Jaki jest przyrost funkcji delta y. Otwarta Biblioteka - otwarta biblioteka informacji edukacyjnych. Pochodna funkcji wykładniczej

Definicja 1

Jeżeli dla każdej pary $(x,y)$ wartości dwóch zmiennych niezależnych z jakiejś dziedziny przypisana jest pewna wartość $z$, to $z$ mówi się, że jest funkcją dwóch zmiennych $(x,y )$. Notacja: $z=f(x,y)$.

Odnośnie funkcji $z=f(x,y)$, rozważmy koncepcje ogólnego (całkowitego) i częściowego przyrostu funkcji.

Niech zostanie podana funkcja $z=f(x,y)$ dwóch zmiennych niezależnych $(x,y)$.

Uwaga 1

Ponieważ zmienne $(x,y)$ są niezależne, jedna z nich może się zmieniać, a druga pozostaje stała.

Nadajmy zmiennej $x$ przyrost $\Delta x$, zachowując niezmienioną wartość zmiennej $y$.

Wtedy funkcja $z=f(x,y)$ otrzyma inkrement, który będzie nazywany inkrementem częściowym funkcji $z=f(x,y)$ względem zmiennej $x$. Przeznaczenie:

Podobnie, zmiennej $y$ nadajemy przyrost $\Delta y$, zachowując niezmienioną wartość zmiennej $x$.

Wtedy funkcja $z=f(x,y)$ otrzyma przyrost, który będzie nazywany przyrostem częściowym funkcji $z=f(x,y)$ względem zmiennej $y$. Przeznaczenie:

Jeżeli argument $x$ jest zwiększany o $\Delta x$, a argument $y$ jest zwiększany o $\Delta y$, to otrzymujemy całkowity przyrost danej funkcji $z=f(x,y)$ . Przeznaczenie:

Mamy więc:

$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - częściowy przyrost funkcji $z=f(x,y)$ względem $x$;

$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - częściowy przyrost funkcji $z=f(x,y)$ względem $y$;

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - całkowity przyrost funkcji $z=f(x,y)$.

Przykład 1

Rozwiązanie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - częściowy przyrost funkcji $z=f(x,y)$ względem $x$;

$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - częściowy przyrost funkcji $z=f(x,y)$ względem $y$.

$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - całkowity przyrost funkcji $z=f(x,y)$.

Przykład 2

Oblicz częściowe i całkowite przyrosty funkcji $z=xy$ w punkcie $(1;2)$ dla $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$.

Rozwiązanie:

Zgodnie z definicją przyrostu prywatnego znajdujemy:

$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - częściowy przyrost funkcji $z=f(x,y)$ względem $x$

$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - częściowy przyrost funkcji $z=f(x,y)$ względem $y$;

Zgodnie z definicją całkowitego przyrostu znajdujemy:

$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - całkowity przyrost funkcji $z=f(x,y)$.

W konsekwencji,

\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]

Uwaga 2

Całkowity przyrost danej funkcji $z=f(x,y)$ nie jest równy sumie jej przyrostów częściowych $\Delta _(x) z$ i $\Delta _(y) z$. Notacja matematyczna: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.

Przykład 3

Sprawdź uwagi do instrukcji dla funkcji

Rozwiązanie:

$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (otrzymane w przykładzie 1)

Znajdź sumę przyrostów cząstkowych danej funkcji $z=f(x,y)$

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]

\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]

Definicja 2

Jeżeli do każdego potrójnego $(x,y,z)$ wartości trzech zmiennych niezależnych z jakiejś dziedziny przypisana jest pewna wartość $w$, to $w$ jest funkcją trzech zmiennych $(x, y,z)$ w tym obszarze.

Notacja: $w=f(x,y,z)$.

Definicja 3

Jeżeli z każdym zbiorem $(x,y,z,...,t)$ wartości zmiennych niezależnych z jakiejś dziedziny przypisana jest pewna wartość $w$, to mówimy, że $w$ jest funkcją zmienne $(x,y, z,...,t)$ w danej domenie.

Notacja: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Dla funkcji trzech lub więcej zmiennych, w taki sam sposób jak dla funkcji dwóch zmiennych, przyrosty cząstkowe wyznacza się dla każdej ze zmiennych:

$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - częściowy przyrost funkcji $w=f(x,y,z,... ,t )$ w $z$;

$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - częściowy przyrost $w=f (x,y,z,...,t)$ powyżej $t$.

Przykład 4

Zapisz częściowe i całkowite przyrosty funkcji

Rozwiązanie:

Zgodnie z definicją przyrostu prywatnego znajdujemy:

$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - częściowy przyrost funkcji $w=f(x,y,z)$ względem $x$

$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - częściowy przyrost funkcji $w=f(x,y,z)$ względem $y$;

$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - częściowy przyrost funkcji $w=f(x,y,z)$ względem $z$;

Zgodnie z definicją całkowitego przyrostu znajdujemy:

$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - całkowity przyrost funkcji $w=f(x,y,z)$.

Przykład 5

Oblicz częściowe i całkowite przyrosty funkcji $w=xyz$ w punkcie $(1;2;1)$ dla $\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1;\, \, \Delta z=0,1$.

Rozwiązanie:

Zgodnie z definicją przyrostu prywatnego znajdujemy:

$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - częściowy przyrost funkcji $w=f(x,y,z)$ względem $x$

$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - częściowy przyrost funkcji $w=f(x,y,z)$ względem $y$;

$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - częściowy przyrost funkcji $w=f(x,y,z)$ względem $z$;

Zgodnie z definicją całkowitego przyrostu znajdujemy:

$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - całkowity przyrost funkcji $w=f(x,y,z)$.

W konsekwencji,

\[\Delta _(x) w=(1+0,1)\cdot 2\cdot 1=2,2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0,1)\ cdot 1=2,1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0,1)=2,2\] \[\Delta z=(1+0,1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1)=1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]

Z punkt geometryczny z punktu widzenia, całkowity przyrost funkcji $z=f(x,y)$ (z definicji $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) jest równy do przyrostu aplikacji wykresu funkcji $z =f(x,y)$ przy przejściu z punktu $M(x,y)$ do punktu $M_(1) (x+\Delta x,y+ \Delta y)$ (rys. 1).

Obrazek 1.

Wynajmować X– argument (zmienna niezależna); y=y(x)- funkcja.

Weź ustaloną wartość argumentu x=x 0 i obliczyć wartość funkcji tak 0 =y(x 0 ) . Teraz arbitralnie ustalamy przyrost (zmiana) argumentu i oznaczania go  X ( X może mieć dowolny znak).

Argument przyrostowy to punkt X 0 +  X. Załóżmy, że zawiera również wartość funkcji y=y(x 0 +  X)(widzieć zdjęcie).

Zatem przy arbitralnej zmianie wartości argumentu uzyskuje się zmianę funkcji, która nazywa się przyrost wartości funkcji:

i nie jest arbitralny, ale zależy od rodzaju funkcji i ilości
.

Przyrosty argumentów i funkcji mogą być: finał, tj. wyrażone jako liczby stałe, w którym to przypadku są czasami nazywane różnicami skończonymi.

W ekonomii dość często rozważa się skończone przyrosty. Na przykład tabela pokazuje dane dotyczące długości sieci kolejowej określonego stanu. Oczywiście przyrost długości sieci jest obliczany przez odjęcie poprzedniej wartości od następnej.

Rozważymy długość sieci kolejowej jako funkcję, której argumentem będzie czas (lata).

	Długość linii kolejowej na dzień 31 grudnia tys. km	Przyrost	Średni roczny wzrost

Sam w sobie przyrost funkcji (w tym przypadku długość sieci kolejowej) słabo charakteryzuje zmianę funkcji. W naszym przykładzie z faktu, że 2,5>0,9 nie można stwierdzić, że sieć rosła szybciej w 2000-2003 lat niż w roku 2004 np. ponieważ przyrost 2,5 odnosi się do okresu trzyletniego, i 0,9 - w ciągu zaledwie jednego roku. Dlatego jest całkiem naturalne, że przyrost funkcji prowadzi do zmiany jednostki w argumencie. Przyrost argumentu tutaj to kropki: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .

Otrzymujemy to, co nazywa się w literaturze ekonomicznej średni roczny wzrost.

Można uniknąć operacji rzutowania przyrostu na jednostkę zmiany argumentu, jeśli przyjmiemy wartości funkcji dla wartości argumentu różniących się o jeden, co nie zawsze jest możliwe.

W analizie matematycznej, w szczególności w rachunku różniczkowym, brane są pod uwagę nieskończenie małe (IM) przyrosty argumentu i funkcji.

Różniczkowanie funkcji jednej zmiennej (pochodna i różniczka) Pochodna funkcji

Przyrost argumentów i funkcji w punkcie X 0 można uznać za porównywalne nieskończenie małe wielkości (patrz temat 4, porównanie BM), tj. BM tego samego zamówienia.

Wtedy ich stosunek będzie miał skończoną granicę, która jest zdefiniowana jako pochodna funkcji w t X 0 .

Granica stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu BM w punkcie x=x 0 nazywa pochodna działa w tym momencie.

Symboliczne oznaczenie pochodnej kreską (a raczej cyfrą rzymską I) wprowadził Newton. Możesz również użyć indeksu dolnego, który pokazuje, z której zmiennej wyliczana jest pochodna, np. . Szeroko stosowany jest również inny zapis zaproponowany przez twórcę rachunku pochodnych, niemieckiego matematyka Leibniza:
. Więcej o pochodzeniu tego oznaczenia dowiesz się w dziale Różniczka funkcji i różniczka argumentów.

Ta liczba ocenia prędkość zmiana funkcji przechodzącej przez punkt
.

Zainstalujmy zmysł geometryczny pochodna funkcji w punkcie. W tym celu konstruujemy wykres funkcji y=y(x) i zaznacz na nim punkty, które determinują zmianę y(x) tymczasem

Styczna do wykresu funkcji w punkcie M 0
rozważymy położenie graniczne siecznej M 0 M na warunkach
(kropka M przesuwa się po wykresie funkcji do punktu M 0 ).

Rozważać
. Oczywiście,
.

Jeśli punkt M pęd po wykresie funkcji w kierunku punktu M 0 , to wartość
będzie dążył do pewnej granicy, którą oznaczamy
. W którym.

Kąt graniczny  pokrywa się z kątem nachylenia stycznej narysowanej na wykresie funkcji, w tym M 0 , więc pochodna
jest liczbowo równa nachylenie styczne w określonym punkcie.

-

geometryczne znaczenie pochodnej funkcji w punkcie.

W ten sposób można zapisać równania stycznej i normalnej ( normalna jest linią prostopadłą do stycznej) do wykresu funkcji w pewnym punkcie X 0 :

Styczna — .

Normalny -
.

Interesujące są przypadki, gdy linie te znajdują się poziomo lub pionowo (patrz temat 3, szczególne przypadki położenia linii na płaszczyźnie). Następnie,

jeśli
;

jeśli
.

Definicja pochodnej nazywa się różnicowanie Funkcje.

 Jeśli funkcja w punkcie X 0 ma skończoną pochodną, ​​nazywa się różniczkowalny w tym momencie. Funkcję różniczkowalną we wszystkich punktach pewnego przedziału nazywamy różniczkowalną na tym przedziale.

 Twierdzenie . Jeśli funkcja y=y(x) różniczkowalna w t. X 0 , to w tym momencie jest ciągła.

W ten sposób, ciągłość jest warunkiem koniecznym (ale niewystarczającym), aby funkcja była różniczkowalna.

Bardzo łatwo to zapamiętać.

Cóż, nie zajdziemy daleko, od razu rozważymy funkcję odwrotną. Jaka jest odwrotność funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywamy „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Co jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Wykładnik i logarytm naturalny są funkcjami wyjątkowo prostymi pod względem pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne o dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później, po przejrzeniu reguł różniczkowania.

Zasady różnicowania

Jakie zasady? Znowu nowy termin?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

Tylko i wszystko. Jakie jest inne słowo na ten proces? Not proizvodnovanie... Różniczka matematyki nazywa się samym przyrostem funkcji przy. Termin ten pochodzi od łacińskiego różniczka - różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Potrzebne nam będą również formuły na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest pobierana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również na różnicę: .

Udowodnijmy to. Pozwól, albo łatwiej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w punkcie;
2. w punkcie;
3. w punkcie;
4. w punkcie.

Rozwiązania:

1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest takie samo: wprowadzamy Nowa cecha i znajdź jego przyrost:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz Twoja wiedza wystarczy, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładnika (zapomniałeś jeszcze, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy przenieść naszą funkcję do nowej bazy:

Do tego używamy prosta zasada: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapomnij, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: tak jak było, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której nie da się obliczyć bez kalkulatora, to znaczy nie ma sposobu, aby zapisać ją w więcej prosta forma. Dlatego w odpowiedzi pozostaje w tej formie.

Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, więc stosujemy odpowiednią zasadę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny z logarytmu o innej podstawie, na przykład :

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast napiszemy:

Mianownik okazał się po prostu stałą (liczba stała, bez zmiennej). Pochodna jest bardzo prosta:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie występują na egzaminie, ale znajomość ich nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „złożona funkcja”? Nie, to nie jest logarytm ani arcus tangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarytmy” i wszystko się ułoży), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Na przykład, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi wiąże go wstążką. Okazuje się, że taki złożony przedmiot: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, musisz wykonać odwrotne kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynik do kwadratu. Więc dają nam numer (czekolada), ja znajduję jego cosinus (opakowanie), a potem podbijasz to, co mam (wiążę wstążką). Co się stało? Funkcjonować. Oto przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co się stało w wyniku pierwszej.

Innymi słowy, Funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

W naszym przykładzie .

Równie dobrze możemy wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw do kwadratu, a potem szukam cosinusa otrzymanej liczby:. Łatwo zgadnąć, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna funkcja złożone funkcje: kiedy zmieniasz kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Ostatnia akcja, którą wykonamy, zostanie nazwana funkcja „zewnętrzna”, a czynność wykonywana jako pierwsza - odpowiednio funkcja „wewnętrzna”(są to nieformalne nazwy, używam ich tylko do wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam ustalić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Rozdzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

1. Jakie działania podejmiemy w pierwszej kolejności? Najpierw obliczamy sinus, a dopiero potem podnosimy go do sześcianu. Jest to więc funkcja wewnętrzna, a nie zewnętrzna.
   A pierwotną funkcją jest ich skład: .
2. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
3. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
4. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
5. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .

zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wydobędziemy naszą czekoladę - poszukaj pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, a następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W oryginalnym przykładzie wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(tylko nie próbuj teraz zmniejszać! Nic nie jest wyjęte spod cosinusa, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że istnieje trzypoziomowa funkcja złożona: w końcu jest to już złożona funkcja sama w sobie i nadal wydobywamy z niej korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (wkładamy czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma się czego bać: i tak tę funkcję „rozpakujemy” w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw rozróżniamy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasie. A potem to wszystko pomnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować akcje. To znaczy wyobraźmy sobie, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później zostanie wykonana akcja, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Kolejność czynności - jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest ogólnie 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalna ekspresja. .

2. Korzeń. .

3. Zatok. .

4. Kwadrat. .

5. Łącząc to wszystko w całość:

POCHODNA. KRÓTKO O GŁÓWNYM

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu z nieskończenie małym przyrostem argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest brana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Produkt pochodny:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji zespolonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną”, znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

w fizyce medycznej i biologicznej

WYKŁAD #1

FUNKCJE POCHODNE I RÓŻNICOWE.

PRYWATNE POCHODNE.

1. Pojęcie pochodnej, jej znaczenie mechaniczne i geometryczne.

a ) Przyrost argumentu i funkcji.

Niech zostanie podana funkcja y=f(х), gdzie х jest wartością argumentu z dziedziny funkcji. Jeśli wybierzemy dwie wartości argumentu x o i x z pewnego przedziału dziedziny funkcji, to różnicę między dwiema wartościami argumentu nazywamy przyrostem argumentu: x - x o =∆x .

Wartość argumentu x można określić przez x 0 i jego przyrost: x = x o + ∆x.

Różnica między dwiema wartościami funkcji nazywana jest przyrostem funkcji: ∆y = ∆f = f(x o + ∆x) - f(x o).

Przyrost argumentu i funkcji można przedstawić graficznie (rys. 1). Przyrost argumentu i przyrost funkcji może być dodatni lub ujemny. Jak wynika z rys.1, geometrycznie przyrost argumentu ∆х jest reprezentowany przez przyrost odciętej, a przyrost funkcji ∆у jest reprezentowany przez przyrost rzędnej. Obliczenie przyrostu funkcji należy przeprowadzić w następującej kolejności:

nadajemy argumentowi przyrost ∆x i otrzymujemy wartość - x + Δx;

2) znajdź wartość funkcji dla wartości argumentu (х+∆х) – f(х+∆х);

3) znajdź przyrost funkcji ∆f=f(х + ∆х) - f(х).

Przykład: Określ przyrost funkcji y=x 2, jeśli argument zmienił się z x o =1 na x=3. Dla punktu x o wartość funkcji f (x o) \u003d x² o; dla punktu (x o + ∆x) wartość funkcji f (x o + ∆x) \u003d (x o + ∆x) 2 \u003d x² o +2x o ∆x + ∆x 2, skąd ∆f = f ( x o + ∆x)–f(x o) \u003d (x o + ∆x) 2 -x² o \u003d x² o + 2x o ∆x + ∆x 2 -x² o \u003d 2x o ∆x + ∆x 2; ∆f \u003d 2x około ∆x + ∆x 2; ∆х = 3–1 = 2; ∆f =2 1 2+4 = 8.

b)Problemy prowadzące do pojęcia pochodnej. Definicja pochodnej, jej znaczenie fizyczne.

Pojęcie przyrostu argumentu i funkcji jest niezbędne do wprowadzenia pojęcia pochodnej, które historycznie wyrosło z potrzeby określenia szybkości pewnych procesów.

Zastanów się, jak możesz określić prędkość ruchu prostoliniowego. Niech ciało porusza się po linii prostej zgodnie z prawem: ∆S= ·∆t. Dla ruchu jednostajnego:= ∆S/∆t.

Dla ruchu zmiennego wartość ∆S/∆t określa wartość cf. , tj. por. =∆S/∆t. Ale średnia prędkość nie pozwala odzwierciedlić cech ruchu ciała i dać wyobrażenie o rzeczywistej prędkości w czasie t. Wraz ze spadkiem przedziału czasu, tj. przy ∆t→0 prędkość średnia zmierza do granicy - prędkość chwilowa:

 inst. =
 por. =
S/∆t.

Chwilową szybkość reakcji chemicznej określa się w ten sam sposób:

 inst. =
 por. =
/∆t,

gdzie x jest ilością substancji powstałej podczas reakcji chemicznej w czasie t. Podobne zadania wyznaczania szybkości różnych procesów doprowadziły do ​​wprowadzenia w matematyce pojęcia pochodnej funkcji.

Niech będzie dana funkcja ciągła f(x), zdefiniowana na przedziale ]a,b[i jej przyrost ∆f=f(x+∆x)–f(x).
jest funkcją ∆x i wyraża średnią szybkość zmian funkcji.

granica stosunku , gdy ∆x→0, o ile ta granica istnieje, nazywamy pochodną funkcji :

y" x =

.

Pochodną oznaczono:
- (y myślnik na x); f " (x) - (ef pierwsza na x) ; y" - (skok y); dy / dx – (de y na dex); - (y z kropką).

Na podstawie definicji pochodnej możemy powiedzieć, że chwilowa prędkość ruchu prostoliniowego jest pochodną toru względem czasu:

 inst. \u003d S „t \u003d f " (t).

Możemy zatem wnioskować, że pochodną funkcji względem argumentu x jest chwilowa szybkość zmian funkcji f(x):

y" x \u003d f " (х)= inst.

To jest fizyczne znaczenie pochodnej. Proces znajdowania pochodnej nazywa się różniczkowaniem, więc wyrażenie „zróżnicowanie funkcji” jest równoważne wyrażeniu „znajdź pochodną funkcji”.

w)Geometryczne znaczenie pochodnej.

P
pochodna funkcji y = f(x) ma proste znaczenie geometryczne związane z pojęciem stycznej do linii zakrzywionej w pewnym punkcie M. Jednocześnie styczna, czyli linia prosta jest wyrażona analitycznie jako y = kx = tg x, gdzie – kąt nachylenia stycznej (linia prosta) do osi X. Przedstawmy ciągłą krzywą jako funkcję y \u003d f (x), weź punkt M na krzywej i punkt M 1 blisko niego i narysuj sieczny przez nie. Jego nachylenie do sec = tg β = .Jeżeli przybliżymy punkt M 1 do M, to przyrost argumentu ∆х będzie dążył do zera, a sieczna w punkcie β=α przyjmie pozycję stycznej. Z rys. 2 wynika: tgα =
tgβ =
\u003d y "x. Ale tgα jest równe nachyleniu stycznej do wykresu funkcji:

k = tgα =
\u003d y" x \u003d f " (X). Zatem nachylenie stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie jest równe wartości jej pochodnej w punkcie styku. To jest geometryczne znaczenie pochodnej.

G)Ogólna zasada znajdowania pochodnej.

Na podstawie definicji pochodnej proces różniczkowania funkcji można przedstawić w następujący sposób:

f(x+∆x) = f(x)+∆f;

znajdź przyrost funkcji: ∆f= f(x + ∆x) - f(x);

tworzą stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu:

;

Przykład: f(x)=x2 ; f " (x)=?.

Jednak, jak widać z tego prosty przykład, zastosowanie wskazanej sekwencji przy pobieraniu pochodnych jest procesem żmudnym i złożonym. Dlatego dla różnych funkcji wprowadzamy ogólne formuły różniczkowania, które są przedstawione w postaci tabeli „Podstawowe wzory na różniczkowanie funkcji”.

Niech x będzie dowolnym punktem leżącym w sąsiedztwie punktu stałego x 0 . różnica x - x 0 jest zwykle nazywana przyrostem zmiennej niezależnej (lub przyrostem argumentu) w punkcie x 0 i jest oznaczana przez Δx. W ten sposób,

Δx \u003d x - x 0,

skąd wynika, że

Przyrost funkcji − różnica między dwiema wartościami funkcji.

Niech funkcja w = f(x), zdefiniowany z wartością argumentu równą X 0 . Zwiększmy D X, .ᴇ. rozważ wartość argumentu ͵ równą x 0+D X. Załóżmy, że ta wartość argumentu jest również objęta zakresem tej funkcji. Wtedy różnica D tak = f(x 0+D X) – f(x0) nazywa się przyrostem funkcji. Przyrost funkcji f(x) w punkcie x jest funkcją zwykle oznaczaną Δ x f na nowej zmiennej Δ x zdefiniowana jako

Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).

Znajdź przyrost argumentu i przyrost funkcji w punkcie x 0, jeśli

Przykład 2. Znajdź przyrost funkcji f (x) \u003d x 2, jeśli x \u003d 1, ∆x \u003d 0,1

Rozwiązanie: f (x) \u003d x 2, f (x + ∆x) \u003d (x + ∆x) 2

Znajdź przyrost funkcji ∆f = f(x+∆x) - f(x) = (x+∆x) 2 - x 2 = x 2 +2x*∆x+∆x 2 - x 2 = 2x*∆x + x 2 /

Podstaw wartości x=1 i ∆x= 0,1, otrzymujemy ∆f = 2*1*0,1 + (0,1) 2 = 0,2+0,01 = 0,21

Znajdź przyrost argumentu i przyrost funkcji w punktach x 0

2.f(x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2,4

3. f(x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8

4. f(x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8

Definicja: Pochodna Przyjęło się nazywać funkcję w punkcie granicą (jeśli istnieje i jest skończona) stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, pod warunkiem, że ten ostatni dąży do zera.

Najczęściej stosuje się następującą notację dla pochodnej:

W ten sposób,

Znalezienie pochodnej nazywa się różnicowanie . Wprowadzono definicja funkcji różniczkowalnej: Funkcję f, która ma pochodną w każdym punkcie pewnego przedziału, nazywamy różniczkowalną na tym przedziale.

Niech funkcja będzie zdefiniowana w jakimś sąsiedztwie punktu.Pochodną funkcji nazywamy taką liczbą, że funkcja w sąsiedztwie punktu U(x 0) można przedstawić jako

f(x 0 + h) = f(x 0) + Ach + o(h)

jeśli istnieje.

Definicja pochodnej funkcji w punkcie.

Niech funkcja f(x) zdefiniowany na interwale (a;b), i są punktami tego przedziału.

Definicja. Funkcja pochodna f(x) w pewnym momencie zwyczajowo określa się granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu w . Wyznaczony .

Kiedy ostatnia granica przybiera określoną, skończoną wartość, wtedy mówi się o istnieniu końcowa pochodna w punkcie. Jeśli granica jest nieskończona, to mówimy, że pochodna jest nieskończona w danym punkcie. Jeśli limit nie istnieje, to w tym momencie pochodna funkcji nie istnieje.

Funkcjonować f(x) mówi się, że jest różniczkowalny w punkcie, w którym ma w nim skończoną pochodną.

W przypadku funkcji f(x) jest różniczkowalna w każdym punkcie pewnego przedziału (a;b), to funkcja jest nazywana różniczkowalną na tym przedziale. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, dowolny punkt x z luki (a;b) w tym momencie możemy powiązać wartość pochodnej funkcji, czyli mamy możliwość zdefiniowania nowej funkcji, która nazywa się pochodną funkcji f(x) na interwale (a;b).

Operacja znajdowania pochodnej nazywa się różniczkowaniem.