Mitä eksponenteille tapahtuu kertomalla. Sääntö potenssien kertomisesta eri perusteilla. Yhteen-, vähennys-, kerto- ja potenssien jako

päätavoite

Tutustuttaa opiskelijat asteiden ominaisuuksiin luonnollisilla indikaattoreilla ja opettaa heitä suorittamaan toimintoja asteilla.

Aihe "Tutkinto ja sen ominaisuudet" sisältää kolme kysymystä:

• Tutkinnon määritys luonnollisella indikaattorilla.
• Valtuuksien kertominen ja jakaminen.
• Tuotteen ja asteen eksponentiointi.

testikysymykset

1. Muotoile asteen määritelmä, jonka luonnollinen eksponentti on suurempi kuin 1. Anna esimerkki.
2. Muotoile tutkinnon määritelmä indikaattorilla 1. Anna esimerkki.
3. Mikä on toimintojen järjestys, kun arvioidaan potenssien sisältävän lausekkeen arvoa?
4. Muotoile tutkinnon pääominaisuus. Anna esimerkki.
5. Muotoile sääntö potenssien kertomisesta samalla kantalla. Anna esimerkki.
6. Muotoile sääntö potenssien jakamisesta samoilla perusteilla. Anna esimerkki.
7. Muotoile sääntö tuotteen eksponentioimiseksi. Anna esimerkki. Todista identiteetti (ab) n = a n b n .
8. Muotoile sääntö tutkinnon nostamiseksi potenssiin. Anna esimerkki. Todista identiteetti (a m) n = a m n .

Tutkinnon määritelmä.

numeron aste a luonnollisella indikaattorilla n, suurempi kuin 1, kutsutaan tuloksi n tekijää, joista jokainen on yhtä suuri a. numeron aste a eksponentti 1:llä kutsutaan itse numeroa a.

Tutkinto pohjan kanssa a ja indikaattori n on kirjoitettu näin: a n. Siinä lukee " a siinä määrin n”; " luvun n:s potenssi a ”.

Tutkinnon määritelmän mukaan:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Tutkinnon arvon löytämistä kutsutaan eksponentio .

1. Esimerkkejä eksponentioinnista:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Etsi lausekearvot:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3 000

b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Vaihtoehto 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Neliöi luvut:

3. Kuutioi numerot:

4. Etsi lausekearvot:

c) -1 4 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Valtuuksien moninkertaistaminen.

Mille tahansa luvulle a ja mielivaltaisille luvuille m ja n, seuraava on totta:

a m a n = a m + n.

Todiste:

sääntö : Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, kantakannat pysyvät samoina ja eksponentit lisätään.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Vaihtoehto 1

1. Esitä tutkinnona:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 v h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Esitä asteena ja etsi arvo taulukosta:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Tutkintojen jako.

Mille tahansa luvulle a0 ja mielivaltaisille luonnollisille luvuille m ja n siten, että m>n, seuraava pätee:

a m: a n = a m - n

Todiste:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

yksityisen määritelmän mukaan:

a m: a n \u003d a m - n.

sääntö: Kun potenssit jaetaan samalla kantaluvulla, kanta jätetään ennalleen ja jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista.

Määritelmä: Nollasta poikkeavan luvun aste nollaeksponentilla on yhtä suuri kuin yksi:

koska a n: a n = 1 arvolle a0.

a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6

d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

sisään)

G)

e)

Vaihtoehto 1

1. Ilmaise osamäärä potenssina:

2. Etsi lausekkeiden arvot:

Tuotteen tehoon nostaminen.

Mille tahansa a:lle ja b:lle sekä mielivaltaiselle luonnolliselle luvulle n:

(ab) n = a n b n

Todiste:

Tutkinnon määritelmän mukaan

(ab) n =

Ryhmittelemällä tekijät a ja tekijät b erikseen saadaan:

=

Tuotteen asteen todistettu ominaisuus ulottuu kolmen tai useamman tekijän tulon asteeseen.

Esimerkiksi:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

sääntö: Kun tuotetta nostetaan potenssiin, jokainen kerroin korotetaan kyseiseen potenssiin ja tulos kerrotaan.

1. Nosta potenssiin:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 v 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 v) 3 \u003d (-5) 3 v 3 \u003d -125 v 3

e) (-0,2 x y) 2 \u003d (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 v 2

f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Etsi lausekkeen arvo:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16 000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10 000 = 90 000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

e)

Vaihtoehto 1

1. Nosta potenssiin:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Etsi lausekkeen arvo:

b) (5 7 20) 2

Eksponentointi.

Mille tahansa luvulle a ja mielivaltaisille luonnollisille luvuille m ja n:

(a m) n = a m n

Todiste:

Tutkinnon määritelmän mukaan

(a m) n =

Sääntö: Kun potenssi nostetaan potenssiin, kanta jätetään ennalleen ja eksponentit kerrotaan.

1. Nosta potenssiin:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Yksinkertaista ilmaisuja:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14

d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

a)

b)

Vaihtoehto 1

1. Nosta potenssiin:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Yksinkertaista ilmaisuja:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (v v 9) 2

3. Selvitä ilmaisujen merkitys:

Sovellus

Tutkinnon määritelmä.

Vaihtoehto 2

1. Kirjoita tuote tutkinnon muodossa:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bc) (bc) (bc)

2. Neliöi luvut:

3. Kuutioi numerot:

4. Etsi lausekearvot:

c) -1 3 + (-2) 4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Vaihtoehto 3

1. Kirjoita tuote tutkintona:

a) 0,5 0,5 0,5

c) c c c c c c c c c

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Esitä luvun neliön muodossa: 100; 0,49; .

3. Kuutioi numerot:

4. Etsi lausekearvot:

c) -1 5 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Vaihtoehto 4

1. Kirjoita tuote tutkintona:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-а) (-а) (-а)

e) (bc) (bc) (bc) (bc)

2. Neliöi luvut:

3. Kuutioi numerot:

4. Etsi lausekearvot:

c) -1 4 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Valtuuksien moninkertaistaminen.

Vaihtoehto 2

1. Esitä tutkinnona:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 v h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Esitä asteena ja etsi arvo taulukosta:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Vaihtoehto 3

1. Esitä tutkinnona:

a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Esitä asteena ja etsi arvo taulukosta:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Vaihtoehto 4

1. Esitä tutkinnona:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 v h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Esitä asteena ja etsi arvo taulukosta:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Tutkintojen jako.

Vaihtoehto 2

1. Ilmaise osamäärä potenssina:

2. Etsi lausekkeiden arvot:

Jos haluat nostaa tietyn luvun potenssiin, voit käyttää . Tarkastellaan nyt tarkemmin asteiden ominaisuudet.

Eksponentiaaliset luvut avaavat suuria mahdollisuuksia, niiden avulla voimme muuntaa kertolaskua yhteenlaskettavaksi, ja yhteenlasku on paljon helpompaa kuin kertolasku.

Esimerkiksi meidän on kerrottava 16 luvulla 64. Näiden kahden luvun tulo on 1024. Mutta 16 on 4x4 ja 64 on 4x4x4. Joten 16 kertaa 64 = 4x4x4x4x4, joka on myös 1024.

Luku 16 voidaan esittää myös muodossa 2x2x2x2 ja 64 2x2x2x2x2x2, ja jos kerromme, saadaan taas 1024.

Nyt käytetään sääntöä. 16 = 4 2 tai 2 4 , 64 = 4 3 tai 2 6 , kun taas 1024 = 6 4 = 4 5 tai 2 10 .

Siksi ongelmamme voidaan kirjoittaa toisella tavalla: 4 2 x4 3 =4 5 tai 2 4 x2 6 =2 10, ja joka kerta saadaan 1024.

Voimme ratkaista useita samanlaisia ​​esimerkkejä ja nähdä, että lukujen kertominen potenssien kanssa pienenee eksponentien lisääminen, tai eksponentti, tietysti edellyttäen, että tekijöiden kantaluvut ovat yhtä suuret.

Näin ollen voimme kertomatta heti sanoa, että 2 4 x 2 2 x 2 14 \u003d 2 20.

Tämä sääntö pätee myös jaettaessa lukuja potenssilla, mutta tässä tapauksessa esim jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenttista. Näin ollen 2 5:2 3 =2 2 , joka tavallisissa luvuissa on 32:8=4, eli 2 2 . Tehdään yhteenveto:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, missä m ja n ovat kokonaislukuja.

Ensi silmäyksellä saattaa tuntua siltä lukujen kertominen ja jako potenssien kanssa ei ole kovin kätevää, koska ensin sinun on esitettävä numero eksponentiaalisessa muodossa. Ei ole vaikeaa esittää numeroita 8 ja 16 tässä muodossa, eli 2 3 ja 2 4, mutta kuinka tehdä tämä numeroilla 7 ja 17? Tai mitä tehdä niissä tapauksissa, kun luku voidaan esittää eksponentiaalisessa muodossa, mutta lukujen eksponentiaalisten lausekkeiden perusteet ovat hyvin erilaisia. Esimerkiksi 8×9 on 2 3 x 3 2 , jolloin emme voi laskea eksponenttia yhteen. Ei 2 5 eikä 3 5 ole vastaus, eikä vastaus näiden kahden välillä.

Kannattaako tämän menetelmän kanssa sitten vaivautua ollenkaan? Ehdottomasti sen arvoista. Se tarjoaa valtavia etuja erityisesti monimutkaisiin ja aikaa vieviin laskelmiin.

Toimintoja voimilla ja juurilla. Tutkinto negatiivisella ,

nolla ja murtoluku indikaattori. Ilmaisuista, joissa ei ole järkeä.

Operaatiot asteilla.

1. Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, niiden indikaattorit lisätään:

olen · a n = a m + n.

2. Jaettaessa asteita samalla kantalla, niiden indikaattorit vähennetty .

3. Kahden tai useamman tekijän tuloaste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo.

(abc… ) n = a n· b n · c n…

4. Suhteen aste (murto-osa) on yhtä suuri kuin osingon (osoittaja) ja jakajan (nimittäjä) asteiden suhde:

(a/b ) n = a n/bn.

5. Kun aste nostetaan potenssiin, niiden indikaattorit kerrotaan:

(olen ) n = a m n.

Kaikki yllä olevat kaavat luetaan ja suoritetaan molempiin suuntiin vasemmalta oikealle ja päinvastoin.

ESIMERKKI (2 · 3 · 5/15)² = 2² 3² 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operaatiot juurilla. Kaikissa alla olevissa kaavoissa symboli tarkoittaa aritmeettinen juuri(radikaalilauseke on positiivinen).

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin tuote näiden tekijöiden juuret:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan juurien suhde:

3. Kun nostat juuria potenssiin, riittää nostaminen tähän tehoon juurinumero:

4. Jos lisäämme juuren astetta m kerran ja samanaikaisesti nostaa arvoon m th potenssi on juuriluku, silloin juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennämme juuren astetta m irrota juuri kerran ja samaan aikaan m astetta radikaaliluvusta, niin juuren arvo ei ole tulee muuttumaan:

Tutkinnon käsitteen laajentaminen. Toistaiseksi olemme tarkastelleet asteita vain luonnollisella indikaattorilla; vaan teot asteet ja juuret voivat myös johtaa negatiivinen, nolla ja murto-osa indikaattoreita. Kaikki nämä eksponentit vaativat lisämäärittelyn.

Aste negatiivisella eksponentilla. Jonkin luvun teho negatiivinen (koko) indikaattori määritellään yksiköksi jaettuna saman luvun potenssiin, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin itseisarvonegatiivinen indikaattori:

T nyt kaava olen: a n= olen - n voidaan käyttää paitsim, enemmän kuin n, mutta myös klo m, vähemmän kuin n .

ESIMERKKI a 4 :a 7 = a 4 - 7 = a - 3 .

Jos haluamme kaavanolen : a n= olen - noli reiluam = n, tarvitsemme nolla-asteen määritelmän.

Aste nollaeksponentilla. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, aste on 1.

ESIMERKKEJÄ. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Aste, jossa on murtoluku. Nostaaksesi todellista numeroa ja tehoon m/n , sinun on purettava juuri n. teho m:stä tämän luvun potenssi a:

Ilmaisuista, joissa ei ole järkeä. Tällaisia ​​ilmaisuja on useita. mikä tahansa numero.

Todellakin, jos oletamme, että tämä lauseke on yhtä suuri kuin jokin luku x, niin jakooperaation määritelmän mukaan meillä on: 0 = 0 x. Mutta tämä tasa-arvo pätee mikä tahansa numero x, joka oli todistettava.

Tapaus 3

0 0 - mikä tahansa numero.

Todella,

Ratkaisu. Harkitse kolmea päätapausta:

1) x = 0 – tämä arvo ei täytä tätä yhtälöä

(Miksi?).

2) milloin x> 0 saamme: x/x = 1, ts. 1 = 1, josta seuraa,

mitä x- mikä tahansa numero; mutta ottaa se huomioon

Meidän tapaus x> 0, vastaus onx > 0 ;

3) milloin x < 0 получаем: – x/x= 1, eli e . –1 = 1, joten

Tässä tapauksessa ratkaisua ei ole.

Tällä tavalla, x > 0.

Muistutamme, että tällä oppitunnilla ymmärrämme asteen ominaisuudet luonnollisilla indikaattoreilla ja nollalla. Rationaalisilla mittareilla varustettuja tutkintoja ja niiden ominaisuuksia käsitellään luokan 8 tunneilla.

Eksponentilla, jossa on luonnollinen eksponentti, on useita tärkeitä ominaisuuksia, joiden avulla voit yksinkertaistaa laskelmia eksponentiesimerkeissä.

Kiinteistö nro 1
Voimien tuote

Muistaa!

Kun potenssit kerrotaan samalla kantalla, kanta pysyy muuttumattomana ja eksponentit lisätään.

a m a n \u003d a m + n, jossa "a" - mikä tahansa luku ja" m", " n" - mikä tahansa luonnollinen luku.

Tämä tehojen ominaisuus vaikuttaa myös kolmen tai useamman potenssin tuloon.

• Yksinkertaista ilmaisu.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Esitä tutkinnona.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Esitä tutkinnona.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Tärkeä!

Huomaa, että ilmoitetussa ominaisuudessa oli kyse vain voimien kertomisesta samoilla perusteilla . Se ei koske niiden lisäämistä.

Et voi korvata summaa (3 3 + 3 2) luvulla 3 5 . Tämä on ymmärrettävää, jos
laske (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kiinteistö nro 2
Yksityiset tutkinnot

Muistaa!

Kun potenssit jaetaan samalla kantaluvulla, kanta pysyy ennallaan ja jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Esimerkki. Ratkaise yhtälö. Käytämme osittaisten asteiden ominaisuutta.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 - 4

Vastaus: t = 3 4 = 81

Ominaisuuksien nro 1 ja 2 avulla voit helposti yksinkertaistaa lausekkeita ja suorittaa laskutoimituksia.

• Esimerkki. Yksinkertaista ilmaisu.
  4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
• Esimerkki. Etsi lausekkeen arvo asteominaisuuksien avulla.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Tärkeä!

  Huomaa, että kiinteistö 2 käsitteli vain toimivallan jakoa samoilla perusteilla.

  Et voi korvata erotusta (4 3 −4 2) arvolla 4 1 . Tämä on ymmärrettävää, jos ajattelemme (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , ja 4 1 = 4

  Ole varovainen!

  Kiinteistö nro 3
  Eksponentointi

  Muistaa!

  Kun potenssi nostetaan potenssiksi, potenssin kanta pysyy muuttumattomana ja eksponentit kerrotaan.

  (a n) m \u003d a n m, jossa "a" on mikä tahansa luku ja "m", "n" ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

  
  

  Ominaisuudet 4
  Tuotetutkinto

  Muistaa!

  Kun tuotetta nostetaan potenssiin, jokainen tekijä korotetaan potenssiin. Sitten tulokset kerrotaan.

  (a b) n \u003d a n b n, jossa "a", "b" ovat mitä tahansa rationaalilukuja; "n" - mikä tahansa luonnollinen luku.

  • Esimerkki 1
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • Esimerkki 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Tärkeä!

  Huomaa, että ominaisuutta nro 4, kuten muitakin asteen ominaisuuksia, sovelletaan myös käänteisessä järjestyksessä.

  (a n b n) = (a b) n

  Toisin sanoen, jos haluat kertoa asteet samoilla eksponenteilla, voit kertoa kantakannat ja jättää eksponentin ennalleen.

  • Esimerkki. Laskea.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Esimerkki. Laskea.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Monimutkaisemmissa esimerkeissä voi olla tapauksia, joissa kertominen ja jako on suoritettava potenssien kanssa, joilla on eri kanta ja eri eksponentti. Tässä tapauksessa suosittelemme toimimaan seuraavasti.

  Esimerkiksi, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Esimerkki desimaaliluvun eksponentioinnista.

  4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = neljä

  Ominaisuudet 5
  Osamäärän potenssi (murtoluvut)

  Muistaa!

  Nostaaksesi osamäärän potenssiin voit nostaa osinkoa ja jakajaa erikseen tähän potenssiin ja jakaa ensimmäisen tuloksen toisella.

  (a: b) n \u003d a n: b n, jossa "a", "b" ovat mitä tahansa rationaalilukuja, b ≠ 0, n on mikä tahansa luonnollinen luku.

  • Esimerkki. Ilmaise lauseke osapotenssina.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Muistutamme, että osamäärä voidaan esittää murtolukuna. Siksi käsittelemme aihetta murto-osan nostamisesta potenssiin tarkemmin seuraavalla sivulla.

Jos kerrotaan (tai jaetaan) kaksi potenssia, joilla on eri perusteet, mutta samat indikaattorit, niin niiden perusteet voidaan kertoa (tai jakaa) ja tuloksen eksponentti tulee jättää samaksi kuin tekijöiden (tai osingon ja jakaja).

AT yleisnäkymä Matemaattisella kielellä nämä säännöt on kirjoitettu seuraavasti:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

Jaettaessa b ei voi olla yhtä suuri kuin 0, eli toista sääntöä on täydennettävä ehdolla b ≠ 0.

Esimerkkejä:
2 3 x 3 3 = (2 x 3) 3 = 63 = 36 x 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Nyt näistä konkreettisia esimerkkejä Osoittakaamme, että samoilla eksponenteilla olevien asteiden säännöt-ominaisuudet ovat tosia. Ratkaistaan ​​nämä esimerkit ikään kuin emme tietäisi valtuuksien ominaisuuksia:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Kuten näemme, vastaukset vastasivat sääntöjä käytettäessä saatuja vastauksia. Näiden sääntöjen tunteminen antaa meille mahdollisuuden yksinkertaistaa laskelmia.

Huomaa, että lauseke 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 voidaan kirjoittaa seuraavasti:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Tämä lauseke puolestaan ​​on jotain muuta kuin (2 × 3) 3. eli 6 3 .

Tarkasteltuja asteiden ominaisuuksia samoilla eksponenteilla voidaan käyttää vastakkaiseen suuntaan. Esimerkiksi mikä on 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Asteiden ominaisuuksia käytetään myös esimerkkejä ratkaistaessa:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10800 + 864 = 11664