എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. ലോഗരിതം രീതി. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം. ഉദാഹരണങ്ങൾ ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നവരെ ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതാണ് ഈ പാഠം. എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, നമുക്ക് ഒരു നിർവചനവും ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കാം.

നിങ്ങൾ ഈ പാഠം വായിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ചുരുങ്ങിയ ധാരണയുണ്ടെന്ന് ഞാൻ സംശയിക്കുന്നു - രേഖീയവും ചതുരവും: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ തുടങ്ങിയവ. ഇപ്പോൾ ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്ന വിഷയത്തിൽ "തൂങ്ങിക്കിടക്കാതിരിക്കാൻ" അത്തരം നിർമ്മാണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുക എന്നത് തികച്ചും ആവശ്യമാണ്.

അതിനാൽ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകട്ടെ:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

അവയിൽ ചിലത് നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായി തോന്നിയേക്കാം, അവയിൽ ചിലത്, നേരെമറിച്ച്, വളരെ ലളിതമാണ്. എന്നാൽ അവയെല്ലാം ഒരു പ്രധാന സവിശേഷതയാൽ ഏകീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: അവയിൽ $f\left(x \right)=((a)^(x))$ ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്നത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഏതൊരു സമവാക്യമാണ്, അതായത്. $((a)^(x))$ രൂപത്തിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗം. നിർദ്ദിഷ്ട പ്രവർത്തനത്തിന് പുറമേ, അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിൽ മറ്റേതെങ്കിലും ബീജഗണിത ഘടനകൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം - പോളിനോമിയലുകൾ, വേരുകൾ, ത്രികോണമിതി, ലോഗരിതം മുതലായവ.

അപ്പോൾ ശരി. നിർവചനം മനസ്സിലായി. ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ഇതാണ്: ഈ വിഡ്ഢിത്തങ്ങളെല്ലാം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? ഉത്തരം ഒരേ സമയം ലളിതവും സങ്കീർണ്ണവുമാണ്.

നമുക്ക് നല്ല വാർത്തയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം: പല വിദ്യാർത്ഥികളുമായുള്ള എന്റെ അനുഭവത്തിൽ നിന്ന്, അവരിൽ ഭൂരിഭാഗത്തിനും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരേ ലോഗരിതങ്ങളേക്കാൾ വളരെ എളുപ്പമാണ്, അതിലുപരി ത്രികോണമിതിയാണെന്ന് എനിക്ക് പറയാൻ കഴിയും.

എന്നാൽ ഒരു മോശം വാർത്തയും ഉണ്ട്: ചിലപ്പോൾ എല്ലാത്തരം പാഠപുസ്തകങ്ങൾക്കും പരീക്ഷകൾക്കുമുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ കംപൈലറുകൾ "പ്രചോദനം" വഴി സന്ദർശിക്കുന്നു, കൂടാതെ അവരുടെ മയക്കുമരുന്ന് ജ്വലിക്കുന്ന മസ്തിഷ്കം അത്തരം ക്രൂരമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഉത്പാദിപ്പിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു, അത് വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മാത്രമല്ല അവ പരിഹരിക്കുന്നത് പ്രശ്നമാക്കുന്നു - പല അധ്യാപകരും പോലും ഇത്തരം പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ കുടുങ്ങിക്കിടക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, സങ്കടകരമായ കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കരുത്. കഥയുടെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ നൽകിയ മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നമുക്ക് മടങ്ങാം. അവ ഓരോന്നും പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ആദ്യ സമവാക്യം: $((2)^(x))=4$. ശരി, നമ്പർ 4 ലഭിക്കാൻ 2 എന്ന സംഖ്യ ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം? ഒരുപക്ഷേ രണ്ടാമത്തേത്? എല്ലാത്തിനുമുപരി, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — ഞങ്ങൾ ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത നേടി, അതായത്. തീർച്ചയായും $x=2$. ശരി, നന്ദി, തൊപ്പി, പക്ഷേ ഈ സമവാക്യം വളരെ ലളിതമായിരുന്നു, എന്റെ പൂച്ചയ്ക്ക് പോലും ഇത് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. :)

ഇനി പറയുന്ന സമവാക്യം നോക്കാം:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

എന്നാൽ ഇവിടെ കുറച്ചുകൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും അറിയാം $((5)^(2))=25$ എന്നത് ഗുണനപ്പട്ടികയാണ്. ചിലർ സംശയിക്കുന്നു $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ എന്നത് നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുടെ നിർവചനമാണ് ($(a)^(-n))= \ frac(1)(((എ)^(n)))$).

അവസാനമായി, ഈ വസ്‌തുതകൾ സംയോജിപ്പിക്കാനാകുമെന്നും ഔട്ട്‌പുട്ട് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലമാണെന്നും തിരഞ്ഞെടുത്ത ചിലർ മാത്രം ഊഹിക്കുന്നു:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

ഇപ്പോൾ ഇത് ഇതിനകം പൂർണ്ണമായും പരിഹരിച്ചു! സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ട്, സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ട്, അവയല്ലാതെ മറ്റെവിടെയും ഇല്ല. അതിനാൽ, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ "നിരസിക്കാനും" സൂചകങ്ങളെ മണ്ടത്തരമായി തുല്യമാക്കാനും കഴിയും:

ഏതൊരു വിദ്യാർത്ഥിക്കും രണ്ട് വരികളിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. ശരി, നാല് വരികളിൽ:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\ end(align)\]

അവസാന നാല് വരികളിൽ എന്താണ് സംഭവിച്ചതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാകുന്നില്ലെങ്കിൽ, "ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തിലേക്ക് മടങ്ങുകയും അത് ആവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക. കാരണം ഈ വിഷയത്തിന്റെ വ്യക്തമായ സ്വാംശീകരണം കൂടാതെ, നിങ്ങൾക്ക് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നത് വളരെ നേരത്തെ തന്നെ.

\[((9)^(x))=-3\]

ശരി, നിങ്ങൾ എങ്ങനെ തീരുമാനിക്കും? ആദ്യം ചിന്തിച്ചത്: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇതുപോലെ മാറ്റിയെഴുതാം:

\[((\ഇടത്(((3)^(2))) \വലത്))^(x))=-3\]

ഒരു ഡിഗ്രി ഒരു പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, സൂചകങ്ങൾ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു:

\[((\ഇടത്(((3)^(2))) \ വലത്))^(x))=((3)^(2x))\വലത്താരോ ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\ end(align)\]

അത്തരമൊരു തീരുമാനത്തിന്, ഞങ്ങൾക്ക് സത്യസന്ധമായി അർഹമായ ഒരു ഡ്യൂസ് ലഭിക്കും. എന്തെന്നാൽ, ഞങ്ങൾ, ഒരു പോക്കിമോന്റെ സമചിത്തതയോടെ, ഈ മൂന്നിന്റെയും ശക്തിയിലേക്ക്, മൂന്നിനും മുന്നിലുള്ള മൈനസ് ചിഹ്നം അയച്ചു. നിങ്ങൾക്ക് അത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. അതുകൊണ്ടാണ്. ട്രിപ്പിളിന്റെ വ്യത്യസ്ത ശക്തികൾ നോക്കുക:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& ((( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\ end(matrix)\]

ഈ ടാബ്‌ലെറ്റ് കംപൈൽ ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞാൻ ചെയ്ത ഉടൻ തന്നെ ഞാൻ വികൃതമാക്കിയില്ല: പോസിറ്റീവ് ഡിഗ്രികളും നെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ പോലും ഞാൻ പരിഗണിച്ചു ... ശരി, ഇവിടെ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയെങ്കിലും എവിടെയാണ്? അവൻ ഇല്ല! അത് ആകാൻ കഴിയില്ല, കാരണം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ $y=((a)^(x))$, ഒന്നാമതായി, എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ എടുക്കൂ (നിങ്ങൾ എത്രമാത്രം ഒന്നിനെ ഗുണിച്ചാലും രണ്ടായി ഹരിച്ചാലും, അത് അപ്പോഴും ഒരു ആയിരിക്കും പോസിറ്റീവ് നമ്പർ), രണ്ടാമതായി, അത്തരമൊരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ അടിസ്ഥാനം, $a$, നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്!

ശരി, പിന്നെ എങ്ങനെ $((9)^(x))=-3$ എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം? ഇല്ല, വേരുകളില്ല. ഈ അർത്ഥത്തിൽ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ് - വേരുകളും ഇല്ലായിരിക്കാം. എന്നാൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ വേരുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് വിവേചനക്കാരനാണ് (വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ് - 2 വേരുകൾ, നെഗറ്റീവ് - വേരുകൾ ഇല്ല), എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഇതെല്ലാം തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ളതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ പ്രധാന നിഗമനം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു: $((a)^(x))=b$ എന്ന ഫോമിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് $b \gt 0$ ആണെങ്കിൽ മാത്രം റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഈ ലളിതമായ വസ്തുത അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് നിർദ്ദേശിച്ച സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ആ. ഇത് പരിഹരിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണോ അല്ലെങ്കിൽ വേരുകളില്ലെന്ന് ഉടനടി എഴുതുക.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടിവരുമ്പോൾ ഈ അറിവ് നമ്മെ പലതവണ സഹായിക്കും. ഇതിനിടയിൽ, മതിയായ വരികൾ - എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന അൽഗോരിതം പഠിക്കാനുള്ള സമയമാണിത്.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

അതിനാൽ, നമുക്ക് പ്രശ്നം രൂപപ്പെടുത്താം. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

\[((എ)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

ഞങ്ങൾ നേരത്തെ ഉപയോഗിച്ച "നിഷ്കളങ്ക" അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച്, $b$ എന്ന സംഖ്യയെ $a$ എന്ന സംഖ്യയുടെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

കൂടാതെ, $x$ എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം എന്തെങ്കിലും പദപ്രയോഗം ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു പുതിയ സമവാക്യം ലഭിക്കും, അത് ഇതിനകം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Righttarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\വലത്താരോ ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

വിചിത്രമെന്നു പറയട്ടെ, ഈ സ്കീം ഏകദേശം 90% കേസുകളിലും പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അപ്പോൾ ബാക്കി 10% കാര്യമോ? ബാക്കിയുള്ള 10% രൂപത്തിന്റെ ചെറുതായി "സ്‌കിസോഫ്രീനിക്" എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളാണ്:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

3 ലഭിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് 2 ഉയർത്തണം? ആദ്യത്തേതിൽ? പക്ഷേ ഇല്ല: $((2)^(1))=2$ മതിയാവില്ല. രണ്ടാമത്തേതിൽ? ഒന്നുമില്ല: $((2)^(2))=4$ വളരെ കൂടുതലാണ്. അപ്പോൾ എന്താണ്?

അറിവുള്ള വിദ്യാർത്ഥികൾ ഇതിനകം ഊഹിച്ചിരിക്കാം: അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, "മനോഹരമായി" പരിഹരിക്കാൻ അസാധ്യമാകുമ്പോൾ, "കനത്ത പീരങ്കികൾ" കേസുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു - ലോഗരിതം. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച്, ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയെയും മറ്റേതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ (ഒരെണ്ണം ഒഴികെ):

ഈ ഫോർമുല ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? ലോഗരിതങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഞാൻ എന്റെ വിദ്യാർത്ഥികളോട് പറയുമ്പോൾ, ഞാൻ എപ്പോഴും നിങ്ങൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകുന്നു: ഈ ഫോർമുല (അത് അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം കൂടിയാണ്) നിങ്ങളെ വളരെക്കാലം വേട്ടയാടുകയും ഏറ്റവും കൂടുതൽ "ഉയരുകയും" ചെയ്യും. അപ്രതീക്ഷിത സ്ഥലങ്ങൾ. ശരി, അവൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. നമ്മുടെ സമവാക്യവും ഈ ഫോർമുലയും നോക്കാം:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\ end(align) \]

വലതുവശത്തുള്ള ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യ $a=3$ ആണെന്നും $b=2$ എന്നത് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ അടിസ്ഥാനമാണെന്നും ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Righttarrow x=( (\log )_(2))3. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഞങ്ങൾക്ക് അൽപ്പം വിചിത്രമായ ഒരു ഉത്തരം ലഭിച്ചു: $x=((\log )_(2))3$. മറ്റേതെങ്കിലും ജോലിയിൽ, അത്തരമൊരു ഉത്തരം ഉപയോഗിച്ച്, പലരും സംശയിക്കുകയും അവരുടെ പരിഹാരം രണ്ടുതവണ പരിശോധിക്കാൻ തുടങ്ങുകയും ചെയ്യും: എവിടെയെങ്കിലും ഒരു തെറ്റ് സംഭവിച്ചാലോ? നിങ്ങളെ പ്രസാദിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ തിടുക്കം കൂട്ടുന്നു: ഇവിടെ ഒരു പിശകും ഇല്ല, കൂടാതെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകളിലെ ലോഗരിതം തികച്ചും ഒരു സാധാരണ സാഹചര്യമാണ്. അതുകൊണ്ട് ശീലിക്കുക. :)

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ സാമ്യം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Righttarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അത്രയേയുള്ളൂ! വഴിയിൽ, അവസാന ഉത്തരം വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം:

ലോഗരിതം എന്ന വാദത്തിൽ ഗുണിതത്തെ അവതരിപ്പിച്ചത് ഞങ്ങളാണ്. എന്നാൽ ഈ ഘടകം അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് ചേർക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ആരും ഞങ്ങളെ തടയുന്നില്ല:

മാത്രമല്ല, മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകളും ശരിയാണ് - അവ ഒരേ നമ്പർ എഴുതുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങൾ മാത്രമാണ്. ഈ തീരുമാനത്തിൽ ഏതാണ് തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതും എഴുതേണ്ടതും എന്നത് നിങ്ങളുടേതാണ്.

അങ്ങനെ, $((a)^(x))=b$ എന്ന ഫോമിന്റെ ഏതെങ്കിലും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു, ഇവിടെ $a$, $b$ എന്നീ സംഖ്യകൾ കർശനമായി പോസിറ്റീവ് ആണ്. എന്നിരുന്നാലും, നമ്മുടെ ലോകത്തിന്റെ പരുഷമായ യാഥാർത്ഥ്യം, അത്തരം ലളിതമായ ജോലികൾ നിങ്ങളെ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കണ്ടുമുട്ടുകയുള്ളൂ എന്നതാണ്. മിക്കപ്പോഴും നിങ്ങൾ ഇതുപോലുള്ള എന്തെങ്കിലും കാണും:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ശരി, നിങ്ങൾ എങ്ങനെ തീരുമാനിക്കും? ഇത് പൂർണ്ണമായും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമോ? അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, എങ്ങനെ?

പരിഭ്രമമില്ല. ഈ സമവാക്യങ്ങളെല്ലാം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ച ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലേക്ക് വേഗത്തിലും ലളിതമായും ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. ബീജഗണിത കോഴ്‌സിൽ നിന്നുള്ള രണ്ട് തന്ത്രങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കാൻ നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. തീർച്ചയായും, ഇവിടെ ഡിഗ്രികളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിന് നിയമങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഇതെല്ലാം ഞാൻ ഇപ്പോൾ സംസാരിക്കും. :)

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിവർത്തനം

ഏത് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യവും, അത് എത്ര സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിലും, ഒരു വഴി അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് ചുരുക്കണം എന്നതാണ് ആദ്യം ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് - ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചതും എങ്ങനെ പരിഹരിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്നതുമായ സമവാക്യങ്ങൾ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഏതെങ്കിലും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

1. യഥാർത്ഥ സമവാക്യം എഴുതുക. ഉദാഹരണത്തിന്: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. എന്തെങ്കിലും മണ്ടത്തരങ്ങൾ ചെയ്യുക. അല്ലെങ്കിൽ "സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുക" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ചില വിഡ്ഢിത്തങ്ങൾ പോലും;
3. ഔട്ട്‌പുട്ടിൽ, $((4)^(x))=4$ അല്ലെങ്കിൽ അത്തരത്തിലുള്ള മറ്റെന്തെങ്കിലും പോലുള്ള ലളിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ നേടുക. മാത്രമല്ല, ഒരു പ്രാരംഭ സമവാക്യത്തിന് ഒരേസമയം അത്തരം നിരവധി പദപ്രയോഗങ്ങൾ നൽകാൻ കഴിയും.

ആദ്യ പോയിന്റിൽ, എല്ലാം വ്യക്തമാണ് - എന്റെ പൂച്ചയ്ക്ക് പോലും ഒരു ഇലയിൽ സമവാക്യം എഴുതാൻ കഴിയും. മൂന്നാമത്തെ പോയിന്റിലും, ഇത് കൂടുതലോ കുറവോ വ്യക്തമാണെന്ന് തോന്നുന്നു - മുകളിലുള്ള അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഹരിച്ചു.

എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റിന്റെ കാര്യമോ? പരിവർത്തനങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്? എന്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യണം? എങ്ങനെ?

ശരി, നമുക്ക് അത് കണ്ടുപിടിക്കാം. ഒന്നാമതായി, ഇനിപ്പറയുന്നവ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. എല്ലാ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും രണ്ട് തരങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

1. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ചേർന്നതാണ് സമവാക്യം. ഉദാഹരണം: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. ഫോർമുലയിൽ വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$, $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$.

ആദ്യ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം - അവ പരിഹരിക്കാൻ ഏറ്റവും എളുപ്പമാണ്. അവരുടെ പരിഹാരത്തിൽ സ്ഥിരതയുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് പോലുള്ള ഒരു സാങ്കേതികത ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും.

സ്ഥിരതയുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നു

നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം വീണ്ടും നോക്കാം:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

നമ്മൾ എന്താണ് കാണുന്നത്? നാലെണ്ണം വ്യത്യസ്ത ഡിഗ്രികളിലേക്ക് ഉയർത്തപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ ഈ ശക്തികളെല്ലാം മറ്റ് സംഖ്യകളുമൊത്തുള്ള $x$ എന്ന വേരിയബിളിന്റെ ലളിതമായ തുകകളാണ്. അതിനാൽ, ഡിഗ്രികളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((എ)^(x-y))=((എ)^(x)):((എ)^(y))=\frac((((എ)^(x)))(((എ) )^(y))). \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുടെ സങ്കലനം ശക്തികളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്, കൂടാതെ വ്യവകലനം എളുപ്പത്തിൽ വിഭജനമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടും. നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നുള്ള ശക്തികളിൽ ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഈ വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുന്നു, തുടർന്ന് ഇടതുവശത്തുള്ള എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നു:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 - പതിനൊന്ന്; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ആദ്യത്തെ നാല് പദങ്ങളിൽ $((4)^(x))$ എന്ന മൂലകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു - നമുക്ക് അത് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് എടുക്കാം:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും $-\frac(11)(4)$ എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് ശേഷിക്കുന്നു, അതായത്. അടിസ്ഥാനപരമായി വിപരീത ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക - $-\frac(4)(11)$. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\[\ആരംഭിക്കുക(അലൈന് ചെയ്യുക)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അത്രയേയുള്ളൂ! ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഏറ്റവും ലളിതമായി ചുരുക്കി, അന്തിമ ഉത്തരം ലഭിച്ചു.

അതേ സമയം, പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, ഞങ്ങൾ $((4)^(x))$ എന്ന പൊതു ഘടകം കണ്ടെത്തി (ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പോലും എടുത്തു) - ഇതാണ് സ്ഥിരതയുള്ള പദപ്രയോഗം. ഇത് ഒരു പുതിയ വേരിയബിളായി നിയോഗിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് അത് കൃത്യമായി പ്രകടിപ്പിക്കാനും ഉത്തരം നേടാനും കഴിയും. ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, പരിഹാരത്തിന്റെ പ്രധാന തത്വം ഇപ്രകാരമാണ്:

എല്ലാ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകളിൽ നിന്നും എളുപ്പത്തിൽ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയുന്ന ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു സ്ഥിരതയുള്ള പദപ്രയോഗം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ കണ്ടെത്തുക.

മിക്കവാറും എല്ലാ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും അത്തരമൊരു സ്ഥിരതയുള്ള പദപ്രയോഗം അംഗീകരിക്കുന്നു എന്നതാണ് നല്ല വാർത്ത.

എന്നാൽ ഒരു മോശം വാർത്തയും ഉണ്ട്: അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങൾ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും അവയെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമാണ്. അതിനാൽ നമുക്ക് മറ്റൊരു പ്രശ്നം നോക്കാം:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

ഒരുപക്ഷേ ഇപ്പോൾ ആർക്കെങ്കിലും ഒരു ചോദ്യം ഉണ്ടായിരിക്കാം: “പാഷാ, നിങ്ങൾ കല്ലെറിഞ്ഞോ? വ്യത്യസ്ത അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഇതാ - 5 ഉം 0.2 ഉം. എന്നാൽ ബേസ് 0.2 ഉള്ള ഒരു പവർ പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കാം, അത് സാധാരണ നിലയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ആണെങ്കിലും, നമ്പർ 5 ഇപ്പോഴും പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. അതേ സമയം, സൂചകം നെഗറ്റീവ് ആയി മാറ്റിയെഴുതി. ഡിഗ്രികളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട നിയമങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഓർക്കുന്നു:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\ഇടത്(\frac(1)(5) \വലത്))^( -\ഇടത്(x+1 \വലത്)))=((\ഇടത്(\frac(5)(1) \വലത്))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

ഇവിടെ, തീർച്ചയായും, ഞാൻ കുറച്ച് ചതിച്ചു. കാരണം പൂർണ്ണമായ ധാരണയ്ക്കായി, നെഗറ്റീവ് സൂചകങ്ങളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്:

\[((എ)^(-n))=\frac(1)(((എ)^(n)))=((\ഇടത്(\frac(1)(എ) \വലത്))^(n) ))\വലത്തോട്ടാരോ ((\ഇടത്(\frac(1)(5) \വലത്))^(-\ഇടത്(x+1 \വലത്)))=(\ഇടത്(\frac(5)(1) \ വലത്))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

മറുവശത്ത്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ഒന്നും ഞങ്ങളെ തടഞ്ഞില്ല:

\[((\ഇടത്(\frac(1)(5) \വലത്))^(-\ഇടത്(x+1 \വലത്)))=(\ഇടത്(((5)^(-1)) \ വലത്))^(-\ഇടത്(x+1 \വലത്)))=((5)^(\ഇടത്(-1 \വലത്)\cdot \ഇടത്(-\ഇടത്(x+1 \വലത്) \വലത്) ))=((5)^(x+1))\]

എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ബിരുദം മറ്റൊരു ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ഉയർത്താൻ കഴിയണം (ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു: ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സൂചകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കപ്പെടുന്നു). പക്ഷേ എനിക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകൾ "ഫ്ലിപ്പ്" ചെയ്യേണ്ടതില്ല - ഒരുപക്ഷേ ആർക്കെങ്കിലും ഇത് എളുപ്പമായിരിക്കും. :)

ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, യഥാർത്ഥ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതും:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അതിനാൽ, മുമ്പ് പരിഗണിച്ചതിനേക്കാൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു: ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സ്ഥിരതയുള്ള പദപ്രയോഗം പോലും ആവശ്യമില്ല - എല്ലാം സ്വയം കുറഞ്ഞു. $1=(5)^(0))$, എവിടെ നിന്നാണ് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് എന്ന് ഓർക്കാൻ മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അതാണ് മുഴുവൻ പരിഹാരം! ഞങ്ങൾക്ക് അവസാന ഉത്തരം ലഭിച്ചു: $x=-2$. അതേ സമയം, ഞങ്ങൾക്കായി എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും വളരെ ലളിതമാക്കിയ ഒരു തന്ത്രം ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു:

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ, ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക, അവയെ സാധാരണമായവയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുക. ഇത് ഡിഗ്രികളുടെ അതേ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ കാണാനും പരിഹാരം വളരെ ലളിതമാക്കാനും നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പോകാം, അതിൽ വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകൾ ഉണ്ട്, അവ സാധാരണയായി ശക്തികൾ ഉപയോഗിച്ച് പരസ്പരം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല.

എക്‌സ്‌പോണന്റ് പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പ്രത്യേകിച്ച് കഠിനമായ സമവാക്യങ്ങൾ കൂടി ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

എന്താണ്, ഏത് അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് നയിക്കണമെന്ന് വ്യക്തമല്ല എന്നതാണ് ഇവിടെ പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ട്. സ്ഥിരമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ എവിടെയാണ്? പൊതുവായ മൈതാനങ്ങൾ എവിടെയാണ്? ഇതൊന്നും ഇല്ല.

എന്നാൽ നമുക്ക് മറ്റൊരു വഴിക്ക് പോകാൻ ശ്രമിക്കാം. റെഡിമെയ്ഡ് സമാനമായ ബേസുകളൊന്നും ഇല്ലെങ്കിൽ, ലഭ്യമായ ബേസുകൾ ഫാക്‌ടർ ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് അവ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\ഇടത്(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

എന്നാൽ എല്ലാത്തിനുമുപരി, നിങ്ങൾക്ക് വിപരീതമായി ചെയ്യാൻ കഴിയും - 7, 3 അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് 21 നമ്പർ ഉണ്ടാക്കുക. രണ്ട് ഡിഗ്രികളുടെയും സൂചകങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ ഇടതുവശത്ത് ഇത് ചെയ്യുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അത്രയേയുള്ളൂ! നിങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് എടുത്തു, ഉടൻ തന്നെ രണ്ട് വരികളിൽ പരിഹരിക്കാവുന്ന മനോഹരമായ ഒരു സമവാക്യം ലഭിച്ചു.

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം കൈകാര്യം ചെയ്യാം. ഇവിടെ എല്ലാം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\ഇടത്(\frac(27)(10) \വലത്))^(1-x)=\frac(9)(100)\]

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ മാറ്റാനാവാത്തതായി മാറി, പക്ഷേ എന്തെങ്കിലും കുറയ്ക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അത് കുറയ്ക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക. ഇത് പലപ്പോഴും നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയുന്ന രസകരമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾക്ക് കാരണമാകും.

നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഞങ്ങൾ ഒന്നും കൊണ്ടുവന്നിട്ടില്ല. എന്നാൽ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ ഇടതുവശത്തുള്ള എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ വിപരീതമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു:

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: എക്‌സ്‌പോണന്റിലെ മൈനസ് ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യ “ഫ്ലിപ്പ്” ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ നമുക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\ഇടത്(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\ഇടത്(\frac(1000)(27) \വലത്))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ, $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) എന്ന റൂൾ അനുസരിച്ച് ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്നുള്ള ആകെ തുക ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റ് ചെയ്തു ))^ (x))$, രണ്ടാമത്തേതിൽ അവർ 100 എന്ന സംഖ്യയെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.

ഇപ്പോൾ ഇടതുവശത്തും (അടിത്തട്ടിൽ) വലതുവശത്തും ഉള്ള അക്കങ്ങൾ കുറച്ച് സമാനമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. എങ്ങനെ? അതെ, വ്യക്തമായും: അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ ശക്തികളാണ്! നമുക്ക് ഉണ്ട്:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=(\ഇടത്(\frac(\frac( 10)(3) \വലത്))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2))(((10)^(3)))=(\ഇടത്(\frac(3)(10) \വലത്))^(2)). \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതും:

\[(\ഇടത്((\ഇടത്(\frac(10)(3)\വലത്))^(3)) \വലത്))^(x-1))=(\ഇടത്(\frac(3) )(10) \വലത്))^(2))\]

\[(\ഇടത്((\ഇടത്(\frac(10)(3) \വലത്))^(3)) \വലത്))^(x-1))=((\ഇടത്(\frac(10) )(3) \വലത്))^(3\ഇടത്(x-1 \വലത്)))=(\ഇടത്(\frac(10)(3) \വലത്))^(3x-3))\]

അതേ സമയം, വലതുവശത്ത്, നിങ്ങൾക്ക് അതേ അടിത്തറയുള്ള ഒരു ബിരുദം നേടാനും കഴിയും, അതിനായി ഭിന്നസംഖ്യ "ഫ്ലിപ്പ്" ചെയ്താൽ മതിയാകും:

\[(\ഇടത്(\frac(3)(10) \വലത്))^(2))=((\ഇടത്(\frac(10)(3) \വലത്))^(-2))\]

അവസാനമായി, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും:

\[\ആരംഭിക്കുക(അലൈൻ ചെയ്യുക)& ((\ഇടത്(\frac(10)(3) \വലത്))^(3x-3))=(\ഇടത്(\frac(10)(3) \വലത്)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അതാണ് മുഴുവൻ പരിഹാരവും. വ്യത്യസ്‌ത കാരണങ്ങളാൽപ്പോലും, ഈ കാരണങ്ങൾ ഒരേ ഒന്നായി ചുരുക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഹുക്ക് ഉപയോഗിച്ചോ വളച്ചൊടിച്ചോ ശ്രമിക്കുന്നു എന്നതാണ് ഇതിന്റെ പ്രധാന ആശയം. ഇതിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളും അധികാരങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളും നമ്മെ സഹായിക്കുന്നു.

എന്നാൽ എന്ത് നിയമങ്ങൾ, എപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കണം? ഒരു സമവാക്യത്തിൽ നിങ്ങൾ ഇരുവശങ്ങളെയും എന്തെങ്കിലും കൊണ്ട് വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്നും മറ്റൊന്നിൽ - എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ അടിസ്ഥാനത്തെ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്നും എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം?

ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം അനുഭവത്തിലൂടെ ലഭിക്കും. ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളിൽ ആദ്യം നിങ്ങളുടെ കൈ പരീക്ഷിക്കുക, തുടർന്ന് ക്രമേണ ടാസ്ക്കുകൾ സങ്കീർണ്ണമാക്കുക - വളരെ വേഗം നിങ്ങളുടെ കഴിവുകൾ ഒരേ ഉപയോഗത്തിൽ നിന്നോ ഏതെങ്കിലും സ്വതന്ത്ര / ടെസ്റ്റ് വർക്കിൽ നിന്നോ ഏതെങ്കിലും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ മതിയാകും.

ഈ പ്രയാസകരമായ ജോലിയിൽ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നതിന്, ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനായി എന്റെ വെബ്‌സൈറ്റിൽ ഒരു കൂട്ടം സമവാക്യങ്ങൾ ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. എല്ലാ സമവാക്യങ്ങൾക്കും ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്, അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും സ്വയം പരിശോധിക്കാനാകും.

പൊതുവേ, നിങ്ങൾക്ക് വിജയകരമായ പരിശീലനം നേരുന്നു. അടുത്ത പാഠത്തിൽ നിങ്ങളെ കാണാം - അവിടെ ഞങ്ങൾ വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും, അവിടെ മുകളിൽ വിവരിച്ച രീതികൾ മതിയാകില്ല. ഒരു ലളിതമായ വ്യായാമവും മതിയാകില്ല. :)

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയൽ.
ശക്തമായി "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്കായി
"വളരെയധികം ..." ഉള്ളവർക്കായി)

എന്ത് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം? അജ്ഞാതരും (x) അവയ്‌ക്കൊപ്പമുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളും ഉള്ള ഒരു സമവാക്യമാണിത് സൂചകങ്ങൾചില ഡിഗ്രികൾ. അവിടെ മാത്രം! അതു പ്രധാനമാണ്.

നിങ്ങൾ അവിടെയുണ്ട് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

3 x 2 x = 8 x + 3

കുറിപ്പ്! ഡിഗ്രികളുടെ അടിത്തറയിൽ (ചുവടെ) - അക്കങ്ങൾ മാത്രം. എ.ടി സൂചകങ്ങൾഡിഗ്രികൾ (മുകളിൽ) - x ഉള്ള വൈവിധ്യമാർന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ. സൂചകം അല്ലാതെ മറ്റെവിടെയെങ്കിലും സമവാക്യത്തിൽ ഒരു x പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇതൊരു മിക്സഡ് ടൈപ്പ് സമവാക്യമായിരിക്കും. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹരിക്കുന്നതിന് വ്യക്തമായ നിയമങ്ങളില്ല. ഞങ്ങൾ അവരെ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കില്ല. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരംഅതിന്റെ ശുദ്ധമായ രൂപത്തിൽ.

വാസ്തവത്തിൽ, ശുദ്ധമായ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പോലും എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നില്ല. എന്നാൽ പരിഹരിക്കാവുന്നതും പരിഹരിക്കേണ്ടതുമായ ചില തരം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്. ഇവയാണ് ഞങ്ങൾ നോക്കാൻ പോകുന്ന തരങ്ങൾ.

ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

വളരെ അടിസ്ഥാനപരമായ എന്തെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്:

ഒരു സിദ്ധാന്തവുമില്ലാതെ പോലും, ലളിതമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പിലൂടെ x = 2 എന്ന് വ്യക്തമാണ്. കൂടുതൽ ഒന്നുമില്ല, അല്ലേ!? മറ്റ് x മൂല്യ റോളുകളൊന്നുമില്ല. ഇപ്പോൾ ഈ ട്രിക്കി എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം നോക്കാം:

നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്തത്? ഞങ്ങൾ, വാസ്തവത്തിൽ, അതേ അടിഭാഗങ്ങൾ (ട്രിപ്പിൾസ്) പുറത്തെടുത്തു. പൂർണ്ണമായും പുറത്താക്കി. ഒപ്പം, എന്താണ് സന്തോഷം, അടയാളം അടിക്കുക!

തീർച്ചയായും, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും ഉണ്ടെങ്കിൽ അതുതന്നെഏത് ഡിഗ്രിയിലെയും സംഖ്യകൾ, ഈ സംഖ്യകൾ നീക്കം ചെയ്യാനും തുല്യമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളാക്കാനും കഴിയും. ഗണിതശാസ്ത്രം അനുവദിക്കുന്നു. വളരെ ലളിതമായ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. ഇത് നല്ലതാണ്, അല്ലേ?)

എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് വിരോധാഭാസമായി ഓർക്കാം: ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഉള്ള അടിസ്ഥാന സംഖ്യകൾ ഗംഭീരമായ ഒറ്റപ്പെടലിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് അടിസ്ഥാനങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്യാൻ കഴിയൂ!അയൽക്കാരും ഗുണകങ്ങളും ഇല്ലാതെ. സമവാക്യങ്ങളിൽ നമുക്ക് പറയാം:

2 x +2 x + 1 = 2 3, അല്ലെങ്കിൽ

നിങ്ങൾക്ക് ഡബിൾസ് നീക്കംചെയ്യാൻ കഴിയില്ല!

ശരി, ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം മാസ്റ്റർ ചെയ്തു. ദുഷിച്ച എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ എക്‌സ്‌പ്രെഷനുകളിൽ നിന്ന് ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് എങ്ങനെ നീങ്ങാം.

"ഇതാ ആ സമയങ്ങൾ!" - നീ പറയു. "നിയന്ത്രണത്തിലും പരീക്ഷയിലും ഇത്തരമൊരു പ്രാകൃതം ആരു തരും!?"

സമ്മതിക്കാൻ നിർബന്ധിച്ചു. ആരും ചെയ്യില്ല. എന്നാൽ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എവിടെ പോകണമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം. അതേ അടിസ്ഥാന നമ്പർ ഇടതുവശത്ത് - വലതുവശത്ത് ആയിരിക്കുമ്പോൾ അത് മനസ്സിൽ കൊണ്ടുവരേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അപ്പോൾ എല്ലാം എളുപ്പമാകും. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ക്ലാസിക്കാണ്. ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണം എടുത്ത് അത് ആവശ്യമുള്ളതിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു ഞങ്ങളെമനസ്സ്. ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, തീർച്ചയായും.

അവയെ ഏറ്റവും ലളിതമായി കൊണ്ടുവരാൻ ചില അധിക പരിശ്രമം ആവശ്യമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് അവരെ വിളിക്കാം ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പ്രധാന നിയമങ്ങൾ ഇവയാണ് അധികാരങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് അറിവില്ലാതെ, ഒന്നും പ്രവർത്തിക്കില്ല.

ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്, ഒരാൾ വ്യക്തിപരമായ നിരീക്ഷണവും ചാതുര്യവും ചേർക്കണം. നമുക്ക് ഒരേ അടിസ്ഥാന സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണോ? അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അവ ഉദാഹരണത്തിൽ വ്യക്തമായതോ എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്തതോ ആയ രൂപത്തിൽ തിരയുകയാണ്.

ഇത് പ്രായോഗികമായി എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് നോക്കാം?

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം:

2 2x - 8 x+1 = 0

ആദ്യ നോട്ടം മൈതാനങ്ങൾ.അവർ... അവർ വ്യത്യസ്തരാണ്! രണ്ടും എട്ടും. എന്നാൽ നിരുത്സാഹപ്പെടുത്താൻ വളരെ നേരത്തെ തന്നെ. അത് ഓർക്കാൻ സമയമായി

രണ്ടും എട്ടും ഡിഗ്രിയിൽ ബന്ധുക്കളാണ്.) എഴുതുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ്:

8 x+1 = (2 3) x+1

അധികാരങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ:

(a n) m = a nm,

ഇത് സാധാരണയായി നന്നായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

ഞങ്ങൾ കൈമാറുന്നു 2 3 (x+1)വലതുവശത്ത് (ഗണിതത്തിന്റെ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആരും റദ്ദാക്കിയില്ല!), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

പ്രായോഗികമായി അത്രമാത്രം. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ നീക്കംചെയ്യുന്നു:

ഞങ്ങൾ ഈ രാക്ഷസനെ പരിഹരിച്ച് നേടുന്നു

ഇതാണ് ശരിയായ ഉത്തരം.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, രണ്ടിന്റെ ശക്തികൾ അറിയുന്നത് ഞങ്ങളെ സഹായിച്ചു. ഞങ്ങൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞുഎട്ടിൽ, എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്ത ഡ്യൂസ്. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിലെ വളരെ ജനപ്രിയമായ ഒരു തന്ത്രമാണ് ഈ സാങ്കേതികത (വ്യത്യസ്‌ത സംഖ്യകൾക്ക് കീഴിലുള്ള പൊതുവായ ബേസുകൾ എൻകോഡിംഗ് ചെയ്യുക). അതെ, ലോഗരിതങ്ങളിൽ പോലും. സംഖ്യകളിലെ മറ്റ് സംഖ്യകളുടെ ശക്തി തിരിച്ചറിയാൻ ഒരാൾക്ക് കഴിയണം. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.

ഏത് സംഖ്യയും ഏതെങ്കിലും ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് ഒരു പ്രശ്നമല്ല എന്നതാണ് വസ്തുത. ഒരു കടലാസിൽ പോലും ഗുണിക്കുക, അത്രമാത്രം. ഉദാഹരണത്തിന്, എല്ലാവർക്കും 3-നെ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താം. നിങ്ങൾക്ക് ഗുണന പട്ടിക അറിയാമെങ്കിൽ 243 മാറും.) എന്നാൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ, പലപ്പോഴും ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ടതില്ല, മറിച്ച് തിരിച്ചും ... ഏത് സംഖ്യ എത്രത്തോളം 243 എന്ന നമ്പറിന് പിന്നിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, പറയുക, 343... ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററും നിങ്ങളെ ഇവിടെ സഹായിക്കില്ല.

ചില സംഖ്യകളുടെ ശക്തി നിങ്ങൾ കണ്ടറിയണം, അതെ... നമ്മൾ പരിശീലിച്ചാലോ?

സംഖ്യകൾ എന്താണെന്നും ഏത് സംഖ്യകളാണെന്നും നിർണ്ണയിക്കുക:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

ഉത്തരങ്ങൾ (ഒരു കുഴപ്പത്തിൽ, തീർച്ചയായും!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാൽ വിചിത്രമായ ഒരു വസ്തുത കാണാം. ചോദ്യങ്ങളേക്കാൾ കൂടുതൽ ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്! ശരി, അത് സംഭവിക്കുന്നു... ഉദാഹരണത്തിന്, 2 6 , 4 3 , 8 2 എല്ലാം 64 ആണ്.

അക്കങ്ങളുമായുള്ള പരിചയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക.) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുമെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ മുഴുവൻഗണിതശാസ്ത്ര അറിവിന്റെ ശേഖരം. ലോവർ-മിഡിൽ ക്ലാസുകളിൽ നിന്നുള്ളവർ ഉൾപ്പെടെ. നിങ്ങൾ നേരെ ഹൈസ്കൂളിൽ പോയില്ല, അല്ലേ?

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം ഇടുന്നത് പലപ്പോഴും സഹായിക്കുന്നു (ഗ്രേഡ് 7-ലേക്ക് ഹലോ!). നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

3 2x+4 -11 9 x = 210

വീണ്ടും, ഫസ്റ്റ് ലുക്ക് - ഗ്രൗണ്ടിൽ! ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ് ... മൂന്ന്, ഒമ്പത്. അവരും അങ്ങനെ തന്നെ ആയിരിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ശരി, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആഗ്രഹം തികച്ചും പ്രായോഗികമാണ്!) കാരണം:

9 x = (3 2) x = 3 2x

ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള അതേ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

കൊള്ളാം, നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

അതേ കാരണങ്ങളാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകി. അപ്പോൾ, അടുത്തത് എന്താണ്!? ത്രീകൾ എറിയാൻ കഴിയില്ല ... ഡെഡ് എൻഡ്?

ഒരിക്കലുമില്ല. ഏറ്റവും സാർവത്രികവും ശക്തവുമായ തീരുമാന നിയമം ഓർക്കുന്നു എല്ലാംഗണിത ജോലികൾ:

എന്തുചെയ്യണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുന്നത് ചെയ്യുക!

നിങ്ങൾ നോക്കൂ, എല്ലാം രൂപപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു).

ഈ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ എന്താണ് ഉള്ളത് കഴിയുംചെയ്യണോ? അതെ, ഇടത് വശം നേരിട്ട് പരാൻതീസിസുകൾ ആവശ്യപ്പെടുന്നു! 3 2x എന്ന പൊതു ഘടകം ഇതിനെ വ്യക്തമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നമുക്ക് ശ്രമിക്കാം, തുടർന്ന് നമുക്ക് കാണാം:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ഉദാഹരണം മെച്ചപ്പെടുകയും മെച്ചപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു!

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന്, ഗുണകങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ശുദ്ധമായ ബിരുദം ആവശ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. 70 എന്ന സംഖ്യ നമ്മെ അലട്ടുന്നു. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 70 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഓപ്-പാ! എല്ലാം ശരിയായി!

ഇതാണ് അന്തിമ ഉത്തരം.

എന്നിരുന്നാലും, അതേ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ടാക്‌സി ചെയ്യുന്നത് ലഭിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവയുടെ ലിക്വിഡേഷൻ അങ്ങനെയല്ല. മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിലാണ് ഇത് സംഭവിക്കുന്നത്. നമുക്ക് ഈ തരം എടുക്കാം.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ വേരിയബിളിന്റെ മാറ്റം. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ആദ്യം - പതിവുപോലെ. നമുക്ക് അടിത്തറയിലേക്ക് പോകാം. ഡ്യൂസിലേക്ക്.

4 x = (2 2) x = 2 2x

നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ തൂക്കിയിടും. നിങ്ങൾ അത് എങ്ങനെ തിരിയാലും മുമ്പത്തെ തന്ത്രങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല. ശക്തവും ബഹുമുഖവുമായ മറ്റൊരു വഴിയുടെ ആയുധപ്പുരയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനെ വിളിക്കുന്നു വേരിയബിൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ.

രീതിയുടെ സാരാംശം അതിശയകരമാംവിധം ലളിതമാണ്. ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഐക്കണിന് പകരം (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, 2 x), ഞങ്ങൾ മറ്റൊന്ന് എഴുതുന്നു, ലളിതമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, t). അത്തരം അർത്ഥശൂന്യമായ ഒരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ അതിശയകരമായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു!) എല്ലാം വ്യക്തവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായിത്തീരുന്നു!

അതിനാൽ അനുവദിക്കുക

തുടർന്ന് 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ ശക്തികളെയും x-ന്റെ t ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ശരി, നേരം വെളുത്തോ?) ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഇതുവരെ മറന്നില്ലേ? വിവേചനത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഇവിടെ, പ്രധാന കാര്യം അത് സംഭവിക്കുന്നത് പോലെ നിർത്തരുത് എന്നതാണ് ... ഇത് ഇതുവരെ ഉത്തരം അല്ല, ഞങ്ങൾക്ക് x ആവശ്യമാണ്, ടി അല്ല. ഞങ്ങൾ Xs-ലേക്ക് മടങ്ങുന്നു, അതായത്. ഒരു പകരക്കാരനെ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ടി 1-ന് ആദ്യം:

അതാണ്,

ഒരു റൂട്ട് കണ്ടെത്തി. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേതിന് വേണ്ടി തിരയുകയാണ്, t 2 മുതൽ:

ഉം... ഇടത് 2 x, വലത് 1... ഒരു തടസ്സം? അതെ, ഇല്ല! (ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന്, അതെ ...) ഒരു ഐക്യമാണെന്ന് ഓർത്താൽ മതി ഏതെങ്കിലുംനമ്പർ പൂജ്യത്തിലേക്ക്. ഏതെങ്കിലും. നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് ആവശ്യമുണ്ടെങ്കിലും ഞങ്ങൾ അത് ഇടും. നമുക്ക് രണ്ടെണ്ണം വേണം. അർത്ഥം:

ഇപ്പോൾ അത്രമാത്രം. 2 വേരുകൾ ലഭിച്ചു:

ഇതാണ് ഉത്തരം.

ചെയ്തത് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുഅവസാനം, ചില വിചിത്രമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ചിലപ്പോൾ ലഭിക്കും. തരം:

ഏഴ് മുതൽ, ഒരു ലളിതമായ ബിരുദം വഴി ഒരു ഡ്യൂസ് പ്രവർത്തിക്കില്ല. അവർ ബന്ധുക്കളല്ല ... ഞാൻ എങ്ങനെ ഇവിടെ ഉണ്ടാകും? ആരെങ്കിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായേക്കാം ... എന്നാൽ ഈ സൈറ്റിൽ "ലോഗരിതം എന്താണ്?" എന്ന വിഷയം വായിച്ച വ്യക്തി. , മിതമായി പുഞ്ചിരിക്കുക, ഉറച്ച കൈകൊണ്ട് തികച്ചും ശരിയായ ഉത്തരം എഴുതുക:

പരീക്ഷയിലെ "ബി" ടാസ്ക്കുകളിൽ അത്തരം ഉത്തരം ഉണ്ടാകില്ല. ഒരു പ്രത്യേക നമ്പർ ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ ടാസ്ക്കുകളിൽ "സി" - എളുപ്പത്തിൽ.

ഈ പാഠം ഏറ്റവും സാധാരണമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നു. പ്രധാനം നമുക്ക് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാം.

പ്രായോഗിക നുറുങ്ങുകൾ:

1. ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു മൈതാനങ്ങൾഡിഗ്രികൾ. അവ ചെയ്യാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ നമുക്ക് നോക്കാം അതുതന്നെ.സജീവമായി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കാം അധികാരങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ. x ഇല്ലാത്ത സംഖ്യകളും ഡിഗ്രികളാക്കി മാറ്റാമെന്ന കാര്യം മറക്കരുത്!

2. ഇടതും വലതും ഉള്ളപ്പോൾ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു അതുതന്നെസംഖ്യകൾ ഏത് അളവിലും. ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു അധികാരങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾഒപ്പം ഘടകവൽക്കരണം.അക്കങ്ങളിൽ എന്ത് കണക്കാക്കാം - ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.

3. രണ്ടാമത്തെ ഉപദേശം പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, വേരിയബിൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ പ്രയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു. ഫലം എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സമവാക്യം ആകാം. മിക്കപ്പോഴും - ചതുരം. അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ, അത് ഒരു ചതുരമായി കുറയുന്നു.

4. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, "കാഴ്ചയിലൂടെ" ചില സംഖ്യകളുടെ ഡിഗ്രികൾ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

പതിവുപോലെ, പാഠത്തിന്റെ അവസാനം അൽപ്പം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുന്നു.) സ്വന്തമായി. ലളിതം മുതൽ സങ്കീർണ്ണത വരെ.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

കൂടുതൽ പ്രയാസമാണ്:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5 x + 1 - 8 = 0

വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

2 3-x + 2 x = 9

സംഭവിച്ചത്?

ശരി, അപ്പോൾ ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണം (അത് പരിഹരിച്ചു, എന്നിരുന്നാലും, മനസ്സിൽ ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

എന്താണ് കൂടുതൽ രസകരമായത്? എങ്കിൽ ഇതാ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മോശം ഉദാഹരണം. വർധിച്ച ബുദ്ധിമുട്ട് വളരെ വലിക്കുന്നു. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര ജോലികളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ചാതുര്യവും ഏറ്റവും സാർവത്രിക നിയമവും സംരക്ഷിക്കുമെന്ന് ഞാൻ സൂചന നൽകും.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ഒരു ഉദാഹരണം ലളിതമാണ്, വിശ്രമത്തിനായി):

9 2 x - 4 3 x = 0

പിന്നെ ഡെസേർട്ടിനും. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

അതെ അതെ! ഇതൊരു മിക്സഡ് ടൈപ്പ് സമവാക്യമാണ്! ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തത്. അവ എന്താണ് പരിഗണിക്കേണ്ടത്, അവ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്!) ഈ പാഠം സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ പര്യാപ്തമാണ്. ശരി, ചാതുര്യം ആവശ്യമാണ് ... അതെ, ഏഴാം ക്ലാസ് നിങ്ങളെ സഹായിക്കും (ഇതൊരു സൂചനയാണ്!).

ഉത്തരങ്ങൾ (അക്രമത്തിൽ, അർദ്ധവിരാമങ്ങളാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു):

ഒന്ന്; 2; 3; നാല്; പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല; 2; -2; -5; നാല്; 0.

എല്ലാം വിജയകരമാണോ? മികച്ചത്.

ഒരു കുഴപ്പമുണ്ട്? ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! സ്പെഷ്യൽ സെക്ഷൻ 555 ൽ, ഈ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെല്ലാം വിശദമായ വിശദീകരണങ്ങളോടെ പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. എന്ത്, എന്തുകൊണ്ട്, എന്തുകൊണ്ട്. കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, എല്ലാത്തരം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ വിലപ്പെട്ട വിവരങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഇവയിൽ മാത്രമല്ല.)

പരിഗണിക്കേണ്ട അവസാനത്തെ രസകരമായ ചോദ്യം. ഈ പാഠത്തിൽ, ഞങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിച്ചു. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞാൻ ഇവിടെ ODZ നെ കുറിച്ച് ഒരക്ഷരം പറയാത്തത്?സമവാക്യങ്ങളിൽ, ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു കാര്യമാണ്, വഴി ...

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും പരിചയപ്പെടാം.

എല്ലാ പുതിയ വീഡിയോ പാഠങ്ങളെയും കുറിച്ച് അറിഞ്ഞിരിക്കാൻ ഞങ്ങളുടെ സൈറ്റ് സൈറ്റിന്റെ യൂട്യൂബ് ചാനലിലേക്ക്.

ആദ്യം, ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഉൽപ്പന്നം എ n പ്രാവശ്യം സ്വയം സംഭവിക്കുന്നു, നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം a ... a=a n ആയി എഴുതാം

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

പവർ അല്ലെങ്കിൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ- ഇവ വേരിയബിളുകൾ പവറുകളിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ് (അല്ലെങ്കിൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളിൽ), അടിസ്ഥാനം ഒരു സംഖ്യയാണ്.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, നമ്പർ 6 ആണ് അടിസ്ഥാനം, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും താഴെയാണ്, വേരിയബിൾ xബിരുദം അല്ലെങ്കിൽ അളവ്.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നോക്കാം?

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ സമവാക്യം എടുക്കാം:

2 x = 2 3

അത്തരമൊരു ഉദാഹരണം മനസ്സിൽ പോലും പരിഹരിക്കാനാകും. x=3 എന്ന് കാണാം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ തുല്യമാകുന്നതിന്, നിങ്ങൾ x ന് പകരം 3 നമ്പർ ഇടേണ്ടതുണ്ട്.
ഇനി എങ്ങനെ ഈ തീരുമാനം എടുക്കണം എന്ന് നോക്കാം.

2 x = 2 3
x = 3

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്തു ഒരേ മൈതാനങ്ങൾ(അതായത്, deuces) ബാക്കിയുള്ളത് എഴുതി, ഇവ ഡിഗ്രികളാണ്. ഞങ്ങൾ അന്വേഷിച്ച ഉത്തരം കിട്ടി.

ഇനി നമുക്ക് നമ്മുടെ പരിഹാരം സംഗ്രഹിക്കാം.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:
1. പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട് അതുതന്നെസമവാക്യത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ സമാനമല്ലെങ്കിൽ, ഈ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ ഞങ്ങൾ തിരയുകയാണ്.
2. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായ ശേഷം, തുല്യമാക്കുകബിരുദം നേടുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പുതിയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുക.

ഇനി നമുക്ക് ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം:

ലളിതമായി തുടങ്ങാം.

ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ സംഖ്യ 2 ന് തുല്യമാണ്, അതായത് നമുക്ക് അടിസ്ഥാനം നിരസിക്കുകയും അവയുടെ ഡിഗ്രികൾ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യാം.

x+2=4 ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം തെളിഞ്ഞു.
x=4 - 2
x=2
ഉത്തരം: x=2

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, ഇവ 3 ഉം 9 ഉം ആണ്.

3 3x - 9 x + 8 = 0

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒമ്പത് വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരേ അടിത്തറ ഉണ്ടാക്കേണ്ടതുണ്ട്. 9=3 2 എന്ന് നമുക്കറിയാം. നമുക്ക് പവർ ഫോർമുല (a n) m = a nm ഉപയോഗിക്കാം.

3 3x \u003d (3 2) x + 8

നമുക്ക് 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 ലഭിക്കും

3 3x \u003d 3 2x + 16 ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യവും മൂന്നിന് തുല്യവുമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാണ്, അതിനർത്ഥം നമുക്ക് അവ ഉപേക്ഷിച്ച് ഡിഗ്രികൾ തുല്യമാക്കാം.

3x=2x+16 എന്നതിന് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം ലഭിച്ചു
3x-2x=16
x=16
ഉത്തരം: x=16.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നോക്കാം:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ നോക്കുന്നു, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ രണ്ടും നാലും വ്യത്യസ്തമാണ്. നമ്മൾ അതുപോലെ തന്നെ ആയിരിക്കണം. ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (a n) m = a nm അനുസരിച്ച് ക്വാഡ്രപ്പിൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു.

4 x = (2 2) x = 2 2x

ഞങ്ങൾ a n a m = a n + m എന്ന ഒരു ഫോർമുലയും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

അതേ കാരണങ്ങളാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകി. എന്നാൽ മറ്റ് സംഖ്യകൾ 10 ഉം 24 ഉം നമ്മെ തടസ്സപ്പെടുത്തുന്നു, അവയുമായി എന്തുചെയ്യണം? നിങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ 2 2x ആവർത്തിക്കുന്നതായി നിങ്ങൾക്ക് കാണാം, ഉത്തരം ഇതാ - നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് 2 2x ഇടാം:

2 2x (2 4 - 10) = 24

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാം:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ സമവാക്യവും 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു:

4=2 2 സങ്കൽപ്പിക്കുക:

2 2x \u003d 2 2 ബേസുകൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അവ ഉപേക്ഷിച്ച് ഡിഗ്രികൾ തുല്യമാക്കുക.
2x \u003d 2 ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യമായി മാറി. ഞങ്ങൾ അതിനെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും
x = 1
ഉത്തരം: x = 1.

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

9 x - 12*3 x +27= 0

നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടാം:
9 x = (3 2) x = 3 2x

നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

ഞങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, മൂന്നിന് തുല്യമാണ്. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ആദ്യത്തെ ട്രിപ്പിളിന് രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ (വെറും x) രണ്ടുതവണ (2x) ഡിഗ്രി ഉണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് തീരുമാനിക്കാം പകരംവയ്ക്കൽ രീതി. ഏറ്റവും ചെറിയ ഡിഗ്രി ഉള്ള സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

തുടർന്ന് 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ ഡിഗ്രികളും x ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. വിവേചനത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങുക x.

ഞങ്ങൾ t 1 എടുക്കുന്നു:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

അതാണ്,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

ഒരു റൂട്ട് കണ്ടെത്തി. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേതിന് വേണ്ടി തിരയുകയാണ്, t 2 മുതൽ:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
ഉത്തരം: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

സൈറ്റിൽ നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിക്കാൻ സഹായിക്കുക എന്ന വിഭാഗത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും, ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകും.

ഒരു ഗ്രൂപ്പിൽ ചേരുക

എന്റെ വാക്കുകളെ ഭയപ്പെടരുത്, നിങ്ങൾ പോളിനോമിയലുകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ ഏഴാം ക്ലാസിൽ ഈ രീതി ഇതിനകം നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമെങ്കിൽ:

നമുക്ക് ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാം: ഒന്നും മൂന്നും നിബന്ധനകൾ, അതുപോലെ രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും.

ആദ്യത്തേതും മൂന്നാമത്തേതും സ്ക്വയറുകളുടെ വ്യത്യാസമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്:

രണ്ടാമത്തേതും നാലാമത്തേതും മൂന്നിന്റെ ഒരു പൊതു ഘടകം ഉണ്ട്:

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

പൊതുവായ ഘടകം എവിടെ നിന്ന് എടുക്കാം എന്നത് ഇനി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല:

തൽഫലമായി,

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഏകദേശം ഇങ്ങനെയാണ് പ്രവർത്തിക്കുക: നിബന്ധനകൾക്കിടയിൽ "സാധാരണത്വം" നോക്കി ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുക, ശരി, പിന്നെ - എന്ത് വന്നാലും, നമ്മൾ ഭാഗ്യവാന്മാരാകുമെന്ന് ഞാൻ വിശ്വസിക്കുന്നു =))

ഉദാഹരണം #14

വലതുവശത്ത് ഏഴിന്റെ ശക്തിയിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ് (ഞാൻ പരിശോധിച്ചു!) ഇടതുവശത്ത് - കുറച്ച് മികച്ചത് ...

നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും, ആദ്യ ടേമിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ ടേമിൽ നിന്ന് ഫാക്ടർ എയെ "വെട്ടാൻ" കഴിയും, തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ച കാര്യങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാം, എന്നാൽ നിങ്ങളോട് കൂടുതൽ വിവേകത്തോടെ പ്രവർത്തിക്കാം.

"തിരഞ്ഞെടുപ്പ്" വഴി അനിവാര്യമായും സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ ഞാൻ സഹിക്കുന്നതല്ലേ നല്ലത്?

അപ്പോൾ എനിക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകില്ല: അവർ പറയുന്നതുപോലെ, രണ്ട് ചെന്നായകളും നിറഞ്ഞിരിക്കുന്നു, ആടുകൾ സുരക്ഷിതമാണ്:

എക്സ്പ്രഷൻ ബ്രാക്കറ്റിൽ എണ്ണുക.

മാന്ത്രികമായി, മാന്ത്രികമായി, അത് മാറുന്നു (ആശ്ചര്യകരമെന്നു പറയട്ടെ, മറ്റെന്താണ് നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാമെങ്കിലും?).

അപ്പോൾ നമ്മൾ ഈ ഘടകം കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും കുറയ്ക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: എവിടെ.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ (കുറച്ച്, ശരിക്കും):

ഇവിടെയാണ് കുഴപ്പം! ഞങ്ങൾക്ക് ഇവിടെ പൊതുവായ കാര്യമില്ല!

ഇപ്പോൾ എന്തുചെയ്യണമെന്ന് പൂർണ്ണമായും വ്യക്തമല്ല.

നമുക്ക് കഴിയുന്നത് ചെയ്യാം: ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ “ഫോറുകൾ” ഒരു ദിശയിലേക്കും “ഫൈവ്സ്” മറ്റൊന്നിലേക്കും നീക്കും:

ഇനി നമുക്ക് ഇടതും വലതും ഉള്ള "പൊതുവായത്" എടുക്കാം:

ഇനിയിപ്പോള് എന്താ?

ഇത്തരമൊരു വിഡ്ഢി ഗ്രൂപ്പിങ്ങിന്റെ പ്രയോജനം എന്താണ്? ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, അത് ദൃശ്യമല്ല, പക്ഷേ നമുക്ക് കൂടുതൽ ആഴത്തിൽ നോക്കാം:

ശരി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അത് ഉണ്ടാക്കാം, അങ്ങനെ നമുക്ക് ഇടതുവശത്ത് സി എന്ന പദപ്രയോഗം മാത്രമേയുള്ളൂ, വലതുവശത്ത് - മറ്റെല്ലാം.

നമുക്കത് എങ്ങനെ ചെയ്യാം?

എങ്ങനെയെന്നത് ഇതാ: സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ആദ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (അതിനാൽ നമ്മൾ വലതുവശത്തുള്ള ഘാതം ഒഴിവാക്കും), തുടർന്ന് രണ്ട് വശങ്ങളും കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (അതിനാൽ ഇടതുവശത്തുള്ള സംഖ്യാ ഘടകം ഒഴിവാക്കാം).

ഒടുവിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അവിശ്വസനീയം!

ഇടതുവശത്ത് നമുക്ക് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉണ്ട്, വലതുവശത്ത് - വെറും.

അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഉടനെ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു

ഉദാഹരണം #15

ഞാൻ അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഹ്രസ്വമായ പരിഹാരം നൽകും (വിശദീകരിക്കാൻ ശരിക്കും വിഷമിക്കുന്നില്ല), പരിഹാരത്തിന്റെ എല്ലാ "സൂക്ഷ്മതകളും" സ്വയം കണ്ടുപിടിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

ഇപ്പോൾ പൊതിഞ്ഞ മെറ്റീരിയലിന്റെ അന്തിമ ഏകീകരണം.

ഇനിപ്പറയുന്ന 7 ജോലികൾ സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കുക (ഉത്തരങ്ങളോടെ)

1. ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:
2. ഫോമിലെ ആദ്യ പദപ്രയോഗത്തെ ഞങ്ങൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു: , രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വിഭജിച്ച് അത് നേടുക
3. , അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു: ശരി, ഇപ്പോൾ ഒരു സൂചന - നിങ്ങളും ഞാനും ഇതിനകം ഈ സമവാക്യം എവിടെയാണ് പരിഹരിച്ചതെന്ന് നോക്കുക!
4. എങ്ങനെ, എങ്ങനെ, ഓ, നന്നായി, രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വിഭജിക്കുക, അങ്ങനെ നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം ലഭിക്കും.
5. ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുക.
6. ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുക.

എക്സ്പോസിഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ. ശരാശരി നില

ആദ്യ ലേഖനം വായിച്ചതിനുശേഷം, അത് പറഞ്ഞുവെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു എന്താണ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം, ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അറിവ് നിങ്ങൾ നേടിയിട്ടുണ്ട്.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു രീതി ഞാൻ ഇപ്പോൾ വിശകലനം ചെയ്യും, ഇതാണ് ...

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ (അല്ലെങ്കിൽ പകരം വയ്ക്കൽ) അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ (സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമല്ല) എന്ന വിഷയത്തിൽ അദ്ദേഹം "ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള" പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഭൂരിഭാഗവും പരിഹരിക്കുന്നു.

ഈ രീതി അതിലൊന്നാണ് പ്രായോഗികമായി ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നത്.ആദ്യം, ഈ വിഷയവുമായി നിങ്ങൾ സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

പേരിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കിയതുപോലെ, ഈ രീതിയുടെ സാരാംശം വേരിയബിളിന്റെ അത്തരമൊരു മാറ്റം അവതരിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്, നിങ്ങളുടെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒന്നായി മാറും.

ഈ "ലളിതമാക്കിയ സമവാക്യം" പരിഹരിച്ചതിന് ശേഷം നിങ്ങൾക്കായി അവശേഷിക്കുന്നത് ഒരു "റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെന്റ്" ഉണ്ടാക്കുക എന്നതാണ്: അതായത്, മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിൽ നിന്ന് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിലേക്ക് മടങ്ങുക.

വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമ്മൾ ഇപ്പോൾ പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങൾ വിശദീകരിക്കാം:

ഉദാഹരണം 16. ലളിതമായ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു "ലളിതമായ പകരം വയ്ക്കൽ"ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അതിനെ അപകീർത്തികരമായി വിളിക്കുന്നത് പോലെ.

തീർച്ചയായും, ഇവിടെ പകരം വയ്ക്കുന്നത് ഏറ്റവും വ്യക്തമാണ്. അത് കണ്ടാൽ മതി

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം മാറുന്നു:

എങ്ങനെയെന്ന് ഞങ്ങൾ അധികമായി സങ്കൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ് ...

തീർച്ചയായും, .

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം എന്താണ്? കൂടാതെ ഇവിടെ എന്താണ്:

നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി അതിന്റെ വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

നമ്മൾ ഇപ്പോൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്?

യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങാനുള്ള സമയമാണിത്.

എന്താണ് ഉൾപ്പെടുത്താൻ ഞാൻ മറന്നത്?

അതായത്: ഒരു നിശ്ചിത ബിരുദം ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ (അതായത്, ഒരു തരം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ), എനിക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാകും പോസിറ്റീവ് വേരുകൾ മാത്രം!

എന്തുകൊണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളോട് താൽപ്പര്യമില്ല, പക്ഷേ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് ഞങ്ങൾക്ക് തികച്ചും അനുയോജ്യമാണ്:

പിന്നെ എവിടെ.

ഉത്തരം:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, പകരക്കാരൻ ഞങ്ങളുടെ കൈകൾ ആവശ്യപ്പെടുകയായിരുന്നു. നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും അങ്ങനെയല്ല.

എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് നേരെ സങ്കടത്തിലേക്ക് പോകരുത്, മറിച്ച് ലളിതമായ ഒരു പകരക്കാരനായി ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി പരിശീലിക്കുക

ഉദാഹരണം 17. ലളിതമായ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി

മിക്കവാറും അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ് (ഇത് ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ശക്തികളിൽ ഏറ്റവും ചെറുതാണ്).

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പകരക്കാരനെ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അതിനായി ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം "തയ്യാറാക്കേണ്ടതുണ്ട്", അതായത്: , .

അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, അതിന്റെ ഫലമായി എനിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം ലഭിക്കും:

ഓ ഹൊറർ: അതിന്റെ പരിഹാരത്തിനായി തികച്ചും ഭയാനകമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളുള്ള ഒരു ക്യൂബിക് സമവാക്യം (നന്നായി, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ).

എന്നാൽ നമുക്ക് പെട്ടെന്ന് നിരാശപ്പെടരുത്, എന്നാൽ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടതെന്ന് ചിന്തിക്കുക.

ഞാൻ വഞ്ചിക്കാൻ നിർദ്ദേശിക്കും: "മനോഹരമായ" ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിന്, മൂന്നിന്റെ ശക്തിയുടെ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം (എന്തുകൊണ്ടായിരിക്കും, അല്ലേ?).

നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഊഹിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം (മൂന്നിന്റെ ശക്തികളിൽ നിന്ന് ഞാൻ ഊഹിക്കാൻ തുടങ്ങും).

ആദ്യം ഊഹം. ഒരു റൂട്ട് അല്ല. അയ്യോ അയ്യോ...

.
ഇടതുവശം തുല്യമാണ്.
വലത് ഭാഗം:!

ഇതുണ്ട്! ആദ്യത്തെ റൂട്ട് ഊഹിച്ചു. ഇപ്പോൾ കാര്യങ്ങൾ എളുപ്പമാകും!

"കോർണർ" ഡിവിഷൻ സ്കീമിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ? തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്കറിയാം, നിങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയെ മറ്റൊന്നായി ഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ അത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

എന്നാൽ പോളിനോമിയലുകളിലും ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് കുറച്ച് ആളുകൾക്ക് അറിയാം.

അതിശയകരമായ ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ട്:

എന്റെ സാഹചര്യത്തിന് ബാധകമായത്, ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്നതെന്താണെന്ന് ഇത് എന്നോട് പറയുന്നു.

വിഭജനം എങ്ങനെയാണ് നടപ്പിലാക്കുന്നത്? അങ്ങനെയാണ്:

ഏത് മോണോമിയലാണ് എനിക്ക് ലഭിക്കേണ്ടത് എന്ന് ഞാൻ നോക്കുന്നു

അപ്പോൾ അത് വ്യക്തമാണ്:

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഞാൻ ഇതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു, എനിക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇപ്പോൾ, ലഭിക്കാൻ ഞാൻ എന്താണ് ഗുണിക്കേണ്ടത്?

അപ്പോൾ എനിക്ക് ലഭിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ബാക്കിയുള്ളതിൽ നിന്ന് വീണ്ടും കുറയ്ക്കുക:

ശരി, അവസാന ഘട്ടം, ശേഷിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് ഞാൻ ഗുണിക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഹൂറേ, വിഭജനം അവസാനിച്ചു! ഞങ്ങൾ സ്വകാര്യമായി എന്താണ് ശേഖരിച്ചത്?

അത് സ്വയം: .

യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന വികാസം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

ഇതിന് വേരുകളുണ്ട്:

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം:

മൂന്ന് വേരുകൾ ഉണ്ട്:

അവസാന റൂട്ട് പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവായതിനാൽ ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും നിരസിക്കുന്നു.

റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെന്റിന് ശേഷമുള്ള ആദ്യ രണ്ട് നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ നൽകും:

ഉത്തരം: ..

ഈ ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നിങ്ങളെ ഭയപ്പെടുത്താൻ ഞാൻ ഉദ്ദേശിച്ചിട്ടില്ല!

പകരം, നേരെമറിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് വളരെ ലളിതമായ ഒരു പകരക്കാരൻ ഉണ്ടെങ്കിലും, അത് വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിച്ചു, അതിന്റെ പരിഹാരത്തിന് ഞങ്ങളിൽ നിന്ന് ചില പ്രത്യേക കഴിവുകൾ ആവശ്യമാണ് എന്ന് കാണിക്കാൻ ഞാൻ പുറപ്പെട്ടു.

ശരി, ആരും ഇതിൽ നിന്ന് മുക്തരല്ല. എന്നാൽ ഈ കേസിലെ മാറ്റം വളരെ വ്യക്തമായിരുന്നു.

ഉദാഹരണം #18 (കുറച്ച് സ്പഷ്ടമായ പകരമായി)

നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടതെന്ന് വ്യക്തമല്ല: ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിൽ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുണ്ട്, ഒരു അടിസ്ഥാനം മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും (യുക്തിസഹമായ, സ്വാഭാവികമായി) ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിക്കൊണ്ട് നേടാനാവില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം.

എന്നിരുന്നാലും, നമ്മൾ എന്താണ് കാണുന്നത്?

രണ്ട് അടിത്തറകളും ചിഹ്നത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒന്നിന് തുല്യമായ ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമാണ്:

നിർവ്വചനം:

അതിനാൽ, നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിലെ അടിസ്ഥാനങ്ങളായ സംഖ്യകൾ സംയോജിതമാണ്.

അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ബുദ്ധിപരമായ നീക്കം ആയിരിക്കും സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഓൺ, അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത് വശം തുല്യമാകും, വലത് വശം.

ഞങ്ങൾ ഒരു പകരം വയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുമായുള്ള ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇതുപോലെയാകും:

അതിന്റെ വേരുകൾ, എന്നാൽ അത് ഓർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും.

ഉത്തരം:, .

ചട്ടം പോലെ, "സ്കൂൾ" എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഭൂരിഭാഗവും പരിഹരിക്കാൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി മതിയാകും.

സങ്കീർണ്ണതയുടെ വർദ്ധിച്ച തലത്തിലുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന ജോലികൾ പരീക്ഷാ ഓപ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് എടുത്തതാണ്.

പരീക്ഷാ ഓപ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് സങ്കീർണ്ണത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്ന മൂന്ന് ജോലികൾ

ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം സാക്ഷരതയുണ്ട്. ആവശ്യമായ പകരം വയ്ക്കൽ മാത്രമേ ഞാൻ തരൂ.

1. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:
2. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:
3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: . സെഗ്മെന്റിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക:

ഇപ്പോൾ ചില ദ്രുത വിശദീകരണങ്ങൾക്കും ഉത്തരങ്ങൾക്കും:

ഉദാഹരണം #19

എന്നതും ഇവിടെ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ മതി.

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

ഈ സമവാക്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു

ഇനിപ്പറയുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സ്വയം ചെയ്യുക.

അവസാനം, നിങ്ങളുടെ ചുമതല ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി (സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ അനുസരിച്ച്) പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കും. അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരം മറ്റ് വിഭാഗങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യും.

ഉദാഹരണം #20

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് പകരം വയ്ക്കാതെ പോലും ചെയ്യാൻ കഴിയും ...

സബ്ട്രഹെൻഡ് വലത്തേക്ക് നീക്കി രണ്ട് ബേസുകളും രണ്ടിന്റെ ശക്തികളിലൂടെ അവതരിപ്പിച്ചാൽ മതി: തുടർന്ന് ഉടൻ തന്നെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകുക.

ഉദാഹരണം #21

ഇത് തികച്ചും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു: എങ്ങനെയെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക.

അതിനുശേഷം, മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും: അപ്പോൾ,

ലോഗരിതം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാമോ? അല്ലേ? അപ്പോൾ വിഷയം അടിയന്തിരമായി വായിക്കുക!

ആദ്യ റൂട്ട്, വ്യക്തമായും, സെഗ്മെന്റിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല, രണ്ടാമത്തേത് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണ്!

എന്നാൽ ഞങ്ങൾ വളരെ വേഗം കണ്ടെത്തും!

അതിനുശേഷം, (ഇത് ലോഗരിതത്തിന്റെ ഒരു സ്വത്താണ്!)

രണ്ട് ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്നും കുറയ്ക്കുക, തുടർന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇടതുവശത്തെ ഇതുപോലെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

രണ്ട് വശങ്ങളും ഗുണിക്കുക:

തുടർന്ന് ഗുണിക്കാവുന്നതാണ്

അപ്പോൾ നമുക്ക് താരതമ്യം ചെയ്യാം:

അപ്പോൾ മുതൽ:

അപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് ആവശ്യമുള്ള ഇടവേളയുടേതാണ്

ഉത്തരം:

നിങ്ങൾ കാണുന്നതുപോലെ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന് ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് ആഴത്തിലുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്., അതിനാൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ കഴിയുന്നത്ര ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കാൻ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഉപദേശിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എല്ലാം പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു!

എന്റെ ഗണിത ടീച്ചർ പറയുമായിരുന്നു: "ചരിത്രം പോലെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു രാത്രികൊണ്ട് കണക്ക് വായിക്കാൻ കഴിയില്ല."

ചട്ടം പോലെ, എല്ലാം സങ്കീർണ്ണതയുടെ വർദ്ധിച്ച തലത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ബുദ്ധിമുട്ട് കൃത്യമായി സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതാണ്.

മറ്റൊരു പരിശീലന ഉദാഹരണം ...

ഉദാഹരണം 22

സമവാക്യം തന്നെ വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

പകരം വയ്ക്കൽ നടത്തി, ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു:

ആദ്യം, നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ആദ്യ റൂട്ട്.

താരതമ്യം ചെയ്ത്: മുതൽ, പിന്നെ. (ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷന്റെ പ്രോപ്പർട്ടി, at).

അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ റൂട്ട് നമ്മുടെ ഇടവേളയിൽ പെട്ടതല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട്: . (ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നതിനാൽ) എന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ഇത് താരതമ്യം ചെയ്യാനും അവശേഷിക്കുന്നു

മുതൽ, അതേ സമയം.

അങ്ങനെ, എനിക്ക് ഇടയിൽ "ഒരു കുറ്റി ഓടിക്കാൻ" കഴിയും.

ഈ കുറ്റി ഒരു സംഖ്യയാണ്.

ആദ്യ പദപ്രയോഗം കുറവും രണ്ടാമത്തേത് വലുതുമാണ്.

അപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗം ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണ്, റൂട്ട് ഇടവേളയിൽ പെടുന്നു.

ഉത്തരം: .

ഉപസംഹാരമായി, മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് നിലവാരമില്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം #23 (നിലവാരമില്ലാത്ത മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം!)

നിങ്ങൾക്ക് എന്തുചെയ്യാനാകുമെന്ന് നമുക്ക് ഉടൻ ആരംഭിക്കാം, എന്താണ് - തത്വത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും, എന്നാൽ അത് ചെയ്യാതിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

ഇത് സാധ്യമാണ് - മൂന്ന്, രണ്ട്, ആറ് ശക്തികളിലൂടെ എല്ലാം പ്രതിനിധീകരിക്കുക.

അത് എവിടേക്കാണ് നയിക്കുന്നത്?

അതെ, ഒന്നിലേക്കും നയിക്കില്ല: ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു ഹോഡ്ജ്പോഡ്ജ്, അവയിൽ ചിലത് ഒഴിവാക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

അപ്പോൾ എന്താണ് വേണ്ടത്?

എ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കാം

അത് നമുക്ക് എന്ത് നൽകും?

ഈ ഉദാഹരണത്തിന്റെ പരിഹാരത്തെ വളരെ ലളിതമായ ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് നമുക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയും എന്നതാണ് വസ്തുത!

ആദ്യം, നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ വിഭജിക്കുന്നു:

യുറീക്ക! ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ശരി, ഇപ്പോൾ പ്രകടനത്തിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള നിങ്ങളുടെ ഊഴമാണ്, നിങ്ങൾ വഴിതെറ്റിപ്പോകാതിരിക്കാൻ ഞാൻ അവർക്ക് ഹ്രസ്വമായ അഭിപ്രായങ്ങൾ മാത്രം നൽകും! നല്ലതുവരട്ടെ!

ഉദാഹരണം #24

ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളത്!

ഇവിടെ ഒരു പകരക്കാരനെ കാണുന്നത് ഓ, എത്ര വൃത്തികെട്ടതാണ്! എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് പൂർണ്ണമായും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും ഒരു പൂർണ്ണ ചതുരത്തിന്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്.

ഇത് പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇത് ശ്രദ്ധിച്ചാൽ മതി:

അതിനാൽ നിങ്ങളുടെ പകരക്കാരൻ ഇതാ:

(ഇവിടെ, മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് നെഗറ്റീവ് റൂട്ട് നിരസിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക!!! എന്തുകൊണ്ട്, നിങ്ങൾ എന്താണ് ചിന്തിക്കുന്നത്?)

ഇപ്പോൾ, ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

അവ രണ്ടും "സ്റ്റാൻഡേർഡ് റീപ്ലേസ്‌മെന്റ്" വഴി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു (എന്നാൽ ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ രണ്ടാമത്തേത്!)

ഉദാഹരണം #25

2. അത് ശ്രദ്ധിക്കുകയും പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക.

ഉദാഹരണം #26

3. കോപ്രൈം ഘടകങ്ങളിലേക്ക് നമ്പർ വികസിപ്പിക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുക.

ഉദാഹരണം #27

4. ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും (അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ) വിഭജിച്ച് പകരം വയ്ക്കുക അല്ലെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണം #28

5. അക്കങ്ങളും സംയോജിതവുമാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ലോഗരിഫിംഗ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം. അഡ്വാൻസ്ഡ് ലെവൽ

കൂടാതെ, നമുക്ക് മറ്റൊരു വഴി നോക്കാം - ലോഗരിതം രീതി ഉപയോഗിച്ച് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

ഈ രീതിയിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം വളരെ ജനപ്രിയമാണെന്ന് എനിക്ക് പറയാനാവില്ല, എന്നാൽ ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ മാത്രമേ ഇത് നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ ശരിയായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് നയിക്കൂ.

"" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ പരിഹരിക്കാൻ ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. സമ്മിശ്ര സമവാക്യങ്ങൾ': അതായത്, വിവിധ തരത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉള്ളവ.

ഉദാഹരണം #29

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് ഭാഗങ്ങളുടെയും ലോഗരിതം (ഉദാഹരണത്തിന്, അടിസ്ഥാനം) എടുത്ത് മാത്രമേ ഇത് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയൂ, അതിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നവയായി മാറുന്നു:

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കാം:

ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ODZ-ൽ മാത്രമേ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ളൂ എന്നത് വ്യക്തമാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ലോഗരിതത്തിന്റെ ODZ ൽ നിന്ന് മാത്രമല്ല, മറ്റൊരു കാരണത്താൽ പിന്തുടരുന്നു.

ഏതാണ് എന്ന് ഊഹിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ടാകില്ലെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് എടുക്കാം:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നത് ശരിയായ (മനോഹരമായ!) ഉത്തരത്തിലേക്ക് ഞങ്ങളെ നയിച്ചു.

ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി പരിശീലിക്കാം.

ഉദാഹരണം #30

ഇവിടെയും, വിഷമിക്കേണ്ട കാര്യമില്ല: അടിസ്ഥാനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും ലോഗരിതം എടുക്കുന്നു, തുടർന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം:

എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും നഷ്ടമായി! എനിക്ക് എവിടെയാണ് തെറ്റ് പറ്റിയതെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, പിന്നെ:

ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്തത് (അത് എവിടെ നിന്നാണ് വന്നതെന്ന് ചിന്തിക്കുക!)

ഉത്തരം:

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ചുവടെ എഴുതാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഇനി ഇതുപയോഗിച്ച് നിങ്ങളുടെ പരിഹാരം പരിശോധിക്കുക:

ഉദാഹരണം #31

ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളുടെയും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് എടുക്കുന്നു, അത് നൽകിയിരിക്കുന്നു:

(മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമല്ല)

ഉദാഹരണം #32

അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിലേക്ക് മാറ്റാം:

എക്സ്പോസിഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ. സംക്ഷിപ്ത വിവരണവും അടിസ്ഥാന ഫോർമുലയും

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം

തരം സമവാക്യം:

വിളിച്ചു ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം.

ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ

പരിഹാര സമീപനങ്ങൾ

• അതേ അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കൽ
• ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റിലേക്ക് കുറയ്ക്കൽ
• വേരിയബിൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ
• പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കി മുകളിൽ പറഞ്ഞവയിൽ ഒന്ന് പ്രയോഗിക്കുക.

തിരികെ മുന്നോട്ട്

ശ്രദ്ധ! സ്ലൈഡ് പ്രിവ്യൂ വിവരദായക ആവശ്യങ്ങൾക്ക് മാത്രമുള്ളതാണ്, അവതരണത്തിന്റെ മുഴുവൻ വ്യാപ്തിയും പ്രതിനിധീകരിക്കണമെന്നില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ഈ ജോലിയിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ദയവായി പൂർണ്ണ പതിപ്പ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക.

പാഠ തരം

: "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴികളും" എന്ന വിഷയത്തിൽ അറിവ്, കഴിവുകൾ, കഴിവുകൾ എന്നിവയുടെ സാമാന്യവൽക്കരണത്തെയും സങ്കീർണ്ണമായ പ്രയോഗത്തെയും കുറിച്ചുള്ള ഒരു പാഠം.

പാഠ ലക്ഷ്യങ്ങൾ.

ട്യൂട്ടോറിയലുകൾ:

"എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തിന്റെ പ്രധാന മെറ്റീരിയൽ ആവർത്തിക്കുകയും ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക; വിവിധ തരത്തിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഉചിതമായ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാനുള്ള കഴിവ് ഏകീകരിക്കുക; പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പ്.

വികസിപ്പിക്കുന്നു:

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ യുക്തിസഹവും അനുബന്ധവുമായ ചിന്ത വികസിപ്പിക്കുക; അറിവിന്റെ സ്വതന്ത്രമായ പ്രയോഗത്തിന്റെ നൈപുണ്യ വികസനം പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നതിന്.

വിദ്യാഭ്യാസപരം:

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ലക്ഷ്യബോധവും ശ്രദ്ധയും കൃത്യതയും വളർത്തിയെടുക്കാൻ.

ഉപകരണം:

കമ്പ്യൂട്ടറും മൾട്ടിമീഡിയ പ്രൊജക്ടറും.

പാഠം ഉപയോഗിക്കുന്നു വിവരസാങ്കേതികവിദ്യ : പാഠത്തിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രപരമായ പിന്തുണ - മൈക്രോസോഫ്റ്റ് പവർ പോയിന്റിലെ അവതരണം.

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

എല്ലാ കഴിവുകളും കഠിനാധ്വാനത്തോടൊപ്പം വരുന്നു.

ഐ. പാഠത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം സജ്ജമാക്കുന്നു(സ്ലൈഡ് നമ്പർ 2 )

ഈ പാഠത്തിൽ, "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ" എന്ന വിഷയം ഞങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കുകയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും ചെയ്യും. ഈ വിഷയത്തിൽ വിവിധ വർഷങ്ങളിലെ പരീക്ഷയുടെ സാധാരണ ജോലികൾ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ടാസ്ക്കുകൾ USE ടാസ്ക്കുകളുടെ ഏത് ഭാഗത്തും കാണാം. ഭാഗത്ത് " എടി" സാധാരണയായി ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഭാഗത്ത് " നിന്ന് " നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ നേരിടാൻ കഴിയും, ഇതിന്റെ പരിഹാരം സാധാരണയായി ടാസ്‌ക്കിന്റെ ഘട്ടങ്ങളിലൊന്നാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന് ( സ്ലൈഡ് നമ്പർ 3 ).

• ഉപയോഗം - 2007

ബി 4 - പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക x വൈ, എവിടെ ( എക്സ്; ചെയ്തത്) സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരമാണ്:

• ഉപയോഗം - 2008

ബി 1 - സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

a) എക്സ് 6 3എക്സ് – 36 6 3എക്സ് = 0;

b) 4 എക്സ് +1 + 8 4എക്സ്= 3.

• ഉപയോഗിക്കുക - 2009

ബി 4 - പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക x + y, എവിടെ ( എക്സ്; ചെയ്തത്) സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരമാണ്:

• ഉപയോഗിക്കുക - 2010

– സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: 7 എക്സ്– 2 = 49. - സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക: 4 എക്സ് 2 + 3എക്സ് – 2 - 0,5 2x2 + 2എക്സ് – 1 = 0. - സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

II. അടിസ്ഥാന അറിവിന്റെ നവീകരണം. ആവർത്തനം

(സ്ലൈഡുകൾ #4 - 6 ക്ലാസ് അവതരണങ്ങൾ)

സ്ക്രീൻ കാണിക്കുന്നു സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയലിന്റെ റഫറൻസ് സംഗ്രഹം ഈ വിഷയത്തിൽ.

ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ ചർച്ചചെയ്യുന്നു:

1. എന്ത് സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സൂചകമോ?
2. അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള പ്രധാന വഴികൾ പറയുക. അവയുടെ തരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക ( സ്ലൈഡ് നമ്പർ 4 )

(ഓരോ രീതിക്കും നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ സ്വയം പരിഹരിക്കുകയും സ്ലൈഡ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സ്വയം പരിശോധന നടത്തുകയും ചെയ്യുക)

3. ഫോമിന്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഏത് സിദ്ധാന്തമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്: ഒപ്പം f(x) = a g(x) ?
4. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റ് ഏത് രീതികൾ നിലവിലുണ്ട്? ( സ്ലൈഡ് നമ്പർ 5 )

• ഫാക്ടറൈസേഷൻ രീതി
(ഉള്ള അധികാരങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അതേ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ, സ്വീകരണം: ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സൂചകമുള്ള ബിരുദം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് എടുത്തിരിക്കുന്നു).
• ഏകതാനമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ എക്‌സ്‌പ്രെഷനിലൂടെ ഹരിക്കൽ (ഗുണനം) സ്വീകരിക്കൽ
.

• ഉപദേശം:

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ആദ്യം പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്, സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളിലും ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികൾ നേടുന്നു.

1. അഭിപ്രായങ്ങൾ പിന്തുടരുന്ന അവസാന രണ്ട് രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

(സ്ലൈഡ് നമ്പർ 6 ).

. 4 എക്സ്+ 1 – 2 4 എക്സ്– 2 = 124, 4 എക്സ്– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 എക്സ്– 2 62 = 124,

4 എക്സ്– 2 = 2, 4 എക്സ്– 2 = 4 0,5 , എക്സ്– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x - 3 2 എക്സ് 5X - 5 5 2എക്സ്= 0¦: 5 2 എക്സ് 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, ടി > 0, 2ടി 2 - 3ടി- 5 = 0,ടി= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, എക്സ്= ?...

III. USE ടാസ്ക്കുകൾ പരിഹരിക്കുന്നു 2010

പരിഹാരത്തിനുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സ്ലൈഡ് നമ്പർ 3-ലെ പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ നിർദ്ദേശിച്ച ടാസ്ക്കുകൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കുക, അവതരണത്തിലൂടെ അവരുടെ തീരുമാന പ്രക്രിയയും അവയ്ക്കുള്ള ഉത്തരങ്ങളും പരിശോധിക്കുക ( സ്ലൈഡ് നമ്പർ 7). ജോലിയുടെ പ്രക്രിയയിൽ, പരിഹാരത്തിനുള്ള ഓപ്ഷനുകളും രീതികളും ചർച്ചചെയ്യുന്നു, പരിഹാരത്തിലെ സാധ്യമായ പിശകുകളിലേക്ക് ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നു.

: എ) 7 എക്സ്– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. ഉത്തരം: a) എക്സ്= 4, ബി) എക്സ് = 2. : 4 എക്സ് 2 + 3എക്സ് – 2 - 0,5 2x2 + 2എക്സ്- 1 \u003d 0. (നിങ്ങൾക്ക് 0.5 \u003d 4 - 0.5 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം)

പരിഹാരം. ,

എക്സ് 2 + 3എക്സ് – 2 = -എക്സ് 2 - 4എക്സ് + 0,5 …

ഉത്തരം: എക്സ്= -5/2, എക്സ് = 1/2.

: 5 5 ടി.ജി വൈ+ 4 = 5 -tg വൈ, കോസ് വൈ< 0.

ഒരു തീരുമാനത്തിനുള്ള നിർദ്ദേശം

. 5 5 ടി.ജി വൈ+ 4 = 5 -tg വൈ¦ 5 ടി.ജി വൈ 0,

5 5 2 ഗ്രാം വൈ+ 4 5 ടി.ജി y- 1 = 0. അനുവദിക്കുക എക്സ്= 5 ടി.ജി വൈ , …

5 ടി.ജി വൈ = -1 (?...), 5 ടി.ജി y= 1/5.

ടിജി മുതൽ വൈ= -1 ഒപ്പം കോസ് വൈ< 0, പിന്നെ ചെയ്തത് II കോർഡിനേറ്റ് പാദം

ഉത്തരം: ചെയ്തത്= 3/4 + 2കെ, കെ എൻ.

IV. വൈറ്റ്ബോർഡ് സഹകരണം

ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള പഠനത്തിന്റെ ചുമതല പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു - സ്ലൈഡ് നമ്പർ 8. ഈ സ്ലൈഡിന്റെ സഹായത്തോടെ, അധ്യാപകനും വിദ്യാർത്ഥികളും തമ്മിലുള്ള ഒരു സംഭാഷണം ഉണ്ട്, ഇത് പരിഹാരത്തിന്റെ വികസനത്തിന് സംഭാവന നൽകുന്നു.

- ഏത് പരാമീറ്ററിലാണ് എ സമവാക്യം 2 2 എക്സ് – 3 2 എക്സ് + എ 2 – 4എ= 0 ന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടോ?

അനുവദിക്കുക ടി= 2 എക്സ്, എവിടെ ടി > 0 . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ടി 2 – 3ടി + (എ 2 – 4എ) = 0 .

ഒന്ന്). സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, D > 0;

2). കാരണം ടി 1,2 > 0, അപ്പോൾ ടി 1 ടി 2 > 0, അതായത് എ 2 – 4എ> 0 (?...).

ഉത്തരം: എ(- 0.5; 0) അല്ലെങ്കിൽ (4; 4.5).

വി. വെരിഫിക്കേഷൻ വർക്ക്

(സ്ലൈഡ് നമ്പർ 9 )

വിദ്യാർത്ഥികൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു സ്ഥിരീകരണ ജോലിലഘുലേഖകളിൽ, വിഷയത്തിൽ സ്വയം ഉറപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, ഒരു അവതരണത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ നിർവഹിച്ച ജോലിയുടെ ആത്മനിയന്ത്രണവും സ്വയം വിലയിരുത്തലും. വർക്ക്ബുക്കുകളിൽ വരുത്തിയ തെറ്റുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അറിവ് നിയന്ത്രിക്കുന്നതിനും തിരുത്തുന്നതിനുമുള്ള ഒരു പ്രോഗ്രാം അവർ സ്വയം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. പൂർത്തിയാക്കിയ സ്വതന്ത്ര ജോലികളുള്ള ഷീറ്റുകൾ പരിശോധനയ്ക്കായി അധ്യാപകന് കൈമാറുന്നു.

അടിവരയിട്ട സംഖ്യകൾ അടിസ്ഥാനപരമാണ്, നക്ഷത്രചിഹ്നമുള്ളവ വികസിതമാണ്.

പരിഹാരവും ഉത്തരങ്ങളും.

0,3 2എക്സ് + 1 = 0,3 – 2 , 2എക്സ് + 1 = -2, എക്സ്= -1,5.

(1; 1).

3. 2 എക്സ്– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 എക്സ്– 1 76 = 19, 2 എക്സ്– 1 = 1/4, 2 എക്സ്– 1 = 2 – 2 , എക്സ്– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 എക്സ് 5എക്സ്+ 5 25 എക്സ് | : 25 എക്സ് ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) എക്സ്+ 5,

3 (9/27) എക്സ് = 2 (3/5) എക്സ് + 5 = 0,

3 (3/5) 2എക്സ് – 2 (3/5) എക്സ് - 5 = 0,…, (3/5) എക്സ് = -1 (അനുയോജ്യമല്ലാത്ത),

(3/5) എക്സ് = 5, x = -1.

VI. ഹോംവർക്ക്

(സ്ലൈഡ് നമ്പർ 10 )

• § 11, 12 ആവർത്തിക്കുക.
• 2008 - 2010 ലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ മെറ്റീരിയലുകളിൽ നിന്ന്, വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ടാസ്ക്കുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് അവ പരിഹരിക്കുക.
• ഹോം ടെസ്റ്റ് വർക്ക്
: