eksponensial tenglamalar. Logarifm usuli. Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish. Misollar Oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechish

Ushbu dars eksponensial tenglamalarni endigina o'rganishni boshlayotganlar uchun mo'ljallangan. Har doimgidek, ta'rif va oddiy misollar bilan boshlaylik.

Agar siz ushbu darsni o'qiyotgan bo'lsangiz, men sizda eng oddiy tenglamalar - chiziqli va kvadrat haqida hech bo'lmaganda minimal tushunchaga ega ekanligingizga shubha qilaman: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ va hokazo. Endi muhokama qilinadigan mavzuda "osib qolmaslik" uchun bunday konstruktsiyalarni hal qila olish juda zarur.

Demak, eksponensial tenglamalar. Sizga bir-ikki misol keltiraman:

\[((2)^(x))=4;\to'rt ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\to'rt ((9)^(x))=- 3\]

Ulardan ba'zilari sizga murakkabroq tuyulishi mumkin, ba'zilari, aksincha, juda oddiy. Lekin ularning barchasini bitta muhim xususiyat birlashtiradi: ularda $f\left(x \right)=((a)^(x))$ eksponensial funksiya mavjud. Shunday qilib, biz ta'rifni kiritamiz:

Eksponensial tenglama - bu eksponensial funktsiyani o'z ichiga olgan har qanday tenglama, ya'ni. $((a)^(x))$ shaklining ifodasi. Belgilangan funktsiyaga qo'shimcha ravishda, bunday tenglamalar boshqa har qanday algebraik tuzilmalarni o'z ichiga olishi mumkin - polinomlar, ildizlar, trigonometriya, logarifmlar va boshqalar.

OK, unda. Ta'rifni tushundi. Endi savol tug'iladi: bu axlatni qanday hal qilish kerak? Javob bir vaqtning o'zida oddiy va murakkab.

Keling, yaxshi xabardan boshlaylik: ko'plab talabalar bilan bo'lgan tajribamdan shuni aytishim mumkinki, ularning ko'pchiligi uchun eksponensial tenglamalar bir xil logarifmlarga qaraganda ancha oson va undan ham ko'proq trigonometriya.

Ammo yomon xabar ham bor: ba'zida barcha turdagi darsliklar va imtihonlar uchun masalalarni tuzuvchilarga "ilhom" tashrif buyurishadi va ularning dori bilan yallig'langan miyasi shu qadar shafqatsiz tenglamalarni ishlab chiqara boshlaydiki, ularni echish nafaqat talabalar uchun muammoli bo'lib qoladi - hatto ko'plab o'qituvchilar ham bunday muammolarga duch kelishadi.

Biroq, qayg'uli narsalar haqida gapirmaylik. Keling, hikoyaning boshida berilgan uchta tenglamaga qaytaylik. Keling, ularning har birini hal qilishga harakat qilaylik.

Birinchi tenglama: $((2)^(x))=4$. Xo'sh, 4 raqamini olish uchun 2 raqamini qanday kuchga ko'tarish kerak? Balki ikkinchisi? Axir, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — va biz toʻgʻri raqamli tenglikni oldik, yaʼni. haqiqatan ham $x=2$. Rahmat, kepka, lekin bu tenglama shunchalik sodda ediki, hatto mening mushukim ham buni hal qila oldi. :)

Keling, quyidagi tenglamani ko'rib chiqaylik:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ammo bu erda biroz qiyinroq. Ko'pgina talabalar $((5)^(2))=25$ ko'paytirish jadvali ekanligini bilishadi. Ba'zilar, shuningdek, $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ manfiy ko'rsatkichlarning ta'rifi ($((a)^(-n))= \ formulasiga o'xshash, deb gumon qilishadi. frac(1)(((a)^(n)))$).

Nihoyat, faqat bir nechtasi bu faktlarni birlashtirish mumkinligini taxmin qiladi va natija quyidagi natijadir:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Shunday qilib, bizning asl tenglamamiz quyidagicha qayta yoziladi:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\O'ng strelka ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Va endi bu butunlay hal qilindi! Tenglamaning chap tomonida ko'rsatkichli funktsiya, o'ng tomonida ko'rsatkichli funktsiya mavjud, ulardan boshqa hech narsa yo'q. Shuning uchun, asoslarni "yo'q qilish" va ko'rsatkichlarni ahmoqona tenglashtirish mumkin:

Biz har qanday talaba bir-ikki qatorda yecha oladigan eng oddiy chiziqli tenglamani oldik. Yaxshi, to'rt qatorda:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Agar oxirgi to'rt qatorda nima sodir bo'lganini tushunmasangiz, "chiziqli tenglamalar" mavzusiga qayting va uni takrorlang. Chunki bu mavzuni aniq o'zlashtirmasdan turib, ko'rsatkichli tenglamalarni qabul qilishga hali erta.

\[((9)^(x))=-3\]

Xo'sh, qanday qaror qabul qilasiz? Birinchi fikr: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, shuning uchun asl tenglamani shunday qayta yozish mumkin:

\[((\left(((3)^(2)) \o'ng))^(x))=-3\]

Keyin biz eslaymizki, darajani kuchga ko'tarishda ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:

\[((\left(((3)^(2)) \o'ng))^(x))=((3)^(2x))\O'ng strelka ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Va bunday qaror uchun biz halol ravishda munosib deuce olamiz. Chunki biz Pokemonning muloyimligi bilan uchtasining oldidagi minus belgisini aynan shu uchlikning kuchiga yubordik. Va siz buni qila olmaysiz. Va shuning uchun ham. Uchlikning turli kuchlarini ko'rib chiqing:

\[\begin(matritsa) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matritsa)\]

Ushbu planshetni yig'ish bilanoq, men buzganim yo'q: men ijobiy darajalarni, salbiy va hatto kasrlarni ko'rib chiqdim ... bu erda kamida bitta salbiy raqam qayerda? U yoq! Va bunday bo'lishi mumkin emas, chunki $y=((a)^(x))$ eksponensial funktsiyasi, birinchidan, har doim faqat ijobiy qiymatlarni oladi (qanchalik ko'paytirsangiz yoki ikkiga bo'lishingizdan qat'i nazar, u baribir shunday bo'ladi. musbat son), ikkinchidan, bunday funktsiyaning asosi $a$ soni ta'rifiga ko'ra musbat sondir!

Xo'sh, $((9)^(x))=-3$ tenglamasini qanday yechish mumkin? Yo'q, ildizlar yo'q. Va bu ma'noda eksponensial tenglamalar kvadratik tenglamalarga juda o'xshash - ildizlar ham bo'lmasligi mumkin. Ammo kvadrat tenglamalarda ildizlar soni diskriminant tomonidan aniqlansa (diskriminant musbat - 2 ta ildiz, manfiy - ildiz yo'q), u holda eksponensial tenglamalarda hammasi teng belgining o'ng tomonida joylashganiga bog'liq.

Shunday qilib, biz asosiy xulosani shakllantiramiz: $((a)^(x))=b$ ko‘rinishdagi eng oddiy eksponensial tenglama, agar $b \gt 0$ bo‘lsa, ildizga ega bo‘ladi. Ushbu oddiy haqiqatni bilib, sizga taklif qilingan tenglamaning ildizlari bor yoki yo'qligini osongina aniqlashingiz mumkin. Bular. uni umuman hal qilishga arziydimi yoki darhol hech qanday ildiz yo'qligini yozing.

Bu bilim bizga murakkabroq muammolarni hal qilishda ko'p marta yordam beradi. Ayni paytda, lyrics etarli - bu ko'rsatkichli tenglamalarni yechish uchun asosiy algoritmni o'rganish vaqti keldi.

Eksponensial tenglamalarni yechish usullari

Shunday qilib, keling, muammoni shakllantiramiz. Eksponensial tenglamani yechish kerak:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Biz ilgari qo‘llagan “sodda” algoritmga ko‘ra, $b$ sonini $a$ sonining kuchi sifatida ko‘rsatish kerak:

Bundan tashqari, agar $x$ o'zgaruvchisi o'rniga biron bir ifoda mavjud bo'lsa, biz allaqachon yechish mumkin bo'lgan yangi tenglamani olamiz. Masalan:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\O'ng strelka ((2)^(x))=((2)^(3))\O'ng strelka x=3; \\& ((3)^(-x))=81\O'ng strelka ((3)^(-x))=((3)^(4))\O'ngga -x=4\O'ngga x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Oʻng strelka ((5)^(2x))=((5)^(3))\Oʻng 2x=3\Oʻng strelka x=\frac(3)( 2). \\\end (tekislash)\]

Va g'alati, bu sxema taxminan 90% hollarda ishlaydi. Qolgan 10% haqida nima deyish mumkin? Qolgan 10% shakldagi biroz "shizofrenik" eksponensial tenglamalar:

\[((2)^(x))=3;\to'rt ((5)^(x))=15;\to'rt ((4)^(2x))=11\]

3 ni olish uchun 2 ni qanday kuchga oshirish kerak? Birinchisida? Lekin yo'q: $((2)^(1))=2$ yetarli emas. Ikkinchisida? Ikkalasi ham emas: $((2)^(2))=4$ juda koʻp. Keyin nima?

Bilimdon talabalar, ehtimol, allaqachon taxmin qilishgan: bunday hollarda, "chiroyli" hal qilishning iloji bo'lmaganda, "og'ir artilleriya" ish bilan bog'lanadi - logarifmlar. Sizga shuni eslatib o'tamanki, logarifmlardan foydalangan holda har qanday musbat son har qanday boshqa ijobiy sonning kuchi sifatida ifodalanishi mumkin (bittasidan tashqari):

Ushbu formulani eslaysizmi? Men o'quvchilarimga logarifmlar haqida gapirganda, men sizni doimo ogohlantiraman: bu formula (bu asosiy logarifmik identifikatsiya yoki, agar xohlasangiz, logarifmning ta'rifi) sizni juda uzoq vaqt ta'qib qiladi va eng ko'p "paydo bo'ladi". kutilmagan joylar. Xo'sh, u yuzaga chiqdi. Keling, tenglamamizni va ushbu formulani ko'rib chiqaylik:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Agar $a=3$ o'ng tomondagi asl raqamimiz va $b=2$ o'ng tomonni qisqartirmoqchi bo'lgan eksponensial funktsiyaning asosi deb hisoblasak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\O'ng strelka 3=((2)^(((\log )_(2))3 ))) \\& ((2)^(x))=3\O'ng yo'l ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\O'ng strelka x=( (\log )_(2))3. \\\end (tekislash)\]

Biz biroz g'alati javob oldik: $x=((\log )_(2))3$. Boshqa bir vazifada, bunday javob bilan, ko'pchilik shubhalanadi va o'z yechimini ikki marta tekshira boshlaydi: agar biror joyda xato bo'lsa-chi? Men sizni xursand qilishga shoshilaman: bu erda xatolik yo'q va eksponensial tenglamalarning ildizlaridagi logarifmlar odatiy holdir. Shunday ekan, ko'nik. :)

Endi qolgan ikkita tenglamani analogiya orqali hal qilamiz:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\O'ng strelka ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \O'ng strelka x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Oʻng strelka ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Oʻng 2x=( (\log )_(4))11\O'ng strelka x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end (tekislash)\]

Ana xolos! Aytgancha, oxirgi javob boshqacha yozilishi mumkin:

Aynan biz ko'paytirgichni logarifm argumentiga kiritdik. Ammo bu omilni bazaga qo'shishimizga hech kim to'sqinlik qilmaydi:

Bundan tashqari, uchta variant ham to'g'ri - ular bir xil raqamni yozishning turli shakllari. Qaysi birini tanlash va ushbu qarorda yozish sizga bog'liq.

Shunday qilib, biz $((a)^(x))=b$ ko‘rinishdagi har qanday ko‘rsatkichli tenglamalarni yechishni o‘rgandik, bunda $a$ va $b$ raqamlari qat’iy musbat. Biroq, bizning dunyomizning qattiq haqiqati shundaki, bunday oddiy vazifalar sizni juda kamdan-kam hollarda kutib oladi. Ko'pincha siz shunga o'xshash narsalarni uchratasiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end (tekislash)\]

Xo'sh, qanday qaror qabul qilasiz? Buni umuman hal qilish mumkinmi? Va agar shunday bo'lsa, qanday qilib?

Vahima yo'q. Bu tenglamalarning barchasi tez va sodda tarzda biz ko'rib chiqqan oddiy formulalarga tushiriladi. Siz faqat algebra kursidan bir nechta fokuslarni eslab qolishni bilishingiz kerak. Va, albatta, bu erda darajalar bilan ishlash qoidalari yo'q. Bularning barchasi haqida hozir gaplashaman. :)

Ko'rsatkichli tenglamalarni o'zgartirish

Esda tutish kerak bo'lgan birinchi narsa shundaki, har qanday ko'rsatkichli tenglama, qanchalik murakkab bo'lmasin, u yoki bu tarzda eng oddiy tenglamalarga - biz allaqachon ko'rib chiqqan va biz qanday echish kerakligini bilgan tenglamalarga keltirilishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, har qanday ko'rsatkichli tenglamani echish sxemasi quyidagicha ko'rinadi:

1. Asl tenglamani yozing. Masalan: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Qandaydir ahmoqona ish qil. Yoki hatto "tenglamani o'zgartirish" deb nomlangan axlat;
3. Chiqishda $((4)^(x))=4$ yoki shunga o'xshash eng oddiy iboralarni oling. Bundan tashqari, bitta boshlang'ich tenglama bir vaqtning o'zida bir nechta bunday ifodalarni berishi mumkin.

Birinchi nuqta bilan hamma narsa aniq - hatto mening mushukim ham bargga tenglama yozishi mumkin. Uchinchi nuqta bilan ham, bu ko'proq yoki kamroq aniq ko'rinadi - biz yuqorida bunday tenglamalarning to'liq to'plamini hal qildik.

Ammo ikkinchi nuqta haqida nima deyish mumkin? O'zgarishlar qanday? Nimani nimaga aylantirish kerak? Xo'sh qanday?

Xo'sh, buni aniqlaylik. Avvalo, men quyidagilarni ta'kidlamoqchiman. Barcha eksponensial tenglamalar ikki turga bo'linadi:

1. Tenglama bir xil asosli ko'rsatkichli funktsiyalardan iborat. Misol: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formula turli asoslarga ega bo'lgan eksponensial funktsiyalarni o'z ichiga oladi. Misollar: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ va $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Birinchi turdagi tenglamalardan boshlaylik - ularni hal qilish eng oson. Va ularni hal qilishda bizga barqaror iboralarni tanlash kabi texnika yordam beradi.

Barqaror ifodani ta'kidlash

Keling, ushbu tenglamani yana bir bor ko'rib chiqaylik:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Biz nimani ko'ramiz? To'rttasi turli darajalarga ko'tariladi. Ammo bu kuchlarning barchasi $x$ o'zgaruvchisining boshqa raqamlar bilan oddiy yig'indisidir. Shuning uchun darajalar bilan ishlash qoidalarini esga olish kerak:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(tekislash)\]

Oddiy qilib aytganda, ko'rsatkichlarni qo'shish darajalar mahsulotiga aylantirilishi mumkin va ayirish osonlik bilan bo'linishga aylantiriladi. Keling, ushbu formulalarni tenglamamizdagi kuchlarga qo'llashga harakat qilaylik:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1))))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(tekislash)\]

Biz ushbu faktni hisobga olgan holda asl tenglamani qayta yozamiz va keyin chapdagi barcha shartlarni yig'amiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 - o'n bir; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end (tekislash)\]

Birinchi to'rtta atama $((4)^(x))$ elementini o'z ichiga oladi — keling, uni qavsdan chiqaramiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \o'ng)=-11. \\\end (tekislash)\]

Tenglamaning ikkala qismini $-\frac(11)(4)$ kasrga bo'lish qoladi, ya'ni. asosan teskari kasrga ko'paytiring - $-\frac(4)(11)$. Biz olamiz:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \o'ng )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \o'ng); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end (tekislash)\]

Ana xolos! Biz asl tenglamani eng oddiyiga qisqartirdik va yakuniy javobni oldik.

Shu bilan birga, yechish jarayonida biz $((4)^(x))$ umumiy omilini topdik (va hatto qavsdan chiqardik) - bu barqaror ifoda. U yangi o'zgaruvchi sifatida belgilanishi mumkin yoki siz uni shunchaki aniq ifodalab, javob olishingiz mumkin. Har holda, yechimning asosiy printsipi quyidagicha:

Asl tenglamada barcha ko'rsatkichli funktsiyalardan osongina ajratiladigan o'zgaruvchini o'z ichiga olgan barqaror ifodani toping.

Yaxshi xabar shundaki, deyarli har bir eksponensial tenglama bunday barqaror ifodani qabul qiladi.

Ammo yomon xabar ham bor: bunday iboralar juda qiyin bo'lishi mumkin va ularni farqlash juda qiyin bo'lishi mumkin. Shunday qilib, keling, boshqa muammoni ko'rib chiqaylik:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Ehtimol, kimdir endi savol tug'diradi: "Pasha, sizni toshbo'ron qildingizmi? Bu erda turli xil asoslar mavjud - 5 va 0,2. Ammo keling, quvvatni 0,2 bazasiga aylantirishga harakat qilaylik. Masalan, o'nlik kasrdan xalos bo'lib, uni odatiy holga keltiramiz:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \o'ng))))=((\left(\frac(2)(10) ) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng))))=((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)) )\]

Ko'rib turganingizdek, 5 raqami maxrajda bo'lsa ham paydo bo'ldi. Shu bilan birga, indikator salbiy deb qayta yozildi. Va endi biz darajalar bilan ishlashning eng muhim qoidalaridan birini eslaymiz:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\O'ng strelka ((\chap(\frac(1)(5) \o'ng))^( -\left(x+1 \o'ng)))=((\left(\frac(5)(1) \o'ng))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Bu erda, albatta, men biroz aldadim. Chunki to'liq tushunish uchun salbiy ko'rsatkichlardan xalos bo'lish formulasi quyidagicha yozilishi kerak edi:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \o'ng))^(n ))\O‘ng strelka ((\chap(\frac(1)(5) \o‘ng))^(-\chap(x+1 \o‘ng)=((\left(\frac(5)(1) \ o'ng))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Boshqa tomondan, faqat bitta fraksiya bilan ishlashimizga hech narsa to'sqinlik qilmadi:

\[((\left(\frac(1)(5) \o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)=((\left(((5)^(-1)) \ o'ng))^(-\left(x+1 \o'ng)=((5)^(\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-\left(x+1 \o'ng) \o'ng) ))=((5)^(x+1))\]

Ammo bu holda siz darajani boshqa darajaga ko'tarishingiz kerak (sizga eslataman: bu holda ko'rsatkichlar qo'shiladi). Ammo men kasrlarni "aylantirishim" shart emas edi - ehtimol kimdir uchun bu osonroq bo'ladi. :)

Har holda, asl eksponensial tenglama quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end (tekislash)\]

Shunday qilib, asl tenglamani echish ilgari ko'rib chiqilganidan ko'ra osonroq ekanligi ma'lum bo'ldi: bu erda siz barqaror ifodani ajratib ko'rsatishingiz shart emas - hamma narsa o'z-o'zidan qisqartirilgan. Shuni yodda tutish kerakki, $1=((5)^(0))$, biz qaerdan olamiz:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end (tekislash)\]

Bu butun yechim! Biz yakuniy javobni oldik: $x=-2$. Shu bilan birga, biz uchun barcha hisob-kitoblarni sezilarli darajada soddalashtirgan bitta hiylani ta'kidlamoqchiman:

Eksponensial tenglamalarda o'nlik kasrlardan xalos bo'lishni unutmang, ularni oddiy kasrlarga aylantiring. Bu sizga darajalarning bir xil asoslarini ko'rish va yechimni sezilarli darajada soddalashtirish imkonini beradi.

Keling, har xil asoslar mavjud bo'lgan, odatda kuchlar yordamida bir-biriga qisqartirilmaydigan murakkabroq tenglamalarga o'tamiz.

Ko'rsatkich xususiyatidan foydalanish

Sizga shuni eslatib o'tamanki, bizda yana ikkita keskin tenglama mavjud:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(tekislash)\]

Bu erda asosiy qiyinchilik nima va qanday asosga olib borishi aniq emas. Qattiq ifodalar qayerda? Umumiy asoslar qayerda? Buning hech biri yo'q.

Ammo keling, boshqa yo'ldan borishga harakat qilaylik. Agar tayyor bir xil bazalar bo'lmasa, mavjud bazalarni faktoring qilish orqali ularni topishga harakat qilishingiz mumkin.

Birinchi tenglamadan boshlaylik:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Oʻng strelka ((21)^(3x))=((\chap(7\cdot 3 \oʻng))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end (tekislash)\]

Axir, siz buning aksini qilishingiz mumkin - 7 va 3 raqamlaridan 21 raqamini tuzing. Buni chap tomonda qilish ayniqsa oson, chunki ikkala darajaning ko'rsatkichlari bir xil:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \o‘ng))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end (tekislash)\]

Ana xolos! Siz ko'rsatkichni mahsulotdan chiqarib oldingiz va darhol bir necha qatorda echilishi mumkin bo'lgan chiroyli tenglamaga ega bo'ldingiz.

Endi ikkinchi tenglama bilan shug'ullanamiz. Bu erda hamma narsa ancha murakkab:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \o'ng))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Bunday holda, kasrlar qisqartirilmaydigan bo'lib chiqdi, ammo agar biror narsani kamaytirish mumkin bo'lsa, uni kamaytirishni unutmang. Bu ko'pincha siz allaqachon ishlashingiz mumkin bo'lgan qiziqarli asoslarga olib keladi.

Afsuski, biz hech narsa o'ylab topmadik. Lekin mahsulotning chap tomonidagi ko‘rsatkichlar qarama-qarshi ekanligini ko‘ramiz:

Sizga eslatib o'taman: eksponentdagi minus belgisidan xalos bo'lish uchun kasrni "aylantirish" kifoya. Shunday qilib, keling, asl tenglamani qayta yozamiz:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \o'ng))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \o'ng))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\ chap (\ frac (1000) (27) \ o'ng)) ^ (x-1)) = \ frac (9) (100). \\\end (tekislash)\]

Ikkinchi qatorda biz $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) qoidasiga asosan mahsulotdan jami qavs oldik. ))^ (x))$ va ikkinchisida ular 100 raqamini kasrga ko'paytirdilar.

Endi e'tibor bering, chapdagi (tayanchda) va o'ngdagi raqamlar biroz o'xshash. Qanday? Ha, aniq: ular bir xil miqdordagi kuchlardir! Bizda ... bor:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3))))=((\left(\frac() 10)(3) \o'ng))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac((3)^(2)(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \o'ng)))^(2)). \\\end (tekislash)\]

Shunday qilib, bizning tenglamamiz quyidagicha qayta yoziladi:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3)) \o'ng))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \o'ng))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3)) \o'ng))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \o'ng))^(3\left(x-1 \o'ng))))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(3x-3))\]

Shu bilan birga, o'ng tomonda siz xuddi shu asosga ega bo'lgan darajani olishingiz mumkin, buning uchun kasrni "aylantirish" kifoya qiladi:

\[((\left(\frac(3)(10) \o'ng))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng))^(-2))\]

Nihoyat, bizning tenglamamiz quyidagi shaklni oladi:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \o'ng)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end (tekislash)\]

Bu butun yechim. Uning asosiy g'oyasi shundan iboratki, hatto turli sabablarga ko'ra, biz bu sabablarni bir xilga kamaytirishga harakat qilamiz. Bunda bizga tenglamalarni elementar o'zgartirishlar va kuchlar bilan ishlash qoidalari yordam beradi.

Lekin qanday qoidalar va qachon foydalanish kerak? Bir tenglamada ikkala tomonni ham biror narsaga bo'lish kerakligini, boshqasida esa eksponensial funktsiyaning asosini omillarga ajratish kerakligini qanday tushunish mumkin?

Bu savolga javob tajriba bilan keladi. Avvaliga oddiy tenglamalarda qo'lingizni sinab ko'ring, so'ngra asta-sekin vazifalarni murakkablashtiring - va tez orada sizning mahoratingiz bir xil USE yoki har qanday mustaqil/sinov ishidagi har qanday eksponensial tenglamani echish uchun etarli bo'ladi.

Va bu qiyin vazifada sizga yordam berish uchun men mustaqil yechim uchun veb-saytimdagi tenglamalar to'plamini yuklab olishni taklif qilaman. Barcha tenglamalarning javoblari bor, shuning uchun siz har doim o'zingizni tekshirishingiz mumkin.

Umuman olganda, sizga muvaffaqiyatli mashg'ulotlar tilayman. Va keyingi darsda ko'rishguncha - u erda biz yuqorida tavsiflangan usullar etarli bo'lmagan haqiqatan ham murakkab eksponensial tenglamalarni tahlil qilamiz. Va oddiy mashg'ulot ham etarli bo'lmaydi. :)

Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish. Misollar.

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ko'p ..." bo'lganlar uchun)

Nima eksponensial tenglama? Bu noma'lumlar (x) va ular bilan ifodalangan tenglama ko'rsatkichlar ba'zi darajalar. Va faqat u erda! Bu muhim.

Mana qayerda ekansan ko'rsatkichli tenglamalarga misollar:

3 x 2 x = 8 x + 3

Eslatma! Darajalar asoslarida (pastda) - faqat raqamlar. DA ko'rsatkichlar darajalar (yuqorida) - x bilan ifodalangan keng ko'lamli. Agar to'satdan tenglamada indikatordan boshqa joyda x paydo bo'lsa, masalan:

bu aralash turdagi tenglama bo'ladi. Bunday tenglamalar yechishning aniq qoidalariga ega emas. Biz ularni hozircha ko'rib chiqmaymiz. Bu erda biz shug'ullanamiz ko'rsatkichli tenglamalar yechimi eng sof shaklda.

Aslida, hatto sof ko'rsatkichli tenglamalar ham har doim ham aniq echilmaydi. Ammo echilishi mumkin bo'lgan va kerak bo'lgan ko'rsatkichli tenglamalarning ayrim turlari mavjud. Bu biz ko'rib chiqadigan turlar.

Eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechish.

Keling, juda oddiy narsadan boshlaylik. Masalan:

Hech qanday nazariya bo'lmasa ham, oddiy tanlash orqali x = 2 ekanligi ayon bo'ladi. Boshqa hech narsa, to'g'rimi!? Boshqa hech qanday x qiymati roliklari. Endi esa ushbu murakkab eksponensial tenglamaning yechimini ko‘rib chiqamiz:

Biz nima qildik? Biz, aslida, xuddi shu tagliklarni (uchlik) tashladik. To'liq tashqariga tashlangan. Va, nima xursand bo'lsa, belgini bosing!

Haqiqatan ham, agar eksponensial tenglamada chap va o'ng tomonda bo'lsa xuddi shu har qanday darajadagi raqamlar, bu raqamlar olib tashlanishi mumkin va teng ko'rsatkichlar. Matematika imkon beradi. Bu ancha sodda tenglamani yechish uchun qoladi. Bu yaxshi, to'g'rimi?)

Biroq, istehzo bilan eslaylik: siz bazalarni faqat chap va o'ngdagi asosiy raqamlar ajoyib izolyatsiyada bo'lganda olib tashlashingiz mumkin! Hech qanday qo'shnilar va koeffitsientlarsiz. Keling, tenglamalarda aytaylik:

2 x +2 x + 1 = 2 3 yoki

Siz dubllarni olib tashlay olmaysiz!

Xo'sh, biz eng muhim narsani o'zlashtirdik. Qanday qilib yomon eksponensial ifodalardan oddiy tenglamalarga o'tish mumkin.

"Mana o'sha paytlar!" - sen aytasan. "Kim nazorat va imtihonlarga shunday primitiv beradi!?"

rozi bo'lishga majbur. Hech kim qilmaydi. Ammo endi siz chalkash misollarni hal qilishda qaerga borishni bilasiz. Xuddi shu asosiy raqam chapda - o'ngda bo'lganda, buni yodda tutish kerak. Keyin hamma narsa osonroq bo'ladi. Aslida, bu matematikaning klassikasi. Biz asl misolni olamiz va uni kerakli holatga o'tkazamiz Biz aql. Albatta, matematika qoidalariga ko'ra.

Ularni eng oddiy holga keltirish uchun qo'shimcha kuch talab qiladigan misollarni ko'rib chiqing. Keling, ularni chaqiraylik oddiy eksponensial tenglamalar.

Oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechish. Misollar.

Eksponensial tenglamalarni yechishda asosiy qoidalar quyidagilardir vakolatlari bilan harakatlar. Ushbu harakatlar haqida ma'lumotsiz, hech narsa ishlamaydi.

Darajali harakatlarga shaxsiy kuzatuv va zukkolikni qo'shish kerak. Bizga bir xil asosiy raqamlar kerakmi? Shunday qilib, biz ularni misolda aniq yoki shifrlangan shaklda qidiramiz.

Keling, bu amalda qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik?

Keling, bir misol keltiramiz:

2 2x - 8 x+1 = 0

Birinchi qarashda asoslar. Ular... Ular boshqacha! Ikki va sakkiz. Ammo tushkunlikka tushishga hali erta. Buni eslash vaqti keldi

Ikki va sakkiz daraja qarindoshlardir.) Buni yozish juda mumkin:

8 x+1 = (2 3) x+1

Agar formulani kuchlar bilan harakatlardan eslasak:

(a n) m = a nm,

odatda ajoyib ishlaydi:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Asl misol quyidagicha ko'rinadi:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Biz transfer qilamiz 2 3 (x+1) o'ngga (hech kim matematikaning elementar harakatlarini bekor qilmagan!), biz olamiz:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Bu deyarli hammasi. Bazalarni olib tashlash:

Biz bu yirtqich hayvonni hal qilamiz va olamiz

Bu to'g'ri javob.

Ushbu misolda ikkita kuchni bilish bizga yordam berdi. Biz aniqlangan sakkizda, shifrlangan deuce. Ushbu uslub (turli raqamlar ostida umumiy bazalarni kodlash) eksponensial tenglamalarda juda mashhur hiyla-nayrangdir! Ha, hatto logarifmlarda ham. Raqamlarda boshqa raqamlarning kuchlarini taniy bilish kerak. Bu eksponensial tenglamalarni yechish uchun juda muhimdir.

Haqiqat shundaki, har qanday raqamni istalgan kuchga ko'tarish muammo emas. Ko'paytiring, hatto qog'oz varag'ida ham, va bu hammasi. Misol uchun, har bir kishi 3 ni beshinchi kuchga ko'tarishi mumkin. Agar siz ko'paytirish jadvalini bilsangiz, 243 chiqadi.) Ammo eksponensial tenglamalarda ko'pincha kuchga ko'tarmaslik kerak, aksincha ... qaysi raqam qay darajada 243 raqamining orqasiga yashirinadi yoki aytaylik, 343 ... Bu erda sizga hech qanday kalkulyator yordam bermaydi.

Ba'zi raqamlarning kuchlarini ko'rish orqali bilishingiz kerak, ha ... Biz mashq qilamizmi?

Qaysi kuchlar va qanday raqamlar raqamlar ekanligini aniqlang:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Javoblar (albatta tartibsizlikda!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Agar diqqat bilan qarasangiz, g'alati faktni ko'rishingiz mumkin. Savollardan ko'ra ko'proq javoblar bor! Xo'sh, shunday bo'ladi ... Masalan, 2 6 , 4 3 , 8 2 hammasi 64 ga teng.

Faraz qilaylik, siz raqamlar bilan tanishish haqidagi ma'lumotga e'tibor qaratdingiz.) Eslatib o'taman, ko'rsatkichli tenglamalarni yechish uchun biz qo'llaymiz. butun matematik bilimlar zaxirasi. Jumladan, quyi va o'rta sinflardan. Siz to'g'ridan-to'g'ri o'rta maktabga bormadingiz, shunday emasmi?

Masalan, eksponensial tenglamalarni yechishda umumiy omilni qavslar ichidan chiqarish juda tez-tez yordam beradi (7-sinfga salom!). Keling, misolni ko'rib chiqaylik:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Va yana, birinchi qarash - maydonchada! Darajalar asoslari har xil ... Uch va to'qqiz. Va biz ular bir xil bo'lishini xohlaymiz. Xo'sh, bu holda istak juda mumkin!) Chunki:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Darajali harakatlar uchun bir xil qoidalarga muvofiq:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Bu ajoyib, siz yozishingiz mumkin:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Va undan keyin nima!? Uchtasini tashlab bo'lmaydi ... O'lik nuqta?

Umuman yo'q. Eng universal va kuchli qaror qoidasini eslash hammasi matematika vazifalari:

Agar nima qilishni bilmasangiz, qo'lingizdan kelganini qiling!

Qarang, hamma narsa shakllangan).

Ushbu eksponensial tenglamada nima bor mumkin qilmoq? Ha, chap tomon to'g'ridan-to'g'ri qavslar so'raydi! 3 2x umumiy omili bunga aniq ishora qiladi. Keling, sinab ko'raylik, keyin ko'ramiz:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Misol yaxshilanishda davom etmoqda!

Esda tutamizki, bazalarni yo'q qilish uchun bizga hech qanday koeffitsientsiz sof daraja kerak. 70 raqami bizni bezovta qiladi. Shunday qilib, biz tenglamaning ikkala tomonini 70 ga bo'lamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Opa! Hammasi yaxshi bo'ldi!

Bu oxirgi javob.

Shu bilan birga, xuddi shu asoslar bo'yicha taksidan chiqishga erishiladi, lekin ularni tugatish emas. Bu boshqa turdagi eksponensial tenglamalarda sodir bo'ladi. Keling, bu turni olaylik.

Ko'rsatkichli tenglamalarni yechishda o'zgaruvchining o'zgarishi. Misollar.

Keling, tenglamani yechamiz:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Birinchisi - odatdagidek. Keling, bazaga o'tamiz. Deuce uchun.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Biz tenglamani olamiz:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Va bu erda biz osamiz. Oldingi fokuslar, uni qanday aylantirsangiz ham, ishlamaydi. Biz arsenaldan boshqa kuchli va ko'p qirrali yo'lni olishimiz kerak. Bu deyiladi o'zgaruvchan almashtirish.

Usulning mohiyati hayratlanarli darajada sodda. Bitta murakkab piktogramma o'rniga (bizning holatda, 2 x) biz boshqa, soddaroq (masalan, t) yozamiz. Bunday ko'rinadigan ma'nosiz almashtirish ajoyib natijalarga olib keladi!) Hamma narsa shunchaki aniq va tushunarli bo'ladi!

Shunday qilib, ruxsat bering

Keyin 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Tenglamamizdagi barcha kuchlarni x bilan t bilan almashtiramiz:

Xo'sh, tong otyaptimi?) Kvadrat tenglamalarni hali unutmadingizmi? Diskriminant orqali hal qilamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Bu erda asosiy narsa to'xtamaslikdir, chunki bu sodir bo'ladi ... Bu hali javob emas, bizga t emas, x kerak. Biz Xs ga qaytamiz, ya'ni. almashtirishni amalga oshirish. t 1 uchun birinchi:

Anavi,

Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:

Hm... Chapga 2 x, O'ngga 1... Teshikmi? Ha, umuman emas! Birlik ekanligini eslash kifoya (darajali harakatlardan, ha ...). har qanday raqam nolga. Har qanday. Sizga nima kerak bo'lsa, biz uni qo'yamiz. Bizga ikkita kerak. Ma'nosi:

Endi hammasi shu. 2 ta ildiz bor:

Bu javob.

Da ko'rsatkichli tenglamalarni yechish oxirida, ba'zida noqulay iboralar olinadi. Turi:

Ettidan oddiy daraja orqali deuce ishlamaydi. Ular qarindosh emas... Qanday qilib bu yerda bo'laman? Kimdir sarosimaga tushishi mumkin... Lekin bu saytda “Logarifm nima?” mavzusini o‘qigan odam. , faqat ozgina tabassum qiling va qattiq qo'l bilan mutlaqo to'g'ri javobni yozing:

Imtihondagi "B" topshiriqlarida bunday javob bo'lishi mumkin emas. Muayyan raqam talab qilinadi. Ammo "C" vazifalarida - oson.

Ushbu darsda eng keng tarqalgan ko'rsatkichli tenglamalarni echish misollari keltirilgan. Keling, asosiysini ta'kidlaymiz.

Amaliy maslahatlar:

1. Avvalo, biz qaraymiz asoslar daraja. Keling, ularni amalga oshirish mumkin emasligini ko'rib chiqaylik xuddi shu. Keling, faol foydalanish orqali buni qilishga harakat qilaylik vakolatlari bilan harakatlar. Shuni unutmangki, x bo'lmagan raqamlar ham darajalarga aylantirilishi mumkin!

2. Ko'rsatkichli tenglamani chap va o'ng bo'lgan shaklga keltirishga harakat qilamiz xuddi shu istalgan darajada raqamlar. Biz foydalanamiz vakolatlari bilan harakatlar va faktorizatsiya. Raqamlarda nimani hisoblash mumkin - biz hisoblaymiz.

3. Agar ikkinchi maslahat ishlamasa, biz o'zgaruvchan almashtirishni qo'llashga harakat qilamiz. Natijada osongina echiladigan tenglama bo'lishi mumkin. Ko'pincha - kvadrat. Yoki kasr, bu ham kvadratga tushadi.

4. Ko'rsatkichli tenglamalarni muvaffaqiyatli yechish uchun ba'zi sonlarning darajalarini "ko'rish orqali" bilish kerak.

Odatdagidek, dars oxirida sizni bir oz hal qilish taklif etiladi.) O'z-o'zidan. Oddiydan murakkabgacha.

Eksponensial tenglamalarni yechish:

Qiyinroq:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Ildiz hosilasi toping:

2 3-x + 2 x = 9

Bo'ldimi?

Xo'sh, keyin eng murakkab misol (bu ongda hal qilinadi ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Nima qiziqroq? Unda siz uchun yomon misol. Kattalashgan qiyinchilikda juda torting. Men ushbu misolda zukkolik va barcha matematik vazifalarni hal qilishning eng universal qoidasi tejalishini ta'kidlayman.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Misol oddiyroq, dam olish uchun):

9 2 x - 4 3 x = 0

Va desert uchun. Tenglama ildizlarining yig‘indisini toping:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ha ha! Bu aralash turdagi tenglama! Biz ushbu darsda ko'rib chiqmaganmiz. Va ularni nima deb hisoblash kerak, ularni hal qilish kerak!) Bu dars tenglamani hal qilish uchun etarli. Xo'sh, zukkolik kerak ... Va ha, ettinchi sinf sizga yordam beradi (bu maslahat!).

Javoblar (tartibsiz, nuqta-vergul bilan ajratilgan):

bitta; 2; 3; to'rtta; echimlar yo'q; 2; -2; -5; to'rtta; 0.

Hammasi muvaffaqiyatlimi? Ajoyib.

Muammo bormi? Muammo yo'q! 555-sonli maxsus bo'limda ushbu eksponensial tenglamalarning barchasi batafsil tushuntirishlar bilan hal qilinadi. Nima, nima uchun va nima uchun. Va, albatta, barcha turdagi eksponensial tenglamalar bilan ishlash bo'yicha qo'shimcha qimmatli ma'lumotlar mavjud. Faqat bular bilan emas.)

Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan oxirgi qiziqarli savol. Bu darsda biz eksponensial tenglamalar bilan ishladik. Nega men bu yerda ODZ haqida bir og‘iz so‘z aytmadim? Aytgancha, tenglamalarda bu juda muhim narsa ...

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

Barcha yangi video darslardan xabardor bo'lish uchun saytimizning youtube kanaliga.

Birinchidan, darajalarning asosiy formulalarini va ularning xususiyatlarini eslaylik.

Raqamning mahsuloti a o'z-o'zidan n marta sodir bo'lsa, bu ifodani a … a=a n shaklida yozishimiz mumkin

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Quvvat yoki eksponensial tenglamalar- bu o'zgaruvchilar darajalarda (yoki ko'rsatkichlarda) bo'lgan tenglamalar va asosi sondir.

Eksponensial tenglamalarga misollar:

Ushbu misolda 6 raqami asos bo'lib, u har doim pastda va o'zgaruvchidir x daraja yoki o'lchov.

Keling, ko'rsatkichli tenglamalarga ko'proq misollar keltiraylik.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Endi ko'rsatkichli tenglamalar qanday yechilishini ko'rib chiqamiz?

Oddiy tenglamani olaylik:

2 x = 2 3

Bunday misolni hatto aql bilan hal qilish mumkin. Ko'rinib turibdiki, x = 3. Axir, chap va o'ng tomonlar teng bo'lishi uchun x o'rniga 3 raqamini qo'yish kerak.
Keling, ushbu qaror qanday qabul qilinishi kerakligini ko'rib chiqaylik:

2 x = 2 3
x = 3

Ushbu tenglamani yechish uchun biz olib tashladik bir xil asoslar(ya'ni, deuces) va qolganini yozdi, bu darajalar. Biz izlagan javobni oldik.

Endi yechimimizni umumlashtiramiz.

Eksponensial tenglamani yechish algoritmi:
1. Tekshirish kerak xuddi shu tenglamaning asoslari o'ngda va chapda. Agar asoslar bir xil bo'lmasa, biz ushbu misolni hal qilish variantlarini qidiramiz.
2. Asoslar bir xil bo'lgandan keyin, tenglashtirmoq daraja va hosil bo'lgan yangi tenglamani yeching.

Endi ba'zi misollarni hal qilaylik:

Oddiydan boshlaylik.

Chap va o'ng tomonlardagi asoslar 2 raqamiga teng, ya'ni biz bazani tashlab, ularning darajalarini tenglashtirishimiz mumkin.

x+2=4 Eng oddiy tenglama chiqdi.
x=4 - 2
x=2
Javob: x=2

Quyidagi misolda siz asoslar boshqacha ekanligini ko'rishingiz mumkin, bular 3 va 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Boshlash uchun biz to'qqiztasini o'ng tomonga o'tkazamiz, biz quyidagilarni olamiz:

Endi siz bir xil asoslarni qilishingiz kerak. Biz 9=3 2 ekanligini bilamiz. (a n) m = a nm quvvat formulasidan foydalanamiz.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Biz 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 ni olamiz

3 3x \u003d 3 2x + 16 endi chap va o'ng tomonlardagi asoslar bir xil va uchtaga teng ekanligi aniq, ya'ni biz ularni tashlab, darajalarni tenglashtirishimiz mumkin.

3x=2x+16 eng oddiy tenglamani oldi
3x-2x=16
x=16
Javob: x=16.

Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Avvalo, biz bazalarni ko'rib chiqamiz, bazalar ikki va to'rtta farq qiladi. Va biz bir xil bo'lishimiz kerak. Biz to'rtburchakni (a n) m = a nm formulasiga muvofiq aylantiramiz.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Shuningdek, biz a n a m = a n + m formulasidan foydalanamiz:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tenglamaga qo'shing:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Xuddi shu sabablarga ko'ra biz misol keltirdik. Ammo boshqa 10 va 24 raqamlari bizga xalaqit beradi.Ular bilan nima qilish kerak? Agar diqqat bilan qarasangiz, chap tomonda biz 2 2x takrorlanganimizni ko'rishingiz mumkin, mana javob - biz qavs ichidan 2 2x qo'yishimiz mumkin:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Qavs ichidagi ifodani hisoblaymiz:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Biz butun tenglamani 6 ga bo'lamiz:

4=2 2 ni tasavvur qiling:

2 2x \u003d 2 2 tayanch bir xil, ularni tashlang va darajalarni tenglashtiring.
2x \u003d 2 eng oddiy tenglama bo'lib chiqdi. Biz uni 2 ga bo'lamiz, olamiz
x = 1
Javob: x = 1.

Keling, tenglamani yechamiz:

9 x - 12*3 x +27= 0

Keling, aylantiramiz:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Biz tenglamani olamiz:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bizning asoslarimiz bir xil, uchga teng.Bu misolda birinchi uchlik ikkinchisiga (faqat x) nisbatan ikki marta (2x) darajaga ega ekanligi aniq. Bunday holda siz qaror qabul qilishingiz mumkin almashtirish usuli. Eng kichik darajali raqam quyidagi bilan almashtiriladi:

Keyin 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

t bilan tenglamada barcha darajalarni x bilan almashtiramiz:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Biz kvadrat tenglamani olamiz. Diskriminant orqali hal qilamiz, biz quyidagilarni olamiz:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Oʻzgaruvchi sahifasiga qaytish x.

Biz t 1 ni olamiz:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Anavi,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bitta ildiz topildi. Biz t 2 dan ikkinchisini qidiramiz:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Javob: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Saytda siz o'zingizni qiziqtirgan savollarni berish uchun QAROR BERISHGA YORDAM BERISH bo'limida mumkin, biz sizga albatta javob beramiz.

Guruhga qo'shiling

Mening so'zlarimdan qo'rqmang, siz 7-sinfda polinomlarni o'rganayotganingizda bu usulga duch kelgansiz.

Masalan, agar sizga kerak bo'lsa:

Guruhlashtiramiz: birinchi va uchinchi atamalar, shuningdek, ikkinchi va to'rtinchi.

Birinchi va uchinchi kvadratlarning farqi aniq:

ikkinchi va to'rtinchi umumiy koeffitsient uchga teng:

Keyin asl ifoda bunga teng:

Umumiy omilni qaerdan olib tashlash endi qiyin emas:

Binobarin,

Eksponensial tenglamalarni yechishda taxminan shunday harakat qilamiz: atamalar orasidan "umumiylik" ni qidiring va uni qavs ichidan olib tashlang, mayli, nima bo'ladi, biz omadli bo'lishiga ishonaman =))

№14 misol

O'ng tomonda etti kuchdan uzoqda (men tekshirdim!) Va chapda - biroz yaxshiroq ...

Siz, albatta, birinchi davrdan boshlab a omilini ikkinchi muddatdan "kesib qo'yishingiz" mumkin va keyin olgan narsangiz bilan shug'ullanishingiz mumkin, ammo keling, siz bilan yanada ehtiyotkorroq harakat qilaylik.

Men "tanlash" orqali muqarrar ravishda hosil bo'ladigan kasrlar bilan shug'ullanishni xohlamayman, shuning uchun chidaganim yaxshiroq emasmi?

Shunda menda kasrlar bo'lmaydi: ular aytganidek, bo'rilar ham to'la, ham qo'ylar xavfsiz:

Qavs ichidagi ifodani sanang.

Sehrli, sehrli, ma'lum bo'ldi (ajablanarlisi shundaki, biz yana nimani kutishimiz mumkin?).

Keyin tenglamaning ikkala tomonini shu koeffitsientga kamaytiramiz. Biz olamiz: qaerda.

Mana murakkabroq misol (juda biroz, haqiqatan ham):

Mana muammo! Bu erda umumiy tilimiz yo'q!

Hozir nima qilish kerakligi aniq emas.

Va keling, qo'limizdan kelganini qilaylik: birinchi navbatda, biz "to'rtlik" ni bir yo'nalishda, "beshlik" ni boshqa tomonga o'tkazamiz:

Endi chap va o'ngdagi "umumiy" ni chiqaramiz:

Xo'sh, endi nima?

Bunday ahmoqona guruhlashdan nima foyda? Bir qarashda, u umuman ko'rinmaydi, lekin chuqurroq qaraylik:

Xo'sh, endi shunday qilaylikki, chap tomonda bizda faqat c ifodasi, o'ngda esa - qolgan hamma narsa bor.

Buni qanday qilishimiz mumkin?

Mana shunday: tenglamaning har ikki tomonini birinchi bo'lib (shuning uchun biz o'ngdagi ko'rsatkichdan xalos bo'lamiz), so'ngra ikkala tomonni ham bo'lamiz (shuning uchun biz chapdagi son omildan xalos bo'lamiz).

Nihoyat, biz olamiz:

Ajoyib!

Chapda bizda ifoda bor, o'ngda esa - shunchaki.

Keyin biz darhol xulosa qilamiz

№15 misol

Men uning qisqacha yechimini beraman (tushuntirishga qiynalmayman), yechimning barcha "nozik tomonlarini" o'zingiz aniqlashga harakat qiling.

Endi qoplangan materialning yakuniy konsolidatsiyasi.

Quyidagi 7 ta vazifani mustaqil hal qiling (javoblari bilan)

1. Qavslar ichidan umumiy omilni chiqaramiz:
2. Biz birinchi ifodani quyidagi ko'rinishda ifodalaymiz: , ikkala qismni bo'ling va shuni oling
3. , keyin asl tenglama shaklga aylantiriladi: Xo'sh, endi bir maslahat - siz va men bu tenglamani allaqachon hal qilgan joyni qidiring!
4. Tasavvur qiling-a, qanday qilib, qanday qilib, ah, yaxshi, keyin ikkala qismni bo'ling, shunda siz eng oddiy eksponensial tenglamani olasiz.
5. Uni qavslardan chiqarib oling.
6. Uni qavslardan chiqarib oling.

EXPOZİTSIONAL TENGLAMALAR. O'RTACHA DARAJASI

O'ylaymanki, birinchi maqolani o'qib chiqqandan so'ng eksponensial tenglamalar nima va ularni yechish usullari, siz eng oddiy misollarni hal qilish uchun zarur bo'lgan minimal bilimlarni o'zlashtirgansiz.

Endi men eksponensial tenglamalarni yechishning boshqa usulini tahlil qilaman, bu ...

Yangi o'zgaruvchini (yoki almashtirishni) kiritish usuli

U eksponensial tenglamalar (va nafaqat tenglamalar) mavzusidagi "qiyin" muammolarni hal qiladi.

Bu usul quyidagilardan biridir amaliyotda eng ko'p qo'llaniladi. Birinchidan, men sizga mavzu bilan tanishishingizni tavsiya qilaman.

Nomidan allaqachon tushunganingizdek, ushbu usulning mohiyati o'zgaruvchining shunday o'zgarishini kiritishdan iboratki, sizning eksponensial tenglama mo''jizaviy tarzda siz allaqachon osongina echishingiz mumkin bo'lgan tenglamaga aylanadi.

Ushbu "soddalashtirilgan tenglama" ni yechganingizdan so'ng siz uchun qolgan narsa "teskari almashtirish" ni amalga oshirishdir: ya'ni almashtirilgandan almashtirilganga qaytish.

Keling, hozirgina aytganimizni juda oddiy misol bilan ko'rsatamiz:

Misol 16. Oddiy almashtirish usuli

Bu tenglama bilan yechiladi "oddiy almashtirish", matematiklar buni kamsituvchi deb atashadi.

Darhaqiqat, bu erda almashtirish eng aniq. Buni shunchaki ko'rish kerak

Keyin asl tenglama quyidagicha bo'ladi:

Agar biz qanday qilib qo'shimcha ravishda tasavvur qilsak, uni almashtirish kerakligi aniq ...

Albatta, .

Keyin asl tenglama nimaga aylanadi? Va mana nima:

Uning ildizlarini o'zingiz osongina topishingiz mumkin:.

Endi nima qilishimiz kerak?

Asl o'zgaruvchiga qaytish vaqti keldi.

Men nimani kiritishni unutdim?

Ya'ni: ma'lum darajani yangi o'zgaruvchiga almashtirganda (ya'ni turni almashtirishda) meni qiziqtiradi faqat ijobiy ildizlar!

Buning sababini o'zingiz osongina javob berishingiz mumkin.

Shunday qilib, biz sizni qiziqtirmaymiz, lekin ikkinchi ildiz biz uchun juda mos keladi:

Keyin qayerda.

Javob:

Ko'rib turganingizdek, oldingi misolda, almashtirish bizning qo'limizni so'radi. Afsuski, bu har doim ham shunday emas.

Biroq, keling, to'g'ridan-to'g'ri qayg'uga bormaylik, lekin juda oddiy almashtirish bilan yana bitta misolda mashq qilaylik

Misol 17. Oddiy almashtirish usuli

Buni almashtirish kerak bo'lishi aniq (bu bizning tenglamamizga kiritilgan kuchlarning eng kichigi).

Biroq, almashtirishni kiritishdan oldin, bizning tenglamamiz unga "tayyorlanishi" kerak, ya'ni: , .

Keyin siz o'zgartirishingiz mumkin, natijada men quyidagi iborani olaman:

Oh dahshat: uni hal qilish uchun mutlaqo dahshatli formulalar bilan kub tenglama (yaxshi, umumiy ma'noda).

Ammo keling, darhol umidsizlikka tushmay, nima qilishimiz kerakligini o'ylab ko'raylik.

Men aldashni taklif qilaman: biz bilamizki, "chiroyli" javob olish uchun biz uchta kuch shaklida bo'lishimiz kerak (nega shunday bo'ladi, a?).

Va keling, tenglamamizning kamida bitta ildizini taxmin qilishga harakat qilaylik (men uchta kuchdan taxmin qilishni boshlayman).

Birinchi taxmin. Ildiz emas. Voy va oh ...

.
Chap tomoni teng.
O'ng qism:!

U yerda! Birinchi ildizni taxmin qildim. Endi ishlar osonlashadi!

"Burchak" bo'linish sxemasi haqida bilasizmi? Albatta, bilasiz, siz bir raqamni boshqasiga bo'lganingizda foydalanasiz.

Ammo ko'p nomlar bilan ham xuddi shunday qilish mumkinligini kam odam biladi.

Bitta ajoyib teorema bor:

Mening vaziyatimga taalluqli bo'lib, u menga nimaga qoldiqsiz bo'linishini aytadi.

Bo'linish qanday amalga oshiriladi? Shunday qilib:

Men olish uchun qaysi monomiyani ko'paytirishim kerakligini ko'rib chiqaman

Shunda aniq bo'ladi:

Olingan iborani dan ayiraman, men olaman:

Endi, olish uchun nimani ko'paytirishim kerak?

Shunda men olishim aniq:

va yana qolgan ifodadan olingan ifodani ayiring:

Xo'sh, oxirgi qadam, men ko'paytiraman va qolgan ifodadan ayiraman:

Voy, bo'linish tugadi! Biz shaxsiy hayotda nimani to'pladik?

O'z-o'zidan: .

Keyin biz asl polinomning quyidagi kengaytmasini oldik:

Ikkinchi tenglamani yechamiz:

Uning ildizlari bor:

Keyin asl tenglama:

uchta ildizga ega:

Biz, albatta, oxirgi ildizni tashlaymiz, chunki u noldan kam.

Va teskari almashtirishdan keyingi dastlabki ikkitasi bizga ikkita ildiz beradi:

Javob: ..

Bu misol bilan sizni qo‘rqitmoqchi emasdim!

Aksincha, aksincha, bizda juda oddiy almashtirish bo'lsa-da, ammo bu juda murakkab tenglamaga olib keldi, uni hal qilish bizdan maxsus ko'nikmalarni talab qildi.

Axir, hech kim bundan himoyalanmagan. Ammo bu holatda o'zgarish juda aniq edi.

18-misol (aniqroq almashtirish bilan)

Biz nima qilishimiz kerakligi umuman aniq emas: muammo shundaki, bizning tenglamamizda ikki xil asos mavjud va bir asosni boshqasidan biron bir (oqilona, ​​tabiiy) kuchga ko'tarish orqali olish mumkin emas.

Biroq, biz nimani ko'ramiz?

Ikkala asos ham faqat belgi bilan farqlanadi va ularning mahsuloti bittaga teng kvadratlar farqidir:

Ta'rif:

Shunday qilib, bizning misolimizda asos bo'lgan raqamlar konjugatdir.

Bunday holda, aqlli harakat bo'ladi tenglamaning ikkala tomonini konjugat soniga ko'paytiring.

Masalan, on, keyin tenglamaning chap tomoni teng bo'ladi va o'ng tomoni.

Agar biz almashtirsak, siz bilan bizning asl tenglamamiz quyidagicha bo'ladi:

uning ildizlari, keyin, lekin buni eslab, biz buni tushunamiz.

Javob: , .

Qoidaga ko'ra, almashtirish usuli "maktab" ko'rsatkichli tenglamalarning ko'pini echish uchun etarli.

Imtihon variantlaridan murakkablik darajasi yuqori bo'lgan quyidagi vazifalar olinadi.

Imtihon variantlaridan murakkabligi yuqori bo'lgan uchta vazifa

Siz allaqachon bu misollarni o'zingiz hal qilish uchun etarli darajada savodlisiz. Men faqat kerakli almashtirishni beraman.

1. Tenglamani yeching:
2. Tenglamaning ildizlarini toping:
3. Tenglamani yeching: . Ushbu tenglamaning segmentga tegishli barcha ildizlarini toping:

Endi ba'zi tezkor tushuntirishlar va javoblar uchun:

№19 misol

Bu erda shuni ta'kidlash kifoya va.

Keyin asl tenglama bunga ekvivalent bo'ladi:

Bu tenglama almashtirish orqali yechiladi

Quyidagi hisob-kitoblarni o'zingiz bajaring.

Oxir-oqibat, sizning vazifangiz eng oddiy trigonometrik (sinus yoki kosinusga qarab) echishga qisqartiriladi. Bunday misollarning yechimini boshqa bo'limlarda muhokama qilamiz.

№20 misol

Bu erda siz hatto almashtirmasdan ham qilishingiz mumkin ...

Subtrahendni o'ngga siljitish va ikkala asosni ikkitaning kuchi orqali taqdim etish kifoya: keyin darhol kvadrat tenglamaga o'ting.

21-misol

Bu ham juda standart tarzda hal qilinadi: qanday qilib tasavvur qiling.

Keyin, almashtirsak, kvadrat tenglamani olamiz: keyin,

Logarifm nima ekanligini allaqachon bilasizmi? Yo'qmi? Keyin zudlik bilan mavzuni o'qing!

Birinchi ildiz, shubhasiz, segmentga tegishli emas, ikkinchisi esa tushunarsiz!

Ammo biz buni tez orada bilib olamiz!

O'shandan beri (bu logarifmning xususiyati!)

Ikkala qismdan ayirish, keyin biz olamiz:

Chap tomonni quyidagicha ifodalash mumkin:

ikkala tomonni ko'paytiring:

ga ko'paytirish mumkin, keyin

Keyin taqqoslaylik:

O'shandan beri:

Keyin ikkinchi ildiz kerakli intervalga tegishli

Javob:

Ko'rib turganingizdek, eksponensial tenglamalarning ildizlarini tanlash logarifmlarning xossalarini chuqur bilishni talab qiladi., shuning uchun men sizga eksponensial tenglamalarni yechishda iloji boricha ehtiyot bo'lishingizni maslahat beraman.

Ma'lumki, matematikada hamma narsa o'zaro bog'liq!

Matematika o‘qituvchim aytganidek: “Matematikani tarix kabi bir kechada o‘qib bo‘lmaydi”.

Qoida tariqasida, hammasi Murakkablik darajasi oshgan masalalarni yechishdagi qiyinchilik aynan tenglamaning ildizlarini tanlashdir.

Yana bir amaliy misol...

22-misol

Ko'rinib turibdiki, tenglamaning o'zi juda oddiy hal qilinadi.

O'zgartirishni amalga oshirgandan so'ng, biz asl tenglamamizni quyidagilarga qisqartiramiz:

Birinchidan, ko'rib chiqaylik birinchi ildiz.

Taqqoslang va: beri, keyin. (logarifmik funksiyaning xossasi, at).

Shunda birinchi ildiz ham bizning intervalimizga tegishli emasligi aniq bo'ladi.

Endi ikkinchi ildiz: . Bu aniq (funktsiya ortib borayotganligi sababli).

Bu solishtirish uchun qoladi va

beri, keyin, bir vaqtning o'zida.

Shunday qilib, men va o'rtasida "qoziq qo'yishim" mumkin.

Bu qoziq raqamdir.

Birinchi ifoda kichik, ikkinchisi esa katta.

Keyin ikkinchi ifoda birinchisidan kattaroq va ildiz intervalga tegishli.

Javob: .

Xulosa qilib aytganda, almashtirish juda nostandart bo'lgan tenglamaning yana bir misolini ko'rib chiqaylik.

23-misol (Nostandart almashtirish bilan tenglama!)

Keling, darhol nima qila olishingizdan boshlaylik va nima - printsipial jihatdan, siz qila olasiz, lekin buni qilmaslik yaxshiroqdir.

Bu mumkin - hamma narsani uch, ikki va oltita kuchlar orqali ifodalash.

Qayerga olib boradi?

Ha, va hech narsaga olib kelmaydi: darajalar hodgepodge, ulardan ba'zilari qutulish juda qiyin bo'ladi.

Keyin nima kerak?

Shuni ta'kidlash kerakki, a

Va bu bizga nima beradi?

Va bu misolning yechimini juda oddiy eksponensial tenglamaning yechimiga qisqartirishimiz mumkin!

Birinchidan, tenglamamizni quyidagicha qayta yozamiz:

Endi hosil bo'lgan tenglamaning ikkala tomonini quyidagilarga ajratamiz:

Evrika! Endi biz almashtirishimiz mumkin, biz olamiz:

Xo'sh, endi ko'rgazmali masalalarni hal qilish navbati sizda, adashmasligingiz uchun men ularga qisqacha izoh beraman! Omad!

24-misol

Eng qiyin!

Bu yerda o‘rinbosarni ko‘rish, naqadar xunuk! Shunga qaramay, ushbu misol yordamida butunlay hal qilish mumkin to'liq kvadratni tanlash.

Buni hal qilish uchun shuni ta'kidlash kifoya:

Mana sizning o'rningiz:

(E'tibor bering, bu erda bizni almashtirish bilan biz salbiy ildizni tashlay olmaymiz!!! Va nima uchun, nima deb o'ylaysiz?)

Endi misolni yechish uchun siz ikkita tenglamani echishingiz kerak:

Ularning ikkalasi ham "standart almashtirish" bilan hal qilinadi (lekin ikkinchisi bitta misolda!)

№25 misol

2. Bunga e'tibor bering va almashtirishni amalga oshiring.

№26 misol

3. Raqamni ko‘paytiring va hosil bo‘lgan ifodani soddalashtiring.

№27 misol

4. Kasrning sonini va maxrajini (yoki xohlasangiz) ga bo'ling va almashtirishni bajaring.

28-misol

5. E'tibor bering va raqamlari qo'shma.

EKSPONENTSIAL TENGLAMALARNI LOGARIFLASH USULLARI BILAN YECHISH. ILG'IY DARAJA

Bundan tashqari, keling, boshqa yo'lni ko'rib chiqaylik - ko'rsatkichli tenglamalarni logarifm usulida yechish.

Ko'rsatkichli tenglamalarni bu usul bilan yechish juda mashhur deb ayta olmayman, lekin ba'zi hollarda faqat u bizni tenglamamizning to'g'ri echilishiga olib kelishi mumkin.

Ayniqsa, ko'pincha u "deb nomlangan narsani hal qilish uchun ishlatiladi. aralash tenglamalar': ya'ni har xil turdagi funktsiyalar mavjud bo'lganlar.

№29-misol

umumiy holatda, uni faqat ikkala qismning logarifmini (masalan, bazis bo'yicha) olish orqali hal qilish mumkin, bunda dastlabki tenglama quyidagilarga aylanadi:

Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqaylik:

Bizni faqat logarifmik funksiyaning ODZ si qiziqtirishi aniq.

Biroq, bu faqat logarifmning ODZ dan emas, balki boshqa sababdan kelib chiqadi.

O'ylaymanki, qaysi birini taxmin qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi.

Keling, tenglamamizning ikkala tomonining logarifmini asosga olaylik:

Ko'rib turganingizdek, dastlabki tenglamamizning logarifmini olish bizni tezda to'g'ri (va chiroyli!) javobga olib keldi.

Keling, yana bir misol bilan mashq qilaylik.

№30 misol

Bu erda ham tashvishlanadigan hech narsa yo'q: biz tenglamaning ikkala tomonining logarifmini asos bo'yicha olamiz, keyin biz quyidagilarni olamiz:

Keling, almashtiramiz:

Biroq, biz bir narsani o'tkazib yubordik! Qayerda xato qilganimni payqadingizmi? Axir, keyin:

bu talabni qondirmaydi (u qaerdan kelganini o'ylab ko'ring!)

Javob:

Quyidagi eksponensial tenglamalar yechimini yozishga harakat qiling:

Endi yechimingizni shu bilan tekshiring:

№31 misol

Biz ikkala qismning logarifmini asosga olamiz, shuni hisobga olib:

(ikkinchi ildiz almashtirilganligi sababli bizga mos kelmaydi)

№32 misol

Logarifmdan asosga:

Olingan ifodani quyidagi shaklga aylantiramiz:

EXPOZİTSIONAL TENGLAMALAR. QISQA TA'RIF VA ASOSIY FORMULA

eksponensial tenglama

Tenglama turi:

chaqirdi eng oddiy eksponensial tenglama.

Darajaning xususiyatlari

Yechimga yondashuvlar

• Xuddi shu bazaga qisqartirish
• Xuddi shu ko'rsatkichga qisqartirish
• O'zgaruvchan almashtirish
• Ifodani soddalashtiring va yuqoridagilardan birini qo'llang.

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Dars turi

: “Ko‘rsatkichli tenglamalar va ularni yechish yo‘llari” mavzusidagi bilim, ko‘nikma va malakalarni umumlashtirish va kompleks qo‘llash darsi.

Dars maqsadlari.

Darslar:

“Ko‘rsatkichli tenglamalar, ularning yechimlari” mavzusining asosiy materialini takrorlash va tizimlashtirish; har xil turdagi eksponensial tenglamalarni echishda tegishli algoritmlardan foydalanish qobiliyatini mustahkamlash; imtihonga tayyorgarlik.

Rivojlanayotgan:

talabalarning mantiqiy va assotsiativ tafakkurini rivojlantirish; bilimlarni mustaqil qo'llash ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish.

Tarbiyaviy:

tenglamalarni yechishda maqsadlilik, diqqat va aniqlikni tarbiyalash.

Uskunalar:

kompyuter va multimedia proyektori.

Dars foydalanadi axborot texnologiyalari : dars uchun uslubiy yordam - Microsoft Power Point dasturida taqdimot.

Darslar davomida

Har bir mahorat mashaqqatli mehnat bilan birga keladi.

I. Darsning maqsadini belgilash(slayd raqami 2 )

Ushbu darsda biz “Ko‘rsatkichli tenglamalar, ularning yechimlari” mavzusini umumlashtiramiz va umumlashtiramiz. Keling, ushbu mavzu bo'yicha turli yillardagi imtihonning tipik vazifalari bilan tanishaylik.

Eksponensial tenglamalarni yechish uchun topshiriqlarni USE topshiriqlarining istalgan qismida topish mumkin. "qismida DA " odatda eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarni yechishni taklif qiladi. "qismida dan " siz ko'proq murakkab eksponensial tenglamalarni uchratishingiz mumkin, ularning echimi odatda vazifaning bosqichlaridan biridir.

Masalan ( slayd raqami 3 ).

• FOYDALANISH - 2007

B 4 - ifodaning eng katta qiymatini toping x y, qayerda ( X; da) tizimning yechimi:

• FOYDALANISH - 2008

B 1 - Tenglamalarni yechish:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• FOYDALANISH - 2009 yil

B 4 - ifodaning qiymatini toping x + y, qayerda ( X; da) tizimning yechimi:

• FOYDALANISH - 2010

– Tenglamani yeching: 7 X– 2 = 49. – Tenglamaning ildizlarini toping: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – tenglamalar tizimini yeching:

II. Asosiy bilimlarni yangilash. Takrorlash

(Slaydlar №4-6 sinf taqdimotlari)

Ekran ko'rsatiladi nazariy materialning ma'lumotnoma xulosasi ushbu mavzu bo'yicha.

Quyidagi savollar muhokama qilinadi:

1. Qanday tenglamalar deyiladi indikativ?
2. Ularni hal qilishning asosiy usullarini ayting. Ularning turlariga misollar keltiring ( slayd raqami 4 )

(Har bir usul uchun taklif qilingan tenglamalarni o'z-o'zidan yechish va slayddan foydalanib o'z-o'zini sinab ko'rish)

3. Shaklning eng oddiy ko'rsatkichli tenglamalarini yechish uchun qanday teorema qo'llaniladi: va f(x) = a g(x) ?
4. Eksponensial tenglamalarni yechishning yana qanday usullari mavjud? ( slayd raqami 5 )

• Faktorizatsiya usuli
(bilan kuchlarning xususiyatlariga asoslanib bir xil asoslar, qabul qilish: eng past ko'rsatkichli daraja qavs ichidan chiqariladi).
• Bir jinsli ko'rsatkichli tenglamalarni yechishda noldan boshqa ko'rsatkichli ifoda bilan bo'lish (ko'paytirish)ni qabul qilish
.

• Maslahat:

ko'rsatkichli tenglamalarni yechishda, avvalo, tenglamaning ikkala qismida bir xil asoslarga ega darajalarni olish uchun o'zgartirishlarni amalga oshirish foydalidir.

1. Tenglamalarni oxirgi ikki usuldan keyin izohlar bilan yechish

(slayd raqami 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. USE vazifalarini hal qilish 2010

Talabalar 3-slaydda dars boshida taklif qilingan vazifalarni mustaqil ravishda hal qilish bo'yicha ko'rsatmalardan foydalangan holda hal qiladilar, taqdimot yordamida qaror qabul qilish jarayoni va ularga javoblarni tekshiradilar ( slayd raqami 7). Ish jarayonida hal qilish variantlari va usullari muhokama qilinadi, yechimdagi mumkin bo'lgan xatolarga e'tibor qaratiladi.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Javob: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (Siz 0,5 \u003d 4 - 0,5 ni almashtirishingiz mumkin)

Yechim. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Javob: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, at cos y< 0.

Qaror qabul qilish uchun taklif

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2g y+ 4 5 tg y- 1 = 0. Keling X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

tg dan beri y= -1 va cos y< 0, keyin da II koordinatali chorak

Javob: da= 3/4 + 2k, k N.

IV. Doskada hamkorlik

Yuqori darajadagi o'rganish vazifasi ko'rib chiqiladi - slayd raqami 8. Ushbu slayd yordamida o‘qituvchi va o‘quvchilar o‘rtasida dialog bo‘lib, yechimni ishlab chiqishga xizmat qiladi.

- Qaysi parametrda a tenglama 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0 ning ikkita ildizi bormi?

Mayli t= 2 X, qayerda t > 0 . olamiz t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

biri). Tenglama ikkita ildizga ega bo'lgani uchun D > 0;

2). Chunki t 1,2 > 0, keyin t 1 t 2 > 0, ya'ni a 2 – 4a> 0 (?...).

Javob: a(– 0,5; 0) yoki (4; 4,5).

V. Tekshirish ishlari

(Slayd raqami 9 )

Talabalar ijro etadilar tekshirish ishi varaqalar bo'yicha, o'z-o'zini nazorat qilish va taqdimot yordamida bajarilgan ishlarni o'z-o'zini baholash, mavzu bo'yicha o'zini tasdiqlash. Ular mustaqil ravishda ish kitoblarida yo'l qo'yilgan xatolar asosida bilimlarni tartibga solish va tuzatish dasturini belgilaydilar. Tugallangan mustaqil ish varaqlari tekshirish uchun o'qituvchiga topshiriladi.

Tagi chizilgan raqamlar asosiy, yulduzchali raqamlar esa kengaytirilgan.

Yechim va javoblar.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (tog'ri kelmaydi),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Uy ishi

(Slayd raqami 10 )

• § 11, 12-ni takrorlang.
• 2008 - 2010 yillardagi Yagona davlat imtihonining materiallaridan mavzu bo'yicha vazifalarni tanlang va ularni hal qiling.
• Uyda test ishi
: