekvationer, och komplicera sedan gradvis uppgifterna - och mycket snart kommer dina färdigheter att räcka för att lösa vilken exponentiell ekvation som helst från samma ANVÄNDNING eller något oberoende / testarbete.

Och för att hjälpa dig i denna svåra uppgift föreslår jag att du laddar ner en uppsättning ekvationer på min webbplats för en oberoende lösning. Alla ekvationer har svar, så du kan alltid kontrollera dig själv.

I allmänhet önskar jag dig framgångsrik träning. Och vi ses i nästa lektion - där kommer vi att analysera riktigt komplexa exponentialekvationer, där metoderna som beskrivs ovan inte längre räcker till. Och ett enkelt träningspass räcker inte heller. :)

Lösning av exponentiella ekvationer. Exempel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

Vad exponentiell ekvation? Detta är en ekvation där de okända (x) och uttryck med dem finns med indikatorer några grader. Och bara där! Det är viktigt.

Där är du exempel på exponentiella ekvationer:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notera! I grunderna för grader (nedan) - bara siffror. PÅ indikatorer grader (ovan) - en mängd olika uttryck med x. Om plötsligt ett x dyker upp i ekvationen någon annanstans än indikatorn, till exempel:

detta kommer att vara en ekvation av blandad typ. Sådana ekvationer har inga tydliga regler för att lösa. Vi kommer inte att överväga dem för närvarande. Här kommer vi att ta itu med lösning av exponentiella ekvationer i sin renaste form.

Faktum är att inte ens rena exponentiella ekvationer alltid är tydligt lösta. Men det finns vissa typer av exponentiella ekvationer som kan och bör lösas. Det är dessa typer vi kommer att titta på.

Lösning av de enklaste exponentialekvationerna.

Låt oss börja med något väldigt grundläggande. Till exempel:

Även utan någon teori, genom ett enkelt urval är det tydligt att x = 2. Inget mer, eller hur!? Inga andra x-värde rullar. Och låt oss nu titta på lösningen av denna knepiga exponentiella ekvation:

Vad har vi gjort? Vi har faktiskt precis kastat ut samma bottnar (trippel). Helt utkastad. Och, vad behagar, slå i mål!

Faktum är att om i exponentialekvationen till vänster och till höger är det samma siffror i vilken grad som helst, kan dessa tal tas bort och är lika med exponenter. Matematik tillåter. Det återstår att lösa en mycket enklare ekvation. Det är bra, eller hur?)

Men låt oss komma ihåg ironiskt nog: du kan bara ta bort baserna när basnumren till vänster och höger är i utmärkt isolering! Utan några grannar och koefficienter. Låt oss säga i ekvationerna:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , eller

Du kan inte ta bort dubbel!

Jo, vi har bemästrat det viktigaste. Hur man går från onda exponentiella uttryck till enklare ekvationer.

"Här är de tiderna!" - du säger. "Vem kommer att ge en sådan primitiv på kontroll och tentor!?"

Tvingas att hålla med. Ingen kommer att göra det. Men nu vet du vart du ska vända dig när du löser förvirrande exempel. Det är nödvändigt att komma ihåg det, när samma basnummer är till vänster - till höger. Då blir allt lättare. Egentligen är detta matematikens klassiker. Vi tar det ursprungliga exemplet och omvandlar det till det önskade oss sinne. Enligt matematikens regler förstås.

Tänk på exempel som kräver lite extra ansträngning för att få dem till det enklaste. Låt oss ringa dem enkla exponentiella ekvationer.

Lösning av enkla exponentialekvationer. Exempel.

Vid lösning av exponentiella ekvationer är huvudreglerna handlingar med befogenheter. Utan kunskap om dessa handlingar kommer ingenting att fungera.

Till handlingar med grader måste man lägga personlig observation och uppfinningsrikedom. Behöver vi samma bastal? Så vi letar efter dem i exemplet i en explicit eller krypterad form.

Låt oss se hur detta går till i praktiken?

Låt oss ge oss ett exempel:

2 2x - 8 x+1 = 0

Första anblicken på grunder. De... De är olika! Två och åtta. Men det är för tidigt att bli avskräckt. Det är dags att komma ihåg det

Två och åtta är släkt i grad.) Det är fullt möjligt att skriva ner:

8 x+1 = (2 3) x+1

Om vi ​​minns formeln från handlingar med krafter:

(a n) m = a nm ,

det fungerar generellt bra:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Det ursprungliga exemplet ser ut så här:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Vi överför 2 3 (x+1) till höger (ingen avbröt matematikens elementära handlingar!), får vi:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Det är praktiskt taget allt. Ta bort baser:

Vi löser detta monster och får

Detta är det korrekta svaret.

I det här exemplet hjälpte det oss att känna till tvås krafter. Vi identifieras i åtta, den krypterade tvåan. Den här tekniken (kodning av vanliga baser under olika tal) är ett mycket populärt trick i exponentiella ekvationer! Ja, även i logaritmer. Man måste kunna känna igen krafterna hos andra tal i tal. Detta är extremt viktigt för att lösa exponentiella ekvationer.

Faktum är att det inte är ett problem att höja valfritt antal till valfri makt. Multiplicera, även på ett papper, och det är allt. Till exempel kan alla höja 3 till femte potensen. 243 kommer att visa sig om du känner till multiplikationstabellen.) Men i exponentiella ekvationer är det mycket oftare nödvändigt att inte höja till en potens, utan vice versa ... vilket antal i vilken utsträckning gömmer sig bakom siffran 243, eller säg 343... Ingen miniräknare hjälper dig här.

Du måste känna till krafterna hos vissa siffror genom synen, ja ... Ska vi öva?

Bestäm vilka potenser och vilka tal som är tal:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Svar (i en röra, förstås!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Om man tittar noga kan man se ett märkligt faktum. Det finns fler svar än frågor! Tja, det händer... Till exempel är 2 6 , 4 3 , 8 2 alla 64.

Låt oss anta att du har tagit del av informationen om bekantskap med siffror.) Låt mig påminna dig om att för att lösa exponentiella ekvationer tillämpar vi hela lager av matematiska kunskaper. Inklusive från de lägre medelklasserna. Du gick väl inte direkt till gymnasiet?

Till exempel, när man löser exponentiella ekvationer, hjälper det väldigt ofta att sätta den gemensamma faktorn inom parentes (hej till årskurs 7!). Låt oss se ett exempel:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Och igen, den första titten - på tomten! Grunderna för graderna är olika ... Tre och nio. Och vi vill att de ska vara likadana. Tja, i det här fallet är önskan ganska genomförbar!) Eftersom:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Enligt samma regler för åtgärder med grader:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Det är bra, du kan skriva:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Vi gav ett exempel av samma skäl. Så, vad är nästa!? Treor kan inte kastas ut ... återvändsgränd?

Inte alls. Att komma ihåg den mest universella och kraftfulla beslutsregeln Allt matematiska uppgifter:

Om du inte vet vad du ska göra, gör vad du kan!

Du ser, allt bildas).

Vad finns i denna exponentiella ekvation burk do? Ja, vänster sida frågar direkt efter parentes! Den gemensamma faktorn 3 2x tyder tydligt på detta. Låt oss försöka, så får vi se:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Exemplet blir bättre och bättre!

Vi minns att för att eliminera baser behöver vi en ren grad, utan några koefficienter. Siffran 70 stör oss. Så vi dividerar båda sidor av ekvationen med 70 får vi:

Op-pa! Allt har varit bra!

Detta är det slutliga svaret.

Det förekommer dock att uttaxning på samma grund erhålls, men deras likvidation är det inte. Detta händer i exponentiella ekvationer av en annan typ. Låt oss ta den här typen.

Förändring av variabel vid lösning av exponentiella ekvationer. Exempel.

Låt oss lösa ekvationen:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Först - som vanligt. Låt oss gå vidare till basen. Till tvåan.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Vi får ekvationen:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Och här hänger vi. De tidigare tricken kommer inte att fungera, hur du än vänder på det. Vi måste ta oss ur arsenalen av ett annat kraftfullt och mångsidigt sätt. Det heter variabel substitution.

Kärnan i metoden är förvånansvärt enkel. Istället för en komplex ikon (i vårt fall 2 x), skriver vi en annan, enklare (till exempel t). En sådan till synes meningslös ersättning leder till fantastiska resultat!) Allt blir bara klart och begripligt!

Så låt

Sedan 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Vi ersätter i vår ekvation alla potenser med x med t:

Nåväl, det gryr?) Har du inte glömt andragradsekvationer än? Vi löser genom diskriminanten, vi får:

Här är det viktigaste att inte sluta, eftersom det händer ... Detta är inte svaret ännu, vi behöver x, inte t. Vi återgår till Xs, d.v.s. göra en ersättare. Först för t 1:

Det är,

En rot hittades. Vi letar efter den andra, från t 2:

Um... Vänster 2 x, Höger 1... Ett drag? Ja, inte alls! Det räcker att komma ihåg (från handlingar med grader, ja ...) att en enhet är några nummer till noll. Några. Vad du än behöver, kommer vi att lägga det. Vi behöver en tvåa. Betyder att:

Nu är det allt. Har 2 rötter:

Detta är svaret.

På lösa exponentiella ekvationer på slutet får man ibland något besvärligt uttryck. Typ:

Från sjuan fungerar inte en tvåa till en enkel grad. De är inte släktingar... Hur kan jag vara här? Någon kan vara förvirrad ... Men den person som läste på denna webbplats ämnet "Vad är en logaritm?" , le bara sparsamt och skriv ner med fast hand det absolut rätta svaret:

Det kan inte finnas något sådant svar i uppgifter "B" på tentamen. Det krävs ett specifikt nummer. Men i uppgifter "C" - lätt.

Den här lektionen ger exempel på att lösa de vanligaste exponentiella ekvationerna. Låt oss lyfta fram det viktigaste.

Praktiska tips:

1. Först och främst tittar vi på grunder grader. Låt oss se om de inte kan göras det samma. Låt oss försöka göra detta genom att aktivt använda handlingar med befogenheter. Glöm inte att siffror utan x också kan omvandlas till grader!

2. Vi försöker få exponentialekvationen till formen när vänster och höger är det samma siffror i någon grad. Vi använder handlingar med befogenheter och faktorisering. Det som kan räknas i siffror – vi räknar.

3. Om det andra rådet inte fungerade försöker vi tillämpa variabelsubstitutionen. Resultatet kan bli en ekvation som är lätt att lösa. Oftast - fyrkantig. Eller bråk, som också reduceras till en kvadrat.

4. För att framgångsrikt lösa exponentialekvationer måste du känna till graderna för vissa tal "av synen".

Som vanligt, i slutet av lektionen uppmanas du att lösa lite.) På egen hand. Från enkelt till komplext.

Lös exponentiella ekvationer:

Svårare:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Hitta produkt av rötter:

2 3-x + 2 x = 9

Hände?

Tja, då det mest komplicerade exemplet (det löses dock i sinnet ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Vad är mer intressant? Då är här ett dåligt exempel för dig. Rätt dra på ökad svårighetsgrad. Jag kommer att antyda att i detta exempel sparar uppfinningsrikedom och den mest universella regeln för att lösa alla matematiska uppgifter.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ett exempel är enklare, för avkoppling):

9 2 x - 4 3 x = 0

Och till efterrätt. Hitta summan av rötterna till ekvationen:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Jaja! Detta är en ekvation av blandad typ! Vilket vi inte tog hänsyn till i den här lektionen. Och vad man ska tänka på, de måste lösas!) Den här lektionen är tillräckligt för att lösa ekvationen. Nåväl, uppfinningsrikedom behövs ... Och ja, sjunde klass kommer att hjälpa dig (det här är ett tips!).

Svar (i oordning, separerade med semikolon):

ett; 2; 3; fyra; det finns inga lösningar; 2; -2; -5; fyra; 0.

Är allt lyckat? Excellent.

Det finns ett problem? Inga problem! I Special Section 555 löses alla dessa exponentiella ekvationer med detaljerade förklaringar. Vad, varför och varför. Och, naturligtvis, det finns ytterligare värdefull information om att arbeta med alla typer av exponentiella ekvationer. Inte bara med dessa.)

En sista rolig fråga att fundera över. I den här lektionen arbetade vi med exponentiella ekvationer. Varför sa jag inte ett ord om ODZ här? I ekvationer är detta en mycket viktig sak, förresten ...

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Till youtube-kanalen på vår webbplats för att vara medveten om alla nya videolektioner.

Låt oss först komma ihåg de grundläggande formlerna för grader och deras egenskaper.

Produkt av ett nummer a händer av sig själv n gånger kan vi skriva detta uttryck som a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Potens eller exponentiella ekvationer- dessa är ekvationer där variablerna är i potenser (eller exponenter), och basen är ett tal.

Exempel på exponentiella ekvationer:

I det här exemplet är siffran 6 basen, den är alltid längst ner och variabeln x grad eller mått.

Låt oss ge fler exempel på exponentiella ekvationer.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Låt oss nu titta på hur exponentiella ekvationer löses?

Låt oss ta en enkel ekvation:

2 x = 2 3

Ett sådant exempel kan lösas även i sinnet. Det kan ses att x=3. När allt kommer omkring, för att vänster och höger sida ska vara lika, måste du sätta siffran 3 istället för x.
Låt oss nu se hur detta beslut ska fattas:

2 x = 2 3
x = 3

För att lösa denna ekvation tog vi bort samma grunder(det vill säga tvåor) och skrev ner vad som var kvar, det är grader. Vi fick svaret vi letade efter.

Låt oss nu sammanfatta vår lösning.

Algoritm för att lösa exponentialekvationen:
1. Behöver kontrollera det samma om ekvationens baser till höger och till vänster. Om grunderna inte är desamma letar vi efter alternativ för att lösa detta exempel.
2. Efter att baserna är desamma, likställa grad och lös den resulterande nya ekvationen.

Låt oss nu lösa några exempel:

Låt oss börja enkelt.

Baserna på vänster och höger sida är lika med siffran 2, vilket betyder att vi kan kassera basen och likställa deras grader.

x+2=4 Den enklaste ekvationen har blivit.
x=4 - 2
x=2
Svar: x=2

I följande exempel kan du se att baserna är olika, dessa är 3 och 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Till att börja med överför vi de nio till höger sida, vi får:

Nu måste du göra samma baser. Vi vet att 9=3 2 . Låt oss använda potensformeln (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Vi får 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 nu är det klart att baserna på vänster och höger sida är desamma och lika med tre, vilket betyder att vi kan kassera dem och likställa graderna.

3x=2x+16 fick den enklaste ekvationen
3x-2x=16
x=16
Svar: x=16.

Låt oss titta på följande exempel:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Först och främst tittar vi på baserna, baserna är olika två och fyra. Och vi måste vara likadana. Vi transformerar fyrfalden enligt formeln (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Och vi använder också en formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Lägg till i ekvationen:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Vi gav ett exempel av samma skäl. Men andra nummer 10 och 24 stör oss. Vad ska man göra med dem? Om du tittar noga kan du se att vi upprepar 2 2x på vänster sida, här är svaret - vi kan sätta 2 2x inom parentes:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Låt oss beräkna uttrycket inom parentes:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Vi dividerar hela ekvationen med 6:

Föreställ dig 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 baser är desamma, kassera dem och likställ graderna.
2x \u003d 2 visade sig vara den enklaste ekvationen. Vi delar det med 2, vi får
x = 1
Svar: x = 1.

Låt oss lösa ekvationen:

9 x - 12*3 x +27= 0

Låt oss omvandla:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Vi får ekvationen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Våra baser är desamma, lika med 3. I det här exemplet är det tydligt att den första trippeln har en grad två gånger (2x) än den andra (bara x). I det här fallet kan du bestämma substitutionsmetod. Siffran med den minsta graden ersätts med:

Sedan 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Vi ersätter alla grader med x i ekvationen med t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Vi får en andragradsekvation. Vi löser genom diskriminanten, vi får:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Tillbaka till Variabel x.

Vi tar t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Det är,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

En rot hittades. Vi letar efter den andra, från t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

På sajten kan du i avsnittet HJÄLP BESTÄMMA att ställa frågor av intresse, vi kommer definitivt att svara dig.

Gå med i en grupp

Var inte rädd för mina ord, du har redan stött på den här metoden i 7:an när du studerade polynom.

Om du till exempel behövde:

Låt oss gruppera: den första och tredje termen, såväl som den andra och fjärde.

Det är tydligt att den första och den tredje är skillnaden mellan kvadraterna:

och den andra och fjärde har en gemensam faktor på tre:

Då motsvarar det ursprungliga uttrycket detta:

Var att ta ut den gemensamma faktorn är inte längre svårt:

Följaktligen,

Ungefär så här kommer vi att agera när vi löser exponentiella ekvationer: leta efter "commonality" bland termerna och ta bort det från parentesen, ja, då - vad som än händer, jag tror att vi kommer att ha tur =))

Exempel #14

Till höger är långt ifrån en sjupotens (jag kollade!) Och till vänster - lite bättre ...

Du kan naturligtvis ”hacka av” faktorn a från den andra terminen från den första terminen och sedan ta itu med det du har fått, men låt oss agera mer försiktigt med dig.

Jag vill inte ta itu med de fraktioner som oundvikligen genereras av "selektion", så borde jag inte ha det bättre att hålla ut?

Då har jag inte bråkdelar: som de säger, både vargarna är mätta och fåren är säkra:

Räkna uttrycket inom parentes.

Magiskt, magiskt visar det sig att (överraskande, även om vad mer kan vi förvänta oss?).

Sedan reducerar vi båda sidor av ekvationen med denna faktor. Vi får: var.

Här är ett mer komplicerat exempel (ganska lite, egentligen):

Här är problemet! Vi har ingen gemensam grund här!

Det är inte helt klart vad man ska göra nu.

Och låt oss göra vad vi kan: för det första kommer vi att flytta "fyrorna" i en riktning och "femman" i den andra:

Låt oss nu ta bort det "vanliga" till vänster och höger:

Så vad nu?

Vad är fördelen med en sådan dum gruppering? Vid första anblicken syns det inte alls, men låt oss titta djupare:

Nåväl, låt oss nu göra det så att vi till vänster bara har uttrycket c, och till höger - allt annat.

Hur kan vi göra det?

Och så här gör du: Dividera båda sidor av ekvationen först med (så att vi blir av med exponenten till höger), och dividera sedan båda sidor med (så att vi blir av med den numeriska faktorn till vänster).

Äntligen får vi:

Otrolig!

Till vänster har vi ett uttryck, och till höger - bara.

Då drar vi genast slutsatsen att

Exempel #15

Jag kommer att ge hans korta lösning (inte riktigt bry mig om att förklara), försök ta reda på alla "finesser" i lösningen själv.

Nu är den slutliga konsolideringen av materialet som omfattas.

Lös självständigt följande 7 uppgifter (med svar)

1. Låt oss ta den gemensamma faktorn utanför parentes:
2. Vi representerar det första uttrycket i formen: , dividera båda delarna med och få det
3. , sedan omvandlas den ursprungliga ekvationen till formen: Nåväl, nu ett tips - leta efter var du och jag redan har löst denna ekvation!
4. Föreställ dig hur, hur, ah, ja, dividera sedan båda delarna med, så att du får den enklaste exponentiella ekvationen.
5. Ta bort det från parentes.
6. Ta bort det från parentes.

EXPOSITIONSEKVATIONER. GENOMSNITTLIG NIVÅ

Jag antar att efter att ha läst den första artikeln, som berättade vad är exponentiella ekvationer och hur man löser dem, du har bemästrat det nödvändiga minimum av kunskap som behövs för att lösa de enklaste exemplen.

Nu ska jag analysera en annan metod för att lösa exponentiella ekvationer, det här är ...

Metod för att introducera en ny variabel (eller substitution)

Han löser de flesta av de "svåra" problemen, på ämnet exponentiella ekvationer (och inte bara ekvationer).

Denna metod är en av vanligast i praktiken. Först rekommenderar jag att du bekantar dig med ämnet.

Som du redan förstått från namnet är kärnan i denna metod att introducera en sådan förändring av variabeln att din exponentiella ekvation mirakulöst kommer att förvandlas till en som du redan lätt kan lösa.

Allt som återstår för dig efter att ha löst denna mycket "förenklade ekvation" är att göra en "omvänd ersättning": det vill säga att gå tillbaka från den ersatta till den ersatta.

Låt oss illustrera vad vi just sa med ett mycket enkelt exempel:

Exempel 16. Enkel ersättningsmetod

Denna ekvation löses med "enkel substitution", som matematiker kallar det nedsättande.

I själva verket är substitutionen här den mest uppenbara. Det måste bara ses

Då blir den ursprungliga ekvationen:

Om vi ​​dessutom föreställer oss hur, är det helt klart att det är nödvändigt att ersätta ...

Självklart, .

Vad blir då den ursprungliga ekvationen? Och här är vad:

Du kan enkelt hitta dess rötter på egen hand:.

Vad ska vi göra nu?

Det är dags att återgå till den ursprungliga variabeln.

Vad glömde jag ta med?

Nämligen: när man ersätter en viss grad med en ny variabel (det vill säga när man byter ut en typ) kommer jag att vara intresserad av bara positiva rötter!

Du kan själv enkelt svara på varför.

Således är vi inte intresserade av dig, men den andra roten är ganska lämplig för oss:

Var då.

Svar:

Som du kan se, i det föregående exemplet bad ersättaren om våra händer. Tyvärr är det inte alltid så.

Låt oss dock inte gå direkt till det sorgliga, utan öva på ytterligare ett exempel med en ganska enkel ersättning

Exempel 17. Enkel ersättningsmetod

Det är klart att det med största sannolikhet kommer att bli nödvändigt att ersätta (detta är den minsta av krafterna som ingår i vår ekvation).

Men innan vi introducerar en ersättning måste vår ekvation "förberedas" för det, nämligen: , .

Sedan kan du ersätta, som ett resultat får jag följande uttryck:

Åh skräck: en kubikekvation med helt fruktansvärda formler för sin lösning (nåja, i allmänna ordalag).

Men låt oss inte direkt misströsta utan fundera på vad vi ska göra.

Jag föreslår fusk: vi vet att för att få ett "vackert" svar måste vi få formen av en trepotens (varför skulle det vara det, va?).

Och låt oss försöka gissa åtminstone en rot av vår ekvation (jag börjar gissa från tre potenser).

Första gissningen. Är inte en rot. Ack och ah...

.
Den vänstra sidan är lika.
Höger del: !

Det finns! Gissade första roten. Nu blir det lättare!

Känner du till indelningsschemat "hörn"? Naturligtvis vet du, du använder det när du delar ett tal med ett annat.

Men få människor vet att samma sak kan göras med polynom.

Det finns ett underbart teorem:

Tillämpligt på min situation berättar det för mig vad som är delbart utan rest med.

Hur går uppdelningen till? Det är hur:

Jag tittar på vilket monom jag ska multiplicera för att få

Det är klart att då:

Jag subtraherar det resulterande uttrycket från, jag får:

Nu, vad behöver jag multiplicera för att få?

Det är klart att på, då får jag:

och subtrahera återigen det resulterande uttrycket från det återstående:

Tja, det sista steget multiplicerar jag med och subtraherar från det återstående uttrycket:

Hurra, uppdelningen är över! Vad har vi samlat på oss privat?

Av sig själv: .

Sedan fick vi följande expansion av det ursprungliga polynomet:

Låt oss lösa den andra ekvationen:

Den har rötter:

Sedan den ursprungliga ekvationen:

har tre rötter:

Vi kasserar naturligtvis den sista roten, eftersom den är mindre än noll.

Och de två första efter den omvända ersättningen kommer att ge oss två rötter:

Svar:..

Jag menade inte att skrämma dig med detta exempel!

Snarare, tvärtom, ville jag visa att även om vi hade en ganska enkel ersättning, så ledde det ändå till en ganska komplex ekvation, vars lösning krävde en del speciella färdigheter av oss.

Tja, ingen är immun mot detta. Men förändringen i det här fallet var ganska uppenbar.

Exempel #18 (med en mindre uppenbar ersättning)

Det är inte alls klart vad vi ska göra: problemet är att i vår ekvation finns det två olika baser och en bas kan inte erhållas från den andra genom att höja den till någon (rimlig, naturligt) makt.

Men vad ser vi?

Båda baserna skiljer sig endast i tecken, och deras produkt är skillnaden mellan kvadrater lika med en:

Definition:

Således är talen som är baser i vårt exempel konjugerade.

I så fall skulle det smarta draget vara multiplicera båda sidor av ekvationen med det konjugerade talet.

Till exempel, på, då blir den vänstra sidan av ekvationen lika, och den högra sidan.

Om vi ​​gör en ersättning kommer vår ursprungliga ekvation med dig att bli så här:

dess rötter alltså, men kommer vi ihåg det, vi förstår det.

Svar: , .

Som regel räcker ersättningsmetoden för att lösa de flesta av "skolans" exponentiella ekvationer.

Följande uppgifter med ökad komplexitet är hämtade från provalternativen.

Tre uppgifter med ökad komplexitet från provalternativen

Du är redan läskunnig nog att lösa dessa exempel på egen hand. Jag ger bara den ersättning som krävs.

1. Lös ekvationen:
2. Hitta rötterna till ekvationen:
3. Lös ekvationen: . Hitta alla rötter till denna ekvation som hör till segmentet:

Nu till några snabba förklaringar och svar:

Exempel #19

Här räcker det med att notera att och.

Då kommer den ursprungliga ekvationen att vara likvärdig med detta:

Denna ekvation löses genom att ersätta

Gör följande beräkningar själv.

I slutändan kommer din uppgift att reduceras till att lösa den enklaste trigonometriska (beroende på sinus eller cosinus). Vi kommer att diskutera lösningen av sådana exempel i andra avsnitt.

Exempel #20

Här kan du till och med klara dig utan ersättning ...

Det räcker att flytta subtrahenden åt höger och presentera båda baserna genom två potenser: och sedan omedelbart gå till andragradsekvationen.

Exempel #21

Det löses också ganska standard: tänk dig hur.

När vi sedan ersätter får vi en andragradsekvation: sedan,

Vet du redan vad en logaritm är? Inte? Läs då ämnet snarast!

Den första roten tillhör uppenbarligen inte segmentet, och den andra är obegriplig!

Men det får vi veta snart!

Sedan (detta är en egenskap hos logaritmen!)

Subtrahera från båda delarna, då får vi:

Den vänstra sidan kan representeras som:

multiplicera båda sidor med:

kan då multipliceras med

Låt oss sedan jämföra:

sedan dess:

Då tillhör den andra roten det önskade intervallet

Svar:

Som du ser, valet av rötterna till exponentiella ekvationer kräver en ganska djup kunskap om logaritmers egenskaper, så jag råder dig att vara så försiktig som möjligt när du löser exponentialekvationer.

Som ni vet, i matematik är allt sammankopplat!

Som min mattelärare brukade säga: "Du kan inte läsa matematik som historia över en natt."

Som regel alla svårigheten att lösa problem med ökad komplexitet är just valet av ekvationens rötter.

Ännu ett övningsexempel...

Exempel 22

Det är klart att själva ekvationen löses ganska enkelt.

Efter att ha gjort substitutionen reducerar vi vår ursprungliga ekvation till följande:

Låt oss först överväga första roten.

Jämför och: sedan, då. (egenskapen för den logaritmiska funktionen, at).

Då är det klart att den första roten inte heller hör till vårt intervall.

Nu den andra roten: . Det är klart att (eftersom funktionen ökar).

Det återstår att jämföra och

sedan, då, samtidigt.

Därmed kan jag "driva en pinne" mellan och.

Denna pinne är ett nummer.

Det första uttrycket är mindre än och det andra är större än.

Då är det andra uttrycket större än det första och roten tillhör intervallet.

Svar: .

Avslutningsvis, låt oss titta på ett annat exempel på en ekvation där ersättningen är ganska icke-standardiserad.

Exempel #23 (En ekvation med en icke-standardiserad ersättning!)

Låt oss börja direkt med vad du kan göra, och vad - i princip kan du, men det är bättre att inte göra det.

Det är möjligt - att representera allt genom krafterna tre, två och sex.

Vart leder det?

Ja, och kommer inte att leda till någonting: en samling grader, av vilka några kommer att vara ganska svåra att bli av med.

Vad behövs då?

Låt oss notera att a

Och vad kommer det att ge oss?

Och det faktum att vi kan reducera lösningen av detta exempel till lösningen av en ganska enkel exponentiell ekvation!

Låt oss först skriva om vår ekvation som:

Nu delar vi båda sidorna av den resulterande ekvationen i:

Eureka! Nu kan vi byta ut, vi får:

Nåväl, nu är det din tur att lösa problem för demonstration, och jag kommer bara att ge korta kommentarer till dem så att du inte går vilse! Lycka till!

Exempel #24

Den svåraste!

Att se en ersättare här är åh, vad fult! Ändå kan detta exempel lösas helt med hjälp av val av en hel fyrkant.

För att lösa det räcker det att notera att:

Så här är din ersättare:

(Observera att här, med vår ersättare, kan vi inte kasta bort den negativa roten!!! Och varför, vad tror du?)

Nu, för att lösa exemplet, måste du lösa två ekvationer:

Båda löses av "standardersättningen" (men den andra i ett exempel!)

Exempel #25

2. Lägg märke till det och gör ett byte.

Exempel #26

3. Expandera talet till coprime-faktorer och förenkla det resulterande uttrycket.

Exempel #27

4. Dividera bråkets täljare och nämnare med (eller om du föredrar det) och gör bytet eller.

Exempel #28

5. Observera att siffrorna och är konjugerade.

LÖSNING AV EXPONENTIALEKVATIONER MED LOGARIFERINGSMETOD. AVANCERAD NIVÅ

Dessutom, låt oss titta på ett annat sätt - lösning av exponentiella ekvationer med logaritmmetoden.

Jag kan inte säga att lösningen av exponentiella ekvationer med denna metod är mycket populär, men i vissa fall kan det bara leda oss till den korrekta lösningen av vår ekvation.

Särskilt ofta används det för att lösa den så kallade " blandade ekvationer': det vill säga de där det finns funktioner av olika slag.

Exempel #29

i det allmänna fallet kan det bara lösas genom att ta logaritmen för båda delarna (till exempel med bas), där den ursprungliga ekvationen blir till följande:

Låt oss överväga följande exempel:

Det är tydligt att vi bara är intresserade av ODZ för den logaritmiska funktionen.

Detta följer dock inte bara av ODZ för logaritmen, utan av en annan anledning.

Jag tror att det inte kommer att vara svårt för dig att gissa vilken.

Låt oss ta logaritmen för båda sidor av vår ekvation till basen:

Som du kan se ledde logaritmen av vår ursprungliga ekvation oss snabbt till det korrekta (och vackra!) svaret.

Låt oss öva med ytterligare ett exempel.

Exempel #30

Inte heller här finns det något att oroa sig för: vi tar logaritmen för båda sidor av ekvationen i termer av basen, då får vi:

Låt oss byta ut:

Men vi missade något! Har du märkt var jag gjorde ett misstag? När allt kommer omkring, då:

som inte uppfyller kravet (tänk var det kom ifrån!)

Svar:

Försök att skriva ner lösningen av exponentialekvationerna nedan:

Kontrollera nu din lösning med detta:

Exempel #31

Vi tar logaritmen för båda delarna till basen, givet att:

(den andra roten passar oss inte på grund av bytet)

Exempel #32

Logaritm till bas:

Låt oss omvandla det resulterande uttrycket till följande form:

EXPOSITIONSEKVATIONER. KORT BESKRIVNING OCH GRUNDFORMEL

exponentiell ekvation

Typ ekvation:

kallad den enklaste exponentiella ekvationen.

Examensegenskaper

Lösningsmetoder

• Reduktion till samma bas
• Reduktion till samma exponent
• Variabel substitution
• Förenkla uttrycket och använd något av ovanstående.

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningen av bilden är endast i informationssyfte och representerar kanske inte hela presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Lektionstyp

: en lektion om generalisering och komplex tillämpning av kunskaper, färdigheter och förmågor i ämnet "Exponentiella ekvationer och sätt att lösa dem".

Lektionsmål.

Handledningar:

upprepa och systematisera huvudmaterialet i ämnet "Exponentiella ekvationer, deras lösningar"; konsolidera förmågan att använda lämpliga algoritmer vid lösning av exponentiella ekvationer av olika slag; förberedelser inför provet.

Utvecklande:

utveckla logiskt och associativt tänkande hos eleverna; att främja utvecklingen av färdigheten att självständigt tillämpa kunskap.

Pedagogisk:

att odla målmedvetenhet, uppmärksamhet och noggrannhet i att lösa ekvationer.

Utrustning:

dator och multimediaprojektor.

Lektionen använder Informationsteknologi : metodiskt stöd för lektionen - presentation i Microsoft Power Point.

Under lektionerna

Varje färdighet kommer med hårt arbete.

jag. Att sätta målet för lektionen(bild nummer 2 )

I den här lektionen kommer vi att sammanfatta och generalisera ämnet "Exponentiella ekvationer, deras lösningar". Låt oss bekanta oss med de typiska uppgifterna för provet för olika år om detta ämne.

Uppgifter för att lösa exponentiella ekvationer kan hittas i vilken del som helst av USE-uppgifterna. I delen " AT " brukar föreslå att lösa de enklaste exponentialekvationerna. I delen " FRÅN " du kan möta mer komplexa exponentiella ekvationer, vars lösning vanligtvis är ett av stegen i uppgiften.

Till exempel ( bild nummer 3 ).

• ANVÄNDNING - 2007

B 4 - Hitta det största värdet på uttrycket x y, var ( X; på) är lösningen på systemet:

• ANVÄNDNING - 2008

B 1 - Lös ekvationer:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• ANVÄNDNING - 2009

B 4 - Hitta värdet på uttrycket x + y, var ( X; på) är lösningen på systemet:

• ANVÄNDNING - 2010

– Lös ekvationen: 7 X– 2 = 49. – Hitta rötterna till ekvationen: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Lös ekvationssystemet:

II. Uppdatering av grundläggande kunskaper. Upprepning

(Bild #4 – 6 klasspresentationer)

Skärmen visas referenssammanfattning av teoretiskt material om detta ämne.

Följande frågor diskuteras:

1. Vad kallas ekvationer indikativ?
2. Nämn de viktigaste sätten att lösa dem. Ge exempel på deras typer ( bild nummer 4 )

(Själv lös de föreslagna ekvationerna för varje metod och utför ett självtest med hjälp av bilden)

3. Vilken sats används för att lösa formens enklaste exponentialekvationer: och f(x) = a g(x)?
4. Vilka andra metoder för att lösa exponentiella ekvationer finns? ( bild nummer 5 )

• Faktoriseringsmetod
(baserat på egenskaper hos makter med samma baser, mottagning: graden med den lägsta indikatorn tas ur parentes).
• Mottagning av division (multiplikation) med ett annat exponentiellt uttryck än noll, när man löser homogena exponentialekvationer
.

• Råd:

när man löser exponentiella ekvationer är det användbart att först göra transformationer och få grader med samma baser i båda delarna av ekvationen.

1. Lösa ekvationer med de två sista metoderna följt av kommentarer

(bild nummer 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Lösa USE-uppgifter 2010

Eleverna löser självständigt de uppgifter som föreslagits i början av lektionen på bild nr 3, använder instruktionerna för lösningen, kontrollerar sin beslutsprocess och svaren på dem med hjälp av presentationen ( bild nummer 7). I arbetets gång diskuteras alternativ och metoder för att lösa, uppmärksammas på eventuella fel i lösningen.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Svar: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (Du kan ersätta 0,5 \u003d 4 - 0,5)

Lösning. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Svar: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, på cos y< 0.

Förslag till beslut

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y+ 4 5 tg y- 1 = 0. Låt X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

Sedan tg y= -1 och cos y< 0 då på II koordinat kvartal

Svar: på= 3/4 + 2k, k N.

IV. Whiteboard-samarbete

Uppgiften med en hög inlärningsnivå anses - bild nummer 8. Med hjälp av denna bild sker en dialog mellan lärare och elever, vilket bidrar till utvecklingen av lösningen.

- Vid vilken parameter a ekvation 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0 har två rötter?

Låta t= 2 X, var t > 0 . Vi får t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

ett). Eftersom ekvationen har två rötter, då D > 0;

2). Därför att t 1,2 > 0, då t 1 t 2 > 0, alltså a 2 – 4a> 0 (?...).

Svar: a(– 0,5; 0) eller (4; 4,5).

V. Verifieringsarbete

(bild nummer 9 )

Eleverna uppträder verifieringsarbete på flygblad, utöva självkontroll och självbedömning av det utförda arbetet med hjälp av en presentation, hävda sig i ämnet. De bestämmer självständigt ett program för att reglera och korrigera kunskap baserat på misstag i arbetsböcker. Blad med genomfört självständigt arbete överlämnas till läraren för verifiering.

De understrukna siffrorna är grundläggande, de med en asterisk är avancerade.

Lösning och svar.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (inte lämplig),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Läxa

(bild nummer 10 )

• Upprepa § 11, 12.
• Från materialet från Unified State Exam 2008 - 2010, välj uppgifter om ämnet och lös dem.
• Hemprovsarbete
: