ექსპონენციალური განტოლებები. ლოგარითმის მეთოდი. ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები მარტივი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა

ეს გაკვეთილი განკუთვნილია მათთვის, ვინც ახლახან იწყებს ექსპონენციალური განტოლებების სწავლას. როგორც ყოველთვის, დავიწყოთ განმარტებით და მარტივი მაგალითებით.

თუ თქვენ კითხულობთ ამ გაკვეთილს, მაშინ მეეჭვება, რომ თქვენ უკვე გაქვთ მინიმუმ მინიმალური გაგება უმარტივესი განტოლებების - წრფივი და კვადრატული: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ და ა.შ. ასეთი კონსტრუქციების გადაწყვეტა აბსოლუტურად აუცილებელია, რათა არ "ჩამოკიდებული" იმ თემაში, რომელსაც ახლა განვიხილავთ.

ასე რომ, ექსპონენციალური განტოლებები. ნება მომეცით მოგცეთ რამდენიმე მაგალითი:

\[((2)^(x))=4;\ quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\ quad ((9)^(x))=- 3\]

ზოგიერთი მათგანი შეიძლება უფრო რთულად მოგეჩვენოთ, ზოგი კი პირიქით, ძალიან მარტივია. მაგრამ ყველა მათგანს ერთი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი აერთიანებს: ისინი შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას $f\left(x \right)=((a)^(x))$. ამრიგად, ჩვენ წარმოგიდგენთ განმარტებას:

ექსპონენციალური განტოლება არის ნებისმიერი განტოლება, რომელიც შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციას, ე.ი. $((a)^(x))$ ფორმის გამოხატულება. გარდა მითითებული ფუნქციისა, ასეთი განტოლებები შეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერ სხვა ალგებრულ კონსტრუქციას - მრავალწევრებს, ფესვებს, ტრიგონომეტრიას, ლოგარითმებს და ა.შ.

კარგი მაშინ. გაიგე განმარტება. ახლა ისმის კითხვა: როგორ მოვაგვაროთ მთელი ეს სისულელე? პასუხი არის ერთდროულად მარტივი და რთული.

დავიწყოთ კარგი ამბებით: ბევრ სტუდენტთან ჩემი გამოცდილებიდან შემიძლია ვთქვა, რომ მათი უმრავლესობისთვის ექსპონენციალური განტოლებები ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე იგივე ლოგარითმები და მით უმეტეს, ტრიგონომეტრია.

მაგრამ არის ცუდი ამბავიც: ზოგჯერ ყველა სახის სახელმძღვანელოსა და გამოცდის პრობლემების შემდგენელებს „შთაგონება“ ეწვევა და მათი ნარკოტიკებით ანთებული ტვინი იწყებს ისეთი სასტიკი განტოლებების გამომუშავებას, რომ პრობლემატური ხდება არა მხოლოდ სტუდენტებისთვის მათი გადაჭრა - ბევრი მასწავლებელიც კი ჩერდება ასეთ პრობლემებზე.

თუმცა სამწუხარო რამეებზე ნუ ვისაუბრებთ. და დავუბრუნდეთ იმ სამ განტოლებას, რომლებიც მოთხრობის დასაწყისში იყო მოცემული. შევეცადოთ თითოეული მათგანის ამოხსნა.

პირველი განტოლება: $((2)^(x))=4$. აბა, რა ძალამდე უნდა გაიზარდოს ნომერი 2, რომ მივიღოთ ნომერი 4? ალბათ მეორე? ბოლოს და ბოლოს, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — და მივიღეთ სწორი რიცხვითი ტოლობა, ე.ი. მართლაც $x=2$. კარგი, მადლობა, ქუდი, მაგრამ ეს განტოლება იმდენად მარტივი იყო, რომ ჩემს კატასაც კი შეეძლო მისი ამოხსნა. :)

მოდით შევხედოთ შემდეგ განტოლებას:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

მაგრამ აქ ცოტა უფრო რთულია. ბევრმა სტუდენტმა იცის, რომ $((5)^(2))=25$ არის გამრავლების ცხრილი. ზოგიერთი ასევე ეჭვობს, რომ $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ არსებითად არის უარყოფითი მაჩვენებლების განმარტება (მსგავსი ფორმულა $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

დაბოლოს, მხოლოდ რამდენიმე გამოცნობს, რომ ეს ფაქტები შეიძლება გაერთიანდეს და გამოვიდეს შემდეგი შედეგი:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

ამრიგად, ჩვენი ორიგინალური განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\მარჯვენა ისარი ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

ახლა კი ეს უკვე მთლიანად მოგვარებულია! განტოლების მარცხენა მხარეს არის ექსპონენციალური ფუნქცია, განტოლების მარჯვენა მხარეს არის ექსპონენციალური ფუნქცია, მათ გარდა სხვაგან არაფერია. აქედან გამომდინარე, შესაძლებელია ბაზების „გადაგდება“ და ინდიკატორების სულელურად გათანაბრება:

ჩვენ მივიღეთ უმარტივესი წრფივი განტოლება, რომლის ამოხსნაც ნებისმიერ სტუდენტს შეუძლია მხოლოდ რამდენიმე სტრიქონში. კარგი, ოთხ სტრიქონში:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\ბოლო(გასწორება)\]

თუ ვერ გაიგეთ რა მოხდა ბოლო ოთხ სტრიქონში, აუცილებლად დაუბრუნდით თემას „წრფივი განტოლებები“ და გაიმეორეთ. რადგან ამ თემის მკაფიო ასიმილაციის გარეშე, თქვენთვის ნაადრევია ექსპონენციალური განტოლებების მიღება.

\[((9)^(x))=-3\]

აბა, როგორ გადაწყვიტე? პირველი ფიქრი: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, ასე რომ ორიგინალური განტოლება შეიძლება გადაიწეროს ასე:

\[((\ მარცხენა (((3)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))=-3\]

შემდეგ გავიხსენებთ, რომ ხარისხის ხარისხზე ამაღლებისას ინდიკატორები მრავლდება:

\[((\ მარცხენა (((3)^(2)) \მარჯვნივ))^(x))=(3)^(2x))\მარჯვენა ისარი ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\ბოლო(გასწორება)\]

და ასეთი გადაწყვეტილების მისაღებად, ჩვენ ვიღებთ პატიოსნად დამსახურებულ დეუსს. ჩვენ, პოკემონის სიმშვიდით, სამის წინ მინუს ნიშანი გავუგზავნეთ სწორედ ამ სამს. და თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება. და ამიტომ. შეხედეთ სამეულის სხვადასხვა ძალას:

\[\begin(მატრიცა) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(მატრიცა)\]

ამ ტაბლეტის შედგენისას, როგორც კი გავაკეთე, არ გავუსწორე: მე მივიჩნიე დადებითი ხარისხები და უარყოფითი და თუნდაც წილადი ... კარგი, სად არის აქ მინიმუმ ერთი უარყოფითი რიცხვი? Იგი არ არის! და ეს არ შეიძლება იყოს, რადგან ექსპონენციალური ფუნქცია $y=((a)^(x))$, პირველ რიგში, ყოველთვის იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს (რაც არ უნდა გაამრავლოთ ერთი ან გაყოთ ორზე, ის მაინც იქნება დადებითი რიცხვი) და მეორეც, ასეთი ფუნქციის საფუძველი, რიცხვი $a$, განსაზღვრებით დადებითი რიცხვია!

აბა, როგორ ამოხსნათ განტოლება $((9)^(x))=-3$? არა, ფესვები არ არის. და ამ თვალსაზრისით, ექსპონენციალური განტოლებები ძალიან ჰგავს კვადრატულ განტოლებებს - შეიძლება ასევე არ იყოს ფესვები. მაგრამ თუ კვადრატულ განტოლებებში ფესვების რაოდენობა განისაზღვრება დისკრიმინანტით (დისკრიმინანტი დადებითია - 2 ფესვი, უარყოფითი - ფესვების გარეშე), მაშინ ექსპონენციურ განტოლებებში ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა არის ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ.

ამრიგად, ჩვენ ვაყალიბებთ ძირითად დასკვნას: $((a)^(x))=b$ ფორმის უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას აქვს ფესვი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ $b \gt 0$. იცოდეთ ეს მარტივი ფაქტი, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად განსაზღვროთ, აქვს თუ არა თქვენთვის შემოთავაზებულ განტოლებას ფესვები. იმათ. ღირს თუ არა მისი გადაჭრა საერთოდ ან დაუყოვნებლივ დაწერეთ, რომ ფესვები არ არსებობს.

ეს ცოდნა ბევრჯერ დაგვეხმარება, როცა უფრო რთული პრობლემების გადაჭრა მოგვიწევს. იმავდროულად, საკმარისი ლექსები - დროა შევისწავლოთ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის ძირითადი ალგორითმი.

როგორ ამოხსნათ ექსპონენციალური განტოლებები

მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ პრობლემა. აუცილებელია ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

"გულუბრყვილო" ალგორითმის მიხედვით, რომელიც ადრე გამოვიყენეთ, აუცილებელია რიცხვი $b$ წარმოვიდგინოთ $a$ რიცხვის ხარისხად:

გარდა ამისა, თუ $x$ ცვლადის ნაცვლად არის რაიმე გამოხატულება, მივიღებთ ახალ განტოლებას, რომლის ამოხსნაც უკვე შესაძლებელია. Მაგალითად:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\მარჯვენა ისარი ((3)^(-x))=((3)^(4))\მარჯვენა ისარი -x=4\მარჯვენა ისარი x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\მარჯვენა ისარი ((5)^(2x))=(5)^(3))\მარჯვენა ისარი 2x=3\მარჯვენა ისარი x=\frac(3)( 2). \\\ბოლო (გასწორება)\]

და უცნაურად საკმარისია, რომ ეს სქემა მუშაობს დაახლოებით 90% შემთხვევაში. მერე დანარჩენი 10% რას იტყვით? დანარჩენი 10% არის ფორმის ოდნავ „შიზოფრენიული“ ექსპონენციალური განტოლებები:

\[((2)^(x))=3;\ოთხი ((5)^(x))=15;\ოთხი ((4)^(2x))=11\]

რა სიმძლავრემდე გჭირდებათ 2-ის აწევა 3-ის მისაღებად? Პირველად? მაგრამ არა: $((2)^(1))=2$ არ არის საკმარისი. მეორეში? არც ერთი: $((2)^(2))=4$ ძალიან ბევრია. Რა იქნება შემდეგ?

მცოდნე სტუდენტებმა ალბათ უკვე გამოიცნეს: ასეთ შემთხვევებში, როცა შეუძლებელია „ლამაზად“ ამოხსნა, „მძიმე არტილერია“ დაკავშირებულია საქმესთან - ლოგარითმებთან. შეგახსენებთ, რომ ლოგარითმების გამოყენებით, ნებისმიერი დადებითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ნებისმიერი სხვა დადებითი რიცხვის ხარისხად (გარდა ერთისა):

გახსოვთ ეს ფორმულა? როცა ჩემს სტუდენტებს ვეუბნები ლოგარითმების შესახებ, ყოველთვის გაფრთხილებ: ეს ფორმულა (ის ასევე არის ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა ან, თუ გნებავთ, ლოგარითმის განმარტება) ძალიან დიდხანს დაგდევნის და ყველაზე მეტად „გაჩნდება“. მოულოდნელი ადგილები. ისე, ის გამოჩნდა. მოდით შევხედოთ ჩვენს განტოლებას და ამ ფორმულას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((2)^(x))=3 \\& a=((ბ)^((\log )_(ბ))ა)) \\\ბოლო(გასწორება) \]

თუ ვივარაუდებთ, რომ $a=3$ არის ჩვენი ორიგინალური რიცხვი მარჯვნივ და $b=2$ არის ექსპონენციალური ფუნქციის საფუძველი, რომელსაც ასე გვინდა შევამციროთ მარჯვენა მხარე, მივიღებთ შემდეგს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& a=((ბ)^(((\log )_(ბ))ა))\მარჯვენა ისარი 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\მარჯვენა ისარი ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\მარჯვენა ისარი x=( (\log )_(2))3. \\\ბოლო (გასწორება)\]

მივიღეთ ოდნავ უცნაური პასუხი: $x=((\log )_(2))3$. სხვა ამოცანისას, ასეთი პასუხით, ბევრს შეეპარება ეჭვი და დაიწყებს გადაჭრის ორჯერ შემოწმებას: რა მოხდება, თუ სადმე შეცდომა იყო? მე მეჩქარება გაგახაროთ: აქ შეცდომა არ არის და ლოგარითმები ექსპონენციალური განტოლებების ფესვებში საკმაოდ ტიპიური სიტუაციაა. ასე რომ შეეგუე. :)

ახლა ჩვენ ანალოგიით ვხსნით დარჩენილ ორ განტოლებას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((5)^(x))=15\მარჯვენა ისარი ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \მარჯვენა ისარი x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\მარჯვენა ისარი ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\მარჯვენა ისარი 2x=( (\log )_(4))11\მარჯვენა ისარი x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! სხვათა შორის, ბოლო პასუხი შეიძლება სხვაგვარად დაიწეროს:

სწორედ ჩვენ შევიტანეთ მულტიპლიკატორი ლოგარითმის არგუმენტში. მაგრამ არავინ გვიშლის ხელს ამ ფაქტორის ბაზაზე დამატებაში:

უფრო მეტიც, სამივე ვარიანტი სწორია - ისინი უბრალოდ ერთი და იგივე რიცხვის ჩაწერის სხვადასხვა ფორმაა. რომელი აირჩიოთ და ჩაწეროთ ამ გადაწყვეტილებაში, თქვენზეა დამოკიდებული.

ამრიგად, ჩვენ ვისწავლეთ $((a)^(x))=b$ ფორმის ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნა, სადაც რიცხვები $a$ და $b$ მკაცრად დადებითია. თუმცა, ჩვენი სამყაროს მკაცრი რეალობა ის არის, რომ ასეთი მარტივი ამოცანები ძალიან, ძალიან იშვიათად შეგხვდებათ. უფრო ხშირად შეგხვდებათ მსგავსი რამ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აბა, როგორ გადაწყვიტე? შეიძლება ეს საერთოდ გადაწყდეს? და თუ ასეა, როგორ?

არანაირი პანიკა. ყველა ეს განტოლება სწრაფად და მარტივად მცირდება იმ მარტივ ფორმულებამდე, რომელიც უკვე განვიხილეთ. თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ, რომ გახსოვდეთ რამდენიმე ხრიკი ალგებრის კურსიდან. და რა თქმა უნდა, აქ დიპლომებთან მუშაობის წესები არ არსებობს. ამ ყველაფერზე ახლა ვისაუბრებ. :)

ექსპონენციალური განტოლებების ტრანსფორმაცია

პირველი, რაც უნდა გვახსოვდეს, არის ის, რომ ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლება, რაც არ უნდა რთული იყოს ის, ამა თუ იმ გზით უნდა დაიყვანოს უმარტივეს განტოლებამდე - სწორედ ისეთ განტოლებამდე, რომელიც უკვე განვიხილეთ და რომლის ამოხსნაც ვიცით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნის სქემა ასე გამოიყურება:

1. ჩაწერეთ ორიგინალური განტოლება. მაგალითად: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. გააკეთე რაღაც სისულელე. ან თუნდაც რაღაც სისულელე სახელწოდებით "განტოლების გარდაქმნა";
3. გამოსავალზე მიიღეთ უმარტივესი გამონათქვამები, როგორიცაა $((4)^(x))=4$ ან სხვა მსგავსი. უფრო მეტიც, ერთ საწყის განტოლებას შეუძლია ერთდროულად რამდენიმე ასეთი გამონათქვამის მიცემა.

პირველი პუნქტით ყველაფერი ნათელია - ჩემს კატასაც კი შეუძლია ფოთოლზე დაწეროს განტოლება. მესამე პუნქტითაც, როგორც ჩანს, მეტ-ნაკლებად გასაგებია - ზემოთ უკვე მოვაგვარეთ ასეთი განტოლებების მთელი თაიგული.

მაგრამ რაც შეეხება მეორე პუნქტს? რა არის გარდაქმნები? რა გადავიყვანოთ რაზე? Და როგორ?

აბა, მოდი გავარკვიოთ. პირველ რიგში, მინდა აღვნიშნო შემდეგი. ყველა ექსპონენციალური განტოლება იყოფა ორ ტიპად:

1. განტოლება შედგება იგივე ფუძის მქონე ექსპონენციალური ფუნქციებისგან. მაგალითი: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. ფორმულა შეიცავს ექსპონენციალურ ფუნქციებს სხვადასხვა ფუძით. მაგალითები: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ და $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

დავიწყოთ პირველი ტიპის განტოლებებით – მათი ამოხსნა ყველაზე მარტივია. და მათ გადაწყვეტაში დაგვეხმარება ისეთი ტექნიკა, როგორიცაა სტაბილური გამონათქვამების შერჩევა.

სტაბილური გამოხატვის ხაზგასმა

მოდით კიდევ ერთხელ შევხედოთ ამ განტოლებას:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

რას ვხედავთ? ოთხივე ამაღლებულია სხვადასხვა ხარისხით. მაგრამ ყველა ეს ძალა არის $x$ ცვლადის მარტივი ჯამები სხვა რიცხვებთან. აქედან გამომდინარე, აუცილებელია გახსოვდეთ ხარისხებთან მუშაობის წესები:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a) )^(y))). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მარტივად რომ ვთქვათ, მაჩვენებლების დამატება შეიძლება გარდაიქმნას ხარისხების ნამრავლად, ხოლო გამოკლება ადვილად გარდაიქმნება გაყოფად. შევეცადოთ გამოვიყენოთ ეს ფორმულები ჩვენი განტოლების ძალებზე:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\ბოლო (გასწორება)\]

ჩვენ ხელახლა ვწერთ თავდაპირველ განტოლებას ამ ფაქტის გათვალისწინებით და შემდეგ ვაგროვებთ მარცხნივ ყველა ტერმინს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -თერთმეტი; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\ბოლო (გასწორება)\]

პირველი ოთხი ტერმინი შეიცავს ელემენტს $((4)^(x))$ - მოდით ამოვიღოთ იგი ფრჩხილიდან:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \მარჯვნივ)=-11. \\\ბოლო (გასწორება)\]

რჩება განტოლების ორივე ნაწილის გაყოფა $-\frac(11)(4)$ წილადზე, ე.ი. არსებითად გავამრავლოთ შებრუნებულ წილადზე - $-\frac(4)(11)$. ჩვენ ვიღებთ:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \მარჯვნივ)\cdot \left(-\frac(4)(11) \მარჯვნივ )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! თავდაპირველი განტოლება შევამცირეთ უმარტივესამდე და მივიღეთ საბოლოო პასუხი.

ამავდროულად, ამოხსნის პროცესში აღმოვაჩინეთ (და ამოიღეთ კიდეც ფრჩხილიდან) საერთო ფაქტორი $((4)^(x))$ - ეს არის სტაბილური გამოხატულება. ის შეიძლება დაინიშნოს როგორც ახალი ცვლადი, ან შეგიძლიათ უბრალოდ ზუსტად გამოხატოთ და მიიღოთ პასუხი. ნებისმიერ შემთხვევაში, გადაწყვეტის ძირითადი პრინციპი შემდეგია:

იპოვეთ თავდაპირველ განტოლებაში სტაბილური გამოხატულება, რომელიც შეიცავს ცვლადს, რომელიც ადვილად გამოირჩევა ყველა ექსპონენციალური ფუნქციისგან.

კარგი ამბავი ის არის, რომ თითქმის ყველა ექსპონენციალური განტოლება აღიარებს ასეთ სტაბილურ გამონათქვამს.

მაგრამ ასევე არის ცუდი ამბავი: ასეთი გამონათქვამები შეიძლება იყოს ძალიან სახიფათო და მათი გარჩევა საკმაოდ რთულია. მოდით შევხედოთ სხვა პრობლემას:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

ალბათ ვინმეს ახლა გაუჩნდება კითხვა: „ფაშა, ჩაქოლეს? აქ არის სხვადასხვა ბაზები - 5 და 0.2. ოღონდ ვცადოთ სიმძლავრის გადაქცევა ბაზისით 0.2. მაგალითად, მოვიშოროთ ათობითი წილადი, მივიყვანოთ ის ჩვეულებრივზე:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(2)(10 ) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)) )\]

როგორც ხედავთ, რიცხვი 5 მაინც გამოჩნდა, თუმცა მნიშვნელში. ამავდროულად, ინდიკატორი გადაიწერა როგორც უარყოფითი. ახლა კი გავიხსენებთ ხარისხებთან მუშაობის ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან წესს:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^( -\left(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(5)(1) \მარჯვნივ))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

აი, რა თქმა უნდა, ცოტა მოვიტყუე. იმის გამო, რომ სრული გაგებისთვის, უარყოფითი ინდიკატორებისგან თავის დაღწევის ფორმულა უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \მარჯვნივ))^(n ))\მარჯვენა ისარი ((\ მარცხნივ(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(5)(1) \ მარჯვნივ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

მეორეს მხრივ, არაფერი შეგვეშალა მხოლოდ ერთ წილადთან მუშაობაში:

\[((\left(\frac(1)(5) \მარჯვნივ))^(-\left(x+1 \მარჯვნივ)))=((\left(((5)^(-1)) \ მარჯვნივ))^(-\მარცხნივ(x+1 \მარჯვნივ)))=((5)^(\ მარცხნივ(-1 \მარჯვნივ)\cdot \left(-\left(x+1 \მარჯვნივ) \მარჯვნივ) ))=((5)^(x+1))\]

მაგრამ ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა შეძლოთ ხარისხის სხვა ხარისხით აწევა (შეგახსენებთ: ამ შემთხვევაში ინდიკატორები ემატება). მაგრამ მე არ მომიწია წილადების „გადაბრუნება“ - ალბათ ვინმესთვის ეს უფრო ადვილი იქნება. :)

ნებისმიერ შემთხვევაში, ორიგინალური ექსპონენციალური განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((5)^(x+2))+(5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ასე რომ, გამოდის, რომ თავდაპირველი განტოლება კიდევ უფრო ადვილი მოსაგვარებელია, ვიდრე ადრე განხილული: აქ თქვენ არც კი გჭირდებათ სტაბილური გამონათქვამის გამოყოფა - ყველაფერი თავისთავად შემცირდა. რჩება მხოლოდ გვახსოვდეს, რომ $1=((5)^(0))$, საიდანაც ვიღებთ:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის მთელი გამოსავალი! მივიღეთ საბოლოო პასუხი: $x=-2$. ამავდროულად, მინდა აღვნიშნო ერთი ხრიკი, რომელმაც მნიშვნელოვნად გაამარტივა ჩვენთვის ყველა გამოთვლა:

ექსპონენციურ განტოლებებში აუცილებლად მოიშორეთ ათობითი წილადები, გადათარგმნეთ ისინი ჩვეულებრივად. ეს საშუალებას მოგცემთ დაინახოთ გრადუსების იგივე საფუძვლები და მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ გამოსავალი.

ახლა გადავიდეთ უფრო რთულ განტოლებებზე, რომლებშიც არის სხვადასხვა ფუძეები, რომლებიც, როგორც წესი, ერთმანეთზე არ მცირდება ძალების დახმარებით.

მაჩვენებლის თვისების გამოყენება

შეგახსენებთ, რომ ჩვენ გვაქვს კიდევ ორი ​​განსაკუთრებით მკაცრი განტოლება:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\ბოლო (გასწორება)\]

აქ მთავარი სირთულე ის არის, რომ გაუგებარია რა და რის საფუძველზე მივიყვანოთ. სად არის ფიქსირებული გამონათქვამები? სად არის საერთო საფუძველი? ეს არ არსებობს.

მაგრამ შევეცადოთ სხვა გზით წავიდეთ. თუ არ არსებობს მზა იდენტური ბაზები, შეგიძლიათ სცადოთ მათი პოვნა ხელმისაწვდომი ბაზების ფაქტორინგით.

დავიწყოთ პირველი განტოლებით:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\მარჯვენა ისარი ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \მარჯვნივ))^(3x))=(7)^(3x))\ cdot ((3) ^ (3x)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მაგრამ შეგიძლიათ პირიქით გააკეთოთ - შეადგინეთ რიცხვი 21 7 და 3 ნომრებიდან. განსაკუთრებით ადვილია ამის გაკეთება მარცხნივ, რადგან ორივე ხარისხის ინდიკატორები ერთნაირია:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\ მარცხნივ(7\cdot 3 \მარჯვნივ))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\ბოლო (გასწორება)\]

Სულ ეს არის! თქვენ ამოიღეთ მაჩვენებლები პროდუქტიდან და მაშინვე მიიღეთ ლამაზი განტოლება, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია რამდენიმე სტრიქონში.

ახლა მოდით საქმე მეორე განტოლებაზე. აქ ყველაფერი ბევრად უფრო რთულია:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \მარჯვნივ))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

ამ შემთხვევაში წილადები შეუქცევადი აღმოჩნდა, მაგრამ თუ რამის შემცირება შეიძლებოდა, აუცილებლად შეამცირეთ. ეს ხშირად იწვევს საინტერესო საფუძვლებს, რომლებთანაც უკვე შეგიძლიათ მუშაობა.

სამწუხაროდ, არაფერი გამოგვივიდა. მაგრამ ჩვენ ვხედავთ, რომ პროდუქტში მარცხნივ მაჩვენებლები საპირისპიროა:

შეგახსენებთ: მაჩვენებლის მინუს ნიშნის მოსაშორებლად, თქვენ უბრალოდ უნდა "გადატრიალოთ" წილადი. მოდით გადავიწეროთ ორიგინალური განტოლება:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \მარჯვნივ))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\ left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \მარჯვნივ))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\ბოლო (გასწორება)\]

მეორე სტრიქონში, ჩვენ უბრალოდ დავაფიქსირეთ ჯამი პროდუქტიდან $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) წესის მიხედვით ))^ (x))$ და ამ უკანასკნელში უბრალოდ ამრავლეს რიცხვი 100 წილადზე.

ახლა გაითვალისწინეთ, რომ მარცხნივ (ძირში) და მარჯვნივ რიცხვები გარკვეულწილად მსგავსია. Როგორ? დიახ, ცხადია: ისინი ერთნაირი რაოდენობის ძალები არიან! Ჩვენ გვაქვს:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \მარჯვნივ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\left(\frac(3)(10) \მარჯვნივ))^(2)). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ამრიგად, ჩვენი განტოლება გადაიწერება შემდეგნაირად:

\[((\ left(((\ left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3)) \მარჯვნივ))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \მარჯვნივ))^(2))\]

\[((\ left(((\ left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3)) \მარჯვნივ))^(x-1))=((\ left(\frac(10 )(3) \მარჯვნივ))^(3\მარცხნივ(x-1 \მარჯვნივ)))=((\left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3x-3))\]

ამავდროულად, მარჯვნივ, თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ ხარისხი იმავე ფუძით, რისთვისაც საკმარისია მხოლოდ წილადის „გადაბრუნება“:

\[((\left(\frac(3)(10) \მარჯვნივ))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(-2))\]

საბოლოოდ, ჩვენი განტოლება მიიღებს ფორმას:

\[\ დასაწყისი(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(\frac(10)(3) \მარჯვნივ))^(3x-3))=((\მარცხნივ(\frac(10)(3) \მარჯვნივ)) ^ (-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac (1) (3). \\\ბოლო (გასწორება)\]

ეს არის მთელი გამოსავალი. მისი მთავარი იდეა ემყარება იმ ფაქტს, რომ თუნდაც სხვადასხვა საფუძვლების შემთხვევაში, ჩვენ ვცდილობთ კაუჭით ან თაღლითით დავამციროთ ეს საფუძველი ერთსა და იმავეზე. ამაში გვეხმარება განტოლებების ელემენტარული გარდაქმნები და ძალებთან მუშაობის წესები.

მაგრამ რა წესები და როდის გამოვიყენოთ? როგორ გავიგოთ, რომ ერთ განტოლებაში საჭიროა ორივე მხარის გაყოფა რაღაცაზე, ხოლო მეორეში - ექსპონენციალური ფუნქციის ფუძის ფაქტორიზირება?

ამ კითხვაზე პასუხი გამოცდილებით მოვა. სცადეთ თქვენი ხელი ჯერ მარტივ განტოლებებზე, შემდეგ კი თანდათან გაართულეთ დავალებები - და ძალიან მალე თქვენი უნარები საკმარისი იქნება იმავე USE-დან ნებისმიერი ექსპონენციალური განტოლების გადასაჭრელად ან ნებისმიერი დამოუკიდებელი / სატესტო სამუშაოდან.

და დაგეხმაროთ ამ რთულ ამოცანაში, მე გთავაზობთ ჩამოტვირთოთ განტოლებების ნაკრები ჩემს ვებსაიტზე დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. ყველა განტოლებას აქვს პასუხი, ასე რომ თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ საკუთარი თავი.

ზოგადად, წარმატებულ ტრენინგს გისურვებთ. და შევხვდებით შემდეგ გაკვეთილზე - იქ გავაანალიზებთ მართლაც რთულ ექსპონენციალურ განტოლებებს, სადაც ზემოთ აღწერილი მეთოდები აღარ არის საკმარისი. და არც მარტივი ვარჯიში იქნება საკმარისი. :)

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

Რა ექსპონენციალური განტოლება? ეს არის განტოლება, რომელშიც არის უცნობი (x) და გამოსახულებები მათთან ერთად ინდიკატორებირამდენიმე გრადუსი. და მხოლოდ იქ! Ეს არის მნიშვნელოვანი.

აი შენ ხარ ექსპონენციალური განტოლების მაგალითები:

3 x 2 x = 8 x + 3

Შენიშვნა! გრადუსების საფუძვლებში (ქვემოთ) - მხოლოდ ნომრები. AT ინდიკატორებიგრადუსი (ზემოთ) - გამოთქმების მრავალფეროვნება x-ით. თუ უეცრად x ჩნდება განტოლებაში ინდიკატორის გარდა სხვა ადგილას, მაგალითად:

ეს იქნება შერეული ტიპის განტოლება. ასეთ განტოლებებს არ გააჩნია ამოხსნის მკაფიო წესები. ჩვენ მათ ჯერ არ განვიხილავთ. აქ ჩვენ შევეხებით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნამისი სუფთა სახით.

სინამდვილეში, სუფთა ექსპონენციალური განტოლებებიც კი ყოველთვის არ არის მკაფიოდ ამოხსნილი. მაგრამ არსებობს გარკვეული ტიპის ექსპონენციალური განტოლებები, რომლებიც შეიძლება და უნდა გადაწყდეს. ეს ის ტიპებია, რომლებსაც ჩვენ განვიხილავთ.

უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა.

დავიწყოთ რაღაც ძალიან ძირითადი. Მაგალითად:

ყოველგვარი თეორიის გარეშეც კი, მარტივი შერჩევით ცხადია, რომ x = 2. მეტი არაფერი, არა!? სხვა x მნიშვნელობის რულონები არ არის. ახლა კი მოდით შევხედოთ ამ რთული ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნას:

რა გავაკეთეთ? ჩვენ, ფაქტობრივად, უბრალოდ გამოვყარეთ იგივე ფსკერები (სამები). მთლიანად ამოაგდეს. და, რაც გსიამოვნებს, დაარტყი ნიშანს!

მართლაც, თუ ექსპონენციალურ განტოლებაში მარცხნივ და მარჯვნივ არიან იგივერიცხვები ნებისმიერი ხარისხით, ეს რიცხვები შეიძლება ამოღებულ იქნას და თანაბარი მაჩვენებლები იყოს. მათემატიკა იძლევა საშუალებას. რჩება გაცილებით მარტივი განტოლების ამოხსნა. კარგია, არა?)

თუმცა, ირონიულად გავიხსენოთ: თქვენ შეგიძლიათ ამოიღოთ ბაზები მხოლოდ მაშინ, როდესაც მარცხნივ და მარჯვნივ ბაზის ნომრები ბრწყინვალე იზოლაციაშია!ყოველგვარი მეზობლებისა და კოეფიციენტების გარეშე. განტოლებებში ვთქვათ:

2 x +2 x + 1 = 2 3, ან

დუბლის ამოღება არ შეიძლება!

ისე, ჩვენ ავითვისეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი. როგორ გადავიდეთ ბოროტი ექსპონენციალური გამონათქვამებიდან მარტივ განტოლებამდე.

"აი ეს დრო!" - შენ ამბობ. „ვინ მისცემს ასეთ პრიმიტივას კონტროლსა და გამოცდებზე!?

აიძულეს დათანხმდეს. არავინ გააკეთებს. მაგრამ ახლა თქვენ იცით, სად უნდა წახვიდეთ დამაბნეველი მაგალითების ამოხსნისას. აუცილებელია გავიხსენოთ ის, როდესაც ერთი და იგივე საბაზისო ნომერია მარცხნივ - მარჯვნივ. მაშინ ყველაფერი უფრო ადვილი იქნება. სინამდვილეში, ეს მათემატიკის კლასიკაა. ჩვენ ვიღებთ ორიგინალურ მაგალითს და გარდაქმნით მას სასურველზე ჩვენგონება. რა თქმა უნდა, მათემატიკის წესების მიხედვით.

განვიხილოთ მაგალითები, რომლებიც საჭიროებენ დამატებით ძალისხმევას, რათა მათ უმარტივესამდე მივიყვანოთ. მოდით დავურეკოთ მათ მარტივი ექსპონენციალური განტოლებები.

მარტივი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა. მაგალითები.

ექსპონენციური განტოლებების ამოხსნისას ძირითადი წესებია მოქმედებები უფლებამოსილებით.ამ ქმედებების ცოდნის გარეშე, არაფერი იმუშავებს.

ხარისხების მქონე მოქმედებებს უნდა დაემატოს პირადი დაკვირვება და გამომგონებლობა. გვჭირდება იგივე საბაზისო ნომრები? ასე რომ, ჩვენ ვეძებთ მათ მაგალითში აშკარა ან დაშიფრული ფორმით.

ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს პრაქტიკაში?

მოვიყვანოთ მაგალითი:

2 2x - 8 x+1 = 0

პირველი შეხედვით საფუძველი.ისინი... განსხვავებულები არიან! ორი და რვა. მაგრამ ძალიან ადრეა იმედგაცრუება. დროა გავიხსენოთ ეს

ორი და რვა ხარისხით ნათესავები არიან.) სავსებით შესაძლებელია ჩავწეროთ:

8 x+1 = (2 3) x+1

თუ გავიხსენებთ ფორმულას ძალაუფლების მქონე მოქმედებებიდან:

(a n) m = a nm,

ზოგადად მშვენივრად მუშაობს:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

ორიგინალური მაგალითი ასე გამოიყურება:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

გადავიტანთ 2 3 (x+1)მარჯვნივ (არავინ გააუქმა მათემატიკის ელემენტარული მოქმედებები!), ვიღებთ:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

ეს პრაქტიკულად ყველაფერია. ბაზების ამოღება:

ჩვენ ამ ურჩხულს მოვაგვარებთ და ვიღებთ

ეს არის სწორი პასუხი.

ამ მაგალითში ორი ძალის ცოდნა დაგვეხმარა. ჩვენ იდენტიფიცირებულირვაში, დაშიფრული დუისი. ეს ტექნიკა (საერთო ფუძეების დაშიფვრა სხვადასხვა რიცხვებში) ძალიან პოპულარული ხრიკია ექსპონენციალურ განტოლებებში! დიახ, თუნდაც ლოგარითმებში. ადამიანს უნდა შეეძლოს სხვა რიცხვების ძალაუფლების ამოცნობა რიცხვებში. ეს ძალზე მნიშვნელოვანია ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად.

ფაქტია, რომ ნებისმიერი რიცხვის ნებისმიერ ძალაზე აწევა პრობლემა არ არის. გაამრავლე თუნდაც ფურცელზე და სულ ესაა. მაგალითად, ყველას შეუძლია აწიოს 3 მეხუთე ხარისხზე. 243 გამოვა, თუ თქვენ იცით გამრავლების ცხრილი.) მაგრამ ექსპონენციალურ განტოლებებში ბევრად უფრო ხშირად საჭიროა არა სიმძლავრის აწევა, არამედ პირიქით ... რა რიცხვი რამდენადიმალება 243 ნომრის მიღმა, ან, ვთქვათ, 343... აქ არც ერთი კალკულატორი არ დაგეხმარება.

თქვენ უნდა იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ძალა მხედველობით, დიახ... ვივარჯიშოთ?

დაადგინეთ რა ძალა და რა რიცხვია რიცხვები:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

პასუხები (არეულად, რა თქმა უნდა!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

თუ კარგად დააკვირდებით, უცნაურ ფაქტს შეამჩნევთ. მეტი პასუხია ვიდრე კითხვა! ისე, ეს ხდება... მაგალითად, 2 6, 4 3, 8 2 არის სულ 64.

დავუშვათ, რომ თქვენ გაითვალისწინეთ ინფორმაცია რიცხვების გაცნობის შესახებ.) ასევე შეგახსენებთ, რომ ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად ვიყენებთ მთელიმათემატიკური ცოდნის მარაგი. მათ შორის დაბალი და საშუალო კლასებიდან. პირდაპირ საშუალო სკოლაში არ წახვედი, არა?

მაგალითად, ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას, საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღება ძალიან ხშირად გვეხმარება (გამარჯობა მე-7 კლასს!). ვნახოთ მაგალითი:

3 2x+4 -11 9 x = 210

და ისევ, პირველი შეხედვა - ნიადაგზე! გრადუსების საფუძვლები განსხვავებულია... სამი და ცხრა. და ჩვენ გვინდა, რომ ისინი იყვნენ იგივე. ისე, ამ შემთხვევაში, სურვილი სავსებით შესაძლებელია!) რადგან:

9 x = (3 2) x = 3 2x

იგივე წესების მიხედვით მოქმედებების ხარისხით:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

მშვენიერია, შეგიძლიათ დაწეროთ:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

იგივე მიზეზების გამო მოვიყვანეთ მაგალითი. მაშ, რა არის შემდეგი!? სამების ამოგდება არ შეიძლება... ჩიხი?

Სულაც არა. გავიხსენოთ ყველაზე უნივერსალური და ძლიერი გადაწყვეტილების წესი ყველამათემატიკური ამოცანები:

თუ არ იცი რა გააკეთო, გააკეთე რაც შეგიძლია!

უყურებ, ყველაფერი ჩამოყალიბებულია).

რა არის ამ ექსპონენციალურ განტოლებაში შეუძლიაკეთება? დიახ, მარცხენა მხარე პირდაპირ ითხოვს ფრჩხილებს! საერთო კოეფიციენტი 3 2x აშკარად მიანიშნებს ამაზე. ვცადოთ და მერე ვნახოთ:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

მაგალითი სულ უფრო და უფრო უმჯობესდება!

შეგახსენებთ, რომ საფუძვლების აღმოსაფხვრელად საჭიროა სუფთა ხარისხი, ყოველგვარი კოეფიციენტების გარეშე. რიცხვი 70 გვაწუხებს. ასე რომ, ჩვენ ვყოფთ განტოლების ორივე მხარეს 70-ზე, მივიღებთ:

ოპ-პა! ყველაფერი კარგად იყო!

ეს არის საბოლოო პასუხი.

თუმცა ხდება, რომ იმავე საფუძვლით ტაქსაცია მიიღება, მაგრამ მათი ლიკვიდაცია არა. ეს ხდება სხვა ტიპის ექსპონენციალურ განტოლებებში. მოდით მივიღოთ ეს ტიპი.

ცვლადის ცვლილება ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას. მაგალითები.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

4 x - 3 2 x +2 = 0

პირველი - როგორც ყოველთვის. მოდით გადავიდეთ ბაზაზე. დეუზას.

4 x = (2 2) x = 2 2x

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

და აი ჩვენ დავკიდებთ. წინა ილეთები არ იმუშავებს, არ აქვს მნიშვნელობა როგორ ატრიალებთ მას. ჩვენ მოგვიწევს სხვა ძლიერი და მრავალმხრივი გზის არსენალიდან გამოყვანა. ჰქვია ცვლადი ჩანაცვლება.

მეთოდის არსი საოცრად მარტივია. ერთი რთული ხატის ნაცვლად (ჩვენს შემთხვევაში, 2 x), ჩვენ ვწერთ მეორეს, უფრო მარტივს (მაგალითად, t). ასეთი ერთი შეხედვით უაზრო ჩანაცვლება იწვევს საოცარ შედეგებს!) ყველაფერი უბრალოდ ნათელი და გასაგები ხდება!

ასე რომ მოდით

შემდეგ 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

ჩვენ განტოლებაში ვცვლით ყველა ძალას x-ებით t-ით:

აბა, გათენდება?) ჯერ არ დაგავიწყდათ კვადრატული განტოლებები? ჩვენ ვხსნით დისკრიმინანტის საშუალებით, ვიღებთ:

აქ მთავარია არ გავჩერდეთ, როგორც ხდება... ეს ჯერ არ არის პასუხი, x გვჭირდება და არა t. ვუბრუნდებით Xs-ს, ე.ი. ჩანაცვლების გაკეთება. პირველი t 1-ისთვის:

ანუ

ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს, t 2-დან:

ჰმ... მარცხნივ 2 x, მარჯვნივ 1... შეფერხება? დიახ, საერთოდ არა! საკმარისია გვახსოვდეს (ხარისხიანი მოქმედებებიდან, დიახ...) რომ ერთიანობაა ნებისმიერირიცხვი ნულამდე. ნებისმიერი. რაც დაგჭირდებათ, ჩვენ დავდებთ. ჩვენ გვჭირდება ორი. ნიშნავს:

ახლა სულ ესაა. აქვს 2 ფესვი:

ეს არის პასუხი.

ზე ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნაბოლოს ზოგჯერ რაღაც უხერხული გამოთქმა მიიღება. ტიპი:

შვიდიდან, უბრალო ხარისხში გადასასვლელი არ მუშაობს. ნათესავები არ არიან... აქ როგორ ვიყო? ვიღაც შეიძლება დაბნეული იყოს ... მაგრამ ადამიანი, ვინც წაიკითხა ამ საიტზე თემა "რა არის ლოგარითმი?" მხოლოდ ზომიერად გაიღიმეთ და მტკიცე ხელით ჩაწერეთ აბსოლუტურად სწორი პასუხი:

გამოცდაზე „B“ ამოცანებში ასეთი პასუხი არ შეიძლება. საჭიროა კონკრეტული ნომერი. მაგრამ ამოცანებში "C" - მარტივად.

ამ გაკვეთილზე მოცემულია ყველაზე გავრცელებული ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის მაგალითები. გამოვყოთ მთავარი.

პრაქტიკული რჩევები:

1. პირველ რიგში ვუყურებთ საფუძველიგრადუსი. ვნახოთ, თუ ისინი არ შეიძლება გაკეთდეს იგივე.შევეცადოთ ამის გაკეთება აქტიური გამოყენებით მოქმედებები უფლებამოსილებით.არ დაგავიწყდეთ, რომ x-ის გარეშე რიცხვები ასევე შეიძლება გადაიზარდოს გრადუსებად!

2. ვცდილობთ ექსპონენციალური განტოლება მივიყვანოთ იმ ფორმამდე, როცა მარცხენა და მარჯვენა არის იგივერიცხვები ნებისმიერი ხარისხით. Ჩვენ ვიყენებთ მოქმედებები უფლებამოსილებითდა ფაქტორიზაცია.რა შეიძლება დაითვალოს რიცხვებში - ჩვენ ვითვლით.

3. თუ მეორე რჩევამ არ გაამართლა, ვცდილობთ გამოვიყენოთ ცვლადის ჩანაცვლება. შედეგი შეიძლება იყოს განტოლება, რომელიც ადვილად ამოსახსნელია. ყველაზე ხშირად - კვადრატი. ან წილადი, რომელიც ასევე მცირდება კვადრატამდე.

4. ექსპონენციალური განტოლებების წარმატებით ამოსახსნელად საჭიროა იცოდეთ ზოგიერთი რიცხვის ხარისხები „მხედველობით“.

ჩვეულებისამებრ, გაკვეთილის ბოლოს გიწვევთ მცირეოდენის გადასაჭრელად.) დამოუკიდებლად. მარტივიდან რთულამდე.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა:

Უფრო რთული:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

იპოვნეთ ფესვების პროდუქტი:

2 3-x + 2 x = 9

მოხდა?

კარგად, მაშინ ყველაზე რთული მაგალითი (ის მოგვარებულია, თუმცა, გონებაში ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

რა არის უფრო საინტერესო? მაშინ აქ არის ცუდი მაგალითი თქვენთვის. საკმაოდ გაზრდილი სირთულე. მინიშნებით, რომ ამ მაგალითში ზოგავს გამომგონებლობა და ყველა მათემატიკური ამოცანის ამოხსნის ყველაზე უნივერსალური წესი.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

მაგალითი უფრო მარტივია, დასვენებისთვის):

9 2 x - 4 3 x = 0

და დესერტად. იპოვეთ განტოლების ფესვების ჯამი:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Დიახ დიახ! ეს არის შერეული ტიპის განტოლება! რაც ამ გაკვეთილზე არ გავითვალისწინეთ. და რა უნდა ჩაითვალოს მათ, ისინი უნდა ამოხსნან!) ეს გაკვეთილი სავსებით საკმარისია განტოლების ამოსახსნელად. ჰოდა, გამომგონებლობაა საჭირო... დიახ, მეშვიდე კლასი გამოგადგებათ (ეს მინიშნებაა!).

პასუხები (არეულად, გამოყოფილი მძიმით):

ერთი; 2; 3; ოთხი; არ არსებობს გადაწყვეტილებები; 2; -2; -5; ოთხი; 0.

ყველაფერი წარმატებულია? შესანიშნავი.

Პრობლემაა? Არაა პრობლემა! სპეციალურ განყოფილებაში 555, ყველა ეს ექსპონენციალური განტოლება ამოხსნილია დეტალური განმარტებებით. რა, რატომ და რატომ. და, რა თქმა უნდა, არის დამატებითი ღირებული ინფორმაცია ყველა სახის ექსპონენციალურ განტოლებასთან მუშაობის შესახებ. არა მარტო ამათ.)

გასათვალისწინებელია ბოლო სახალისო კითხვა. ამ გაკვეთილზე ვიმუშავეთ ექსპონენციალური განტოლებებით. რატომ არ ვთქვი სიტყვა აქ ODZ-ზე?განტოლებებში ეს ძალიან მნიშვნელოვანი რამაა, სხვათა შორის...

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

ჩვენი საიტის youtube არხზე, რათა იცოდეთ ყველა ახალი ვიდეო გაკვეთილი.

პირველ რიგში, გავიხსენოთ ხარისხების ძირითადი ფორმულები და მათი თვისებები.

რიცხვის პროდუქტი ახდება თავისთავად n-ჯერ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს გამოთქმა a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

სიმძლავრე ან ექსპონენციალური განტოლებები- ეს არის განტოლებები, რომლებშიც ცვლადები არიან ხარისხებში (ან ექსპონენტებში), ხოლო ფუძე არის რიცხვი.

ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები:

ამ მაგალითში რიცხვი 6 არის საფუძველი, ის ყოველთვის ბოლოშია და ცვლადი xხარისხი ან ზომა.

მოდით მოვიყვანოთ ექსპონენციალური განტოლებების მეტი მაგალითი.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

ახლა ვნახოთ, როგორ იხსნება ექსპონენციალური განტოლებები?

ავიღოთ მარტივი განტოლება:

2 x = 2 3

ასეთი მაგალითი გონებითაც კი ამოიხსნება. ჩანს, რომ x=3. ყოველივე ამის შემდეგ, იმისათვის, რომ მარცხენა და მარჯვენა მხარეები ტოლი იყოს, x-ის ნაცვლად უნდა დააყენოთ რიცხვი 3.
ახლა ვნახოთ, როგორ უნდა მივიღოთ ეს გადაწყვეტილება:

2 x = 2 3
x = 3

ამ განტოლების ამოსახსნელად ჩვენ ამოვიღეთ იგივე საფუძველი(ანუ დეუზები) და დაწერე რაც დარჩა, ეს არის გრადუსები. ჩვენ მივიღეთ პასუხი, რასაც ვეძებდით.

ახლა შევაჯამოთ ჩვენი გამოსავალი.

ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი:
1. საჭიროა შემოწმება იგივეთუ არა განტოლების საფუძვლები მარჯვნივ და მარცხნივ. თუ საფუძველი არ არის იგივე, ჩვენ ვეძებთ ვარიანტებს ამ მაგალითის გადასაჭრელად.
2. მას შემდეგ, რაც ბაზები იგივეა, გათანაბრებახარისხი და ამოხსენით მიღებული ახალი განტოლება.

ახლა მოვაგვაროთ რამდენიმე მაგალითი:

დავიწყოთ მარტივი.

მარცხენა და მარჯვენა გვერდების ფუძეები უდრის რიცხვს 2-ს, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ფუძე და გავაიგივოთ მათი გრადუსები.

x+2=4 აღმოჩნდა უმარტივესი განტოლება.
x=4 - 2
x=2
პასუხი: x=2

შემდეგ მაგალითში ხედავთ, რომ ბაზები განსხვავებულია, ეს არის 3 და 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

დასაწყისისთვის, ცხრას გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, მივიღებთ:

ახლა თქვენ უნდა გააკეთოთ იგივე ბაზები. ჩვენ ვიცით, რომ 9=3 2. გამოვიყენოთ სიმძლავრის ფორმულა (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

ჩვენ ვიღებთ 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 ახლა გასაგებია, რომ მარცხენა და მარჯვენა მხარეს ფუძეები იგივეა და სამის ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ისინი და გავათანაბროთ გრადუსები.

3x=2x+16 მიიღო უმარტივესი განტოლება
3x-2x=16
x=16
პასუხი: x=16.

მოდით შევხედოთ შემდეგ მაგალითს:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვუყურებთ ბაზებს, ბაზები განსხვავებულია ორი და ოთხი. და ჩვენც იგივე უნდა ვიყოთ. ოთხმაგს გარდაქმნით ფორმულის მიხედვით (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

ჩვენ ასევე ვიყენებთ ერთ ფორმულას a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

დაამატეთ განტოლებას:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

იგივე მიზეზების გამო მოვიყვანეთ მაგალითი. მაგრამ სხვა რიცხვები 10 და 24 გვეშლება, რა ვუყოთ მათ? თუ კარგად დააკვირდებით, ხედავთ, რომ მარცხენა მხარეს ვიმეორებთ 2 2x, აი პასუხი - შეგვიძლია 2 2x ჩავდოთ ფრჩხილებიდან:

2 2x (2 4 - 10) = 24

გამოვთვალოთ გამოხატულება ფრჩხილებში:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

მთელ განტოლებას ვყოფთ 6-ზე:

წარმოიდგინეთ 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 ფუძე იგივეა, გადააგდეთ ისინი და გააიგივეთ გრადუსები.
2x \u003d 2 აღმოჩნდა უმარტივესი განტოლება. ვყოფთ 2-ზე, მივიღებთ
x = 1
პასუხი: x = 1.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

9 x - 12*3 x +27= 0

მოდით გარდავქმნათ:
9 x = (3 2) x = 3 2x

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ფუძეები ჩვენთვის იგივეა, უდრის სამს.ამ მაგალითში ჩანს, რომ პირველ სამეულს აქვს ხარისხი ორჯერ (2x), ვიდრე მეორეს (მხოლოდ x). ამ შემთხვევაში, თქვენ შეგიძლიათ გადაწყვიტოთ ჩანაცვლების მეთოდი. რიცხვი უმცირესი ხარისხით იცვლება:

შემდეგ 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

ჩვენ ყველა გრადუსს ვცვლით x-ებით განტოლებაში t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას. ჩვენ ვხსნით დისკრიმინანტის საშუალებით, ვიღებთ:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

ცვლადში დაბრუნება x.

ჩვენ ვიღებთ t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

ანუ

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

ნაპოვნია ერთი ფესვი. ჩვენ ვეძებთ მეორეს, t 2-დან:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
პასუხი: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

საიტზე შეგიძლიათ განყოფილებაში HELP DECIDE დასვათ საინტერესო კითხვები, ჩვენ აუცილებლად გიპასუხებთ.

შეუერთდი ჯგუფს

ნუ გეშინიათ ჩემი სიტყვების, ეს მეთოდი უკვე შეგხვდათ მე-7 კლასში, როცა სწავლობდით მრავალწევრებს.

მაგალითად, თუ გჭირდებათ:

დავაჯგუფოთ: პირველი და მესამე ტერმინები, ასევე მეორე და მეოთხე.

ნათელია, რომ პირველი და მესამე არის კვადრატების განსხვავება:

მეორეს და მეოთხეს აქვს სამი საერთო კოეფიციენტი:

მაშინ ორიგინალური გამოთქმა ამის ტოლფასია:

სად ამოიღოთ საერთო ფაქტორი, აღარ არის რთული:

შესაბამისად,

დაახლოებით ასე მოვიქცევით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას: ტერმინებს შორის მოძებნეთ „საერთოება“ და ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან, კარგი, მაშინ - რაც შეიძლება, მჯერა, რომ გაგვიმართლებს =))

მაგალითი #14

მარჯვნივ შორს არის შვიდის სიმძლავრე (მე შევამოწმე!) და მარცხნივ - ცოტა უკეთესი ...

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ „ამოხსნათ“ ფაქტორი მეორე ტერმინიდან პირველი ტერმინიდან და შემდეგ გაუმკლავდეთ იმას, რაც მიიღეთ, მაგრამ მოდი უფრო გონივრულად ვიმოქმედოთ თქვენთან.

არ მინდა საქმე იმ ფრაქციებთან, რომლებიც აუცილებლად წარმოიქმნება „შერჩევით“, ასე რომ არ ჯობია გავძლო?

მაშინ მე არ მექნება წილადები: როგორც ამბობენ, მგლებიც სავსეა და ცხვრებიც უსაფრთხოა:

დათვალეთ გამოხატულება ფრჩხილებში.

ჯადოსნურად, ჯადოსნურად, გამოდის ეს (გასაკვირველია, თუმცა სხვას რას უნდა ველოდოთ?).

შემდეგ ამ ფაქტორით ვამცირებთ განტოლების ორივე მხარეს. ვიღებთ: სად.

აქ არის უფრო რთული მაგალითი (საკმაოდ, ნამდვილად):

აი უბედურება! აქ საერთო ენა არ გვაქვს!

არ არის სრულიად ნათელი რა უნდა გააკეთოს ახლა.

და მოდით გავაკეთოთ ის, რაც შეგვიძლია: პირველ რიგში, ჩვენ გადავიტანთ "ოთხს" ერთი მიმართულებით, ხოლო "ხუთეულს" მეორეში:

ახლა მოდით ამოვიღოთ "საერთო" მარცხნივ და მარჯვნივ:

Ახლა რა?

რა სარგებელი მოაქვს ასეთ სულელურ დაჯგუფებას? ერთი შეხედვით, ეს საერთოდ არ ჩანს, მაგრამ მოდით, უფრო ღრმად ჩავიხედოთ:

კარგი, ახლა მოდით გავაკეთოთ ისე, რომ მარცხნივ გვქონდეს მხოლოდ გამოთქმა c, ხოლო მარჯვნივ - ყველაფერი დანარჩენი.

როგორ გავაკეთოთ ეს?

და აი როგორ: ჯერ გაყავით განტოლების ორივე მხარე (ასე რომ მოვიშოროთ მაჩვენებლის მარჯვნივ) და შემდეგ გავყოთ ორივე მხარეზე (ასე მოვიშოროთ რიცხვითი ფაქტორი მარცხნივ).

საბოლოოდ მივიღებთ:

წარმოუდგენელი!

მარცხნივ გვაქვს გამოხატულება, ხოლო მარჯვნივ - უბრალოდ.

მაშინვე დავასკვნათ, რომ

მაგალითი #15

მე მივცემ მის მოკლე გამოსავალს (არ მჭირს ახსნა), შეეცადეთ თავად გაარკვიოთ გადაწყვეტის ყველა „დახვეწილობა“.

ახლა დაფარული მასალის საბოლოო კონსოლიდაცია.

დამოუკიდებლად ამოხსენით შემდეგი 7 დავალება (პასუხებით)

1. ავიღოთ საერთო ფაქტორი ფრჩხილებიდან:
2. ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ გამონათქვამს სახით: , გაყავით ორივე ნაწილი და მიიღეთ ეს
3. , შემდეგ თავდაპირველი განტოლება გარდაიქმნება ფორმაში: აბა, ახლა მინიშნება - მოძებნეთ სად მოვაგვარეთ მე და თქვენ უკვე ეს განტოლება!
4. წარმოიდგინეთ როგორ, როგორ, აჰ, კარგად, შემდეგ გაყავით ორივე ნაწილი, ასე რომ თქვენ მიიღებთ უმარტივეს ექსპონენციალურ განტოლებას.
5. ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან.
6. ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან.

ექსპოზიციური განტოლებები. საშუალო დონე

ვვარაუდობ, რომ პირველი სტატიის წაკითხვის შემდეგ, რომელშიც ნათქვამია რა არის ექსპონენციალური განტოლებები და როგორ ამოხსნათ ისინი, თქვენ აითვისეთ ცოდნის აუცილებელი მინიმალური რაოდენობა, რომელიც საჭიროა უმარტივესი მაგალითების ამოსახსნელად.

ახლა მე გავაანალიზებ ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის სხვა მეთოდს, ეს არის ...

ახალი ცვლადის (ან ჩანაცვლების) დანერგვის მეთოდი

ის ხსნის „რთულ“ ამოცანების უმეტესობას, ექსპონენციალური განტოლებების (და არა მარტო განტოლებების) თემაზე.

ეს მეთოდი ერთ-ერთია ყველაზე ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში.პირველ რიგში, გირჩევთ გაეცნოთ თემას.

როგორც სახელიდან უკვე მიხვდით, ამ მეთოდის არსი არის ცვლადის ისეთი ცვლილების შემოღება, რომ თქვენი ექსპონენციალური განტოლება სასწაულებრივად გარდაიქმნება ისეთად, რომლის ამოხსნასაც უკვე მარტივად შეძლებთ.

ამ ძალიან „გამარტივებული განტოლების“ ამოხსნის შემდეგ რჩება მხოლოდ „საპირისპირო ჩანაცვლება“: ანუ შეცვლილიდან შეცვლილზე დაბრუნება.

მოდით ილუსტრაციულად ვთქვით ის, რაც ახლა ვთქვით ძალიან მარტივი მაგალითით:

მაგალითი 16. მარტივი ჩანაცვლების მეთოდი

ეს განტოლება ამოხსნილია "მარტივი ჩანაცვლება", როგორც მათემატიკოსები დამამცირებლად უწოდებენ.

მართლაც, ჩანაცვლება აქ ყველაზე აშკარაა. უბრალოდ ამის დანახვაა საჭირო

შემდეგ ორიგინალური განტოლება ხდება:

თუ დამატებით წარმოვიდგენთ როგორ, მაშინ სავსებით გასაგებია, რომ აუცილებელია ჩანაცვლება ...

Რა თქმა უნდა, .

რა ხდება მაშინ თავდაპირველი განტოლება? და აი რა:

თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ მისი ფესვები დამოუკიდებლად:.

Რა უნდა გავაკეთოთ ახლა?

დროა დავუბრუნდეთ საწყის ცვლადს.

რისი ჩასმა დამავიწყდა?

კერძოდ: გარკვეული ხარისხის ახალი ცვლადით ჩანაცვლებისას (ანუ ტიპის ჩანაცვლებისას), დავინტერესდები მხოლოდ დადებითი ფესვები!

თქვენ თვითონ შეგიძლიათ მარტივად უპასუხოთ რატომ.

ამრიგად, ჩვენ არ ვართ დაინტერესებული თქვენით, მაგრამ მეორე ფესვი საკმაოდ შესაფერისია ჩვენთვის:

მერე სად.

პასუხი:

როგორც ხედავთ, წინა მაგალითში შემცვლელი ითხოვდა ჩვენს ხელებს. სამწუხაროდ, ეს ყოველთვის ასე არ არის.

თუმცა, პირდაპირ სამწუხაროზე არ გადავიდეთ, არამედ ვივარჯიშოთ კიდევ ერთ მაგალითზე საკმაოდ მარტივი ჩანაცვლებით

მაგალითი 17. მარტივი ჩანაცვლების მეთოდი

ნათელია, რომ სავარაუდოდ, საჭირო იქნება ჩანაცვლება (ეს არის ყველაზე პატარა ძალაუფლება, რომელიც შედის ჩვენს განტოლებაში).

თუმცა ჩანაცვლების შემოღებამდე ჩვენი განტოლება უნდა იყოს „მომზადებული“ ამისთვის, კერძოდ: , .

შემდეგ შეგიძლიათ შეცვალოთ, შედეგად მე მივიღებ შემდეგ გამოთქმას:

ოჰ საშინელება: კუბური განტოლება მისი ამოხსნის აბსოლუტურად საშინელი ფორმულებით (კარგი, ზოგადად რომ ვთქვათ).

ოღონდ მაშინვე ნუ ვიდარდებთ, არამედ ვიფიქროთ რა უნდა გავაკეთოთ.

მე შემოგთავაზებთ მოტყუებას: ჩვენ ვიცით, რომ იმისათვის, რომ მივიღოთ "ლამაზი" პასუხი, ჩვენ უნდა მივიღოთ სამი სიმძლავრე (რატომ იქნება ეს, ჰა?).

და შევეცადოთ გამოვიცნოთ ჩვენი განტოლების ერთი ფესვი მაინც (გამოცნობას დავიწყებ სამის ხარისხებიდან).

პირველი გამოცნობა. არ არის ფესვი. ვაი და აჰ...

.
მარცხენა მხარე თანაბარია.
მარჯვენა ნაწილი: !

Იქ არის! გამოიცნო პირველი ფესვი. ახლა ყველაფერი გამარტივდება!

იცით თუ არა „კუთხის“ გაყოფის სქემა? რა თქმა უნდა, იცით, თქვენ იყენებთ მას, როდესაც ერთ რიცხვს მეორეზე ყოფთ.

მაგრამ ცოტამ თუ იცის, რომ იგივე შეიძლება გაკეთდეს მრავალწევრებთან.

არსებობს ერთი მშვენიერი თეორემა:

გამოიყენება ჩემს სიტუაციაში, ის მეუბნება, თუ რა იყოფა ნაშთის გარეშე.

როგორ ხდება გაყოფა? ასე:

ვუყურებ რომელი მონომი უნდა გავამრავლო რომ მივიღო

გასაგებია, რომ შემდეგ:

გამოვაკლებ მიღებულ გამონათქვამს, მივიღებ:

ახლა რა უნდა გავამრავლო რომ მივიღო?

გასაგებია, რომ შემდეგ მე მივიღებ:

და კვლავ გამოვაკლოთ მიღებული გამონათქვამი დანარჩენს:

ბოლო საფეხურს ვამრავლებ და ვაკლებ დარჩენილ გამონათქვამს:

ჰოოი, დაყოფა დასრულდა! რა დავაგროვეთ პირადში?

Თავისით: .

შემდეგ მივიღეთ თავდაპირველი მრავალწევრის შემდეგი გაფართოება:

ამოხსნათ მეორე განტოლება:

მას აქვს ფესვები:

შემდეგ ორიგინალური განტოლება:

აქვს სამი ფესვი:

ჩვენ, რა თქმა უნდა, უარვყოფთ ბოლო ფესვს, რადგან ის ნულზე ნაკლებია.

და პირველი ორი საპირისპირო ჩანაცვლების შემდეგ მოგვცემს ორ ფესვს:

პასუხი:..

შენი შეშინება არ მინდოდა ამ მაგალითით!

პირიქით, მე შევეცადე მეჩვენებინა, რომ მიუხედავად იმისა, რომ საკმაოდ მარტივი ჩანაცვლება გვქონდა, მიუხედავად ამისა, ამან გამოიწვია საკმაოდ რთული განტოლება, რომლის ამოხსნაც ჩვენგან განსაკუთრებულ უნარებს მოითხოვდა.

ისე, არავინ არ არის დაზღვეული ამისგან. მაგრამ ცვლილება ამ შემთხვევაში საკმაოდ აშკარა იყო.

მაგალითი #18 (ნაკლებად აშკარა ჩანაცვლებით)

საერთოდ გაუგებარია, რა უნდა გავაკეთოთ: პრობლემა ის არის, რომ ჩვენს განტოლებაში არის ორი განსხვავებული ფუძე და ერთი ფუძის მიღება მეორისგან ვერ ხერხდება მისი რაიმე (გონივრული, ბუნებრივია) ხარისხზე აწევით.

თუმცა, რას ვხედავთ?

ორივე ფუძე განსხვავდება მხოლოდ ნიშნით და მათი ნამრავლი არის კვადრატების განსხვავება ერთის ტოლი:

განმარტება:

ამრიგად, რიცხვები, რომლებიც ჩვენს მაგალითში არის ბაზები, არის კონიუგირებული.

ამ შემთხვევაში, ჭკვიანური ნაბიჯი იქნება გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე კონიუგატულ რიცხვზე.

მაგალითად, on, მაშინ განტოლების მარცხენა მხარე ტოლი გახდება, ხოლო მარჯვენა მხარე.

თუ ჩანაცვლებას გავაკეთებთ, მაშინ ჩვენი თავდაპირველი განტოლება თქვენთან გახდება ასეთი:

მისი ფესვები, მაშინ, მაგრამ ამის დამახსოვრების შემდეგ, ჩვენ ამას მივიღებთ.

პასუხი: ,.

როგორც წესი, ჩანაცვლების მეთოდი საკმარისია "სასკოლო" ექსპონენციალური განტოლებების უმეტესობის ამოსახსნელად.

გაზრდილი სირთულის შემდეგი ამოცანები აღებულია საგამოცდო ვარიანტებიდან.

გაზრდილი სირთულის სამი ამოცანა საგამოცდო ვარიანტებიდან

თქვენ უკვე საკმარისად განათლებული ხართ, რომ ეს მაგალითები დამოუკიდებლად მოაგვაროთ. მე მივცემ მხოლოდ საჭირო ჩანაცვლებას.

1. ამოხსენით განტოლება:
2. იპოვეთ განტოლების ფესვები:
3. ამოხსენით განტოლება: . იპოვეთ ამ განტოლების ყველა ფესვი, რომელიც ეკუთვნის სეგმენტს:

ახლა რამდენიმე სწრაფი ახსნა-განმარტებისა და პასუხებისთვის:

მაგალითი #19

აქ საკმარისია აღინიშნოს, რომ და.

მაშინ ორიგინალური განტოლება იქნება ამის ტოლი:

ეს განტოლება წყდება ჩანაცვლებით

თავად გააკეთეთ შემდეგი გამოთვლები.

საბოლოო ჯამში, თქვენი ამოცანა შემცირდება უმარტივესი ტრიგონომეტრიის ამოხსნამდე (დამოკიდებულია სინუსზე ან კოსინუსზე). ასეთი მაგალითების ამოხსნას სხვა თავებში განვიხილავთ.

მაგალითი #20

აქ შეგიძლიათ გააკეთოთ ჩანაცვლების გარეშეც კი ...

საკმარისია სუბტრაჰენდის მარჯვნივ გადატანა და ორივე ფუძის წარმოდგენა ორი ძალების მეშვეობით: და შემდეგ დაუყოვნებლივ გადადით კვადრატულ განტოლებაზე.

მაგალითი #21

ის ასევე წყდება საკმაოდ სტანდარტულად: წარმოიდგინეთ როგორ.

შემდეგ, ჩანაცვლებით მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას: მაშინ,

უკვე იცით რა არის ლოგარითმი? არა? მაშინ სასწრაფოდ წაიკითხე თემა!

პირველი ფესვი, ცხადია, სეგმენტს არ ეკუთვნის, მეორე კი გაუგებარია!

მაგრამ ძალიან მალე გავარკვევთ!

მას შემდეგ (ეს ლოგარითმის თვისებაა!)

გამოვაკლოთ ორივე ნაწილს და მივიღებთ:

მარცხენა მხარე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

გავამრავლოთ ორივე მხარე:

შეიძლება გამრავლდეს მაშინ

მაშინ შევადაროთ:

მას შემდეგ:

შემდეგ მეორე ფესვი მიეკუთვნება სასურველ ინტერვალს

პასუხი:

Როგორც ხედავ, ექსპონენციალური განტოლებების ფესვების შერჩევა მოითხოვს ლოგარითმების თვისებების საკმაოდ ღრმა ცოდნას., ამიტომ გირჩევთ იყოთ მაქსიმალურად ფრთხილად ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას.

მოგეხსენებათ, მათემატიკაში ყველაფერი ურთიერთდაკავშირებულია!

როგორც ჩემი მათემატიკის მასწავლებელი ამბობდა: „ერთ ღამეში მათემატიკის წაკითხვა არ შეიძლება, როგორც ისტორია“.

როგორც წესი, ყველა გაზრდილი სირთულის პრობლემების გადაჭრის სირთულე არის სწორედ განტოლების ფესვების შერჩევა.

კიდევ ერთი პრაქტიკული მაგალითი...

მაგალითი 22

ცხადია, რომ განტოლება თავისთავად ამოხსნილია საკმაოდ მარტივად.

ჩანაცვლების შემდეგ, ჩვენ ვამცირებთ ჩვენს თავდაპირველ განტოლებას შემდეგზე:

პირველ რიგში, განვიხილოთ პირველი ფესვი.

შეადარე და: მას შემდეგ. (ლოგარითმული ფუნქციის თვისება, at).

მაშინ ცხადია, რომ არც პირველი ძირი არ ეკუთვნის ჩვენს ინტერვალს.

ახლა მეორე ფესვი: . გასაგებია, რომ (რადგან ფუნქცია იზრდება).

რჩება შედარება და

მას შემდეგ, რაც, ამავე დროს.

ამდენად, მე შემიძლია "ამოძრავო პეგი" შორის და.

ეს სამაგრი რიცხვია.

პირველი გამოხატულება ნაკლებია, ხოლო მეორე მეტია ვიდრე.

მაშინ მეორე გამოხატულება უფრო დიდია ვიდრე პირველი და ფესვი ეკუთვნის ინტერვალს.

პასუხი:.

დასასრულს, მოდით გადავხედოთ განტოლების სხვა მაგალითს, სადაც ჩანაცვლება საკმაოდ არასტანდარტულია.

მაგალითი #23 (განტოლება არასტანდარტული ჩანაცვლებით!)

მოდი დაუყოვნებლივ დავიწყოთ იმით, რისი გაკეთება შეგიძლიათ და რა - პრინციპში, შეგიძლიათ, მაგრამ უმჯობესია არ გააკეთოთ ეს.

შესაძლებელია - ყველაფრის წარმოდგენა სამი, ორი და ექვსის ძალებით.

სად მივყავართ?

დიახ, და არაფერამდე არ მიგვიყვანს: ხარისხების ჭურვი, რომელთაგან ზოგიერთის მოშორება საკმაოდ რთული იქნება.

მერე რა არის საჭირო?

აღვნიშნოთ, რომ ა

და რას მოგვცემს?

და ის ფაქტი, რომ ჩვენ შეგვიძლია ამ მაგალითის ამონახსნები შევამციროთ საკმაოდ მარტივი ექსპონენციალური განტოლების ამოხსნამდე!

პირველ რიგში, მოდით გადავწეროთ ჩვენი განტოლება შემდეგნაირად:

ახლა ჩვენ ვყოფთ მიღებული განტოლების ორივე მხარეს:

ევრიკა! ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევცვალოთ, მივიღებთ:

ჰოდა, ახლა თქვენი ჯერია პრობლემების დემონსტრაციისთვის გადაჭრა და მე მათ მხოლოდ მოკლე კომენტარებს მივცემ, რომ არ გადახვიდეთ! Წარმატებები!

მაგალითი #24

Ყველაზე რთული!

აქ შემცვლელის ნახვა ოჰ, რა მახინჯია! მიუხედავად ამისა, ამ მაგალითის სრულად მოგვარება შესაძლებელია სრული კვადრატის შერჩევა.

მის გადასაჭრელად, საკმარისია აღინიშნოს, რომ:

ასე რომ, აქ არის თქვენი შემცვლელი:

(გაითვალისწინეთ, რომ აქ, ჩვენი ჩანაცვლებით, ჩვენ არ შეგვიძლია უარი თქვან უარყოფით ფესვზე!!! და რატომ, რას ფიქრობთ?)

ახლა, მაგალითის ამოსახსნელად, თქვენ უნდა ამოხსნათ ორი განტოლება:

ორივე მოგვარებულია "სტანდარტული ჩანაცვლებით" (მაგრამ მეორე ერთ მაგალითში!)

მაგალითი #25

2. დააკვირდით ამას და გააკეთეთ ჩანაცვლება.

მაგალითი #26

3. გააფართოვეთ რიცხვი თანაპრიმ ფაქტორებად და გაამარტივეთ მიღებული გამოსახულება.

მაგალითი #27

4. წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გაყავით (ან თუ გსურთ) და გააკეთეთ ჩანაცვლება ან.

მაგალითი #28

5. გაითვალისწინეთ, რომ რიცხვები და კონიუგატებია.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ლოგარიფიკაციის მეთოდით. გაფართოებული დონე

გარდა ამისა, მოდით შევხედოთ სხვა გზას - ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ლოგარითმის მეთოდით.

ვერ ვიტყვი, რომ ამ მეთოდით ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ძალიან პოპულარულია, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში მხოლოდ მას შეუძლია მიგვიყვანოს ჩვენი განტოლების სწორ ამონახვამდე.

განსაკუთრებით ხშირად გამოიყენება ე.წ. შერეული განტოლებები': ანუ ის, სადაც არის სხვადასხვა ტიპის ფუნქციები.

მაგალითი #29

ზოგადად, მისი ამოხსნა შესაძლებელია მხოლოდ ორივე ნაწილის ლოგარითმის აღებით (მაგალითად, ბაზის მიხედვით), რომელშიც თავდაპირველი განტოლება გადაიქცევა შემდეგში:

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი:

ნათელია, რომ ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ ლოგარითმული ფუნქციის ODZ.

თუმცა, ეს გამომდინარეობს არა მხოლოდ ლოგარითმის ODZ-დან, არამედ სხვა მიზეზის გამო.

ვფიქრობ, რომ არ გაგიჭირდება იმის გამოცნობა, რომელი.

ავიღოთ ჩვენი განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი ფუძემდე:

როგორც ხედავთ, ჩვენი თავდაპირველი განტოლების ლოგარითმის აღებამ სწრაფად მიგვიყვანა სწორ (და მშვენიერ!) პასუხამდე.

ვივარჯიშოთ კიდევ ერთი მაგალითით.

მაგალითი #30

აქაც სანერვიულო არაფერია: ფუძის მიხედვით ვიღებთ განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმს, შემდეგ ვიღებთ:

მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება:

თუმცა რაღაც გამოგვრჩა! შეამჩნიე სად დავუშვი შეცდომა? ყოველივე ამის შემდეგ, მაშინ:

რომელიც არ აკმაყოფილებს მოთხოვნას (იფიქრეთ საიდან მოვიდა!)

პასუხი:

შეეცადეთ დაწეროთ ქვემოთ მოცემული ექსპონენციალური განტოლების ამონახსნი:

ახლა შეამოწმეთ თქვენი გამოსავალი ამით:

მაგალითი #31

ორივე ნაწილის ლოგარითმს ვიღებთ ფუძემდე, იმის გათვალისწინებით, რომ:

(მეორე ფესვი არ გვიწყობს ჩანაცვლების გამო)

მაგალითი #32

ლოგარითმი ბაზამდე:

მოდით გადავიტანოთ მიღებული გამოხატულება შემდეგ ფორმაში:

ექსპოზიციური განტოლებები. მოკლე აღწერა და ძირითადი ფორმულა

ექსპონენციალური განტოლება

ტიპის განტოლება:

დაურეკა უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლება.

ხარისხის თვისებები

გადაწყვეტის მიდგომები

• შემცირება იმავე ბაზაზე
• შემცირება იმავე მაჩვენებელზე
• ცვლადი ჩანაცვლება
• გაამარტივე გამოთქმა და გამოიყენე რომელიმე ზემოთ ჩამოთვლილი.

უკან წინ

ყურადღება! სლაიდების გადახედვა მხოლოდ საინფორმაციო მიზნებისთვისაა და შესაძლოა არ წარმოადგენდეს პრეზენტაციის სრულ ნაწილს. თუ გაინტერესებთ ეს ნამუშევარი, გთხოვთ გადმოწეროთ სრული ვერსია.

გაკვეთილის ტიპი

: გაკვეთილი ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების განზოგადებისა და კომპლექსური გამოყენების შესახებ თემაზე „ექსპონენციალური განტოლებები და მათი ამოხსნის გზები“.

გაკვეთილის მიზნები.

გაკვეთილები:

„ექსპონენციალური განტოლებები, მათი ამონახსნები“ თემის ძირითადი მასალის გამეორება და სისტემატიზაცია; სხვადასხვა ტიპის ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას შესაბამისი ალგორითმების გამოყენების უნარის კონსოლიდაცია; მომზადება გამოცდისთვის.

განვითარება:

მოსწავლეთა ლოგიკური და ასოციაციური აზროვნების განვითარება; ხელი შეუწყოს ცოდნის დამოუკიდებელი გამოყენების უნარის განვითარებას.

საგანმანათლებლო:

განტოლებების ამოხსნისას მიზანმიმართულობის, ყურადღების და სიზუსტის გამომუშავება.

აღჭურვილობა:

კომპიუტერი და მულტიმედიური პროექტორი.

გაკვეთილი იყენებს Საინფორმაციო ტექნოლოგია : გაკვეთილის მეთოდოლოგიური მხარდაჭერა - პრეზენტაცია Microsoft Power Point-ში.

გაკვეთილების დროს

ყველა უნარს თან ახლავს შრომა.

ᲛᲔ. გაკვეთილის მიზნის დასახვა(სლაიდი ნომერი 2 )

ამ გაკვეთილზე შევაჯამებთ და განვაზოგადებთ თემას „ექსპონენციალური განტოლებები, მათი ამონახსნები“. მოდით გავეცნოთ ამ თემაზე სხვადასხვა წლის გამოცდის ტიპურ ამოცანებს.

ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის ამოცანები შეგიძლიათ იხილოთ USE ამოცანების ნებისმიერ ნაწილში. ნაწილში " AT" ჩვეულებრივ გვთავაზობენ უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნას. ნაწილში " საწყისი " შეგიძლიათ შეხვდეთ უფრო რთულ ექსპონენციალურ განტოლებებს, რომელთა ამოხსნა, როგორც წესი, ამოცანის ერთ-ერთი ეტაპია.

Მაგალითად ( სლაიდი ნომერი 3 ).

• გამოყენება - 2007 წ

B 4 - იპოვეთ გამოხატვის უდიდესი მნიშვნელობა x წ, სად ( X; ზე) არის სისტემის გამოსავალი:

• გამოყენება - 2008 წ

B 1 - განტოლებების ამოხსნა:

ა) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

ბ) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• გამოყენება - 2009 წ

B 4 - იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა x + y, სად ( X; ზე) არის სისტემის გამოსავალი:

• გამოყენება - 2010 წ

– ამოხსენით განტოლება: 7 X– 2 = 49. - იპოვეთ განტოლების ფესვები: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. - ამოხსენით განტოლებათა სისტემა:

II. საბაზისო ცოდნის განახლება. გამეორება

(სლაიდები #4 - 6 კლასის პრეზენტაციები)

ეკრანი ნაჩვენებია თეორიული მასალის საცნობარო შეჯამება ამ თემაზე.

განიხილება შემდეგი კითხვები:

1. რა განტოლებებს უწოდებენ საჩვენებელი?
2. დაასახელეთ მათი გადაჭრის ძირითადი გზები. მიეცით მაგალითები მათი ტიპების ( სლაიდი ნომერი 4 )

(თვითონ ამოხსენით შემოთავაზებული განტოლებები თითოეული მეთოდისთვის და ჩაატარეთ თვითტესტი სლაიდის გამოყენებით)

3. რა თეორემა გამოიყენება ფორმის უმარტივესი ექსპონენციალური განტოლებების ამოსახსნელად: და f(x) = a g(x) ?
4. რა სხვა მეთოდები არსებობს ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისთვის? ( სლაიდი ნომერი 5 )

• ფაქტორიზაციის მეთოდი
(დაფუძნებულია ძალაუფლების თვისებებზე იგივე ბაზები, მიღება: ფრჩხილებიდან ამოღებულია ხარისხი ყველაზე დაბალი მაჩვენებლით).
• გაყოფის (გამრავლების) მიღება ნულის გარდა სხვა ექსპონენციალური გამოსახულებით, ერთგვაროვანი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნისას
.

• რჩევა:

ექსპონენციური განტოლებების ამოხსნისას, პირველ რიგში, სასარგებლოა ტრანსფორმაციების გაკეთება, განტოლების ორივე ნაწილში ერთი და იგივე საფუძვლებით ხარისხების მიღება.

1. განტოლებების ამოხსნა ბოლო ორი მეთოდით, რასაც მოჰყვება კომენტარები

(სლაიდი ნომერი 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, ტ > 0, 2ტ 2 - 3t- 5 = 0,ტ= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. USE ამოცანების ამოხსნა 2010 წ

მოსწავლეები დამოუკიდებლად ხსნიან გაკვეთილის დასაწყისში შემოთავაზებულ ამოცანებს No3 სლაიდზე, ამოხსნის ინსტრუქციების გამოყენებით, ამოწმებენ მათ ამოხსნას და მათზე პასუხებს პრეზენტაციის გამოყენებით ( სლაიდი ნომერი 7). მუშაობის პროცესში განიხილება გადაჭრის ვარიანტები და მეთოდები, ყურადღება გამახვილებულია გამოსავალში შესაძლო შეცდომებზე.

: ა) 7 X– 2 = 49, ბ) (1/6) 12 - 7 x = 36. პასუხი: ა) X= 4, ბ) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (შეგიძლიათ შეცვალოთ 0.5 \u003d 4 - 0.5)

გამოსავალი. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

პასუხი: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 ტგ წ+ 4 = 5 -ტგ წ, cos წ< 0.

წინადადება გადაწყვეტილების მისაღებად

. 5 5 ტგ წ+ 4 = 5 -ტგ წ¦ 5 ტ წ 0,

5 5 2 გ წ+ 4 5 ტ y- 1 = 0. მოდით X= 5 ტგ წ , …

5 ტგ წ = -1 (?...), 5 ტგ y= 1/5.

ვინაიდან ტგ წ= -1 და cos წ< 0, მაშინ ზე II კოორდინატთა კვარტალი

პასუხი: ზე= 3/4 + 2კ, კ ნ.

IV. Whiteboard Collaboration

სწავლის მაღალი დონის ამოცანად ითვლება - სლაიდი ნომერი 8. ამ სლაიდის დახმარებით მიმდინარეობს დიალოგი მასწავლებელსა და მოსწავლეებს შორის, რაც ხელს უწყობს გადაწყვეტის შემუშავებას.

- რა პარამეტრზე ა განტოლება 2 2 X – 3 2 X + ა 2 – 4ა= 0 აქვს ორი ფესვი?

დაე ტ= 2 X, სად ტ > 0 . ვიღებთ ტ 2 – 3ტ + (ა 2 – 4ა) = 0 .

ერთი). ვინაიდან განტოლებას ორი ფესვი აქვს, მაშინ D > 0;

2). იმიტომ რომ ტ 1,2 > 0, მაშინ ტ 1 ტ 2 > 0, ანუ ა 2 – 4ა> 0 (?...).

პასუხი: ა(– 0.5; 0) ან (4; 4.5).

V. გადამოწმების სამუშაო

(სლაიდი ნომერი 9 )

მოსწავლეები ასრულებენ გადამოწმების სამუშაობუკლეტებზე, თვითკონტროლის განხორციელება და პრეზენტაციის დახმარებით შესრულებული სამუშაოს თვითშეფასება, თემაში თავის დამტკიცება. ისინი დამოუკიდებლად განსაზღვრავენ სამუშაო წიგნებში დაშვებული შეცდომების საფუძველზე ცოდნის რეგულირებისა და გამოსწორების პროგრამას. დასრულებული დამოუკიდებელი სამუშაოს მქონე ფურცლები გადაეცემა მასწავლებელს გადასამოწმებლად.

ხაზგასმული რიცხვები საბაზისოა, ხოლო ვარსკვლავით მოწინავე რიცხვები.

გამოსავალი და პასუხები.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (არაშესაფერისი),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Საშინაო დავალება

(სლაიდი ნომერი 10 )

• გაიმეორეთ § 11, 12.
• 2008 - 2010 წლების ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის მასალებიდან შეარჩიეთ ამოცანები თემაზე და ამოიღეთ ისინი.
• საშინაო სატესტო სამუშაო
: