równania wykładnicze. Metoda logarytmiczna. Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady Rozwiązanie prostych równań wykładniczych

Ta lekcja jest przeznaczona dla tych, którzy dopiero zaczynają uczyć się równań wykładniczych. Jak zawsze zacznijmy od definicji i prostych przykładów.

Jeśli czytasz tę lekcję, to podejrzewam, że masz już przynajmniej minimalne zrozumienie najprostszych równań - liniowych i kwadratowych: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ itd. Umiejętność rozwiązywania takich konstrukcji jest absolutnie niezbędna, aby nie „wisać” w temacie, który będzie teraz omawiany.

A więc równania wykładnicze. Podam kilka przykładów:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Niektóre z nich mogą Ci się wydawać bardziej skomplikowane, niektóre wręcz przeciwnie, są zbyt proste. Ale wszystkie one łączy jedna ważna cecha: zawierają funkcję wykładniczą $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Dlatego wprowadzamy definicję:

Równanie wykładnicze to dowolne równanie, które zawiera funkcję wykładniczą, tj. wyrażenie postaci $((a)^(x))$. Oprócz określonej funkcji takie równania mogą zawierać dowolne inne konstrukcje algebraiczne - wielomiany, pierwiastki, trygonometrię, logarytmy itp.

OK, więc. Zrozumiałem definicję. Teraz pytanie brzmi: jak rozwiązać to całe badziewie? Odpowiedź jest jednocześnie prosta i złożona.

Zacznijmy od dobrej wiadomości: z mojego doświadczenia z wieloma studentami mogę powiedzieć, że dla większości z nich równania wykładnicze są znacznie łatwiejsze niż te same logarytmy, a tym bardziej trygonometria.

Ale są też złe wieści: czasami kompilatorzy problemów do wszelkiego rodzaju podręczników i egzaminów są odwiedzani przez „inspirację”, a ich mózg dotknięty narkotykami zaczyna wytwarzać tak brutalne równania, że ​​ich rozwiązywanie staje się problematyczne nie tylko dla uczniów - nawet wielu nauczycieli utknęło w takich problemach.

Nie mówmy jednak o smutnych rzeczach. Wróćmy do tych trzech równań, które zostały podane na samym początku historii. Spróbujmy rozwiązać każdy z nich.

Pierwsze równanie: $((2)^(x))=4$. Cóż, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 4? Może drugi? W końcu $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — i otrzymaliśmy poprawną równość liczbową, tj. rzeczywiście $x=2$. No cóż, czapeczku, ale to równanie było tak proste, że nawet mój kot mógł je rozwiązać :)

Spójrzmy na następujące równanie:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ale tutaj jest trochę trudniej. Wielu uczniów wie, że tabliczka mnożenia to $((5)^(2))=25$. Niektórzy podejrzewają również, że $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ jest zasadniczo definicją ujemnych wykładników (podobnie jak formuła $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Wreszcie tylko nieliczni domyślają się, że te fakty można połączyć, a wynik jest następujący:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Zatem nasze pierwotne równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Strzałka w prawo ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

A teraz jest to już całkowicie rozwiązane! Po lewej stronie równania jest funkcja wykładnicza, po prawej stronie równania jest funkcja wykładnicza, nigdzie indziej nie ma nic poza nimi. Dlatego możliwe jest „odrzucenie” baz i głupie zrównanie wskaźników:

Otrzymaliśmy najprostsze równanie liniowe, które każdy uczeń może rozwiązać w zaledwie kilku linijkach. OK, w czterech linijkach:

\[\begin(wyrównaj)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(wyrównaj)\]

Jeśli nie rozumiesz, co wydarzyło się w ostatnich czterech wierszach, wróć do tematu „równania liniowe” i powtórz go. Ponieważ bez wyraźnego przyswojenia tego tematu jest za wcześnie, aby zająć się równaniami wykładniczymi.

\[((9)^(x))=-3\]

Cóż, jak decydujesz? Pierwsza myśl: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, więc oryginalne równanie można przepisać w ten sposób:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Następnie przypominamy, że podnosząc stopień do potęgi, wskaźniki są mnożone:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(wyrównaj)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(wyrównaj)\]

A za taką decyzję dostajemy uczciwie zasłużoną dwójkę. Ponieważ my, ze spokojem Pokémona, wysłaliśmy znak minus przed trójką do potęgi tej właśnie trójki. I nie możesz tego zrobić. I własnie dlatego. Spójrz na różne moce trójki:

\[\begin(macierz) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(macierz)\]

Kompilując ten tablet, nie zboczyłem tak szybko, jak to zrobiłem: rozważałem stopnie dodatnie i ujemne, a nawet ułamkowe ... cóż, gdzie jest tu przynajmniej jedna ujemna liczba? On nie jest! A tak być nie może, bo funkcja wykładnicza $y=((a)^(x))$ po pierwsze zawsze przyjmuje tylko wartości dodatnie (nieważne ile pomnożysz przez jeden czy podzielisz przez dwa, nadal będzie to liczba dodatnia), a po drugie, podstawa takiej funkcji, liczba $a$, jest z definicji liczbą dodatnią!

Jak więc rozwiązać równanie $((9)^(x))=-3$? Nie, nie ma korzeni. W tym sensie równania wykładnicze są bardzo podobne do równań kwadratowych - może też nie być pierwiastków. Ale jeśli w równaniach kwadratowych liczbę pierwiastków określa wyróżnik (dyskryminator jest dodatni - 2 pierwiastki, ujemny - bez pierwiastków), to w równaniach wykładniczych wszystko zależy od tego, co jest po prawej stronie znaku równości.

W ten sposób formułujemy kluczowy wniosek: najprostsze równanie wykładnicze postaci $((a)^(x))=b$ ma pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy $b \gt 0$. Znając ten prosty fakt, możesz łatwo określić, czy proponowane równanie ma pierwiastki, czy nie. Tych. czy w ogóle warto to rozwiązać, czy od razu napisać, że nie ma korzeni.

Ta wiedza pomoże nam wielokrotnie, gdy musimy rozwiązać bardziej złożone problemy. W międzyczasie dość tekstów - czas przestudiować podstawowy algorytm rozwiązywania równań wykładniczych.

Jak rozwiązywać równania wykładnicze

Sformułujmy więc problem. Konieczne jest rozwiązanie równania wykładniczego:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Zgodnie z algorytmem „naiwnym”, którego użyliśmy wcześniej, liczbę $b$ należy przedstawić jako potęgę liczby $a$:

Dodatkowo, jeśli zamiast zmiennej $x$ jest jakieś wyrażenie, otrzymamy nowe równanie, które można już rozwiązać. Na przykład:

\[\begin(wyrównaj)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\koniec(wyrównaj)\]

I co dziwne, ten schemat działa w około 90% przypadków. A co z pozostałymi 10%? Pozostałe 10% to nieco „schizofreniczne” równania wykładnicze postaci:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Do jakiej mocy musisz podbić 2, aby uzyskać 3? Na początku? Ale nie: $((2)^(1))=2$ to za mało. W sekundę? Ani: $((2)^(2))=4$ to za dużo. Co wtedy?

Doświadczeni studenci zapewne już zgadli: w takich przypadkach, gdy nie da się „pięknie” rozwiązać, „ciężka artyleria” jest połączona z przypadkiem - logarytmy. Przypomnę, że za pomocą logarytmów dowolną liczbę dodatnią można przedstawić jako potęgę dowolnej innej liczby dodatniej (z wyjątkiem jednej):

Pamiętasz tę formułę? Kiedy opowiadam moim uczniom o logarytmach, zawsze ostrzegam: ta formuła (jest to również podstawowa tożsamość logarytmiczna lub jak kto woli definicja logarytmu) będzie Cię prześladować przez bardzo długi czas i „wyłoni się” najwcześniej. nieoczekiwane miejsca. Cóż, wynurzyła się. Spójrzmy na nasze równanie i ten wzór:

\[\begin(wyrównaj)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(wyrównaj) \]

Jeśli założymy, że $a=3$ to nasza pierwotna liczba po prawej stronie, a $b=2$ to sama podstawa funkcja wykładnicza, do którego tak bardzo chcemy sprowadzić prawą stronę, otrzymujemy:

\[\begin(wyrównaj)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\koniec(wyrównaj)\]

Otrzymaliśmy nieco dziwną odpowiedź: $x=((\log )_(2))3$. W innym zadaniu, z taką odpowiedzią, wielu zwątpiłoby i zaczęłoby dwukrotnie sprawdzać swoje rozwiązanie: a gdyby gdzieś był błąd? Spieszę się wam zadowolić: tu nie ma błędu, a logarytmy w pierwiastkach równań wykładniczych to dość typowa sytuacja. Więc przyzwyczaj się do tego :)

Teraz rozwiązujemy analogicznie pozostałe dwa równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Nawiasem mówiąc, ostatnią odpowiedź można napisać inaczej:

To my wprowadziliśmy mnożnik do argumentu logarytmicznego. Ale nikt nie zabrania nam dodawania tego czynnika do bazy:

Co więcej, wszystkie trzy opcje są poprawne - są to po prostu różne formy zapisania tej samej liczby. To, który z nich wybrać i zapisać w tej decyzji, zależy od Ciebie.

W ten sposób nauczyliśmy się rozwiązywać dowolne równania wykładnicze postaci $(((a)^(x))=b$, gdzie liczby $a$ i $b$ są ściśle dodatnie. Jednak trudna rzeczywistość naszego świata jest taka, że ​​takie proste zadania spotkają się bardzo, bardzo rzadko. Częściej natkniesz się na coś takiego:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\koniec(wyrównaj)\]

Cóż, jak decydujesz? Czy można to w ogóle rozwiązać? A jeśli tak, to w jaki sposób?

Bez paniki. Wszystkie te równania są szybko i prosto sprowadzane do tych prostych formuł, które już rozważaliśmy. Musisz tylko wiedzieć, żeby zapamiętać kilka sztuczek z kursu algebry. I oczywiście nie ma tu zasad dotyczących pracy ze stopniami. Porozmawiam o tym wszystkim teraz :)

Transformacja równań wykładniczych

Pierwszą rzeczą do zapamiętania jest to, że każde równanie wykładnicze, bez względu na to, jak złożone może być, w taki czy inny sposób musi zostać zredukowane do najprostszych równań - tych, które już rozważaliśmy i które wiemy, jak je rozwiązać. Innymi słowy, schemat rozwiązywania dowolnego równania wykładniczego wygląda tak:

1. Zapisz oryginalne równanie. Na przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Zrób jakieś głupie gówno. Albo nawet jakieś bzdury o nazwie „przekształć równanie”;
3. Na wyjściu uzyskaj najprostsze wyrażenia, takie jak $((4)^(x))=4$ lub coś innego w tym stylu. Co więcej, jedno początkowe równanie może dać kilka takich wyrażeń naraz.

Z pierwszym punktem wszystko jest jasne - nawet mój kot może napisać równanie na liściu. Wydaje się, że również z trzecim punktem jest mniej lub bardziej jasny - rozwiązaliśmy już całą masę takich równań powyżej.

Ale co z drugim punktem? Jakie są przemiany? Na co przekonwertować? I jak?

Cóż, wymyślmy to. Przede wszystkim chciałbym zwrócić uwagę na następujące. Wszystkie równania wykładnicze dzielą się na dwa typy:

1. Równanie składa się z funkcji wykładniczych o tej samej podstawie. Przykład: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formuła zawiera funkcje wykładnicze o różnych podstawach. Przykłady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ i $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Zacznijmy od równań pierwszego typu - są najłatwiejsze do rozwiązania. A w ich rozwiązaniu pomoże nam taka technika, jak dobór stabilnych wyrażeń.

Podświetlanie stabilnego wyrażenia

Spójrzmy jeszcze raz na to równanie:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Co widzimy? Czwórka jest podnoszona w różnym stopniu. Ale wszystkie te potęgi są prostymi sumami zmiennej $x$ z innymi liczbami. Dlatego należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami:

\[\begin(wyrównaj)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\koniec(wyrównaj)\]

Mówiąc najprościej, dodawanie wykładników można przekształcić w iloczyn potęg, a odejmowanie łatwo przekształcić w dzielenie. Spróbujmy zastosować te wzory do potęg z naszego równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\koniec(wyrównaj)\]

Przepisujemy pierwotne równanie, biorąc pod uwagę ten fakt, a następnie zbieramy wszystkie wyrazy po lewej stronie:

\[\begin(wyrównaj)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedenaście; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\koniec(wyrównaj)\]

Pierwsze cztery wyrazy zawierają element $((4)^(x))$ — wyjmijmy go z nawiasu:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\koniec(wyrównaj)\]

Pozostaje podzielić obie części równania przez ułamek $-\frac(11)(4)$, czyli zasadniczo pomnóż przez ułamek odwrotny - $-\frac(4)(11)$. Otrzymujemy:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Zredukowaliśmy pierwotne równanie do najprostszego i otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Jednocześnie w trakcie rozwiązywania odkryliśmy (a nawet wyjęliśmy z nawiasu) dzielnik wspólny $((4)^(x))$ - jest to wyrażenie stabilne. Można ją wyznaczyć jako nową zmienną lub po prostu dokładnie ją wyrazić i uzyskać odpowiedź. W każdym razie kluczowa zasada rozwiązania jest następująca:

Znajdź w pierwotnym równaniu stabilne wyrażenie zawierające zmienną, którą łatwo odróżnić od wszystkich funkcji wykładniczych.

Dobrą wiadomością jest to, że prawie każde równanie wykładnicze dopuszcza tak stabilne wyrażenie.

Ale są też złe wieści: takie wyrażenia mogą być bardzo podchwytliwe i trudno je odróżnić. Spójrzmy więc na inny problem:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Być może ktoś będzie teraz miał pytanie: „Pasza, czy jesteś ukamienowany? Oto różne podstawy - 5 i 0,2. Spróbujmy jednak przeliczyć moc o podstawie 0,2. Na przykład pozbądźmy się ułamka dziesiętnego, przenosząc go do zwykłego:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Jak widać, wciąż pojawiała się cyfra 5, choć w mianowniku. Jednocześnie wskaźnik został przepisany jako ujemny. A teraz przypominamy jedną z najważniejszych zasad pracy ze stopniami:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tutaj oczywiście trochę oszukałem. Ponieważ dla pełnego zrozumienia wzór na pozbycie się negatywnych wskaźników musiał być napisany w następujący sposób:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ prawo))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Z drugiej strony nic nie przeszkodziło nam w pracy tylko z jednym ułamkiem:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ right))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ale w tym przypadku musisz być w stanie podnieść stopień do innego stopnia (przypominam: w tym przypadku wskaźniki są sumowane). Ale nie musiałem „odwracać” ułamków - może komuś będzie łatwiej :)

W każdym razie oryginalne równanie wykładnicze zostanie przepisane jako:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\koniec(wyrównaj)\]

Okazuje się więc, że pierwotne równanie jest jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż poprzednio rozważane: tutaj nie trzeba nawet wyróżniać stabilnego wyrażenia - wszystko zostało zredukowane samo. Pozostaje tylko pamiętać, że $1=((5)^(0))$, skąd otrzymujemy:

\[\begin(wyrównaj)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\koniec(wyrównaj)\]

To całe rozwiązanie! Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x=-2$. Jednocześnie chciałbym zwrócić uwagę na jedną sztuczkę, która znacznie uprościła nam wszystkie obliczenia:

W równaniach wykładniczych należy się pozbyć ułamki dziesiętne, przekonwertuj je na normalne. Pozwoli to zobaczyć te same podstawy stopni i znacznie uprości rozwiązanie.

Przejdźmy teraz do bardziej złożonych równań, w których istnieją różne podstawy, które na ogół nie dają się sprowadzić do siebie za pomocą potęg.

Korzystanie z właściwości wykładnika

Przypomnę, że mamy jeszcze dwa szczególnie surowe równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\koniec(wyrównaj)\]

Główną trudnością jest tutaj to, że nie jest jasne, na jakiej podstawie i na jakiej podstawie kierować. Gdzie są stałe wyrażenia? Gdzie są wspólne podstawy? Nic z tego.

Ale spróbujmy pójść w drugą stronę. Jeśli nie ma gotowych identycznych baz, możesz spróbować je znaleźć, rozkładając na czynniki dostępne bazy.

Zacznijmy od pierwszego równania:

\[\begin(wyrównaj)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Ale przecież możesz zrobić odwrotnie - uzupełnij liczbę 21 z liczb 7 i 3. Szczególnie łatwo jest to zrobić po lewej stronie, ponieważ wskaźniki obu stopni są takie same:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\koniec(wyrównaj)\]

To wszystko! Wyjąłeś wykładnik z produktu i natychmiast uzyskałeś piękne równanie, które można rozwiązać w kilku linijkach.

Zajmijmy się teraz drugim równaniem. Tutaj wszystko jest znacznie bardziej skomplikowane:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

W tym przypadku ułamki okazały się nieredukowalne, ale jeśli coś można zmniejszyć, koniecznie to zmniejsz. Często skutkuje to interesującymi podstawami, z którymi możesz już pracować.

Niestety nic nie wymyśliliśmy. Widzimy jednak, że wykładniki po lewej stronie produktu są przeciwne:

Przypomnę: aby pozbyć się znaku minus w wykładniku, wystarczy „odwrócić” ułamek. Przepiszmy więc oryginalne równanie:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\koniec(wyrównaj)\]

W drugiej linii po prostu wyjęliśmy Całkowity wynik z iloczynu nawiasów zgodnie z regułą $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, a w tym ostatnim po prostu pomnożyliśmy liczbę 100 przez ułamek.

Teraz zauważ, że liczby po lewej (u podstawy) i po prawej są nieco podobne. Jak? Tak, oczywiście: są to siły tej samej liczby! Mamy:

\[\begin(wyrównaj)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \prawo))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\koniec(wyrównaj)\]

Zatem nasze równanie zostanie przepisane w następujący sposób:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \prawo))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Jednocześnie po prawej stronie możesz również uzyskać stopień o tej samej podstawie, dla którego wystarczy „odwrócić” ułamek:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Ostatecznie nasze równanie przyjmie postać:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\koniec(wyrównaj)\]

To całe rozwiązanie. Jego główną ideą jest to, że nawet jeśli różne bazy x próbujemy za pomocą haka lub oszusta zredukować te podstawy do jednego i tego samego. Pomagają nam w tym elementarne przekształcenia równań i zasady pracy z potęgami.

Ale jakie zasady i kiedy stosować? Jak zrozumieć, że w jednym równaniu trzeba coś podzielić obie strony, a w innym - rozłożyć podstawę funkcji wykładniczej na czynniki?

Odpowiedź na to pytanie przyjdzie z doświadczeniem. Najpierw spróbuj swoich sił w prostych równaniach, a następnie stopniowo komplikuj zadania - a już wkrótce twoje umiejętności wystarczą, aby rozwiązać dowolne równanie wykładnicze z tego samego ZASTOSOWANIA lub dowolną niezależną / testową pracę.

Aby pomóc Ci w tym trudnym zadaniu, proponuję pobrać na moją stronę zestaw równań dla niezależne rozwiązanie. Wszystkie równania mają odpowiedzi, więc zawsze możesz to sprawdzić.

Ogólnie życzę udanego treningu. I do zobaczenia w następnej lekcji - tam przeanalizujemy naprawdę złożone równania wykładnicze, w których opisane powyżej metody już nie wystarczają. Prosty trening też nie wystarczy :)

Rozwiązywanie równań wykładniczych. Przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie "nie bardzo..."
I dla tych, którzy "bardzo...")

Co równanie wykładnicze? Jest to równanie, w którym niewiadome (x) i wyrażenia z nimi zawarte są w wskaźniki niektóre stopnie. I tylko tam! To jest ważne.

Tutaj jesteś przykłady równań wykładniczych:

3 x 2 x = 8 x + 3

Notatka! W podstawach stopni (poniżej) - tylko numery. W wskaźniki stopnie (powyżej) - szeroka gama wyrażeń z x. Jeśli nagle X pojawi się w równaniu w innym miejscu niż wskaźnik, na przykład:

będzie to równanie typu mieszanego. Takie równania nie mają jasnych zasad rozwiązywania. Na razie nie będziemy ich rozważać. Tutaj zajmiemy się rozwiązywanie równań wykładniczych w najczystszej postaci.

W rzeczywistości nawet czyste równania wykładnicze nie zawsze są jasno rozwiązane. Ale istnieją pewne typy równań wykładniczych, które można i należy rozwiązać. Oto typy, którym będziemy się przyglądać.

Rozwiązywanie najprostszych równań wykładniczych.

Zacznijmy od czegoś bardzo podstawowego. Na przykład:

Nawet bez żadnej teorii, po prostym doborze jest jasne, że x = 2. Nic więcej, prawda!? Żadnych innych rzutów na wartość x. A teraz spójrzmy na rozwiązanie tego trudnego równania wykładniczego:

Co my zrobiliśmy? W rzeczywistości po prostu wyrzuciliśmy te same dna (trójki). Całkowicie wyrzucony. I co się podoba, trafiaj w sedno!

Rzeczywiście, jeśli w równaniu wykładniczym po lewej i po prawej stronie są ten sam liczb w dowolnym stopniu, liczby te można usunąć i mają równe wykładniki. Matematyka pozwala. Pozostaje rozwiązać znacznie prostsze równanie. To dobrze, prawda?)

Pamiętajmy jednak jak na ironię: możesz usunąć zasady tylko wtedy, gdy numery zasad są po lewej i po prawej stronie w doskonałej izolacji! Bez sąsiadów i współczynników. Powiedzmy w równaniach:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , lub

Nie możesz usunąć dubletów!

Cóż, najważniejszą rzecz opanowaliśmy. Jak przejść od złych wyrażeń wykładniczych do prostszych równań.

"Oto te czasy!" - mówisz. "Kto da taki prymityw na kontrolę i egzaminy!?"

Zmuszony do zgody. Nikt nie będzie. Ale teraz wiesz, gdzie się udać, gdy rozwiązujesz mylące przykłady. Konieczne jest doprowadzenie go do formy, gdy ten sam numer podstawowy znajduje się po lewej - po prawej stronie. Wtedy wszystko będzie łatwiejsze. Właściwie to klasyka matematyki. Bierzemy oryginalny przykład i przekształcamy go w pożądany nas umysł. Oczywiście zgodnie z zasadami matematyki.

Rozważ przykłady, które wymagają dodatkowego wysiłku, aby sprowadzić je do najprostszego. Zadzwońmy do nich proste równania wykładnicze.

Rozwiązywanie prostych równań wykładniczych. Przykłady.

Podczas rozwiązywania równań wykładniczych głównymi zasadami są działania z uprawnieniami. Bez wiedzy o tych działaniach nic nie zadziała.

Do działań ze stopniami trzeba dodać osobistą obserwację i pomysłowość. Czy potrzebujemy tych samych liczb podstawowych? Dlatego szukamy ich w przykładzie w formie jawnej lub zaszyfrowanej.

Zobaczmy, jak to się robi w praktyce?

Podajmy przykład:

2 2x - 8x+1 = 0

Pierwszy rzut oka na fusy. Oni... Oni są inni! Dwa i osiem. Ale za wcześnie na zniechęcenie. Czas o tym pamiętać

Dwaj i ósemka to krewni w stopniu.) Całkiem możliwe jest napisanie:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jeśli przypomnimy sobie formułę z akcji z uprawnieniami:

(a n) m = a nm ,

ogólnie działa świetnie:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Oryginalny przykład wygląda tak:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Przenosimy 2 3 (x+1) po prawej (nikt nie odwołał elementarnych działań matematyki!), otrzymujemy:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

To praktycznie wszystko. Usuwanie podstaw:

Rozwiązujemy tego potwora i dostajemy

To jest prawidłowa odpowiedź.

W tym przykładzie znajomość mocy dwojga pomogła nam. My zidentyfikowany w ósemce zaszyfrowana dwójka. Ta technika (kodowanie wspólnych zasad pod różnymi liczbami) jest bardzo popularną sztuczką w równaniach wykładniczych! Tak, nawet w logarytmach. Trzeba umieć rozpoznać moc innych liczb w liczbach. Jest to niezwykle ważne przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Faktem jest, że podniesienie dowolnej liczby do jakiejkolwiek władzy nie stanowi problemu. Pomnóż, nawet na kartce papieru i to wszystko. Na przykład każdy może podnieść 3 do piątej potęgi. 243 okaże się, jeśli znasz tabliczkę mnożenia.) Ale w równaniach wykładniczych znacznie częściej konieczne jest nie podnoszenie do potęgi, ale odwrotnie ... ile w jakim stopniu? kryje się za liczbą 243, lub powiedzmy 343... Żaden kalkulator ci tu nie pomoże.

Musisz znać moc niektórych liczb z widzenia, tak... Mamy ćwiczyć?

Określ, jakie potęgi i jakie liczby są liczbami:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Odpowiedzi (oczywiście w bałaganie!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz dziwny fakt. Jest więcej odpowiedzi niż pytań! Cóż, zdarza się... Na przykład 2 6 , 4 3 , 8 2 to wszystko 64.

Załóżmy, że zapoznałeś się z informacją o zaznajomieniu się z liczbami.) Przypomnę też, że do rozwiązywania równań wykładniczych stosujemy całość zasób wiedzy matematycznej. W tym z niższych klas średnich. Nie poszedłeś od razu do liceum, prawda?

Na przykład przy rozwiązywaniu równań wykładniczych bardzo często pomaga wyjęcie wspólnego współczynnika z nawiasów (witaj do oceny 7!). Zobaczmy przykład:

3 2x+4 -11 9 x = 210

I znowu pierwsze spojrzenie - na boisku! Podstawy stopni są różne... Trzy i dziewięć. I chcemy, żeby były takie same. Cóż, w tym przypadku pragnienie jest całkiem możliwe!) Ponieważ:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Zgodnie z tymi samymi zasadami dla akcji ze stopniami:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Świetnie, możesz napisać:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Więc co dalej!? Trójek nie da się wyrzucić... Ślepy zaułek?

Zupełnie nie. Pamiętając o najbardziej uniwersalnej i potężnej regule decyzyjnej wszystko zadania matematyczne:

Jeśli nie wiesz, co robić, rób, co możesz!

Wyglądasz, wszystko jest uformowane).

Co znajduje się w tym równaniu wykładniczym Móc robić? Tak, lewa strona bezpośrednio prosi o nawiasy! Wspólny czynnik 3 2x wyraźnie na to wskazuje. Spróbujmy, a wtedy zobaczymy:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Przykład jest coraz lepszy!

Przypominamy, że aby wyeliminować podstawy, potrzebujemy czystego stopnia, bez żadnych współczynników. Liczba 70 nas niepokoi. Więc dzielimy obie strony równania przez 70, otrzymujemy:

Op-pa! Wszystko było w porządku!

To jest ostateczna odpowiedź.

Zdarza się jednak, że uzyskuje się kołowanie na tych samych podstawach, ale ich likwidacja nie. Dzieje się tak w równaniach wykładniczych innego typu. Zdobądźmy ten typ.

Zmiana zmiennej w rozwiązywaniu równań wykładniczych. Przykłady.

Rozwiążmy równanie:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Po pierwsze - jak zwykle. Przejdźmy do bazy. Do dwójki.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otrzymujemy równanie:

2 2x - 3 2x +2 = 0

I tu powiesimy. Poprzednie sztuczki nie zadziałają, bez względu na to, jak je obrócisz. Musimy wydostać się z arsenału innego potężnego i wszechstronnego sposobu. To jest nazwane zmienna substytucja.

Istota metody jest zaskakująco prosta. Zamiast jednej złożonej ikony (w naszym przypadku 2 x) piszemy inną, prostszą (np. t). Taka pozornie bezsensowna wymiana prowadzi do niesamowitych rezultatów!) Wszystko staje się jasne i zrozumiałe!

Więc pozwól

Następnie 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

W naszym równaniu zastępujemy wszystkie potęgi przez x przez t:

Cóż, świta?) Nie zapomniałeś jeszcze równań kwadratowych? Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:

Tutaj najważniejsze jest, aby nie przestawać, jak to się dzieje ... To nie jest jeszcze odpowiedź, potrzebujemy x, a nie t. Wracamy do Xs, czyli dokonanie wymiany. Pierwszy dla t 1:

To znaczy,

Znaleziono jeden korzeń. Poszukujemy drugiego z t 2:

Um... Lewo 2 x, Prawo 1... Zaczep? Tak, wcale nie! Wystarczy pamiętać (z działań ze stopniami, tak...), że jedność to każdy liczba do zera. Każdy. Cokolwiek potrzebujesz, umieścimy to. Potrzebujemy dwóch. Oznacza:

Teraz to wszystko. Posiada 2 korzenie:

To jest odpowiedź.

Na rozwiązywanie równań wykładniczych na końcu czasami uzyskuje się niezręczną ekspresję. Rodzaj:

Od siódemki dwójka do prostego stopnia nie działa. To nie są krewni... Jak mogę tu być? Ktoś może być zdezorientowany... Ale osoba, która przeczytała na tej stronie temat "Co to jest logarytm?" , tylko uśmiechnij się oszczędnie i twardą ręką zapisz absolutnie poprawną odpowiedź:

Nie może być takiej odpowiedzi w zadaniach „B” na egzaminie. Wymagana jest konkretna liczba. Ale w zadaniach „C” - łatwo.

Ta lekcja zawiera przykłady rozwiązywania najczęstszych równań wykładniczych. Podkreślmy główny.

Praktyczne wskazówki:

1. Przede wszystkim patrzymy na fusy stopni. Zobaczmy, czy nie da się tego zrobić ten sam. Spróbujmy to zrobić, aktywnie używając działania z uprawnieniami. Nie zapominaj, że liczby bez x można również zamienić na stopnie!

2. Próbujemy sprowadzić równanie wykładnicze do postaci, gdy lewa i prawa są ten sam liczby w dowolnym stopniu. Używamy działania z uprawnieniami oraz faktoryzacja. Co można policzyć w liczbach - liczymy.

3. Jeśli druga rada nie zadziałała, staramy się zastosować podstawienie zmiennej. Rezultatem może być równanie, które można łatwo rozwiązać. Najczęściej - kwadrat. Lub ułamkowy, który również redukuje się do kwadratu.

4. Aby skutecznie rozwiązywać równania wykładnicze, musisz znać stopnie niektórych liczb „z wzroku”.

Jak zwykle na koniec lekcji zapraszamy do rozwiązania.) Na własną rękę. Od prostych do złożonych.

Rozwiąż równania wykładnicze:

Trudniejsze:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Znajdź produkt z korzeni:

2 3-x + 2 x = 9

Stało się?

No to najbardziej skomplikowany przykład (rozwiązuje się jednak w głowie...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Co jest bardziej interesujące? Oto zły przykład dla ciebie. Dość ciągnie się na zwiększonym poziomie trudności. Podpowiem, że w tym przykładzie ratuje pomysłowość i najbardziej uniwersalna zasada rozwiązywania wszystkich zadań matematycznych.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Przykład jest prostszy, dla relaksu):

9 2 x - 4 3 x = 0

A na deser. Znajdź sumę pierwiastków równania:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Tak tak! To jest równanie typu mieszanego! Czego nie braliśmy pod uwagę w tej lekcji. A co je wziąć pod uwagę, trzeba je rozwiązać!) Ta lekcja wystarczy, aby rozwiązać równanie. Cóż, potrzebna jest pomysłowość ... I tak, siódma klasa ci pomoże (to podpowiedź!).

Odpowiedzi (w nieładzie, oddzielone średnikami):

jeden; 2; 3; cztery; nie ma rozwiązań; 2; -2; -5; cztery; 0.

Czy wszystko się udaje? Doskonały.

Tam jest problem? Nie ma problemu! W sekcji specjalnej 555 wszystkie te równania wykładnicze są rozwiązywane ze szczegółowymi wyjaśnieniami. Co, dlaczego i dlaczego. I oczywiście są dodatkowe cenne informacje na temat pracy z różnego rodzaju równaniami wykładniczymi. Nie tylko z tymi.)

Ostatnie zabawne pytanie do rozważenia. W tej lekcji pracowaliśmy z równaniami wykładniczymi. Dlaczego nie powiedziałem tu ani słowa o ODZ? Nawiasem mówiąc, w równaniach jest to bardzo ważna rzecz ...

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Przejdź do kanału youtube w naszej witrynie, aby być świadomym wszystkich nowych lekcji wideo.

Najpierw przypomnijmy sobie podstawowe wzory stopni i ich własności.

Iloczyn liczby a dzieje się na sobie n razy, możemy zapisać to wyrażenie jako a … a=a n

1. a 0 = 1 (a 0)

3. za n za m = za n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. n / m \u003d n - m

Równania potęgowe lub wykładnicze- Są to równania, w których zmienne są potęgowane (lub wykładniki), a podstawą jest liczba.

Przykłady równań wykładniczych:

W tym przykładzie liczba 6 jest podstawą, zawsze jest na dole, a zmienna x stopień lub miarę.

Podajmy więcej przykładów równań wykładniczych.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Spójrzmy teraz, jak rozwiązywane są równania wykładnicze?

Weźmy proste równanie:

2 x = 2 3

Taki przykład można rozwiązać nawet w umyśle. Widać, że x=3. W końcu, aby lewa i prawa strona były równe, musisz wstawić cyfrę 3 zamiast x.
Zobaczmy teraz, jak należy podjąć tę decyzję:

2 x = 2 3
x = 3

Aby rozwiązać to równanie, usunęliśmy te same podstawy(czyli dwójki) i zapisałem to, co zostało, to są stopnie. Otrzymaliśmy odpowiedź, której szukaliśmy.

Podsumujmy teraz nasze rozwiązanie.

Algorytm rozwiązywania równania wykładniczego:
1. Musisz sprawdzić ten sam czy podstawy równania po prawej i po lewej stronie. Jeśli podstawy nie są takie same, szukamy opcji rozwiązania tego przykładu.
2. Gdy podstawy są takie same, zrównać stopnia i rozwiązać powstałe nowe równanie.

Rozwiążmy teraz kilka przykładów:

Zacznijmy od prostych.

Podstawy po lewej i prawej stronie są równe liczbie 2, co oznacza, że ​​możemy odrzucić podstawę i zrównać ich stopnie.

x+2=4 Wyszło najprostsze równanie.
x=4 - 2
x=2
Odpowiedź: x=2

W poniższym przykładzie widać, że podstawy są różne, są to 3 i 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Na początek przenosimy dziewięć na prawą stronę, otrzymujemy:

Teraz musisz zrobić te same podstawy. Wiemy, że 9=3 2 . Użyjmy wzoru na potęgę (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Otrzymujemy 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 teraz jest jasne, że podstawy po lewej i prawej stronie są takie same i równe trzem, co oznacza, że ​​możemy je odrzucić i zrównać stopnie.

3x=2x+16 otrzymało najprostsze równanie
3x-2x=16
x=16
Odpowiedź: x=16.

Spójrzmy na następujący przykład:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Przede wszystkim przyjrzymy się podstawom, podstawami są różne dwie i cztery. I musimy być tacy sami. Przekształcamy czwórkę zgodnie ze wzorem (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Używamy również jednej formuły a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodaj do równania:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Podaliśmy przykład z tych samych powodów. Ale przeszkadzają nam inne liczby 10 i 24. Co z nimi zrobić? Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że po lewej stronie powtarzamy 2 2x, oto odpowiedź - możemy umieścić 2 2x poza nawiasami:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Obliczmy wyrażenie w nawiasach:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Całe równanie dzielimy przez 6:

Wyobraź sobie 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 podstawy są takie same, odrzuć je i zrównaj stopnie.
2x \u003d 2 okazało się najprostszym równaniem. Dzielimy przez 2, otrzymujemy
x = 1
Odpowiedź: x = 1.

Rozwiążmy równanie:

9 x - 12*3 x +27= 0

Przekształćmy:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Otrzymujemy równanie:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazy są dla nas takie same, równe 3. W tym przykładzie widać, że pierwsza trójka ma stopień dwa razy (2x) niż druga (tylko x). W takim przypadku możesz zdecydować metoda substytucji. Liczba o najmniejszym stopniu zostaje zastąpiona przez:

Następnie 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Zamieniamy wszystkie stopnie na x w równaniu z t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Otrzymujemy równanie kwadratowe. Rozwiązujemy przez dyskryminację, otrzymujemy:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Powrót do zmiennej x.

Bierzemy t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

To znaczy,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Znaleziono jeden korzeń. Poszukujemy drugiego z t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpowiedź: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stronie możesz w sekcji POMOC ZDECYDOWAĆ zadać interesujące Cię pytania, na pewno Ci odpowiemy.

Dołącz do grupy

Nie bój się moich słów, z tą metodą spotkałeś się już w 7 klasie, kiedy uczyłeś się wielomianów.

Na przykład, jeśli potrzebujesz:

Pogrupujmy: pierwszy i trzeci termin, a także drugi i czwarty.

Oczywiste jest, że pierwszy i trzeci to różnica kwadratów:

a drugi i czwarty mają wspólny czynnik równy trzy:

Wtedy oryginalne wyrażenie jest równoważne z tym:

Gdzie wyjąć wspólny czynnik, nie jest już trudny:

W konsekwencji,

W przybliżeniu tak będziemy postępować przy rozwiązywaniu równań wykładniczych: poszukaj „wspólności” wśród terminów i wyjmij ją z nawiasów, no cóż - co się stanie, wierzę, że będziemy mieli szczęście =))

Przykład #14

Po prawej daleko jest do potęgi siódemki (sprawdzałem!) A po lewej - trochę lepiej...

Możesz oczywiście „odciąć” czynnik a z semestru drugiego od semestru pierwszego, a potem zająć się tym, co otrzymałeś, ale postępujmy z tobą ostrożniej.

Nie chcę zajmować się frakcjami, które nieuchronnie powstają w wyniku „selekcji”, więc czy nie byłoby lepiej wytrwać?

Wtedy nie będę miał ułamków: jak mówią, oba wilki są pełne, a owce bezpieczne:

Policz wyrażenie w nawiasach.

Magicznie, magicznie okazuje się, że (o dziwo, choć czego innego możemy się spodziewać?).

Następnie zmniejszamy obie strony równania o ten czynnik. Dostajemy: gdzie.

Oto bardziej skomplikowany przykład (tak naprawdę trochę):

Oto kłopot! Nie mamy tu wspólnego języka!

Nie jest do końca jasne, co teraz zrobić.

I zróbmy, co możemy: po pierwsze przesuniemy „czwórki” w jedną stronę, a „piątki” w drugą:

Teraz wyjmijmy „wspólne” po lewej i prawej stronie:

Co teraz?

Jaka jest korzyść z tak głupiego zgrupowania? Na pierwszy rzut oka w ogóle nie widać, ale zajrzyjmy głębiej:

No to teraz zróbmy tak, że po lewej mamy tylko wyrażenie c, a po prawej wszystko inne.

Jak możemy to zrobić?

A oto jak: Podziel obie strony równania najpierw przez (więc pozbywamy się wykładnika po prawej), a następnie podziel obie strony przez (więc pozbywamy się współczynnika liczbowego po lewej).

Wreszcie otrzymujemy:

Niesamowite!

Po lewej stronie mamy wyraz, a po prawej - po prostu.

Wtedy od razu dochodzimy do wniosku, że

Przykład #15

Podam jego krótkie rozwiązanie (nie zawracam sobie głowy wyjaśnieniem), spróbuj sam wymyślić wszystkie „subtelności” rozwiązania.

Teraz ostateczna konsolidacja omówionego materiału.

Rozwiąż samodzielnie następujące 7 zadań (z odpowiedziami)

1. Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów:
2. Reprezentujemy pierwsze wyrażenie w postaci: , dzielimy obie części przez i otrzymujemy to
3. , następnie oryginalne równanie jest konwertowane do postaci: No to teraz podpowiedź - poszukaj, gdzie ty i ja już rozwiązaliśmy to równanie!
4. Wyobraź sobie, jak, jak, ach, potem podziel obie części przez, żeby otrzymać najprostsze równanie wykładnicze.
5. Wyjmij go z nawiasów.
6. Wyjmij go z nawiasów.

RÓWNANIA EKSPOZYCYJNE. ŚREDNI POZIOM

Zakładam, że po przeczytaniu pierwszego artykułu, który opowiadał czym są równania wykładnicze i jak je rozwiązywać, opanowałeś niezbędne minimum wiedzy potrzebnej do rozwiązywania najprostszych przykładów.

Teraz przeanalizuję inną metodę rozwiązywania równań wykładniczych, to jest ...

Sposób wprowadzenia nowej zmiennej (lub podstawienia)

Rozwiązuje większość „trudnych” problemów, na temat równań wykładniczych (i nie tylko).

Ta metoda jest jedną z najczęściej stosowane w praktyce. Na początek polecam zapoznać się z tematem.

Jak już zrozumiałeś z nazwy, istotą tej metody jest wprowadzenie takiej zmiany zmiennej, aby twoje równanie wykładnicze cudownie przekształciło się w takie, które już możesz łatwo rozwiązać.

Wszystko, co pozostaje dla ciebie po rozwiązaniu tego bardzo „uproszczonego równania”, to dokonanie „odwrotnej wymiany”, czyli powrót z zastąpionego do zastąpionego.

Zilustrujmy to, co właśnie powiedzieliśmy, bardzo prostym przykładem:

Przykład 16. Prosta metoda zastępowania

To równanie jest rozwiązane za pomocą „prosta substytucja” matematycy nazywają to lekceważąco.

Rzeczywiście, substytucja tutaj jest najbardziej oczywista. Po prostu trzeba to zobaczyć

Wtedy oryginalne równanie staje się:

Jeśli dodatkowo wyobrazimy sobie jak, to całkiem jasne jest, że konieczna jest wymiana ...

Oczywiście, .

Co zatem staje się pierwotnym równaniem? A oto co:

Możesz łatwo znaleźć jego korzenie na własną rękę:.

Co powinniśmy teraz zrobić?

Czas wrócić do pierwotnej zmiennej.

O czym zapomniałem dołączyć?

Mianowicie: przy wymianie pewnego stopnia na nową zmienną (czyli przy wymianie typu) będę zainteresowany tylko pozytywne korzenie!

Sam możesz łatwo odpowiedzieć, dlaczego.

Dlatego nie jesteśmy tobą zainteresowani, ale drugi korzeń jest dla nas całkiem odpowiedni:

Więc gdzie.

Odpowiadać:

Jak widać, w poprzednim przykładzie zastępca prosił o nasze ręce. Niestety, nie zawsze tak jest.

Nie przechodźmy jednak od razu do smutku, ale poćwiczmy na jeszcze jednym przykładzie z dość prostym zamiennikiem

Przykład 17. Prosta metoda zastępowania

Oczywiste jest, że najprawdopodobniej będzie konieczna wymiana (jest to najmniejsza z mocy zawartych w naszym równaniu).

Jednak przed wprowadzeniem zamiennika należy „przygotować” do niego nasze równanie, a mianowicie: , .

Następnie możesz wymienić, w wyniku otrzymam następujące wyrażenie:

O zgrozo: równanie sześcienne z absolutnie okropnymi wzorami na jego rozwiązanie (cóż, mówiąc ogólnie).

Ale nie rozpaczajmy od razu, ale zastanówmy się, co powinniśmy zrobić.

Sugeruję oszukiwanie: wiemy, że aby uzyskać "piękną" odpowiedź, musimy uzyskać formę jakiejś potęgi trzech (dlaczego by to było, co?).

Spróbujmy odgadnąć przynajmniej jeden pierwiastek z naszego równania (zacznę zgadywać od potęgi trzech).

Pierwsze przypuszczenie. Nie jest korzeniem. Niestety i ach...

.
Lewa strona jest równa.
Prawa część: !

Jest! Zgadłem pierwszy korzeń. Teraz będzie łatwiej!

Czy znasz schemat podziału „narożnego”? Oczywiście wiesz, że używasz go, gdy dzielisz jedną liczbę przez drugą.

Ale niewiele osób wie, że to samo można zrobić z wielomianami.

Jest jedno wspaniałe twierdzenie:

Odnosząc się do mojej sytuacji, mówi mi, co jest podzielne bez reszty przez.

Jak przebiega podział? Właśnie tak:

Patrzę, który jednomian powinienem pomnożyć, aby uzyskać

Oczywiste jest, że wtedy:

Odejmuję wynikowe wyrażenie od, otrzymuję:

Co muszę pomnożyć, aby uzyskać?

Oczywiste jest, że dalej otrzymam:

i ponownie odejmij wynikowe wyrażenie od pozostałego:

Cóż, ostatni krok, mnożę przez i odejmuję od pozostałego wyrażenia:

Hurra, podział się skończył! Co zgromadziliśmy prywatnie?

Samodzielnie: .

Następnie otrzymaliśmy następujące rozwinięcie oryginalnego wielomianu:

Rozwiążmy drugie równanie:

Ma korzenie:

Następnie oryginalne równanie:

ma trzy korzenie:

Oczywiście odrzucamy ostatni korzeń, ponieważ jest mniejszy od zera.

A pierwsze dwa po odwrotnej wymianie dadzą nam dwa pierwiastki:

Odpowiadać: ..

Nie chciałem cię przestraszyć tym przykładem!

Przeciwnie, chciałem pokazać, że chociaż mieliśmy dość prostą zamianę, to jednak doprowadziło to do dość złożonego równania, którego rozwiązanie wymagało od nas pewnych specjalnych umiejętności.

Cóż, nikt nie jest na to odporny. Ale zmiana w tym przypadku była dość oczywista.

Przykład #18 (z mniej oczywistym zastąpieniem)

Wcale nie jest jasne, co powinniśmy zrobić: problem polega na tym, że w naszym równaniu istnieją dwie różne podstawy i jednej podstawy nie można uzyskać z drugiej przez podniesienie jej do jakiegokolwiek (rozsądnego, naturalnie) stopnia.

Co jednak widzimy?

Obie bazy różnią się tylko znakiem, a ich iloczynem jest różnica kwadratów równa jeden:

Definicja:

W ten sposób liczby będące podstawami w naszym przykładzie są sprzężone.

W takim przypadku sprytnym posunięciem byłoby: pomnóż obie strony równania przez liczbę sprzężoną.

Na przykład po włączeniu lewa strona równania stanie się równa, a prawa strona.

Jeśli dokonamy zamiany, nasze pierwotne równanie z tobą będzie wyglądać tak:

ma więc swoje korzenie, ale pamiętając o tym, rozumiemy to.

Odpowiadać: , .

Z reguły metoda zastępcza wystarcza do rozwiązania większości „szkolnych” równań wykładniczych.

Z opcji egzaminacyjnych pobierane są następujące zadania o podwyższonym stopniu złożoności.

Trzy zadania o zwiększonej złożoności z opcji egzaminacyjnych

Jesteś już wystarczająco piśmienny, aby samodzielnie rozwiązać te przykłady. Dam tylko wymaganą wymianę.

1. Rozwiązać równanie:
2. Znajdź pierwiastki równania:
3. Rozwiązać równanie: . Znajdź wszystkie pierwiastki tego równania, które należą do segmentu:

Teraz kilka szybkich wyjaśnień i odpowiedzi:

Przykład #19

Tutaj wystarczy zauważyć, że i.

Wtedy oryginalne równanie będzie równoważne temu:

To równanie jest rozwiązywane przez zastąpienie

Wykonaj samodzielnie następujące obliczenia.

Ostatecznie twoje zadanie zostanie zredukowane do rozwiązania najprostszego trygonometrycznego (w zależności od sinusa lub cosinusa). Omówimy rozwiązanie takich przykładów w innych sekcjach.

Przykład #20

Tutaj możesz nawet obejść się bez wymiany ...

Wystarczy przesunąć odjemnik w prawo i przedstawić obie podstawy przez potęgi dwójki: a następnie od razu przejść do równania kwadratowego.

Przykład #21

Jest to również rozwiązywane dość standardowo: wyobraź sobie, jak.

Następnie zastępując otrzymujemy równanie kwadratowe: wtedy,

Czy wiesz już, co to jest logarytm? Nie? Następnie pilnie przeczytaj temat!

Pierwszy korzeń oczywiście nie należy do segmentu, a drugi jest niezrozumiały!

Ale wkrótce się dowiemy!

Od tego czasu (jest to własność logarytmu!)

Odejmij od obu części, to otrzymamy:

Lewa strona może być reprezentowana jako:

pomnóż obie strony przez:

można pomnożyć przez, wtedy

Następnie porównajmy:

od tego czasu:

Wtedy drugi pierwiastek należy do pożądanego interwału

Odpowiadać:

Jak widzisz, dobór pierwiastków równań wykładniczych wymaga dość głębokiej znajomości własności logarytmów, więc radzę zachować ostrożność przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.

Jak wiecie, w matematyce wszystko jest ze sobą powiązane!

Jak mawiał mój nauczyciel matematyki: „Nie możesz czytać matematyki jak historii z dnia na dzień”.

Z reguły wszystkie trudność w rozwiązywaniu problemów o podwyższonym poziomie złożoności polega właśnie na wyborze pierwiastków równania.

Kolejny przykład praktyki...

Przykład 22

Oczywiste jest, że samo równanie jest dość proste.

Po dokonaniu podstawienia redukujemy nasze pierwotne równanie do następującego:

Najpierw zastanówmy się pierwszy korzeń.

Porównaj i: od tego czasu. (własność funkcji logarytmicznej, w).

Wtedy jasne jest, że pierwszy pierwiastek też nie należy do naszego przedziału.

Teraz drugi korzeń: . Jasne jest, że (ponieważ funkcja rośnie).

Pozostaje porównać i

od tego czasu w tym samym czasie.

W ten sposób mogę „wbić kołek” między a.

Ten kołek to liczba.

Pierwsze wyrażenie jest mniejsze niż, a drugie większe niż.

Wtedy drugie wyrażenie jest większe niż pierwsze, a pierwiastek należy do przedziału.

Odpowiadać: .

Na zakończenie spójrzmy na inny przykład równania, w którym zamiana jest raczej niestandardowa.

Przykład #23 (Równanie z niestandardowym zamiennikiem!)

Zacznijmy od razu, co możesz zrobić, a co - w zasadzie możesz, ale lepiej tego nie robić.

Jest możliwe - przedstawić wszystko mocami trzech, dwóch i sześciu.

Dokąd to prowadzi?

Tak i do niczego nie doprowadzi: mieszanka stopni, z których niektórych będzie trudno się pozbyć.

Co zatem jest potrzebne?

Zwróćmy uwagę, że

A co nam to da?

I fakt, że możemy zredukować rozwiązanie tego przykładu do rozwiązania dość prostego równania wykładniczego!

Najpierw przepiszmy nasze równanie jako:

Teraz dzielimy obie strony wynikowego równania na:

Eureko! Teraz możemy wymienić, otrzymujemy:

Cóż, teraz twoja kolej na rozwiązywanie problemów do demonstracji, a ja dam im tylko krótkie uwagi, aby nie zbłądzić! Powodzenia!

Przykład #24

Najtrudniejszy!

Widzenie tutaj zamiennika jest och, jakie brzydkie! Niemniej jednak ten przykład można całkowicie rozwiązać za pomocą wybór pełnego kwadratu.

Aby go rozwiązać, wystarczy zauważyć, że:

Oto twój zamiennik:

(Zauważ, że tutaj, z naszym zamiennikiem, nie możemy odrzucić ujemnego korzenia!!! I dlaczego, jak myślisz?)

Teraz, aby rozwiązać ten przykład, musisz rozwiązać dwa równania:

Oba z nich rozwiązuje „standardowa wymiana” (ale druga w jednym przykładzie!)

Przykład #25

2. Zauważ to i dokonaj zamiany.

Przykład #26

3. Rozwiń liczbę na czynniki względnie pierwsze i uprość wynikowe wyrażenie.

Przykład #27

4. Podziel licznik i mianownik ułamka przez (lub jeśli wolisz) i dokonaj podstawienia lub.

Przykład #28

5. Zauważ, że liczby i są sprzężone.

ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ WYKŁADNIOWYCH METODĄ LOGARYFIKACJI. POZIOM ZAAWANSOWANY

Ponadto spójrzmy w inny sposób - rozwiązywanie równań wykładniczych metodą logarytmiczną.

Nie mogę powiedzieć, że rozwiązywanie równań wykładniczych tą metodą jest bardzo popularne, ale tylko w niektórych przypadkach może nas doprowadzić do poprawnego rozwiązania naszego równania.

Szczególnie często służy do rozwiązywania tzw. mieszane równania': czyli te, w których występują funkcje różnego typu.

Przykład #29

w ogólnym przypadku można go rozwiązać tylko przez logarytm obu części (na przykład przez podstawę), w którym oryginalne równanie zamienia się w następujące:

Rozważmy następujący przykład:

Jasne jest, że interesuje nas tylko ODZ funkcji logarytmicznej.

Wynika to jednak nie tylko z ODZ logarytmu, ale z innego powodu.

Myślę, że nie będzie Ci trudno odgadnąć, który.

Przyjmijmy do podstawy logarytm obu stron naszego równania:

Jak widać, logarytmowanie naszego pierwotnego równania szybko doprowadziło nas do prawidłowej (i pięknej!) odpowiedzi.

Przećwiczmy jeszcze jeden przykład.

Przykład #30

Tutaj też nie ma się czym martwić: logarytmujemy obie strony równania w kategoriach podstawy, to otrzymujemy:

Zróbmy wymianę:

Coś jednak przegapiliśmy! Czy zauważyłeś, gdzie popełniłem błąd? W końcu wtedy:

który nie spełnia wymagań (pomyśl, skąd się wziął!)

Odpowiadać:

Spróbuj napisać rozwiązanie poniższych równań wykładniczych:

Teraz sprawdź swoje rozwiązanie za pomocą tego:

Przykład #31

Logarytm obu części przenosimy do bazy, zakładając, że:

(drugi korzeń nam nie odpowiada z powodu wymiany)

Przykład #32

Logarytm do podstawy:

Przekształćmy wynikowe wyrażenie do następującej postaci:

RÓWNANIA EKSPOZYCYJNE. KRÓTKI OPIS I PODSTAWOWA FORMUŁA

równanie wykładnicze

Wpisz równanie:

nazywa najprostsze równanie wykładnicze.

Właściwości stopnia

Podejścia do rozwiązań

• Redukcja do tej samej bazy
• Redukcja do tego samego wykładnika
• Zmienna substytucja
• Uprość wyrażenie i zastosuj jedno z powyższych.

Wstecz do przodu

Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie do celów informacyjnych i może nie przedstawiać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany ta praca pobierz pełną wersję.

Rodzaj lekcji

: lekcja na temat uogólniania i kompleksowego zastosowania wiedzy, umiejętności i zdolności na temat „Równania wykładnicze i sposoby ich rozwiązywania”.

Cele lekcji.

Poradniki:

powtórzyć i usystematyzować główny materiał tematu „Równania wykładnicze, ich rozwiązania”; utrwalić umiejętność posługiwania się odpowiednimi algorytmami przy rozwiązywaniu równań wykładniczych różnych typów; przygotowanie do egzaminu.

Rozwijanie:

rozwijać logiczne i asocjacyjne myślenie uczniów; promowanie rozwoju umiejętności samodzielnego stosowania wiedzy.

Edukacyjny:

pielęgnować celowość, uwagę i dokładność w rozwiązywaniu równań.

Ekwipunek:

komputer i projektor multimedialny.

Lekcja wykorzystuje Technologia informacyjna : wsparcie metodyczne lekcji - prezentacja w Microsoft Power Point.

Podczas zajęć

Każda umiejętność wiąże się z ciężką pracą.

I. Ustalenie celu lekcji(slajd numer 2 )

W tej lekcji podsumujemy i uogólnimy temat „Równania wykładnicze, ich rozwiązania”. Zapoznajmy się z typowymi zadaniami egzaminu z różnych lat na ten temat.

Zadania rozwiązywania równań wykładniczych można znaleźć w dowolnej części zadań USE. W części " W " zwykle proponuję rozwiązanie najprostszych równań wykładniczych. W części " Z " można spotkać bardziej złożone równania wykładnicze, których rozwiązanie jest zwykle jednym z etapów zadania.

Na przykład ( slajd numer 3 ).

• UŻYTKOWANIE - 2007

B 4 - Znajdź największą wartość wyrażenia x y, gdzie ( X; w) to rozwiązanie systemu:

• UŻYTKOWANIE - 2008

B 1 — Rozwiąż równania:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• WYKORZYSTANIE - 2009

B 4 - Znajdź wartość wyrażenia x + y, gdzie ( X; w) to rozwiązanie systemu:

• WYKORZYSTANIE - 2010

– Rozwiąż równanie: 7 X– 2 = 49. – Znajdź pierwiastki równania: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Rozwiąż układ równań:

II. Aktualizacja podstawowej wiedzy. Powtórzenie

(Slajdy #4 – 6 prezentacje klasowe)

Pojawia się ekran streszczenie materiału teoretycznego w tym temacie.

Omawiane są następujące pytania:

1. Jakie równania się nazywają orientacyjny?
2. Wymień główne sposoby ich rozwiązania. Podaj przykłady ich typów ( slajd numer 4 )

(Samodzielnie rozwiąż proponowane równania dla każdej metody i wykonaj autotest za pomocą slajdu)

3. Jakie twierdzenie służy do rozwiązania najprostszych równań wykładniczych postaci: i f(x) = a g(x) ?
4. Jakie są inne metody rozwiązywania równań wykładniczych? ( slajd numer 5 )

• Metoda faktoryzacji
(na podstawie właściwości potęg z te same podstawy, odbiór: stopień o najniższym wskaźniku jest wyjęty z nawiasów).
• Odbiór dzielenia (mnożenia) przez wyrażenie wykładnicze inne niż zero przy rozwiązywaniu jednorodnych równań wykładniczych
.

• Rada:

przy rozwiązywaniu równań wykładniczych warto najpierw dokonać przekształceń, uzyskując stopnie o tych samych podstawach w obu częściach równania.

1. Rozwiązywanie równań dwoma ostatnimi metodami z komentarzami

(slajd numer 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. Rozwiązywanie zadań USE 2010

Uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania zaproponowane na początku lekcji na slajdzie nr 3, korzystając z instrukcji rozwiązania, sprawdzają swój proces decyzyjny i odpowiedzi na nie za pomocą prezentacji ( slajd numer 7). W trakcie pracy omawiane są opcje i metody rozwiązywania, zwraca się uwagę na możliwe błędy w rozwiązaniu.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7x = 36. Odpowiadać: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (Możesz zastąpić 0,5 \u003d 4 - 0,5)

Rozwiązanie. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Odpowiadać: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg tak+ 4 = 5 -tg tak, cos tak< 0.

Propozycja decyzji

. 5 5 tg tak+ 4 = 5 -tg tak¦ 5 tg tak 0,

5 5 2g tak+ 4 5 tg y- 1 = 0. Niech X= 5 tg tak , …

5 tg tak = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

Od tg tak= -1 i cos tak< 0, to w II ćwiartka współrzędnych

Odpowiadać: w= 3/4 + 2k, k N.

IV. Współpraca przy tablicy

Rozważane jest zadanie wysokiego poziomu uczenia się - slajd numer 8. Za pomocą tego slajdu nawiązuje się dialog między nauczycielem a uczniami, co przyczynia się do opracowania rozwiązania.

- Przy jakim parametrze a równanie 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0 ma dwa pierwiastki?

Wynajmować t= 2 X, gdzie t > 0 . dostajemy t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

jeden). Ponieważ równanie ma dwa pierwiastki, to D > 0;

2). Dlatego t 1,2 > 0, to t 1 t 2 > 0, czyli a 2 – 4a> 0 (?...).

Odpowiadać: a(– 0,5; 0) lub (4; 4,5).

V. Prace weryfikacyjne

(slajd numer 9 )

Uczniowie występują praca weryfikacyjna na ulotkach, ćwiczenie samokontroli i samooceny wykonanej pracy za pomocą prezentacji, stawianie się w temacie. Samodzielnie ustalają dla siebie program regulowania i korygowania wiedzy na podstawie błędów popełnionych w zeszytach ćwiczeń. Arkusze z wykonanych prac samodzielnych przekazywane są nauczycielowi do weryfikacji.

Liczby podkreślone - poziom podstawowy, z gwiazdką - zwiększona złożoność.

Rozwiązanie i odpowiedzi.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (nie pasujący),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Praca domowa

(slajd numer 10 )

• Powtórz § 11, 12.
• Z materiałów ujednoliconego egzaminu państwowego 2008 - 2010 wybierz zadania na ten temat i rozwiąż je.
• Praca testowa w domu
: