Tasodifiy o'zgaruvchi turli holatlarga qarab ma'lum qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchidir va tasodifiy miqdor uzluksiz deyiladi , agar u qandaydir chegaralangan yoki cheklanmagan oraliqdan istalgan qiymatni qabul qila olsa. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni ko'rsatish mumkin emas, shuning uchun ma'lum bir ehtimollik bilan bog'liq bo'lgan ushbu qiymatlarning intervallari belgilanadi.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar: berilgan o'lchamga aylantirilgan qismning diametri, odamning balandligi, o'qning masofasi va boshqalar.

Chunki uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun funktsiya F(x), farqli o'laroq diskret tasodifiy o'zgaruvchilar, hech bir joyda sakrashlari yo'q, u holda uzluksiz tasodifiy miqdorning har qanday yagona qiymatining ehtimoli nolga teng.

Bu shuni anglatadiki, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun uning qiymatlari orasidagi ehtimollik taqsimoti haqida gapirishning ma'nosi yo'q: ularning har biri nolga teng ehtimolga ega. Biroq, ma'lum bir ma'noda, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari orasida "ko'proq va kamroq ehtimol" mavjud. Misol uchun, hech kim tasodifiy o'zgaruvchining qiymati - tasodifiy duch kelgan odamning balandligi - 170 sm - 220 sm dan ko'proq bo'lishiga shubha qilishi dargumon, garchi bir va boshqa qiymat amalda sodir bo'lishi mumkin.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish funksiyasi va ehtimollik zichligi

Faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mantiqiy bo'lgan taqsimot qonuni sifatida taqsimot zichligi yoki ehtimollik zichligi tushunchasi kiritilgan. Keling, uzluksiz tasodifiy miqdor va diskret tasodifiy miqdor uchun taqsimot funktsiyasining ma'nosini taqqoslash orqali yondashamiz.

Demak, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi (ham diskret, ham uzluksiz) yoki integral funktsiya tasodifiy o'zgaruvchining qiymati bo'lish ehtimolini aniqlaydigan funksiya deyiladi X chegara qiymatidan kam yoki unga teng X.

Uning qiymatlari nuqtalarida diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun x1 , x 2 , ..., x men,... ehtimolliklarning konsentrlangan massalari p1 , p 2 , ..., p men,..., va barcha massalar yig'indisi 1 ga teng. Keling, bu talqinni uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchiga o'tkazamiz. Tasavvur qiling-a, 1 ga teng massa alohida nuqtalarda to'plangan emas, balki x o'qi bo'ylab doimiy ravishda "yog'langan". ho'kiz bir oz notekis zichlik bilan. Har qanday saytdagi tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli D x Ushbu bo'limga tegishli bo'lgan massa sifatida va ushbu bo'limdagi o'rtacha zichlik - massaning uzunlikka nisbati sifatida talqin qilinadi. Biz hozirgina ehtimollar nazariyasiga muhim tushunchani kiritdik: taqsimot zichligi.

Ehtimollik zichligi f(x) uzluksiz tasodifiy miqdor uning taqsimot funksiyasining hosilasidir:

.

Zichlik funksiyasini bilib, uzluksiz tasodifiy miqdorning qiymati yopiq intervalga tegishli bo'lish ehtimolini topishimiz mumkin [ a; b]:

uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X oraliqdan istalgan qiymatni oladi [ a; b], dan oraliqda uning ehtimollik zichligining ma’lum bir integraliga teng a oldin b:

.

Qayerda umumiy formula funktsiyalari F(x) zichlik funktsiyasi ma'lum bo'lsa, foydalanish mumkin bo'lgan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti f(x) :

.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi grafigi uning taqsimot egri chizig'i deb ataladi (quyida rasm).

Shaklning maydoni (rasmda soyali), egri chiziq bilan chegaralangan, nuqtalardan chizilgan to'g'ri chiziqlar a va b abscissa o'qiga perpendikulyar va o'q Oh, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymati bo'lish ehtimolini grafik tarzda ko'rsatadi X oralig'ida joylashgan a oldin b.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasining xossalari

1. Tasodifiy o'zgaruvchining oraliqdan istalgan qiymatni olish ehtimoli (va funktsiya grafigi bilan chegaralangan rasmning maydoni) f(x) va o'q Oh) birga teng:

2. Ehtimollar zichligi funksiyasi manfiy qiymatlarni qabul qila olmaydi:

va taqsimot mavjudligidan tashqarida uning qiymati nolga teng

Tarqatish zichligi f(x), shuningdek, taqsimlash funktsiyasi F(x), taqsimot qonunining shakllaridan biridir, lekin taqsimot funktsiyasidan farqli o'laroq, u universal emas: taqsimot zichligi faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud.

Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlashning amaldagi ikkita eng muhim turini aytib o'tamiz.

Agar taqsimot zichligi funktsiyasi bo'lsa f(x) ba'zi bir chekli oraliqdagi uzluksiz tasodifiy miqdor [ a; b] doimiy qiymatni oladi C, va intervaldan tashqarida nolga teng qiymat qabul qilinadi, keyin bu taqsimlash bir xil deb ataladi .

Agar taqsimot zichligi funktsiyasining grafigi markazga nisbatan nosimmetrik bo'lsa, o'rtacha qiymatlar markazga yaqin joyda to'planadi va markazdan uzoqlashganda o'rtacha qiymatlardan farqliroq yig'iladi (funktsiya grafigi kesmaga o'xshaydi). qo'ng'iroq), keyin bu taqsimot normal deyiladi .

1-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi ma'lum:

Xususiyat toping f(x) uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi. Ikkala funktsiya uchun grafiklarni tuzing. Uzluksiz tasodifiy miqdorning 4 dan 8 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimolini toping: .

Yechim. Ehtimollar taqsimoti funksiyasining hosilasini topib, ehtimollik zichligi funksiyasini olamiz:

Funktsiya grafigi F(x) - parabola:

Funktsiya grafigi f(x) - to'g'ri chiziq:

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining 4 dan 8 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimoli topilsin:

2-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasi quyidagicha berilgan:

Hisoblash omili C. Xususiyat toping F(x) uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti. Ikkala funktsiya uchun grafiklarni tuzing. Uzluksiz tasodifiy miqdorning 0 dan 5 gacha bo‘lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimolini toping: .

Yechim. Koeffitsient C ehtimollik zichligi funksiyasining 1 xususiyatidan foydalanib topamiz:

Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasi:

Integratsiyalash orqali biz funktsiyani topamiz F(x) ehtimollik taqsimotlari. Agar a x < 0 , то F(x) = 0. Agar 0< x < 10 , то

.

x> 10, keyin F(x) = 1 .

Shunday qilib, ehtimollikni taqsimlash funktsiyasining to'liq yozuvi:

Funktsiya grafigi f(x) :

Funktsiya grafigi F(x) :

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining 0 dan 5 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimoli topilsin:

3-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi X tenglik bilan beriladi, esa. Koeffitsientni toping LEKIN, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ]0, 5[ oraliqdan qandaydir qiymat oladi X.

Yechim. Shartga ko'ra, biz tenglikka erishamiz

Shuning uchun, qaerdan. Shunday qilib,

.

Endi biz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimolini topamiz X]0, 5[ oralig'idan istalgan qiymatni oladi:

Endi biz ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash funktsiyasini olamiz:

4-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligini toping X, bu faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni oladi va uning taqsimot funktsiyasi .

Uzluksiz s. ichida. taqsimlash zichligi yoki ehtimollik zichligi yoki differentsial taqsimot funktsiyasi deb ataladigan funktsiya yordamida aniqlanishi mumkin.

Tarqatish zichligi uzluksiz ehtimoli c. ichida. X f(x) funksiyasini F(x) taqsimot funksiyasining birinchi hosilasi deb ataydi:

Bu ta'rifdan kelib chiqadiki, taqsimot funksiyasi taqsimot zichligiga qarshi hosiladir.

Diskret s ning ehtimollik taqsimotini tavsiflash. ichida. tarqatish zichligi qo'llanilmaydi.

Tarqatish zichligining ehtimollik ma'nosi.

Shunday qilib, ehtimollik nisbati chegarasi uzluksiz c. ichida. (x, x +∆x) oralig'iga tegishli qiymatni oladi, bu oraliq uzunligiga (∆x → 0 uchun) x nuqtadagi tarqalish zichligi qiymatiga teng.

Zichlik funksiyasi taqsimot funksiyasi kabi butun diapazonni emas, balki uzluksiz tasodifiy miqdorning har bir qiymatini alohida tavsiflaydi.

Uzluksiz urish ehtimoli c. ichida. berilgan oraliqda.

Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra:

P(a< X  b}= F(b) – F(a),

Shunday qilib

Ma’lum zichlik funksiyasidan taqsimot funksiyasini topish.

Oldingi formulada a = -∞, b = x deb faraz qilib, x integrasiya o‘zgaruvchisini t bilan almashtirsak, bizda:

F(x) = P(X  x)=P(-∞< X  х},

Natijada

Tarqatish zichligi xossalari

Mulk 1. Tarqatish zichligi manfiy bo'lmagan funktsiyadir: f(x)0 (chunki integral taqsimot funksiyasi kamaymaydigan funksiya, taqsimot zichligi esa uning birinchi hosilasidir).

Mulk 2:

Isbot. Noto'g'ri integral
tasodifiy o'zgaruvchining (-∞, ∞) oralig'iga tegishli qiymatni olishidan iborat bo'lgan hodisaning ehtimolini ifodalaydi. Shubhasiz, bunday hodisa aniq, shuning uchun uning ehtimoli birga teng.

Geometrik jihatdan, bu 0x o'qi va taqsimot egri chizig'i bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning butun maydoni birga teng ekanligini anglatadi.

DA Xususan, agar tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari (a, b) intervalga tegishli bo'lsa, u holda
.

Mumkin bo'lgan taqsimot zichligi grafigi (misol)

f 1 (x) - 1-o'yinda to'lovning taqsimlanish zichligi

f 2 (x) - 2-o'yinda to'lovning taqsimlanish zichligi

Qaysi o'yinni afzal ko'rasiz?

Tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. .

Bu xususiyatlar tasodifiy miqdorlarni taqsimlash qonunini bilmasdan ko'p muammolarni hal qilish imkonini beradi.

Tasodifiy o'zgaruvchining haqiqiy o'qdagi pozitsiyasining xarakteristikalari.

Kutilgan qiymat bu X tasodifiy o'zgaruvchisi qiymatlarining o'rtacha og'irligi bo'lib, unda har bir x i nuqtaning abssissasi mos keladigan ehtimolga teng "og'irlik" bilan kiritilgan.

Matematik kutish ba'zan oddiygina r.v.ning o'rtacha qiymati deb ataladi.

Belgilash: m x yoki M [X].

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun

M[X]=

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun

Moda tasodifiy miqdorning eng ehtimolli qiymati (buning uchun p i ehtimolligi yoki f(x) taqsimot zichligi maksimal darajaga etadi).

Belgilanishi: 

Unimodal taqsimotlarni (bitta rejimga ega), polimodal taqsimotlarni (bir nechta rejimga ega) va animodal taqsimotlarni (rejimi yo'q) farqlang.

unimodal

Median x m tasodifiy o'zgaruvchining qiymati bo'lib, u uchun quyidagi tenglik bajariladi:

P(X< х m }= P{X >xm)

Mediana f(x) bilan chegaralangan maydonni yarmiga bo'ladi

Agar tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi simmetrik va unimodal bo'lsa, M[X],  va x m mos keladi.

M[X], , x m - tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchilar

$X$ $F(x)$ ehtimollik taqsimoti funksiyasi bilan uzluksiz tasodifiy oʻzgaruvchi boʻlsin. Tarqatish funktsiyasining ta'rifini eslang:

Ta'rif 1

Tarqatish funksiyasi $F\left(x\right)=P(X) shartini qanoatlantiruvchi $F(x)$ funksiyadir.

Tasodifiy o'zgaruvchi uzluksiz bo'lgani uchun, biz allaqachon bilganimizdek, ehtimollik taqsimoti funktsiyasi $F(x)$ uzluksiz funktsiya bo'ladi. $F\left(x\right)$ ham ta'rifning butun domenida farqlansin.

$(x,x+\triangle x)$ oralig'ini ko'rib chiqing (bu erda $\triangle x$ - $x$ ga o'sish). Unga

Endi $\triangle x$ o'sish qiymatlari nolga teng bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz:

1-rasm.

Shunday qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Tarqatish zichligi, taqsimot funksiyasi kabi, tasodifiy miqdorning taqsimot qonunining shakllaridan biridir. Biroq, taqsimot qonuni faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun taqsimot zichligi nuqtai nazaridan yozilishi mumkin.

Ta'rif 3

Tarqatish egri chizig'i $\varphi \left(x\right)$ funksiyaning grafigi, tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi (1-rasm).

Shakl 2. Tarqatish zichligi grafigi.

Geometrik ma'no 1: Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining $(\alpha ,\beta)$ oralig'iga tushish ehtimoli $\varphi \left(x\right)$ taqsimot funksiyasi grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapezoidning maydoniga teng. $x=\alpha ,$ $x=\beta $ va $y=0$ toʻgʻri chiziqlar (2-rasm).

3-rasm. Uzluksiz tasodifiy miqdorning $(\alpha,\beta)$ oralig'iga tushishi ehtimolining geometrik tasviri.

Geometrik ma'no 2:$\varphi \left(x\right)$ taqsimot funksiyasi grafigi bilan chegaralangan cheksiz egri chiziqli trapetsiya maydoni, $y=0$ chizigʻi va $x$ oʻzgaruvchan chizigʻi $ taqsimlash funksiyasidan boshqa narsa emas. F(x)$ (3-rasm).

4-rasm. $F(x)$ ehtimollik funksiyasining $\varphi \left(x\right)$ taqsimot zichligi boʻyicha geometrik tasviri.

1-misol

$X$ tasodifiy miqdorning $F(x)$ taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lsin.

Taqsimlash funksiyasi taqsimot qonunini belgilashning eng umumiy shaklidir. U diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarni belgilash uchun ishlatiladi. Odatda, deb ataladi. tarqatish funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchining sobit haqiqiy sondan kichik qiymatlarni olish ehtimolini aniqlaydi, ya'ni. . Tarqatish funktsiyasi tasodifiy o'zgaruvchini ehtimollik nuqtai nazaridan to'liq tavsiflaydi. U integral taqsimot funktsiyasi deb ham ataladi.

Tarqatish funksiyasining geometrik talqini juda oddiy. Agar tasodifiy o'zgaruvchi o'qning tasodifiy nuqtasi sifatida qaralsa (6-rasm), u sinov natijasida ushbu o'qda u yoki bu o'qni egallashi mumkin, u holda taqsimlash funktsiyasi tasodifiy nuqtaning ehtimoli, sinov natijasida, nuqtaning chap tomoniga tushadi.

, … , qiymatlarini qabul qila oladigan diskret tasodifiy o‘zgaruvchi uchun taqsimot funksiyasi ko‘rinishga ega bo‘ladi.

,

Bu erda yig'indi belgisi ostidagi tengsizlik yig'indining kattaligi kichikroq bo'lgan barcha qiymatlarga taalluqli ekanligini anglatadi. Bu formuladan kelib chiqadiki, diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uzluksiz bo‘lib, ,, …, nuqtalaridan o‘tganda sakrashlarda ortadi va sakrash mos keladigan qiymat ehtimoliga teng (7-rasm). Tarqatish funktsiyasidagi barcha sakrashlar yig'indisi bittaga teng.

Uzluksiz tasodifiy miqdor uzluksiz taqsimot funksiyasiga ega, bu funksiyaning grafigi silliq egri chiziq shakliga ega (8-rasm).

Guruch. 7. rasm. sakkiz.

Tarqatish funktsiyalarining umumiy xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Mulk 1. Tarqatish funktsiyasi nol va bir o'rtasida joylashgan manfiy bo'lmagan funktsiyadir:

Bu xossaning haqiqiyligi taqsimot funksiyasi undan tashkil topgan tasodifiy hodisaning ehtimoli sifatida aniqlanganligidan kelib chiqadi.

Mulk 2. Tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tushish ehtimoli ushbu oraliq oxiridagi taqsimot funktsiyasi qiymatlari orasidagi farqga teng, ya'ni.

Bundan kelib chiqadiki, uzluksiz tasodifiy miqdorning har qanday yagona qiymatining ehtimoli nolga teng.

Mulk 3. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi kamaymaydigan funktsiyadir, ya'ni uchun .

Mulk 4. Minus cheksizlikda taqsimot funksiyasi nolga teng, plyus cheksizlikda esa taqsimot funksiyasi birlikka teng, ya'ni.

1-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ifoda bilan beriladi

Koeffitsientni toping va grafik tuzing. Tajriba natijasida tasodifiy miqdorning intervalda qiymat olishi ehtimolligini aniqlang.

Yechim. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uzluksiz bo'lgani uchun biz quyidagilarga erishamiz: . Bu yerdan. Funktsiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan. 9.

Tarqatish funktsiyasining ikkinchi xususiyatiga asoslanib, bizda:

.

4. Ehtimollar taqsimoti zichligi va uning xossalari.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uning ehtimollik xarakteristikasidir. Ammo uning kamchiligi bor, bu tasodifiy o'zgaruvchining raqamli o'qning u yoki bu nuqtasining kichik qo'shnisida taqsimlanishining tabiatini hukm qilish qiyinligidan iborat. Uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimotining tabiatini ko'proq vizual tasvirlash tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimot zichligi yoki differentsial taqsimot funktsiyasi deb ataladigan funktsiya orqali beriladi.

Tarqatish zichligi taqsimot funksiyasining hosilasiga teng, ya'ni.

.

Tarqatish zichligining ma'nosi shundaki, u tajribalar takrorlanganda tasodifiy o'zgaruvchining nuqtaning ma'lum bir qo'shnisida qanchalik tez-tez paydo bo'lishini ko'rsatadi. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligini ifodalovchi egri chiziq deyiladi taqsimot egri chizig'i.

Tarqatish zichligining xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Mulk 1. Tarqatish zichligi salbiy emas, ya'ni.

Mulk 2. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot funksiyasi dan to oralig'idagi zichlikning integraliga teng, ya'ni.

.

Mulk 3. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining segmentga urilish ehtimoli ushbu segment bo'yicha olingan taqsimlash zichligi integraliga teng, ya'ni.

.

Mulk 4. Tarqatish zichligining cheksiz chegaralaridagi integral birlikka teng:

.

2-misol Tasodifiy o'zgaruvchi zichlik bilan taqsimlanish qonuniga bo'ysunadi

Koeffitsientni aniqlang; taqsimot zichligi grafigini tuzish; dan gacha bo'lgan segmentdagi tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimolini toping; taqsimot funksiyasini aniqlang va uning grafigini tuzing.

Yechim. Tarqatish egri chizig'i bilan chegaralangan maydon son jihatdan teng

.

Tarqatish zichligining 4 xossasini hisobga olib, topamiz: . Shuning uchun tarqatish zichligi quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Tarqatish zichligi grafigi rasmda ko'rsatilgan. 10. Bizda 3-mulk bor

.

Tarqatish funktsiyasini aniqlash uchun biz 2 xususiyatdan foydalanamiz:

.

Shunday qilib, bizda bor

Tarqatish funksiyasi grafigi rasmda ko'rsatilgan. o'n bir.

To'liq tadbirlar guruhi. qarama-qarshi hodisalar. Qarama-qarshi hodisalarning ehtimoli o'rtasidagi nisbat (chiqarish bilan).

Bog'liq va mustaqil hodisalar. Tadbirlarni ishlab chiqarish. Shartli ehtimollik tushunchasi. Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi (isbot bilan).

Umumiy ehtimollik va Bayes formulalari (isbot bilan). Misollar.

Takroriy mustaqil testlar. Bernulli formulasi (chiqarish bilan). Misollar.

Mahalliy Moivr-Laplas teoremasi, uni qo'llash shartlari. Dx funksiyasining xossalari). Misol.

Puassonning asimptotik formulasi va uni qo'llash shartlari. Misol.

Moivr-Laplas integral teoremasi va uni qo'llash shartlari. Laplas funksiyasi ph(x) va uning xossalari. Misol.

Moivr-Laplas integral teoremasidan olingan natijalar (hosil qilish bilan). Misollar.

Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va uning xossalari (hosil qilish bilan). Misollar.

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi va uning xossalari (hosil qilish bilan). Misollar.

Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi, uning ta'rifi, xossalari va grafigi.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi (yangi). NSV ning yagona qiymatining ehtimoli. Matematik kutish va dispersiya nsv.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi, uning ta'rifi, xossalari va grafigi.

Binom qonuniga ko'ra taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi, uning matematik kutilishi va dispersiyasi. Puasson taqsimot qonuni.

n ta takroriy mustaqil sinovda (xulosa bilan) hodisaning paydo bo'lish soni va chastotasining matematik kutilishi va dispersiyasi.

Oddiy taqsimot qonunining ta'rifi. Uning parametrlarining nazariy va ehtimollik ma'nosi. Oddiy egri chiziq va uning holati va shaklining parametrlarga bog'liqligi.

Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning Laplas funksiyasi bilan ifodalanishi.

Ehtimolni aniqlash formulalari: a) ma'lum oraliqda normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni urish; b) uning matematik kutishdan chetga chiqishi. Uch sigma qoidasi.

Ikki o'lchovli (/7 o'lchovli) tasodifiy miqdor tushunchasi. Misollar. Uni taqsimlash jadvali. Uning tarkibiy qismlarining bir o'lchovli taqsimotlari. Shartli taqsimotlar va ularni taqsimot jadvalida topish.

Tasodifiy miqdorlarning kovariantligi va korrelyatsiya koeffitsienti. Tasodifiy o'zgaruvchilarning elektron korrelyatsiyasi va mustaqilligi o'rtasidagi bog'liqlik.

Ikki o'lchovli normal taqsimot qonuni tushunchasi. Shartli matematik taxminlar va dispersiyalar.

Markov tengsizligi (Chebishev lemmasi) (hosil qilish bilan). Misol.

Chebishev tengsizligi (chiqarish bilan) va binomial qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uchun uning alohida holatlari va hodisaning chastotasi.

Chebishev teoremasi (isbot bilan), uning mazmuni va natijasi. Misol.

Katta sonlar qonuni. Bernulli teoremasi (isbot bilan) va uning ma’nosi. Misol.

Tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha arifmetik qiymati uchun Chebyshev tengsizligi (hosil qilish bilan).

Markaziy chegara teoremasi. Lyapunov teoremasi haqida tushuncha va uning mazmuni. Misol.

Variatsion seriyalar, uning navlari. Seriyaning o‘rtacha arifmetik va dispersiyasi. Ularni hisoblashning soddalashtirilgan usuli.

Umumiy aholi parametrlarini baholash tushunchasi. Baholash xususiyatlari: xolislik, izchillik, samaradorlik.

Tasodifiy tanlov asosida umumiy ulushni baholash. Namuna ulushining xolisligi va izchilligi.

Tegishli tasodifiy tanlama uchun umumiy o'rtacha qiymatni baholash. Namuna o'rtacha qiymatining xolisligi va izchilligi.

Tegishli tasodifiy tanlama uchun umumiy dispersiyani baholash. Namuna dispersiyasining tarafkashligi va izchilligi (xulosa yo'q). Tuzatilgan namunadagi farq.

Intervallarni baholash tushunchasi. Ishonch ehtimoli va ishonch oralig'i. Marginal tanlama xatosi. Namuna reprezentativ xatolar (tasodifiy va tizimli).

Umumiy o'rtachani baholash uchun ishonch formulasi. Takroriy va takrorlanmaydigan namunalarning o'rtacha kvadrat xatosi va umumiy o'rtacha uchun ishonch oralig'ini qurish.

Umumiy o'rtacha va mutanosiblikni baholashda takroriy va takrorlanmaydigan namunalarning kerakli hajmini aniqlash.

Statistik gipoteza va statistik test. 1 va 2 turdagi xatolar. Sinovning ahamiyatlilik darajasi va kuchi. Amaliy aniqlik printsipi.

Tajriba ma'lumotlari asosida nazariy taqsimot qonunini qurish. Rozilik mezonlari tushunchasi.

X2-Pirson muvofiqligi testi va uni qo'llash sxemasi.

Funktsional, statistik va korrelyatsion bog'liqliklar. Ularning orasidagi farqlar. Korrelyatsiya nazariyasining asosiy vazifalari.

Chiziqli juftlik regressiyasi. Regressiya chiziqlari parametrlarini aniqlash uchun normal tenglamalar tizimi. Kovariatsiya namunasi. Regressiya koeffitsientlarini hisoblash formulalari.

Soddalashtirilgan usul:

Ulanishning mustahkamligini baholash. Korrelyatsiya koeffitsienti (tanlama), uning xususiyatlari va ishonchliligini baholash.

1. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi, uning ta'rifi, xossalari va grafigi.

X tasodifiy o'zgaruvchiga zichlikka ega bo'lgan taqsimot (tarqatilgan) deyiladi
x o'qining ma'lum bir qismida. Ehtimollik zichligi
, F(x) taqsimot funksiyasi kabi taqsimot qonunining shakllaridan biri, lekin taqsimot funktsiyasidan farqli o'laroq, u faqat mavjud. doimiy uchun tasodifiy o'zgaruvchilar . Ehtimollik zichligi ba'zan deyiladi differentsial funktsiya yoki differensial taqsimot qonuni . Ehtimollik zichligi grafigi
chaqirdi taqsimot egri chizig'i .

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi xossalari.

☺
monoton kamaymaydigan F(x) funksiyaning hosilasi sifatida. ☻

☺
Tarqatish funksiyasining 4-xususiyatiga ko'ra. F(x) ehtimollik zichligi uchun antiderivativ bo'lgani uchun
(chunki
, u holda Nyuton-Leybnits formulasiga ko'ra, [a,b] segmentdagi anti hosilaning o'sishi aniq integraldir.
. ☻

Geometrik ravishda olingan ehtimollik taqsimot egri chizig'i bilan yuqoridan chegaralangan va [a, b] segmentiga asoslangan shaklning maydoniga teng (3.8-rasm).

Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi formula yordamida ehtimollik zichligi bilan ifodalanishi mumkin.:

.

Geometrik jihatdan taqsimlash funktsiyasi yuqoridan taqsimlash egri chizig'i bilan chegaralangan va x nuqtasining chap tomonida joylashgan raqamning maydoniga teng (3.9-rasm).

Geometrik jihatdan ehtimollik zichligining 1 va 4 xossalari uning grafigi - taqsimot egri chizig'i abscissa o'qi ostida emasligini va taqsimlash egri chizig'i va abscissa o'qi bilan chegaralangan rasmning umumiy maydoni birga teng ekanligini anglatadi.

1. Binom qonuniga ko'ra taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi, uning matematik kutilishi va dispersiyasi. Puasson taqsimot qonuni.

Ta'rif. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X ga ega binomial taqsimot qonuni npq parametrlari bilan, agar u 0, 1, 2,..., m,..., n qiymatlarini ehtimollar bilan qabul qilsa

qayerda 0<р

Ko'rib turganingizdek, P(X=m) ehtimolliklar Bernulli formulasi yordamida topiladi, shuning uchun binomial taqsimot qonuni A hodisasining n ta mustaqil sinovda sodir bo'lgan X=m soni uchun taqsimot qonunidir. qaysi u bir xil ehtimollik bilan sodir bo'lishi mumkin p .

Binom qonunining taqsimot qatori quyidagi shaklga ega:

Shubhasiz, binomial qonunning ta'rifi to'g'ri, chunki tarqatish seriyasining asosiy xususiyati
chunki qilingan Nyuton binomialining kengayishining barcha shartlari yig'indisidan boshqa narsa emas:

Kutilgan qiymat binomial qonun bo'yicha taqsimlangan X tasodifiy o'zgaruvchisi,

va uning dispersiyasi

Ta'rif. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X ga ega Puasson taqsimot qonuni l > 0 parametr bilan, agar u 0, 1, 2,..., m, ... qiymatlarini (cheksiz, ammo sanaladigan qiymatlar toʻplami) ehtimollar bilan qabul qilsa
,

Puasson qonunining taqsimot qatori quyidagi shaklga ega:

Shubhasiz, Puasson qonunining ta'rifi to'g'ri, chunki taqsimot seriyasining asosiy xususiyati
mamnun, chunki qator yig'indisi.

Shaklda. 4.1 da l = 0,5, l = 1, l = 2, l = 3,5 parametrlari bilan R(X=m)=R m (l) Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor taqsimotining ko‘pburchak (ko‘pburchak) ko‘rsatilgan.

Teorema. Matematik kutish va dispersiya Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi mos keladi va ushbu qonunning l parametriga teng, ya'ni.

va