Hur man hittar volymen av en rotationskropp. Använda integraler för att hitta volymerna av revolutionskroppar. Beräkning av volymen av en kropp som bildas av rotationen av en platt figur runt en axel

Volymen av en rotationskropp kan beräknas med formeln:

I formeln måste det finnas ett tal före integralen. Det blev så – allt som snurrar i livet är kopplat till denna konstant.

Hur man sätter gränserna för integration "a" och "be", tror jag är lätt att gissa från den färdiga ritningen.

Funktion... vad är denna funktion? Låt oss titta på ritningen. Den platta figuren avgränsas av den paraboliska grafen överst. Det här är funktionen som antyds i formeln.

I praktiska uppgifter kan ibland en platt figur placeras under axeln. Detta ändrar ingenting - integranden i formeln är kvadratisk:, alltså integral är alltid icke-negativ , vilket är ganska logiskt.

Beräkna volymen av rotationskroppen med hjälp av denna formel:

Som jag redan har noterat visar sig integralen nästan alltid vara enkel, det viktigaste är att vara försiktig.

Svar:

I svaret är det nödvändigt att ange dimensionen - kubikenheter. Det vill säga, i vår rotationskropp finns det ungefär 3,35 "kuber". Varför just kubik enheter? Eftersom den mest universella formuleringen. Det kan finnas kubikcentimeter, det kan finnas kubikmeter, det kan finnas kubikkilometer osv, det är så många små gröna män din fantasi får plats i ett flygande tefat.

Exempel 2

Hitta volymen av en kropp som bildas genom rotation runt figurens axel som begränsas av linjer,,

Detta är ett exempel för oberoende lösning. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Låt oss överväga två mer komplexa problem, som också ofta stöter på i praktiken.

Exempel 3

Beräkna volymen av kroppen som erhålls genom att rotera runt abskissaxeln på figuren som begränsas av linjerna ,, och

Lösning: Låt oss rita en platt figur i ritningen, avgränsad av linjer ,,,, utan att glömma att ekvationen sätter axeln:

Den önskade figuren är skuggad i blått. När den roterar runt axeln erhålls en sådan surrealistisk munk med fyra hörn.

Rotationskroppens volym beräknas som kroppsvolymskillnad.

Låt oss först titta på figuren som är inringad i rött. När den roterar runt axeln erhålls en stympad kon. Beteckna volymen av denna stympade kon med.

Tänk på figuren som är inringad i grönt. Vrider du denna figur runt axeln får du också en stympad kon, bara lite mindre. Låt oss beteckna dess volym med .

Och uppenbarligen är skillnaden i volym exakt volymen på vår "munk".

Vi använder standardformeln för att hitta volymen av en rotationskropp:

1) Figuren inringad i rött är avgränsad uppifrån av en rät linje, därför:

2) Figuren inringad i grönt är avgränsad uppifrån av en rät linje, därför:

3) Volymen för den önskade rotationskroppen:

Svar:

Det är märkligt att i det här fallet kan lösningen kontrolleras med hjälp av skolformeln för att beräkna volymen av en trunkerad kon.

Själva beslutet görs ofta kortare, ungefär så här:

Låt oss nu ta en paus och prata om geometriska illusioner.

Människor har ofta illusioner förknippade med volymer, vilket Perelman (en annan) lade märke till i boken Intressant geometri. Titta på den platta figuren i det lösta problemet - det verkar vara litet i ytan och volymen på rotationskroppen är drygt 50 kubikenheter, vilket verkar för stort. Förresten, den genomsnittliga personen i hela sitt liv dricker en vätska med en volym av ett rum på 18 kvadratmeter, vilket tvärtom verkar vara en för liten volym.

I allmänhet var utbildningssystemet i Sovjetunionen verkligen det bästa. Samma bok av Perelman, utgiven redan 1950, utvecklas mycket bra, som humoristen sa, resonemang och lär dig att leta efter originella icke-standardiserade lösningar på problem. Nyligen läste jag om några kapitel med stort intresse, jag rekommenderar det, det är tillgängligt även för humanitärer. Nej, du behöver inte le för att jag föreslog att ett skönt tidsfördriv, lärdom och en bred syn på kommunikation är en fantastisk sak.

Efter en lyrisk utvikning är det bara lämpligt att lösa en kreativ uppgift:

Exempel 4

Beräkna volymen av en kropp som bildas genom rotation kring axeln för en platt figur som begränsas av linjerna,, där.

Detta är ett gör-det-själv-exempel. Observera att allt händer i bandet, med andra ord, färdiga integrationsgränser är faktiskt givna. Rita grafer av trigonometriska funktioner korrekt, jag kommer att påminna dig om materialet i lektionen om geometriska transformationer av grafer : om argumentet är delbart med två: , så sträcks graferna ut längs axeln två gånger. Det är önskvärt att hitta minst 3-4 poäng enligt trigonometriska tabeller för att mer exakt slutföra ritningen. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen. För övrigt kan uppgiften lösas rationellt och inte särskilt rationellt.

Avsnitt: Matte

Lektionstyp: kombinerad.

Syftet med lektionen: lära dig att beräkna volymerna av rotationskroppar med hjälp av integraler.

Uppgifter:

• konsolidera förmågan att välja kurvlinjära trapezoider från ett antal geometriska former och utveckla färdigheten att beräkna arean av kurvlinjära trapezoider;
• bekanta dig med begreppet en tredimensionell figur;
• lära dig att beräkna volymerna av rotationskroppar;
• att främja utvecklingen av logiskt tänkande, kompetent matematiskt tal, noggrannhet i konstruktionen av ritningar;
• att odla intresset för ämnet, att driva matematiska begrepp och bilder, för att ta upp viljan, självständigheten, uthålligheten i att uppnå det slutliga resultatet.

Under lektionerna

I. Organisatoriskt ögonblick.

Grupphälsning. Kommunikation till eleverna om målen för lektionen.

Reflexion. Lugn melodi.

Jag skulle vilja börja dagens lektion med en liknelse. ”Det fanns en vis man som visste allt. En person ville bevisa att vismannen inte vet allt. Han kramade fjärilen i sina händer och frågade: "Säg mig, visman, vilken fjäril är i mina händer: död eller levande?" Och han tänker själv: "Om den levande säger, jag dödar henne, om den döde säger, släpper jag ut henne." Tänkande vismannen svarade: "Allt i dina händer". (Presentation.Glida)

– Låt oss därför arbeta fruktbart idag, skaffa oss ett nytt kunskapsförråd, så kommer vi att tillämpa de förvärvade färdigheterna och förmågorna senare i livet och i praktisk verksamhet. "Allt i dina händer".

II. Upprepning av tidigare inlärt material.

Låt oss gå igenom huvudpunkterna i det tidigare studerade materialet. För att göra detta, låt oss göra uppgiften "Ta bort det överflödiga ordet."(Glida.)

(Eleven går till I.D. med hjälp av ett sudd tar bort det extra ordet.)

- Rätt "Differentiell". Försök att namnge de återstående orden i ett vanligt ord. (Integralkalkyl.)

- Låt oss komma ihåg de viktigaste stadierna och begreppen relaterade till integralkalkyl ..

"Matematiskt gäng".

Träning. Återställ pass. (Eleven kommer ut och skriver de nödvändiga orden med en penna.)

– Vi kommer att höra en rapport om tillämpningen av integraler senare.

Arbeta i anteckningsböcker.

– Newton-Leibniz-formeln utvecklades av den engelske fysikern Isaac Newton (1643–1727) och den tyske filosofen Gottfried Leibniz (1646–1716). Och detta är inte förvånande, eftersom matematik är det språk som naturen själv talar.

– Fundera över hur denna formel används för att lösa praktiska uppgifter.

Exempel 1: Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer

Lösning: Låt oss bygga grafer över funktioner på koordinatplanet . Välj området för figuren som ska hittas.

III. Att lära sig nytt material.

- Var uppmärksam på skärmen. Vad visas på den första bilden? (Glida) (Bilden visar en platt figur.)

Vad visas på den andra bilden? Är den här figuren platt? (Glida) (Figuren visar en tredimensionell figur.)

- I rymden, på jorden och i vardagen möter vi inte bara platta figurer, utan också tredimensionella, men hur beräknar man volymen av sådana kroppar? Till exempel volymen av en planet, en komet, en meteorit, etc.

– Tänk på volymen och att bygga hus och hälla vatten från ett kärl till ett annat. Regler och metoder för att beräkna volymer borde ha uppstått, en annan sak är hur korrekta och motiverade de var.

Studentmeddelande. (Tyurina Vera.)

Året 1612 var mycket produktivt för invånarna i den österrikiska staden Linz, där den då berömde astronomen Johannes Kepler bodde, särskilt för druvor. Folk förberedde vinfat och ville veta hur man praktiskt kunde bestämma deras volymer. (Bild 2)

– Således markerade Keplers övervägda verk början på en hel ström av forskning, som kulminerade under 1600-talets sista fjärdedel. design i verk av I. Newton och G.V. Leibniz differential- och integralkalkyl. Sedan dess har matematiken för magnitudvariabler tagit en ledande plats i systemet för matematisk kunskap.

- Så idag kommer vi att vara engagerade i sådana praktiska aktiviteter, därför,

Ämnet för vår lektion: "Beräkning av volymerna av revolutionskroppar med hjälp av en bestämd integral." (Glida)

- Du kommer att lära dig definitionen av en revolutionskropp genom att slutföra följande uppgift.

"Labyrint".

Labyrint (grekiska ordet) betyder passage till fängelsehålan. En labyrint är ett intrikat nätverk av stigar, passager, rum som kommunicerar med varandra.

Men definitionen "kraschade", det fanns antydningar i form av pilar.

Träning. Hitta en väg ut ur den förvirrande situationen och skriv ner definitionen.

Glida. ”Instruktionskort” Beräkning av volymer.

Med hjälp av en bestämd integral kan du beräkna volymen av en kropp, i synnerhet en rotationskropp.

En rotationskropp är en kropp som erhålls genom att rotera en krökt trapets runt dess bas (fig. 1, 2)

Volymen av en rotationskropp beräknas med en av formlerna:

1. runt x-axeln.

2. , om rotationen av den krökta trapetsen runt y-axeln.

Varje elev får ett instruktionskort. Läraren lyfter fram huvudpunkterna.

Läraren förklarar lösningen av exemplen på svarta tavlan.

Betrakta ett utdrag ur den berömda sagan av A. S. Pushkin "Sagan om tsar Saltan, om hans härliga och mäktiga son prins Gvidon Saltanovich och den vackra prinsessan Lebed" (Bild 4):

…..
Och tog med sig en berusad budbärare
Samma dag är beställningen:
"Tsaren beordrar sina bojarer,
Att inte slösa bort tid,
Och drottningen och avkomman
Kastas i hemlighet i vattnets avgrund.”
Det finns inget att göra: pojjarna,
Efter att ha sörjt över suveränen
Och den unga drottningen
En folkmassa kom till hennes sovrum.
förklarade det kungliga testamentet -
Hon och hennes son har ett ont öde,
Läs dekretet högt
Och drottningen på samma gång
De lade mig i en tunna med min son,
Bad, rullade
Och de släppte in mig i okian -
Så beställde de Tsar Saltan.

Vilken volym ska tunnan ha så att drottningen och hennes son får plats i den?

– Tänk på följande uppgifter

1. Hitta volymen av kroppen som erhålls genom att rotera runt y-axeln för en krökt trapets som begränsas av linjer: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Svar: 1163 centimeter 3 .

Hitta volymen av kroppen som erhålls genom att rotera en parabolisk trapets runt abskissaxeln y = , x = 4, y = 0.

IV. Fixar nytt material

Exempel 2. Beräkna volymen av kroppen som bildas av kronbladets rotation runt x-axeln y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Låt oss rita graferna för funktionen. y=x2, y2=x. Schema y2 = x förvandla till formen y= .

Vi har V \u003d V 1 - V 2 Låt oss beräkna volymen för varje funktion

- Låt oss nu titta på tornet för en radiostation i Moskva på Shabolovka, byggt enligt projektet av en underbar rysk ingenjör, hedersakademiker V. G. Shukhov. Den består av delar - revolutionshyperboloider. Dessutom är var och en av dem gjord av raka metallstavar som förbinder intilliggande cirklar (fig. 8, 9).

- Tänk på problemet.

Hitta volymen av kroppen som erhålls genom att rotera hyperbelns bågar runt sin imaginära axel, som visas i fig. 8, var

kub enheter

Gruppuppdrag. Eleverna lottar med uppgifter, ritningar görs på whatmanpapper, en av grupprepresentanterna försvarar arbetet.

1:a gruppen.

Träffa! Träffa! Ännu en hit!
En boll flyger in i grinden - BALL!
Och det här är en vattenmelonboll
Grön, rund, läcker.
Se bättre ut - vilken boll!
Den består av cirklar.
Skär vattenmelon i cirklar
Och smaka på dem.

Hitta volymen av en kropp som erhålls genom rotation runt OX-axeln för en funktion som begränsas av

Fel! Bokmärket är inte definierat.

- Säg mig, snälla, var möter vi den här figuren?

Hus. uppgift för grupp 1. CYLINDER (glida) .

"Cylinder - vad är det?" frågade jag min pappa.
Fadern skrattade: Höghatten är en hatt.
För att ha en korrekt uppfattning,
Cylindern, låt oss säga, är en plåtburk.
Ångarens rör är en cylinder,
Röret på vårt tak också,

Alla rör liknar en cylinder.
Och jag gav ett exempel som detta -
Kalejdoskop Min kärlek,
Du kan inte ta blicken från honom.
Det ser också ut som en cylinder.

- Träning. Läxa att rita en funktion och beräkna volymen.

2:a gruppen. KON (glida).

Mamma sa: Och nu
Om konen blir min historia.
Stargazer i hög keps
Räknar stjärnorna året runt.
CONE - stjärnskådarmössa.
Det är vad han är. Förstått? Det är allt.
Mamma satt vid bordet
Hon hällde olja på flaskor.
- Var är tratten? Ingen tratt.
Se. Stå inte vid sidan av.
- Mamma, jag kommer inte att flytta från platsen,
Berätta mer om konen.
– Tratten är i form av en kon av en vattenkanna.
Kom igen, hitta mig snabbt.
Jag kunde inte hitta tratten
Men mamma gjorde en påse,
Linda kartong runt fingret
Och skickligt fäst med ett gem.
Det rinner olja, mamma är glad
Kotten kom ut precis rätt.

Träning. Beräkna kroppens volym som erhålls genom att rotera runt x-axeln

Hus. uppgift för den andra gruppen. PYRAMID(glida).

Jag såg bilden. I denna bild
Det finns en PYRAMID i sandöknen.
Allt i pyramiden är extraordinärt,
Det finns en del mystik och mystik i det.
Spasskaya Tower på Röda torget
Både barn och vuxna är välkända.
Titta på tornet - ordinärt till utseendet,
Vad finns på henne? Pyramid!

Träning. Läxor rita en funktion och beräkna volymen på pyramiden

– Vi beräknade volymerna för olika kroppar utifrån grundformeln för kroppsvolymerna med hjälp av integralen.

Detta är ytterligare en bekräftelse på det bestämd integral det finns en viss grund för att lära sig matematik.

"Nu ska vi vila lite."

Hitta ett par.

Matematisk dominomelodi spelar.

"Vägen som han själv letade efter kommer aldrig att glömmas ..."

Forskningsarbete. Tillämpning av integralen i ekonomi och teknik.

Tester för starka elever och mattefotboll.

Math simulator.

2. Mängden av alla antiderivator av en given funktion kallas

A) en obestämd integral

B) funktion,

B) differentiering.

7. Hitta volymen av kroppen som erhålls genom att rotera runt abskissaxeln på en krökt trapets som avgränsas av linjer:

D/Z. Beräkna volymerna av rotationskroppar.

Reflexion.

Acceptans av reflektion i formen cinquain(fem rader).

1:a raden - namnet på ämnet (ett substantiv).

2: a rad - en beskrivning av ämnet i ett nötskal, två adjektiv.

3:e raden - en beskrivning av åtgärden inom detta ämne i tre ord.

4:e raden - en fras med fyra ord, visar inställningen till ämnet (en hel mening).

Den 5:e raden är en synonym som upprepar ämnets kärna.

1. Volym.
2. Definitiv integrerad, integrerbar funktion.
3. Vi bygger, roterar, räknar.
4. En kropp som erhålls genom att rotera en kurvlinjär trapets (runt dess bas).
5. Body of revolution (3D geometrisk kropp).

Slutsats (glida).

• En bestämd integral är en slags grund för matematikstudier, som ger ett oumbärligt bidrag för att lösa problem av praktiskt innehåll.
• Ämnet "Integral" visar tydligt sambandet mellan matematik och fysik, biologi, ekonomi och teknik.
• Utveckling modern vetenskap otänkbart utan användning av integralen. I detta avseende är det nödvändigt att börja studera det inom ramen för sekundär specialiserad utbildning!

Betygsättning. (Med kommentarer.)

Den store Omar Khayyam är en matematiker, poet och filosof. Han kallar att bli mästare över sitt öde. Lyssna på ett utdrag ur hans verk:

Du säger att det här livet bara är ett ögonblick.
Uppskatta det, hämta inspiration från det.
När du spenderar det, så går det över.
Glöm inte: hon är din skapelse.

Bortsett från hitta arean av en platt figur med hjälp av en bestämd integral (se 7.2.3.) den viktigaste tillämpningen av temat är beräkning av volymen av en rotationskropp. Materialet är enkelt, men läsaren måste vara förberedd: det är nödvändigt för att kunna lösa obestämda integraler medium komplexitet och tillämpa Newton-Leibniz formel i bestämd integral, n Det krävs också goda redaktionella färdigheter. I allmänhet finns det många intressanta tillämpningar inom integralkalkyl; med en bestämd integral kan du beräkna arean av en figur, volymen av en rotationskropp, längden på en båge, ytan av kroppen och mycket mer. Föreställ dig någon platt figur på koordinatplanet. Representerad? ... Nu kan denna figur också roteras och roteras på två sätt:

- runt x-axeln ;

- runt y-axeln .

Låt oss ta en titt på båda fallen. Den andra metoden för rotation är särskilt intressant, den orsakar de största svårigheterna, men i själva verket är lösningen nästan densamma som i den vanligare rotationen runt x-axeln. Låt oss börja med den mest populära typen av rotation.

Beräkning av volymen av en kropp som bildas av rotationen av en platt figur runt en axel OXE

Exempel 1

Beräkna volymen av kroppen som erhålls genom att rotera figuren avgränsad av linjer runt axeln.

Lösning: Som i problemet med att hitta området, lösningen börjar med en ritning av en platt figur. Det vill säga på planet XOY det är nödvändigt att konstruera en figur avgränsad av linjer, utan att glömma att ekvationen definierar axeln. Ritningen här är ganska enkel:

Den önskade platta figuren är skuggad i blått, det är hon som roterar runt axeln. Som ett resultat av rotation erhålls ett sådant lätt äggformat flygande tefat med två skarpa toppar på axeln. OXE, symmetrisk kring axeln OXE. Faktum är att kroppen har ett matematiskt namn, titta i uppslagsboken.

Hur beräknar man volymen av en rotationskropp? Om kroppen bildas som ett resultat av rotation runt en axelOXE, den är mentalt uppdelad i parallella lager med liten tjocklek dx som är vinkelräta mot axeln OXE. Hela kroppens volym är uppenbarligen lika med summan av volymerna av sådana elementära lager. Varje lager, som en rund skiva citron, är en låg cylinder hög dx och med basradie f(x). Då är volymen av ett lager produkten av basarean π f 2 till cylinderns höjd ( dx), eller π∙ f 2 (x)∙dx. Och området för hela rotationskroppen är summan av elementära volymer, eller motsvarande bestämda integral. Volymen av en rotationskropp kan beräknas med formeln:

.

Hur man ställer in integrationsgränserna "a" och "be" är lätt att gissa från den färdiga ritningen. Funktion... vad är denna funktion? Låt oss titta på ritningen. Den platta figuren avgränsas av parabelgrafen ovanifrån. Det här är funktionen som antyds i formeln. I praktiska uppgifter kan ibland en platt figur placeras under axeln OXE. Detta ändrar ingenting - funktionen i formeln är kvadratisk: f 2 (x), Således, volymen av en rotationskropp är alltid icke-negativ, vilket är ganska logiskt. Beräkna volymen av rotationskroppen med hjälp av denna formel:

.

Som vi redan har noterat visar sig integralen nästan alltid vara enkel, det viktigaste är att vara försiktig.

Svar:

I svaret är det nödvändigt att ange dimensionen - kubikenheter. Det vill säga, i vår rotationskropp finns det ungefär 3,35 "kuber". Varför just kubik enheter? Eftersom det är den mest universella formuleringen. Det kan finnas kubikcentimeter, det kan finnas kubikmeter, det kan finnas kubikkilometer osv, det är så många små gröna män din fantasi får plats i ett flygande tefat.

Exempel 2

Hitta volymen av en kropp som bildas genom rotation runt en axel OXE figur avgränsad av linjer , , .

Det här är ett gör-det-själv-exempel. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Exempel 3

Beräkna volymen av kroppen som erhålls genom att rotera runt abskissaxeln på figuren som begränsas av linjerna , , och .

Lösning: Låt oss på ritningen avbilda en platt figur avgränsad av linjer , , , , utan att glömma att ekvationen x= 0 anger axeln OY:

Den önskade figuren är skuggad i blått. När den roterar runt axeln OXE det visar sig en platt kantig bagel (en bricka med två koniska ytor).

Rotationskroppens volym beräknas som kroppsvolymskillnad. Låt oss först titta på figuren som är inringad i rött. När den roterar runt axeln OXE vilket resulterar i en stympad kon. Låt oss beteckna volymen av denna stympade kon som V 1 .

Tänk på figuren som är inringad i grönt. Om vi ​​roterar denna figur runt axeln OXE, då får du också en stympad kon, bara lite mindre. Låt oss beteckna dess volym med V 2 .

Uppenbarligen, volymskillnaden V = V 1 - V 2 är volymen på vår "munk".

Vi använder standardformeln för att hitta volymen av en rotationskropp:

1) Figuren inringad i rött är avgränsad uppifrån av en rät linje, därför:

2) Figuren inringad i grönt är avgränsad uppifrån av en rät linje, därför:

3) Volymen för den önskade rotationskroppen:

Svar:

Det är märkligt att i det här fallet kan lösningen kontrolleras med hjälp av skolformeln för att beräkna volymen av en trunkerad kon.

Själva beslutet görs ofta kortare, ungefär så här:

Definition 3. En rotationskropp är en kropp som erhålls genom att rotera en platt figur runt en axel som inte skär figuren och som ligger i samma plan som den.

Rotationsaxeln kan också skära figuren om det är figurens symmetriaxel.

Sats 2.
, axel
och raka linjesegment
och

roterar runt en axel
. Sedan kan volymen av den resulterande rotationskroppen beräknas med formeln

(2)

Bevis. För en sådan kropp, avsnittet med abskissan är en cirkel med radie
, betyder att
och formel (1) ger det önskade resultatet.

Om figuren begränsas av graferna för två kontinuerliga funktioner
och
, och linjesegment
och
, dessutom
och
, sedan när vi roterar runt abskissaxeln får vi en kropp vars volym

Exempel 3 Beräkna volymen av en torus som erhålls genom att rotera en cirkel som avgränsas av en cirkel

runt x-axeln.

R lösning. Den angivna cirkeln avgränsas underifrån av funktionens graf
, och ovan -
. Skillnaden mellan kvadraterna för dessa funktioner:

Önskad volym

(grafen för integranden är den övre halvcirkeln, så integralen som är skriven ovan är halvcirkelns area).

Exempel 4 Parabolsegment med bas
, och höjd , kretsar kring basen. Beräkna volymen av den resulterande kroppen ("citron" av Cavalieri).

R lösning. Placera parabeln som visas i figuren. Sedan dess ekvation
, och
. Låt oss hitta värdet på parametern :
. Så den önskade volymen:

Sats 3. Låt en kurvlinjär trapets avgränsas av grafen för en kontinuerlig icke-negativ funktion
, axel
och raka linjesegment
och
, dessutom
, roterar runt en axel
. Då kan volymen av den resulterande rotationskroppen hittas med formeln

(3)

bevis idé. Dela upp segmentet
prickar

, i delar och rita raka linjer
. Hela trapetsen kommer att sönderdelas till remsor, som kan betraktas som ungefär rektanglar med en bas
och höjd
.

Cylindern som resulterar från rotationen av en sådan rektangel skärs längs generatrisen och viks ut. Vi får en "nästan" parallellepiped med dimensioner:
,
och
. Dess volym
. Så för volymen av en revolutionskropp kommer vi att ha en ungefärlig likhet

För att få exakt jämställdhet måste vi passera till gränsen kl
. Summan som skrivits ovan är integralsumman för funktionen
, därför får vi i gränsen integralen från formel (3). Teoremet har bevisats.

Anmärkning 1. I satser 2 och 3, villkoret
kan utelämnas: formel (2) är i allmänhet okänslig för tecknet
och i formel (3) räcker det
ersatt av
.

Exempel 5 Parabolsegment (bas
, höjd ) kretsar kring höjden. Hitta volymen av den resulterande kroppen.

Lösning. Ordna parabeln som visas i figuren. Och även om rotationsaxeln korsar figuren, är den - axeln - symmetriaxeln. Därför bör endast den högra halvan av segmentet beaktas. Parabelekvation
, och
, betyder att
. Vi har för volym:

Anmärkning 2. Om den kurvlinjära gränsen för en kurvlinjär trapetsoid ges av de parametriska ekvationerna
,
,
och
,
då kan formlerna (2) och (3) användas med ersättningen på
och
på
när det ändras t från
innan .

Exempel 6 Figuren avgränsas av cykloidens första båge
,
,
och abskissaxeln. Hitta kroppens volym som erhålls genom att rotera denna figur runt: 1) axeln
; 2) axlar
.

Lösning. 1) Allmän formel
I vårat fall:

2) Allmän formel
För vår figur:

Vi uppmuntrar eleverna att göra alla beräkningar själva.

Anmärkning 3. Låt en kurvlinjär sektor avgränsas av en kontinuerlig linje
och strålar
,

, roterar runt polaxeln. Volymen av den resulterande kroppen kan beräknas med formeln.

Exempel 7 En del av en figur avgränsad av en kardioid
, liggande utanför cirkeln
, roterar runt polaxeln. Hitta volymen av den resulterande kroppen.

Lösning. Båda linjerna, och därmed den figur de begränsar, är symmetriska kring polaxeln. Därför är det nödvändigt att endast överväga den del för vilken
. Kurvorna korsar kl
och

på
. Vidare kan siffran betraktas som skillnaden mellan två sektorer, och därför kan volymen beräknas som skillnaden mellan två integraler. Vi har:

Uppgifter för en oberoende lösning.

1. Ett cirkulärt segment vars bas
, höjd , kretsar kring basen. Hitta volymen på rotationskroppen.

2. Hitta volymen av en rotationsparaboloid vars bas , och höjden är .

3. Figur avgränsad av en astroid
,
roterar runt x-axeln. Hitta volymen av kroppen, som erhålls i detta fall.

4. Figur avgränsad av linjer
och
roterar runt x-axeln. Hitta volymen på rotationskroppen.