eksponentiaaliyhtälöt. Logaritmi menetelmä. Eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaisu

Tämä oppitunti on tarkoitettu niille, jotka vasta alkavat oppia eksponentiaaliyhtälöitä. Kuten aina, aloitetaan määritelmästä ja yksinkertaisista esimerkeistä.

Jos luet tätä oppituntia, epäilen, että sinulla on jo ainakin minimaalinen käsitys yksinkertaisimmista yhtälöistä - lineaarinen ja neliö: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ jne. Tällaisten rakenteiden ratkaiseminen on ehdottoman välttämätöntä, jotta ei "roikkuisi" aiheessa, josta nyt keskustellaan.

Eli eksponentiaaliyhtälöt. Annan sinulle pari esimerkkiä:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Jotkut niistä saattavat tuntua sinulle monimutkaisempia, jotkut päinvastoin ovat liian yksinkertaisia. Mutta niitä kaikkia yhdistää yksi tärkeä ominaisuus: ne sisältävät eksponentiaalisen funktion $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Esittelemme siis määritelmän:

Eksponentiaalinen yhtälö on mikä tahansa yhtälö, joka sisältää eksponentiaalisen funktion, ts. lauseke muodossa $((a)^(x))$. Määritetyn funktion lisäksi tällaiset yhtälöt voivat sisältää mitä tahansa muita algebrallisia konstruktioita - polynomeja, juuria, trigonometriaa, logaritmeja jne.

Hyvä on. Ymmärsi määritelmän. Nyt kysymys kuuluu: kuinka ratkaista kaikki tämä paska? Vastaus on yhtä aikaa yksinkertainen ja monimutkainen.

Aloitetaan hyvillä uutisilla: monien opiskelijoiden kokemukseni perusteella voin sanoa, että suurimmalle osalle heistä eksponentiaaliyhtälöt ovat paljon helpompia kuin samat logaritmit ja vielä varsinkin trigonometria.

Mutta on myös huonoja uutisia: toisinaan kaikenlaisten oppikirjojen ja kokeiden tehtävien kokoajia vierailee "inspiraatio", ja heidän huumetulehdukselliset aivonsa alkavat tuottaa niin raakoja yhtälöitä, että niiden ratkaiseminen ei ole ongelmallista vain opiskelijoille - jopa monet opettajat juuttuvat tällaisiin ongelmiin.

Älkäämme kuitenkaan puhuko surullisista asioista. Ja palataanpa niihin kolmeen yhtälöön, jotka annettiin aivan tarinan alussa. Yritetään ratkaista jokainen niistä.

Ensimmäinen yhtälö: $((2)^(x))=4$. No, mihin potenssiin lukua 2 pitää nostaa, jotta saadaan numero 4? Ehkä toinen? Loppujen lopuksi $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — ja olemme saaneet oikean numeerisen yhtälön, ts. todellakin $x=2$. No, kiitos, cap, mutta tämä yhtälö oli niin yksinkertainen, että jopa kissani pystyi ratkaisemaan sen. :)

Katsotaanpa seuraavaa yhtälöä:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Mutta tässä se on vähän vaikeampaa. Monet opiskelijat tietävät, että $((5)^(2))=25$ on kertotaulukko. Jotkut epäilevät myös, että $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ on pohjimmiltaan negatiivisten eksponentien määritelmä (samanlainen kuin kaava $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Lopuksi vain harvat arvaavat, että nämä tosiasiat voidaan yhdistää ja tulos on seuraava:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Näin ollen alkuperäinen yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ja nyt tämä on jo täysin ratkaistu! Yhtälön vasemmalla puolella on eksponentiaalinen funktio, yhtälön oikealla puolella on eksponenttifunktio, ei ole muuta kuin ne missään muualla. Siksi on mahdollista "hylätä" perusteet ja tyhmästi rinnastaa indikaattorit:

Saimme yksinkertaisimman lineaarisen yhtälön, jonka kuka tahansa opiskelija voi ratkaista vain parilla rivillä. Okei, neljällä rivillä:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(tasaa)\]

Jos et ymmärrä mitä tapahtui viimeisellä neljällä rivillä, muista palata aiheeseen "lineaariset yhtälöt" ja toista se. Koska ilman tämän aiheen selkeää omaksumista, on liian aikaista ottaa eksponentiaaliyhtälöitä.

\[((9)^(x))=-3\]

No, miten päätät? Ensimmäinen ajatus: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, joten alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen näin:

\[((\left(((3)^(2)) \oikea))^(x))=-3\]

Sitten muistetaan, että kun aste nostetaan tehoon, indikaattorit kerrotaan:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Nuoli oikealle ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Ja tällaisesta päätöksestä saamme rehellisesti ansaitun kakkosen. Sillä me lähetimme Pokémonin tyynesti miinusmerkin kolmen eteen juuri tämän kolmen voimalla. Etkä voi tehdä sitä. Ja siksi. Tutustu kolmikon eri tehoihin:

\[\begin(matriisi) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matriisi)\]

Kun kirjoitin tätä tablettia, en perverssi niin pian kuin tein: otin huomioon positiiviset asteet ja negatiiviset ja jopa murto-osat ... no, missä on ainakin yksi negatiivinen luku? Hän ei ole! Ja se ei voi olla, koska eksponentiaalinen funktio $y=((a)^(x))$ ensinnäkin ottaa aina vain positiivisia arvoja (riippumatta siitä kuinka paljon kerrot yhden tai jaat kahdella, se on silti positiivinen luku), ja toiseksi, tällaisen funktion kanta, luku $a$, on määritelmän mukaan positiivinen luku!

No, kuinka sitten ratkaistaan ​​yhtälö $((9)^(x))=-3$? Ei, juuria ei ole. Ja tässä mielessä eksponentiaaliset yhtälöt ovat hyvin samankaltaisia ​​kuin toisen asteen yhtälöt - ei myöskään välttämättä ole juuria. Mutta jos toisen asteen yhtälöissä juurien lukumäärä määräytyy diskriminantin avulla (diskriminantti on positiivinen - 2 juuria, negatiivinen - ei juuria), niin eksponentiaalisissa yhtälöissä kaikki riippuu siitä, mikä on yhtäläisyysmerkin oikealla puolella.

Näin ollen muotoilemme keskeisen johtopäätöksen: yksinkertaisimmalla eksponentiaalisella yhtälöllä muotoa $((a)^(x))=b$ on juuri silloin ja vain jos $b \gt 0$. Kun tiedät tämän yksinkertaisen tosiasian, voit helposti määrittää, onko sinulle ehdotetulla yhtälöllä juuret vai ei. Nuo. kannattaako se ollenkaan ratkaista vai kirjoittaa heti ylös, että juuria ei ole.

Tämä tieto auttaa meitä monta kertaa, kun joudumme ratkaisemaan monimutkaisempia ongelmia. Sillä välin tarpeeksi sanoituksia - on aika tutkia perusalgoritmia eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi.

Kuinka ratkaista eksponentiaaliyhtälöt

Joten muotoillaan ongelma. On tarpeen ratkaista eksponentiaaliyhtälö:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Aiemmin käyttämämme "naiivin" algoritmin mukaan luku $b$ on esitettävä luvun $a$ potenssina:

Lisäksi, jos muuttujan $x$ sijaan on jokin lauseke, saadaan uusi yhtälö, joka voidaan jo ratkaista. Esimerkiksi:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\end(tasaa)\]

Ja kummallista kyllä, tämä järjestelmä toimii noin 90 prosentissa tapauksista. Entä sitten loput 10%? Loput 10 % ovat hieman "skitsofreenisiä" eksponenttiyhtälöitä muodossa:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Mihin tehoon sinun täytyy nostaa 2 saadaksesi 3? Ensimmäisessä? Mutta ei: $((2)^(1))=2$ ei riitä. Toisessa? Ei kumpikaan: $((2)^(2))=4$ on liikaa. Mitä sitten?

Asiantuntevat opiskelijat ovat luultavasti jo arvaanneet: sellaisissa tapauksissa, joissa on mahdotonta ratkaista "kauniisti", tapaukseen liittyy "raskas tykistö" - logaritmit. Haluan muistuttaa, että logaritmeja käyttämällä mikä tahansa positiivinen luku voidaan esittää minkä tahansa muun positiivisen luvun potenssina (paitsi yhtä):

Muistatko tämän kaavan? Kun kerron opiskelijoilleni logaritmeista, varoitan aina: tämä kaava (se on myös logaritmisen perusidentiteetti tai halutessasi logaritmin määritelmä) kummittelee teitä pitkään ja "tulee esiin" suurimmassa osassa. odottamattomia paikkoja. No, hän nousi pintaan. Katsotaanpa yhtälöämme ja tätä kaavaa:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(tasaa) \]

Jos oletetaan, että $a=3$ on alkuperäinen numeromme oikealla ja $b=2$ on perusluku eksponentti funktio, johon haluamme niin pienentää oikean puolen, saamme seuraavan:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\end(tasaa)\]

Saimme hieman oudon vastauksen: $x=((\log )_(2))3$. Jossain toisessa tehtävässä tällaisella vastauksella monet epäilevät ja alkaisivat tarkistaa ratkaisuaan: entä jos jossain olisi virhe? Kiirehdin miellyttämään teitä: tässä ei ole virhettä, ja eksponentiaaliyhtälöiden juurissa olevat logaritmit ovat melko tyypillinen tilanne. Joten tottuu siihen. :)

Nyt ratkaisemme analogisesti loput kaksi yhtälöä:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Oikeanuoli ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Muuten, viimeinen vastaus voidaan kirjoittaa eri tavalla:

Me otimme kertojan logaritmin argumenttiin. Mutta kukaan ei estä meitä lisäämästä tätä tekijää perustaan:

Lisäksi kaikki kolme vaihtoehtoa ovat oikeita - ne ovat vain erilaisia ​​​​muotoja kirjoittaa sama numero. Kumpi valitaan ja kirjoittaa tähän päätökseen, on sinun.

Siten olemme oppineet ratkaisemaan kaikki eksponentiaaliyhtälöt muodossa $((a)^(x))=b$, joissa luvut $a$ ja $b$ ovat ehdottomasti positiivisia. Maailmamme karu todellisuus on kuitenkin se, että niin yksinkertaiset tehtävät kohtaavat hyvin, hyvin harvoin. Useammin kohtaat jotain tällaista:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(tasaa)\]

No, miten päätät? Voiko tätä ylipäätään ratkaista? Ja jos on, niin miten?

Ei paniikkia. Kaikki nämä yhtälöt pelkistetään nopeasti ja yksinkertaisesti niihin yksinkertaisiin kaavoihin, joita olemme jo tarkastelleet. Sinun tarvitsee vain muistaa pari temppua algebran kurssista. Ja tietenkään täällä ei ole sääntöjä tutkintojen kanssa työskentelemiselle. Puhun nyt tästä kaikesta. :)

Eksponentiaaliyhtälöiden muunnos

Ensimmäinen asia, joka on muistettava, on, että mikä tahansa eksponentiaalinen yhtälö, olipa se kuinka monimutkainen tahansa, tavalla tai toisella on pelkistettävä yksinkertaisimpiin yhtälöihin - juuri niihin, joita olemme jo tarkastelleet ja jotka osaamme ratkaista. Toisin sanoen minkä tahansa eksponentiaalisen yhtälön ratkaisukaavio näyttää tältä:

1. Kirjoita alkuperäinen yhtälö. Esimerkki: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Tee tyhmää paskaa. Tai jopa jotain paskaa nimeltä "muunna yhtälö";
3. Hanki tulosteessa yksinkertaisimmat lausekkeet kuten $((4)^(x))=4$ tai jotain muuta vastaavaa. Lisäksi yksi alkuyhtälö voi antaa useita tällaisia ​​lausekkeita kerralla.

Ensimmäisestä kohdasta kaikki on selvää - jopa kissani osaa kirjoittaa yhtälön lehdelle. Myös kolmannen kohdan kohdalla se näyttää olevan enemmän tai vähemmän selvää - olemme jo ratkaisseet koko joukon tällaisia ​​yhtälöitä edellä.

Mutta entä toinen kohta? Mitkä ovat muunnokset? Mitä muuntaa mihin? Ja miten?

No, selvitetään se. Ensinnäkin haluan korostaa seuraavaa. Kaikki eksponentiaaliyhtälöt on jaettu kahteen tyyppiin:

1. Yhtälö koostuu eksponentiaalisista funktioista, joilla on sama kanta. Esimerkki: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Kaava sisältää eksponentiaalisia funktioita, joilla on eri kanta. Esimerkkejä: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ja $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Aloitetaan ensimmäisen tyypin yhtälöistä - ne ovat helpoimpia ratkaista. Ja heidän ratkaisussaan meitä auttaa sellainen tekniikka kuin vakaiden lausekkeiden valinta.

Korostaa vakaa ilme

Katsotaanpa tätä yhtälöä uudelleen:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Mitä me näemme? Neljä on korotettu eri asteisiin. Mutta kaikki nämä potenssit ovat muuttujan $x$ yksinkertaisia ​​summia muiden lukujen kanssa. Siksi on tarpeen muistaa tutkintojen kanssa työskentelyn säännöt:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(tasaa)\]

Yksinkertaisesti sanottuna eksponentien lisäys voidaan muuntaa potenssien tuloksi ja vähennys muutetaan helposti jakolaskuksi. Yritetään soveltaa näitä kaavoja yhtälömme potenssiin:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(tasaa)\]

Kirjoitamme alkuperäisen yhtälön uudelleen ottaen tämän tosiasian huomioon ja keräämme sitten kaikki ehdot vasemmalla:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -yksitoista; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(tasaa)\]

Ensimmäiset neljä termiä sisältävät elementin $((4)^(x))$ — otetaan se pois suluista:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(tasaa)\]

Jäljelle jää jakaa yhtälön molemmat osat murtoluvulla $-\frac(11)(4)$, ts. oleellisesti kerrotaan käänteisellä murtoluvulla - $-\frac(4)(11)$. Saamme:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \oikea); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Pelkisimme alkuperäisen yhtälön yksinkertaisimmaksi ja saimme lopullisen vastauksen.

Samaan aikaan ratkaisuprosessissa löysimme (ja jopa poistimme suluista) yhteisen tekijän $((4)^(x))$ - tämä on vakaa lauseke. Se voidaan määrittää uudeksi muuttujaksi tai voit yksinkertaisesti ilmaista sen tarkasti ja saada vastauksen. Joka tapauksessa ratkaisun pääperiaate on seuraava:

Etsi alkuperäisestä yhtälöstä stabiili lauseke, joka sisältää muuttujan, joka on helppo erottaa kaikista eksponentiaalisista funktioista.

Hyvä uutinen on, että melkein jokainen eksponentiaalinen yhtälö sallii tällaisen vakaan lausekkeen.

Mutta on myös huonoja uutisia: tällaiset ilmaisut voivat olla hyvin hankalia, ja niiden erottaminen voi olla melko vaikeaa. Katsotaanpa siis toista ongelmaa:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Ehkä jollain on nyt kysymys: "Pasha, oletko kivitetty? Tässä on erilaisia ​​emäksiä - 5 ja 0,2. Mutta yritetään muuntaa teho kantaluvulla 0.2. Esimerkiksi päästään eroon desimaaliluvusta ja tuodaan se tavalliseen:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \oikea))^(-\vasen(x+1 \oikea)))=((\vasen(\frac(1)(5) \oikea))^(-\vasen(x+1 \oikea)) )\]

Kuten näet, numero 5 ilmestyi edelleen, vaikkakin nimittäjässä. Samalla indikaattori kirjoitettiin negatiiviseksi. Ja nyt muistamme yhden tärkeimmistä säännöistä tutkintojen kanssa työskentelemiseen:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tässä tietysti vähän huijasin. Koska täydellisen ymmärtämisen vuoksi kaava negatiivisista indikaattoreista eroon oli kirjoitettava seuraavasti:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ oikea))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Toisaalta mikään ei estänyt meitä työskentelemästä vain yhden murto-osan kanssa:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ oikea))^(-\vasen(x+1 \oikea)))=((5)^(\vasen(-1 \oikea)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Mutta tässä tapauksessa sinun on voitava nostaa tutkinto toiseen asteeseen (muistutan teitä: tässä tapauksessa indikaattorit lasketaan yhteen). Mutta minun ei tarvinnut "kääntää" murtolukuja - ehkä jollekin se on helpompaa. :)

Joka tapauksessa alkuperäinen eksponentiaaliyhtälö kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(tasaa)\]

Joten käy ilmi, että alkuperäinen yhtälö on jopa helpompi ratkaista kuin aiemmin harkittu: tässä sinun ei tarvitse edes valita vakaata lauseketta - kaikki on pelkistetty itsestään. On vain muistettava, että $1=((5)^(0))$, mistä saamme:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(tasaa)\]

Siinä koko ratkaisu! Saimme lopullisen vastauksen: $x=-2$. Samalla haluaisin huomauttaa yhden tempun, joka yksinkertaisti suuresti kaikkia laskelmia meille:

Eksponentiaalisissa yhtälöissä muista päästä eroon desimaalilukuja, muuntaa ne normaaleiksi. Näin voit nähdä samat asteiden kantakohdat ja yksinkertaistaa ratkaisua huomattavasti.

Nyt siirrytään monimutkaisempiin yhtälöihin, joissa on erilaisia ​​emäksiä, joita ei yleensä voida pelkistää toistensa kanssa potenssien avulla.

Eksponenttiominaisuuden käyttäminen

Haluan muistuttaa, että meillä on kaksi erityisen ankaraa yhtälöä:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(tasaa)\]

Suurin vaikeus tässä on se, että ei ole selvää, mihin ja mihin perustaan ​​johtaa. Missä ovat kiinteät ilmaisut? Missä ovat yhteiset perusteet? Tätä ei ole olemassa.

Mutta yritetään mennä toisin päin. Jos valmiita identtisiä pohjaa ei ole, voit yrittää löytää ne ottamalla huomioon käytettävissä olevat pohjat.

Aloitetaan ensimmäisestä yhtälöstä:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(tasaa)\]

Mutta loppujen lopuksi voit tehdä päinvastoin - muodostaa numeron 21 numeroista 7 ja 3. Tämä on erityisen helppoa tehdä vasemmalla, koska molempien asteiden indikaattorit ovat samat:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Otit eksponentin pois tuotteesta ja sai heti kauniin yhtälön, joka voidaan ratkaista parilla rivillä.

Käsitellään nyt toista yhtälöä. Tässä kaikki on paljon monimutkaisempaa:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Tässä tapauksessa fraktiot osoittautuivat redusoitumattomiksi, mutta jos jotain voitaisiin vähentää, muista pienentää sitä. Tämä johtaa usein mielenkiintoisiin perusteisiin, joiden kanssa voit jo työskennellä.

Valitettavasti emme ole keksineet mitään. Mutta näemme, että tuotteen vasemmalla puolella olevat eksponentit ovat vastakkaisia:

Muistutan sinua: päästäksesi eroon eksponentin miinusmerkistä, sinun tarvitsee vain "kääntää" murtoluku. Joten kirjoitetaan alkuperäinen yhtälö uudelleen:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(tasaa)\]

Toisella rivillä otimme juuri ulos kokonaispisteet suluissa olevasta tulosta säännön $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x))$, ja jälkimmäisessä yksinkertaisesti kertoi luvun 100 murtoluvulla.

Huomaa nyt, että numerot vasemmalla (alustalla) ja oikealla ovat jokseenkin samanlaisia. Miten? Kyllä, ilmeisesti: ne ovat saman luvun voimat! Meillä on:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \oikea))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \oikea))^(2)). \\\end(tasaa)\]

Siten yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \oikea))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \oikea))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \oikea))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \oikea))^(3\vasen(x-1 \oikea)))=((\vasen(\frac(10)(3) \oikea))^(3x-3))\]

Samanaikaisesti oikealla voi saada myös tutkinnon samalla pohjalla, johon riittää pelkkä murto-osan "kääntäminen":

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Lopuksi yhtälömme saa muodon:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(tasaa)\]

Siinä koko ratkaisu. Hänen pääideansa on, että vaikka erilaiset pohjat x yritämme koukulla tai huijauksella vähentää nämä perusteet yhdeksi ja samaksi. Tässä meitä auttavat yhtälöiden alkeismuunnokset ja potenssien käytön säännöt.

Mutta mitä sääntöjä ja milloin käyttää? Kuinka ymmärtää, että yhdessä yhtälössä sinun on jaettava molemmat puolet jollakin ja toisessa - jaettava eksponentiaalisen funktion perusta tekijöiksi?

Vastaus tähän kysymykseen tulee kokemuksen myötä. Kokeile ensin käsiäsi yksinkertaisissa yhtälöissä ja monimutkaise sitten tehtäviä vähitellen - ja pian taitosi riittävät ratkaisemaan minkä tahansa eksponentiaalisen yhtälön samasta KÄYTÖSTÄ tai mistä tahansa itsenäisestä / testityöstä.

Ja auttaakseni sinua tässä vaikeassa tehtävässä, ehdotan, että lataan verkkosivustolleni joukon yhtälöitä itsenäinen ratkaisu. Kaikissa yhtälöissä on vastaukset, joten voit aina tarkistaa itsesi.

Yleisesti ottaen toivon sinulle menestystä harjoittelussa. Ja nähdään seuraavassa oppitunnissa - siellä analysoimme todella monimutkaisia ​​eksponentiaaliyhtälöitä, joissa yllä kuvatut menetelmät eivät enää riitä. Eikä pelkkä treenikään riitä. :)

Eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaali erityisosastossa 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Mitä eksponentiaalinen yhtälö? Tämä on yhtälö, jossa tuntemattomat (x) ja niitä sisältävät lausekkeet ovat sisällä indikaattoreita joitain asteita. Ja vain siellä! On tärkeää.

Siellähän sinä olet esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:

3 x 2 x = 8 x + 3

Merkintä! Asteiden perusteissa (alla) - vain numeroita. AT indikaattoreita asteet (yllä) - laaja valikoima lausekkeita x:llä. Jos yhtälössä x ilmestyy yhtäkkiä muualle kuin indikaattoriin, esimerkiksi:

tämä on sekatyyppinen yhtälö. Tällaisilla yhtälöillä ei ole selkeitä ratkaisusääntöjä. Emme ota niitä toistaiseksi huomioon. Tässä käsitellään eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu puhtaimmassa muodossaan.

Itse asiassa edes puhtaat eksponentiaaliyhtälöt eivät aina ole selkeästi ratkaistu. Mutta on olemassa tietyntyyppisiä eksponentiaaliyhtälöitä, jotka voidaan ja pitäisi ratkaista. Nämä ovat tyyppejä, joita tarkastelemme.

Yksinkertaisimpien eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu.

Aloitetaan jostain hyvin perustavasta. Esimerkiksi:

Jopa ilman teoriaa, yksinkertaisella valinnalla on selvää, että x = 2. Ei muuta, eikö!? Mikään muu x-arvo ei rullaa. Ja nyt katsotaan tämän hankalan eksponentiaaliyhtälön ratkaisua:

Mitä me olemme tehneet? Itse asiassa, heitimme juuri pois samat pohjat (kolminkertaiset). Täysin ulos heitetty. Ja mikä miellyttää, osu merkiksi!

Todellakin, jos eksponentiaalisessa yhtälössä vasemmalla ja oikealla ovat sama numerot missä tahansa asteessa, nämä luvut voidaan poistaa ja ne ovat yhtä suuret eksponentit. Matematiikka sallii. On vielä ratkaistava paljon yksinkertaisempi yhtälö. Se on hyvä, eikö?)

Muistetaan kuitenkin ironisesti: voit irrottaa alustat vain, kun vasemmalla ja oikealla olevat kantanumerot ovat loistavasti erillään! Ilman naapureita ja kertoimia. Sanotaan yhtälöissä:

2 x +2 x + 1 = 2 3 tai

Tuplauksia ei voi poistaa!

No, olemme hallitseneet tärkeimmän. Kuinka siirtyä pahoista eksponentiaalisista lausekkeista yksinkertaisempiin yhtälöihin.

"Tässä ovat ne ajat!" - sinä sanot. "Kuka antaa noin alkeellisen kontrollin ja kokeiden!?"

Pakko suostua. Kukaan ei. Mutta nyt tiedät mihin mennä, kun ratkaiset hämmentäviä esimerkkejä. On tarpeen tuoda se mieleen, kun sama perusnumero on vasemmalla - oikealla. Sitten kaikki on helpompaa. Itse asiassa tämä on matematiikan klassikko. Otamme alkuperäisen esimerkin ja muunnamme sen halutuksi meille mieleen. Matematiikan sääntöjen mukaan tietysti.

Harkitse esimerkkejä, jotka vaativat lisäponnistusta, jotta ne saadaan yksinkertaisimmiksi. Soitetaan heille yksinkertaiset eksponentiaaliyhtälöt.

Yksinkertaisten eksponenttiyhtälöiden ratkaisu. Esimerkkejä.

Eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa pääsäännöt ovat tekoja, joilla on valtuuksia. Ilman tietoa näistä toimista mikään ei toimi.

Tutkintotoimiin on lisättävä henkilökohtainen havainto ja kekseliäisyys. Tarvitsemmeko samoja peruslukuja? Joten etsimme niitä esimerkistä eksplisiittisessä tai salatussa muodossa.

Katsotaan kuinka tämä käytännössä tehdään?

Otetaanpa esimerkki:

2 2x - 8 x+1 = 0

Ensisilmäyksellä perusteilla. He... He ovat erilaisia! Kaksi ja kahdeksan. Mutta on liian aikaista lannistua. On aika muistaa se

Kaksi ja kahdeksan ovat asteittain sukulaisia.) On täysin mahdollista kirjoittaa:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jos muistamme kaavan toimista, joilla on voimia:

(a n) m = a nm,

toimii yleensä hyvin:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Alkuperäinen esimerkki näyttää tältä:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Siirrämme 2 3 (x+1) oikealle (kukaan ei peruuttanut matematiikan perustoimintoja!), saamme:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Siinä on käytännössä kaikki. Pohjien poistaminen:

Ratkaisemme tämän hirviön ja saamme

Tämä on oikea vastaus.

Tässä esimerkissä kahden voiman tunteminen auttoi meitä. Me tunnistettu kahdeksassa, salattu kakkonen. Tämä tekniikka (yhteisten emästen koodaus eri numeroilla) on erittäin suosittu temppu eksponentiaalisissa yhtälöissä! Kyllä, jopa logaritmeilla. On kyettävä tunnistamaan muiden lukujen potenssit numeroista. Tämä on erittäin tärkeää eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Tosiasia on, että minkä tahansa luvun nostaminen mihin tahansa tehoon ei ole ongelma. Kerro, vaikka paperille, ja siinä kaikki. Esimerkiksi jokainen voi nostaa 3 viidenteen potenssiin. 243 selviää, jos tiedät kertotaulukon.) Mutta eksponentiaalisissa yhtälöissä paljon useammin ei tarvitse nostaa potenssiin, vaan päinvastoin ... mikä määrä missä määrin piiloutuu numeron 243 tai vaikkapa 343 taakse... Mikään laskin ei auta sinua tässä.

Sinun täytyy tietää joidenkin lukujen tehot silmämääräisesti, kyllä... Harjoitellaanko?

Selvitä, mitkä potenssit ja mitkä luvut ovat numeroita:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Vastaukset (tietysti sotkussa!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jos katsot tarkasti, voit nähdä kummallisen tosiasian. Vastauksia on enemmän kuin kysymyksiä! No, se tapahtuu... Esimerkiksi 2 6 , 4 3 , 8 2 on kaikki 64.

Oletetaan, että olet huomioinut lukuihin tutustumista koskevat tiedot.) Muistutan, että eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen sovelletaan koko matemaattinen tietokanta. Mukaan lukien alemmista keskiluokista. Et mennyt suoraan lukioon, ethän?

Esimerkiksi eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa yhteisen tekijän jättäminen suluista usein auttaa (hei arvosanalle 7!). Katsotaanpa esimerkkiä:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ja jälleen ensimmäinen katse - tontilla! Tutkintojen perusteet ovat erilaisia ​​... Kolme ja yhdeksän. Ja haluamme niiden olevan samanlaisia. No, tässä tapauksessa halu on melko mahdollista!) Koska:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Samojen sääntöjen mukaan toimille, joilla on aste:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Hienoa, voit kirjoittaa:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Annoimme esimerkin samoista syistä. Eli mitä seuraavaksi!? Kolmea ei voi heittää ulos ... Umpikuja?

Ei lainkaan. Muista yleismaailmallisin ja voimakkain päätössääntö kaikki matemaattiset tehtävät:

Jos et tiedä mitä tehdä, tee mitä voit!

Katsot, kaikki muodostuu).

Mitä tässä eksponentiaalisessa yhtälössä on voi tehdä? Kyllä, vasen puoli pyytää suoraan sulkeita! Yhteinen kerroin 3 2x viittaa selvästi tähän. Kokeillaan ja sitten nähdään:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Esimerkki paranee koko ajan!

Muistamme, että emästen eliminoimiseksi tarvitsemme puhtaan asteen ilman kertoimia. Numero 70 häiritsee meitä. Joten jaamme yhtälön molemmat puolet luvulla 70, saamme:

Ap-pa! Kaikki on ollut hyvin!

Tämä on lopullinen vastaus.

Sattuu kuitenkin niin, että samoilla perusteilla ulosrullaus saadaan, mutta niiden selvitystilaan ei. Tämä tapahtuu toisen tyyppisissä eksponentiaalisissa yhtälöissä. Otetaan tämä tyyppi.

Muuttujan muutos eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkkejä.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Ensin - kuten tavallista. Jatketaan tukikohtaan. Kakkoselle.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Saamme yhtälön:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ja tässä me roikkumme. Edelliset temput eivät toimi, vaikka kuinka käännät sen. Meidän on hankittava toisen tehokkaan ja monipuolisen tavan arsenaalista. Sitä kutsutaan muuttuva korvaus.

Menetelmän ydin on yllättävän yksinkertainen. Yhden monimutkaisen kuvakkeen (tapauksessamme 2 x) sijasta kirjoitamme toisen, yksinkertaisemman (esimerkiksi t). Tällainen näennäisesti merkityksetön korvaaminen johtaa uskomattomiin tuloksiin!) Kaikki vain tulee selväksi ja ymmärrettäväksi!

Joten anna

Sitten 2 2x \u003d 2 x 2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Korvaamme yhtälössämme kaikki potenssit x:illä t:llä:

No, valkenee?) Etkö ole vielä unohtanut toisen asteen yhtälöitä? Ratkaisemme diskriminantin kautta, saamme:

Tässä tärkeintä ei ole lopettaa, koska se tapahtuu ... Tämä ei ole vielä vastaus, tarvitsemme x:n, ei t:n. Palataan X:ihin, ts. vaihdon tekeminen. Ensin t1:lle:

Tuo on,

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista, t 2:sta:

Hmm... Vasen 2 x Oikea 1... Koukku? Kyllä, ei ollenkaan! Riittää, kun muistaa (astetta sisältävistä toimista, kyllä...), että yhtenäisyys on minkä tahansa numero nollaan. Minkä tahansa. Mitä tahansa tarvitset, me laitamme sen. Tarvitsemme kaksi. Keinot:

Nyt siinä kaikki. Sain 2 juurta:

Tämä on vastaus.

klo ratkaisemaan eksponentiaaliyhtälöitä lopussa saadaan joskus hankala ilmaisu. Tyyppi:

Seitsemästä kakkonen yksinkertaiseen tutkintoon ei toimi. He eivät ole sukulaisia... Kuinka voin olla täällä? Joku voi olla hämmentynyt ... Mutta henkilö, joka luki tällä sivustolla aiheen "Mikä on logaritmi?" , hymyile vain säästeliäästi ja kirjoita lujalla kädellä täysin oikea vastaus:

Tällaista vastausta ei voi olla kokeen tehtävissä "B". Tarvitaan tietty numero. Mutta tehtävissä "C" - helposti.

Tämä oppitunti tarjoaa esimerkkejä yleisimpien eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemisesta. Korostetaan tärkeintä.

Käytännön vinkkejä:

1. Ensinnäkin tarkastelemme perusteita astetta. Katsotaan, eivätkö ne onnistu sama. Yritetään tehdä tämä aktiivisesti käyttämällä tekoja, joilla on valtuuksia.Älä unohda, että numerot ilman x:ää voidaan muuttaa myös asteina!

2. Pyrimme saamaan eksponentiaaliyhtälön muotoon, kun vasen ja oikea ovat sama numeroita missä tahansa määrin. Käytämme tekoja, joilla on valtuuksia ja faktorointi. Mitä voidaan laskea numeroina - me laskemme.

3. Jos toinen neuvo ei toiminut, yritämme soveltaa muuttujan substituutiota. Tuloksena voi olla yhtälö, joka on helposti ratkaistava. Useimmiten - neliö. Tai murtoluku, joka myös pienenee neliöön.

4. Jotta voisit ratkaista eksponentiaaliyhtälöitä onnistuneesti, sinun on tiedettävä joidenkin lukujen asteet "näön perusteella".

Kuten tavallista, oppitunnin lopussa sinua pyydetään ratkaisemaan vähän.) Itse. Yksinkertaisesta monimutkaiseen.

Ratkaise eksponentiaaliyhtälöt:

Vaikeampaa:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Etsi juurten tuote:

2 3-x + 2 x = 9

Tapahtui?

No, sitten monimutkaisin esimerkki (se on kuitenkin ratkaistu mielessä ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Mikä on mielenkiintoisempaa? Sitten tässä on sinulle huono esimerkki. Melko vetää lisääntyneestä vaikeudesta. Vihjaan, että tässä esimerkissä kekseliäisyys ja yleisin sääntö kaikkien matemaattisten tehtävien ratkaisemiseksi säästää.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Esimerkki on yksinkertaisempi, rentoutumista varten):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ja jälkiruoaksi. Etsi yhtälön juurien summa:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Kyllä kyllä! Tämä on sekatyyppinen yhtälö! Mitä emme huomioineet tällä oppitunnilla. Ja mitä pitää ottaa huomioon, ne on ratkaistava!) Tämä oppitunti riittää ratkaisemaan yhtälön. No, kekseliäisyyttä tarvitaan ... Ja kyllä, seitsemäs luokka auttaa sinua (tämä on vihje!).

Vastaukset (sekaisin, puolipisteillä erotettuna):

yksi; 2; 3; neljä; ei ole ratkaisuja; 2; -2; -5; neljä; 0.

Onko kaikki onnistunut? Erinomainen.

On ongelma? Ei ongelmaa! Erityisosassa 555 kaikki nämä eksponentiaaliyhtälöt on ratkaistu yksityiskohtaisten selitysten kera. Mitä, miksi ja miksi. Ja tietysti on lisäarvokasta tietoa kaikenlaisten eksponentiaalisten yhtälöiden kanssa työskentelystä. Ei vain näillä.)

Viimeinen hauska kysymys pohdittavaksi. Tällä oppitunnilla työskentelimme eksponentiaaliyhtälöiden kanssa. Miksi en puhunut täällä sanaakaan ODZ:stä? Yhtälöissä tämä on muuten erittäin tärkeä asia...

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Sivustomme youtube-kanavalle, jotta olet tietoinen kaikista uusista videotunneista.

Muistetaan ensin asteiden peruskaavat ja niiden ominaisuudet.

Numeron tulo a tapahtuu itsestään n kertaa, voimme kirjoittaa tämän lausekkeen muodossa a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Teho- tai eksponentiaaliyhtälöt- nämä ovat yhtälöitä, joissa muuttujat ovat potenssiina (tai eksponenteina) ja kanta on luku.

Esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä:

Tässä esimerkissä numero 6 on kanta, se on aina alareunassa ja muuttuja x aste tai mitta.

Annetaan lisää esimerkkejä eksponentiaalisista yhtälöistä.
2 x *5=10
16x-4x-6 = 0

Katsotaanpa nyt kuinka eksponentiaaliyhtälöt ratkaistaan?

Otetaan yksinkertainen yhtälö:

2 x = 2 3

Tällainen esimerkki voidaan ratkaista jopa mielessä. Voidaan nähdä, että x=3. Loppujen lopuksi, jotta vasen ja oikea puoli olisivat yhtä suuret, sinun on asetettava numero 3 x:n sijaan.
Katsotaan nyt, miten tämä päätös pitäisi tehdä:

2 x = 2 3
x = 3

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi poistimme samoilla perusteilla(eli kakkosia) ja kirjoitti muistiin, mitä oli jäljellä, nämä ovat asteita. Saimme vastauksen, jota etsimme.

Tehdään nyt yhteenveto ratkaisustamme.

Algoritmi eksponentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi:
1. Tarkasta sama ovatko yhtälön perusteet oikealla ja vasemmalla. Jos perusteet eivät ole samat, etsimme vaihtoehtoja tämän esimerkin ratkaisemiseksi.
2. Kun pohjat ovat samat, rinnastaa aste ja ratkaise tuloksena oleva uusi yhtälö.

Ratkaistaan ​​nyt joitain esimerkkejä:

Aloitetaan yksinkertaisesta.

Vasemmalla ja oikealla puolella olevat kantat ovat yhtä suuria kuin luku 2, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä kannan ja rinnastaa niiden asteet.

x+2=4 Yksinkertaisin yhtälö on selvinnyt.
x = 4 - 2
x=2
Vastaus: x = 2

Seuraavassa esimerkissä voit nähdä, että kannat ovat erilaisia, nämä ovat 3 ja 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Aluksi siirrämme yhdeksän oikealle puolelle, saamme:

Nyt sinun on tehtävä samat pohjat. Tiedämme, että 9 = 3 2 . Käytetään tehokaavaa (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Saamme 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 nyt on selvää, että vasemmalla ja oikealla puolella olevat kantat ovat samat ja yhtä suuret kuin kolme, mikä tarkoittaa, että voimme hylätä ne ja rinnastaa asteet.

3x=2x+16 sai yksinkertaisimman yhtälön
3x-2x=16
x = 16
Vastaus: x = 16.

Katsotaanpa seuraavaa esimerkkiä:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Ensinnäkin tarkastelemme pohjaa, pohjat ovat erilaisia ​​kaksi ja neljä. Ja meidän on oltava samanlaisia. Muunnamme nelinkertaisen kaavan (a n) m = a nm mukaan.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ja käytämme myös yhtä kaavaa a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Lisää yhtälöön:

2 2 x 2 4 - 10 2 2 x = 24

Annoimme esimerkin samoista syistä. Mutta muut numerot 10 ja 24 häiritsevät meitä. Mitä niille tehdä? Jos katsot tarkasti, voit nähdä, että vasemmalla puolella toistamme 2 2x, tässä on vastaus - voimme laittaa 2 2x suluista:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lasketaan suluissa oleva lauseke:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Jaamme koko yhtälön kuudella:

Kuvittele 4 = 2 2:

2 2x \u003d 2 2 kantaa ovat samat, hylkää ne ja vertaa asteet.
2x \u003d 2 osoittautui yksinkertaisimmaksi yhtälöksi. Jaamme sen kahdella, saamme
x = 1
Vastaus: x = 1.

Ratkaistaan ​​yhtälö:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Muunnetaan:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Saamme yhtälön:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Kantamme ovat samat, yhtä kuin kolme. Tässä esimerkissä on selvää, että ensimmäisellä kolmiolla on aste kaksi kertaa (2x) kuin toisella (vain x). Tässä tapauksessa voit päättää korvausmenetelmä. Pienimmän asteen omaava numero korvataan seuraavalla:

Sitten 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Korvaamme kaikki asteet x:illä yhtälössä t:llä:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Saamme toisen asteen yhtälön. Ratkaisemme diskriminantin kautta, saamme:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

Takaisin muuttujaan x.

Otamme t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Tuo on,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Yksi juuri löytyi. Etsimme toista, t 2:sta:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Vastaus: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Sivuston osiossa AUTTA PÄÄTTÄMÄÄN voit kysyä kiinnostavia kysymyksiä, vastaamme sinulle varmasti.

Liity ryhmään

Älä pelkää sanojani, olet törmännyt tähän menetelmään jo 7. luokalla, kun opiskelit polynomeja.

Esimerkiksi, jos tarvitset:

Ryhmitetään: ensimmäinen ja kolmas termi sekä toinen ja neljäs.

On selvää, että ensimmäinen ja kolmas ovat neliöiden ero:

ja toisella ja neljännellä on yhteinen tekijä kolme:

Sitten alkuperäinen lauseke vastaa tätä:

Yhteisen tekijän poistaminen ei ole enää vaikeaa:

Näin ollen

Suunnilleen näin toimitaan eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa: etsi termeistä "yhteisyyttä" ja ota se pois suluista, ja sitten - tulkoon mikä tahansa, uskon, että meillä on onni =))

Esimerkki #14

Oikealla on kaukana seitsemän potenssista (tarkistan!) Ja vasemmalla - hieman parempi ...

Voit toki "leikkaa" tekijän a toiselta termiltä ensimmäisestä termistä ja sitten käsitellä sitä, mitä olet saanut, mutta toimitaan kanssasi varovaisemmin.

En halua käsitellä niitä murtolukuja, jotka väistämättä tuottavat "valinnan", joten eikö minun pitäisi olla parempi kestää?

Silloin minulla ei ole murto-osia: kuten sanotaan, sekä sudet ovat kylläisiä että lampaat turvassa:

Laske lauseke suluissa.

Maagisesti, maagisesti se käy ilmi (yllättäen, vaikka mitä muuta voimme odottaa?).

Sitten vähennämme yhtälön molempia puolia tällä kertoimella. Saamme: missä.

Tässä on monimutkaisempi esimerkki (todellakin melko vähän):

Tässä on ongelma! Meillä ei ole yhteistä perustaa täällä!

Nyt ei ole täysin selvää, mitä tehdä.

Ja tehdään mitä voimme: ensinnäkin siirrämme "neljät" yhteen suuntaan ja "viisit" toiseen:

Otetaan nyt pois "yhteinen" vasemmalta ja oikealta:

Joten mitä nyt?

Mitä hyötyä on tällaisesta typerästä ryhmästä? Ensi silmäyksellä se ei näy ollenkaan, mutta katsotaanpa syvemmälle:

No, nyt tehdään niin, että vasemmalla on vain lauseke c ja oikealla - kaikki muu.

Kuinka voimme tehdä sen?

Ja näin: Jaa yhtälön molemmat puolet ensin (joten pääsemme eroon oikealla olevasta eksponentista) ja jaa sitten molemmat puolet arvolla (joten pääsemme eroon vasemmalla olevasta numeerisesta tekijästä).

Lopulta saamme:

Uskomaton!

Vasemmalla meillä on ilmaus ja oikealla - vain.

Sitten teemme sen heti sen johtopäätöksen

Esimerkki #15

Annan hänen lyhyen ratkaisunsa (en todellakaan vaivaudu selittämään), yritä selvittää kaikki ratkaisun "hienot" itse.

Nyt katetun materiaalin lopullinen konsolidointi.

Ratkaise itsenäisesti seuraavat 7 tehtävää (vastauksineen)

1. Otetaan yhteinen tekijä pois suluista:
2. Esitämme ensimmäistä lauseketta muodossa: , jaa molemmat osat ja saa sen
3. , sitten alkuperäinen yhtälö muunnetaan muotoon: No, nyt vihje - katso missä sinä ja minä olemme jo ratkaisseet tämän yhtälön!
4. Kuvittele kuinka, miten, ah, no, jaa sitten molemmat osat, jotta saat yksinkertaisimman eksponentiaaliyhtälön.
5. Ota se pois suluista.
6. Ota se pois suluista.

EXPOSITIONAL YHTÄLÖT. KESKITASO

Oletan, että luettuani ensimmäisen artikkelin, joka kertoi mitä ovat eksponentiaaliset yhtälöt ja miten ne ratkaistaan, olet hallinnut tarvittavan vähimmäistiedon, jota tarvitaan yksinkertaisimpien esimerkkien ratkaisemiseen.

Nyt analysoin toista menetelmää eksponentiaalisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, tämä on ...

Menetelmä uuden muuttujan käyttöönottamiseksi (tai korvaamiseksi)

Hän ratkaisee suurimman osan "vaikeista" ongelmista eksponentiaalisten yhtälöiden (eikä vain yhtälöiden) aiheesta.

Tämä menetelmä on yksi yleisimmin käytetty käytännössä. Ensinnäkin suosittelen, että tutustut aiheeseen.

Kuten jo nimestä ymmärsit, tämän menetelmän ydin on muuttaa muuttujaa sellaiseksi, että eksponentiaalinen yhtälösi muuttuu ihmeellisesti sellaiseksi, jonka voit jo helposti ratkaista.

Tämän hyvin "yksinkertaistetun yhtälön" ratkaisemisen jälkeen sinulle jää vain tehdä "käänteinen korvaus" eli palata korvatusta korvattuun.

Havainnollistetaan mitä juuri sanoimme hyvin yksinkertaisella esimerkillä:

Esimerkki 16. Yksinkertainen korvausmenetelmä

Tämä yhtälö on ratkaistu "yksinkertainen vaihto", kuten matemaatikot sitä halventavasti kutsuvat.

Itse asiassa korvaaminen tässä on ilmeisin. Se on vain nähtävä

Sitten alkuperäinen yhtälö on:

Jos lisäksi kuvittelemme kuinka, niin on aivan selvää, että se on vaihdettava ...

Tietysti, .

Mistä sitten tulee alkuperäinen yhtälö? Ja tässä mitä:

Voit helposti löytää sen juuret itse:.

Mitä meidän pitäisi tehdä nyt?

On aika palata alkuperäiseen muuttujaan.

Mitä unohdin sisällyttää?

Nimittäin: kun korvaan tietyn asteen uudella muuttujalla (eli kun korvataan tyyppi), olen kiinnostunut vain positiiviset juuret!

Voit itse vastata helposti miksi.

Emme siis ole kiinnostuneita sinusta, mutta toinen juuri sopii meille varsin:

Sitten missä.

Vastaus:

Kuten näette, edellisessä esimerkissä korvaaja pyysi käsiämme. Valitettavasti näin ei aina ole.

Älä kuitenkaan mene suoraan surulliseen, vaan harjoittele vielä yhdellä esimerkillä melko yksinkertaisella korvauksella

Esimerkki 17. Yksinkertainen korvausmenetelmä

On selvää, että todennäköisesti se on vaihdettava (tämä on pienin yhtälöimme sisältyvistä tehoista).

Ennen kuin otamme käyttöön korvaavan, yhtälömme on kuitenkin "valmistettava" sitä varten, nimittäin: , .

Sitten voit korvata, tuloksena saan seuraavan lausekkeen:

Voi kauhua: kuutioyhtälö, jossa on aivan kauheita kaavoja sen ratkaisuun (no, yleisesti ottaen).

Mutta älkäämme vaipuko heti epätoivoon, vaan miettikäämme, mitä meidän pitäisi tehdä.

Ehdotan huijaamista: tiedämme, että saadaksemme "kauniin" vastauksen, meidän on saatava jokin teho kolmesta (miksi se olisi, vai mitä?).

Ja yritetään arvata ainakin yksi yhtälömme juuri (aloitan arvauksen kolmen potenssien perusteella).

Ensimmäinen arvaus. Ei ole juuri. Voi ja ah...

.
Vasen puoli on tasainen.
Oikea osa: !

On! Arvasin ensimmäisen juuren. Nyt asiat helpottuvat!

Tiedätkö "kulma"-jakojärjestelmästä? Tietenkin tiedät, käytät sitä, kun jaat yhden luvun toisella.

Mutta harvat tietävät, että sama voidaan tehdä polynomeilla.

On yksi upea lause:

Omassa tilanteessani se kertoo minulle, mikä on jaollinen ilman jäännöstä.

Miten jako suoritetaan? Näin:

Katson, mikä monomi minun pitäisi kertoa saadakseni

On selvää, että sitten:

Vähennän tuloksena olevan lausekkeen, saan:

Mitä minun pitää nyt kertoa saadakseni?

On selvää, että, niin saan:

ja vähennä jälleen tuloksena oleva lauseke jäljellä olevasta:

No, viimeinen vaihe, kerron ja vähennän jäljellä olevasta lausekkeesta:

Hurraa, jako on ohi! Mitä olemme keränneet yksityisesti?

Itsestään: .

Sitten saimme seuraavan laajennuksen alkuperäisestä polynomista:

Ratkaistaan ​​toinen yhtälö:

Sillä on juuret:

Sitten alkuperäinen yhtälö:

sillä on kolme juurta:

Tietenkin hylkäämme viimeisen juuren, koska se on pienempi kuin nolla.

Ja kaksi ensimmäistä käänteisen korvauksen jälkeen antavat meille kaksi juuria:

Vastaus: ..

Tarkoitukseni ei ollut pelotella sinua tällä esimerkillä!

Päinvastoin, pyrin osoittamaan, että vaikka meillä olikin melko yksinkertainen korvaus, se johti kuitenkin melko monimutkaiseen yhtälöön, jonka ratkaiseminen vaati meiltä erityistaitoja.

No, kukaan ei ole immuuni tälle. Mutta tässä tapauksessa muutos oli melko selvä.

Esimerkki 18 (vähemmän ilmeisellä korvauksella)

Ei ole ollenkaan selvää, mitä meidän pitäisi tehdä: ongelmana on, että yhtälössämme on kaksi erilaista kantaa, eikä yhtä kantaa voida saada toisesta nostamalla sitä mihinkään (järkevään, luonnollisesti) tehoon.

Mitä me kuitenkin näemme?

Molemmat kannat eroavat toisistaan ​​vain etumerkillä, ja niiden tulo on neliöiden erotus, joka on yhtä suuri:

Määritelmä:

Siten luvut, jotka ovat esimerkissämme emäksiä, ovat konjugoituja.

Siinä tapauksessa viisas teko olisi kerro yhtälön molemmat puolet konjugaattiluvulla.

Esimerkiksi päälle, yhtälön vasen puoli tulee yhtä suureksi ja oikea puoli.

Jos teemme korvaavan, alkuperäisestä yhtälöstämme tulee tällainen:

sen juuret siis, mutta kun muistamme sen, ymmärrämme sen.

Vastaus: ,.

Yleensä korvausmenetelmä riittää ratkaisemaan useimmat "koulun" eksponentiaaliyhtälöt.

Seuraavat monimutkaisemmat tehtävät on otettu koevaihtoehdoista.

Kolme monimutkaisempaa tehtävää koevaihtoehdoista

Olet jo tarpeeksi lukutaitoinen ratkaistaksesi nämä esimerkit itse. Annan vain tarvittavan vaihdon.

1. Ratkaise yhtälö:
2. Etsi yhtälön juuret:
3. Ratkaise yhtälö: . Etsi kaikki tämän yhtälön juuret, jotka kuuluvat segmenttiin:

Nyt muutama nopea selitys ja vastaus:

Esimerkki #19

Tässä riittää mainita, että ja.

Sitten alkuperäinen yhtälö vastaa tätä:

Tämä yhtälö ratkaistaan ​​korvaamalla

Tee seuraavat laskelmat itse.

Lopulta tehtäväsi rajoittuu yksinkertaisimman trigonometrisen ratkaisemiseen (sinistä tai kosinista riippuen). Keskustelemme tällaisten esimerkkien ratkaisusta muissa osioissa.

Esimerkki #20

Täällä voit jopa ilman vaihtoa ...

Riittää, kun siirrät aliosaa oikealle ja esität molemmat kantakohdat kahden potenssien kautta: ja sitten siirrytään heti toisen asteen yhtälöön.

Esimerkki #21

Se on myös ratkaistu melko tavallisesti: kuvittele kuinka.

Sitten korvaamalla saamme toisen asteen yhtälön: sitten,

Tiedätkö jo mikä logaritmi on? Ei? Lue sitten pikaisesti aihe!

Ensimmäinen juuri ei ilmeisesti kuulu segmenttiin, ja toinen on käsittämätön!

Mutta se selviää pian!

Siitä lähtien (tämä on logaritmin ominaisuus!)

Vähennä molemmista osista, niin saamme:

Vasen puoli voidaan esittää seuraavasti:

kerro molemmat puolet:

voidaan sitten kertoa

Sitten verrataan:

siitä lähtien:

Sitten toinen juuri kuuluu haluttuun väliin

Vastaus:

Kuten näet, eksponentiaaliyhtälöiden juurien valinta vaatii melko syvällistä tietoa logaritmien ominaisuuksista, joten suosittelen olemaan mahdollisimman varovainen eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa.

Kuten tiedät, matematiikassa kaikki on yhteydessä toisiinsa!

Kuten matematiikan opettajallani oli tapana sanoa: "Et voi lukea matematiikkaa kuin historiaa yhdessä yössä."

Pääsääntöisesti kaikki vaikeus ratkaista monimutkaisempia ongelmia on juuri yhtälön juurien valinta.

Toinen käytännön esimerkki...

Esimerkki 22

On selvää, että yhtälö itsessään ratkaistaan ​​melko yksinkertaisesti.

Tehtyään korvaamisen, vähennämme alkuperäisen yhtälömme seuraavaan:

Ensin harkitaan ensimmäinen juuri.

Vertaa ja: siitä lähtien. (logaritmisen funktion ominaisuus, at).

Silloin on selvää, että ensimmäinen juuri ei myöskään kuulu väliimme.

Nyt toinen juuri: . On selvää, että (koska toiminto kasvaa).

On vielä vertailla ja

siitä lähtien, samaan aikaan.

Näin ollen voin "ajaa tappia" ja välillä.

Tämä tapi on numero.

Ensimmäinen lauseke on pienempi kuin ja toinen suurempi kuin.

Tällöin toinen lauseke on suurempi kuin ensimmäinen ja juuri kuuluu väliin.

Vastaus:.

Lopuksi tarkastellaan toista esimerkkiä yhtälöstä, jossa korvaus on melko epästandardi.

Esimerkki 23 (yhtälö, jossa on epästandardi korvaus!)

Aloitetaan heti siitä, mitä voit tehdä ja mitä - periaatteessa voit, mutta on parempi olla tekemättä sitä.

On mahdollista - edustaa kaikkea kolmen, kahden ja kuuden voimien kautta.

Minne se johtaa?

Kyllä, eikä se johda mihinkään: asteiden sekamelska, joista joistakin on melko vaikea päästä eroon.

Mitä sitten tarvitaan?

Huomaa, että a

Ja mitä se meille antaa?

Ja se, että voimme pelkistää tämän esimerkin ratkaisun melko yksinkertaisen eksponentiaaliyhtälön ratkaisuksi!

Ensin kirjoitetaan yhtälömme uudelleen muotoon:

Nyt jaamme tuloksena olevan yhtälön molemmat puolet:

Eureka! Nyt voimme vaihtaa, saamme:

No, nyt on sinun vuorosi ratkaista ongelmia esittelyä varten, ja annan heille vain lyhyitä kommentteja, jotta et eksy! Onnea!

Esimerkki #24

Vaikein!

Korvaavan näkeminen täällä on oi, kuinka rumaa! Tämä esimerkki voidaan kuitenkin ratkaista täysin käyttämällä koko neliön valinta.

Sen ratkaisemiseksi riittää, että huomata:

Joten tässä on korvaajasi:

(Huomaa, että tässä, korvaamisellamme, emme voi hylätä negatiivista juuria!!! Ja miksi, mitä mieltä olette?)

Nyt esimerkin ratkaisemiseksi sinun on ratkaistava kaksi yhtälöä:

Molemmat ratkaistaan ​​"vakiokorvauksella" (mutta toinen yhdessä esimerkissä!)

Esimerkki #25

2. Huomaa se ja tee vaihto.

Esimerkki #26

3. Laajenna luku koprime-tekijöiksi ja yksinkertaista tuloksena olevaa lauseketta.

Esimerkki #27

4. Jaa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla (tai jos haluat) ja tee korvaus tai.

Esimerkki #28

5. Huomaa, että numerot ja ovat konjugoituja.

EXPONEENTIAALIEN YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN LOGARIFIOINTIMENETELMÄLLÄ. EDISTYNYT TASO

Lisäksi tarkastellaan toista tapaa - eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu logaritmimenetelmällä.

En voi sanoa, että eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisu tällä menetelmällä on erittäin suosittu, mutta joissakin tapauksissa vain se voi johtaa meidät yhtälömme oikeaan ratkaisuun.

Erityisen usein sitä käytetään ratkaisemaan ns. sekayhtälöt': eli ne, joissa on erityyppisiä toimintoja.

Esimerkki #29

yleisessä tapauksessa se voidaan ratkaista vain ottamalla molempien osien logaritmi (esimerkiksi kanta), jossa alkuperäinen yhtälö muuttuu seuraavaksi:

Tarkastellaanpa seuraavaa esimerkkiä:

On selvää, että olemme kiinnostuneita vain logaritmisen funktion ODZ:stä.

Tämä ei kuitenkaan johdu vain logaritmin ODZ:stä, vaan toisesta syystä.

Luulen, että sinun ei ole vaikea arvata kumpi.

Otetaan yhtälömme molempien puolten logaritmi kantaan:

Kuten näet, alkuperäisen yhtälömme logaritmin ottaminen johti meidät nopeasti oikeaan (ja kauniiseen!) vastaukseen.

Harjoitellaan vielä yhdellä esimerkillä.

Esimerkki #30

Tässäkään ei ole syytä huoleen: otamme yhtälön molempien puolten logaritmin kantana, jolloin saadaan:

Tehdään korvaava:

Jotain me kuitenkin missasimme! Huomasitko missä tein virheen? Loppujen lopuksi sitten:

joka ei täytä vaatimusta (arvatkaa mistä se tuli!)

Vastaus:

Yritä kirjoittaa alla olevien eksponenttiyhtälöiden ratkaisu:

Tarkista nyt ratkaisusi tällä:

Esimerkki #31

Otamme molempien osien logaritmin kantaan, koska:

(toinen juuri ei sovi meille vaihdon vuoksi)

Esimerkki #32

Logaritmi kantaan:

Muunnetaan tuloksena oleva lauseke seuraavaan muotoon:

EXPOSITIONAL YHTÄLÖT. LYHYT KUVAUS JA PERUSKAAVA

eksponentiaalinen yhtälö

Tyyppiyhtälö:

nimeltään yksinkertaisin eksponentiaalinen yhtälö.

Tutkinnon ominaisuudet

Ratkaisun lähestymistavat

• Vähentäminen samalle pohjalle
• Vähentäminen samaan eksponenttiin
• Muuttuva korvaus
• Yksinkertaista lauseke ja käytä jotakin yllä olevista.

Takaisin eteenpäin

Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut Tämä työ lataa täysi versio.

Oppitunnin tyyppi

: oppitunti tietojen, taitojen ja kykyjen yleistämisestä ja monimutkaisesta soveltamisesta aiheesta "Eksponentiaaliyhtälöt ja niiden ratkaisutavat".

Oppitunnin tavoitteet.

Opetusohjelmat:

toistaa ja systematisoida aiheen "Eksponentiaaliyhtälöt, niiden ratkaisut" päämateriaali; vahvistaa kykyä käyttää sopivia algoritmeja erityyppisten eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa; kokeeseen valmistautuminen.

Kehitetään:

kehittää opiskelijoiden loogista ja assosiatiivista ajattelua; edistää tiedon itsenäisen soveltamisen taidon kehittymistä.

Koulutuksellinen:

kasvattaa määrätietoisuutta, tarkkaavaisuutta ja tarkkuutta yhtälöiden ratkaisemisessa.

Laitteet:

tietokone ja multimediaprojektori.

Oppitunti käyttää Tietotekniikka : metodologinen tuki oppitunnille - esitys Microsoft Power Pointissa.

Tuntien aikana

Jokainen taito tulee kovalla työllä.

minä Oppitunnin tavoitteen asettaminen(dia numero 2 )

Tällä oppitunnilla teemme yhteenvedon ja yleistämme aiheen "Eksponentiaaliyhtälöt, niiden ratkaisut". Tutustutaan eri vuosien tentin tyypillisiin tehtäviin tästä aiheesta.

Tehtäviä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi löytyy mistä tahansa USE-tehtävien osasta. osassa " AT " yleensä ehdottaa yksinkertaisimpien eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemista. osassa " FROM " voit kohdata monimutkaisempia eksponentiaaliyhtälöitä, joiden ratkaisu on yleensä yksi tehtävän vaiheista.

Esimerkiksi ( dia numero 3 ).

• KÄYTTÖ - 2007

B 4 - Etsi lausekkeen suurin arvo x v, missä ( X; klo) on järjestelmän ratkaisu:

• KÄYTTÖ - 2008

B 1 - Ratkaise yhtälöt:

a) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

b) 4 X +1 + 8 4X= 3.

• KÄYTTÖ - 2009

B 4 - Etsi lausekkeen arvo x + y, missä ( X; klo) on järjestelmän ratkaisu:

• KÄYTTÖ - 2010

– Ratkaise yhtälö: 7 X– 2 = 49. – Etsi yhtälön juuret: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. – Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

II. Perustietojen päivittäminen. Toisto

(Diat 4–6 luokan esitykset)

Näyttö tulee näkyviin teoreettisen materiaalin viiteyhteenveto tässä aiheessa.

Seuraavista kysymyksistä keskustellaan:

1. Mitä yhtälöitä kutsutaan suuntaa antava?
2. Nimeä tärkeimmät tavat ratkaista ne. Anna esimerkkejä niiden tyypeistä ( dia numero 4 )

(Ratkaise itse ehdotetut yhtälöt kullekin menetelmälle ja suorita itsetesti dialla)

3. Mitä lausetta käytetään muodon yksinkertaisimpien eksponenttiyhtälöiden ratkaisemiseen: ja f(x) = a g(x)?
4. Mitä muita menetelmiä eksponentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi on olemassa? ( dia numero 5 )

• Faktorisointimenetelmä
(perustuu valtuuksien ominaisuuksiin samat perusteet, vastaanotto: alimman indikaattorin aste poistetaan suluista).
• Jaon (kertomisen) vastaanotto muulla eksponentiaalisella lausekkeella kuin nolla, kun ratkaistaan ​​homogeenisia eksponentiaaliyhtälöitä
.

• Neuvoja:

eksponentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa on hyödyllistä tehdä ensin muunnoksia, jolloin saadaan asteet samoilla perusteilla yhtälön molemmissa osissa.

1. Yhtälöiden ratkaiseminen kahdella viimeisellä menetelmällä, joita seuraa kommentit

(dia numero 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2 x 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. USE-tehtävien ratkaiseminen 2010

Oppilaat ratkaisevat itsenäisesti oppitunnin alussa ehdotetut tehtävät dialla nro 3 käyttäen ratkaisun ohjeita, tarkistavat ratkaisunsa ja vastaukset niihin esityksen avulla ( dia numero 7). Työn aikana keskustellaan ratkaisuvaihtoehdoista ja -menetelmistä, kiinnitetään huomiota mahdollisiin ratkaisuvirheisiin.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12-7 x = 36. Vastaus: a) X= 4, b) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X- 1 \u003d 0. (Voit korvata 0,5 \u003d 4 - 0,5)

Ratkaisu. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

Vastaus: X= -5/2, X = 1/2.

: 55 tg y+ 4 = 5 -tg y, osoitteessa cos y< 0.

Päätösehdotus

. 55 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

55 2g y+ 45 tg y- 1 = 0. Olkoon X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

Koska tg y= -1 ja cos y< 0 siis klo II koordinaattineljännes

Vastaus: klo= 3/4 + 2k, k N.

IV. Valkotaulun yhteistyö

Korkean oppimisen tehtävänä pidetään - dia numero 8. Tämän dian avulla syntyy dialogia opettajan ja oppilaiden välillä, mikä edistää ratkaisun kehittämistä.

- Millä parametrilla a yhtälö 2 2 X – 3 2 X + a 2 – 4a= 0:lla on kaksi juurta?

Päästää t= 2 X, missä t > 0 . Saamme t 2 – 3t + (a 2 – 4a) = 0 .

yksi). Koska yhtälöllä on kaksi juuria, niin D > 0;

2). Koska t 1,2 > 0 siis t 1 t 2 > 0 eli a 2 – 4a> 0 (?...).

Vastaus: a(– 0,5; 0) tai (4; 4,5).

V. Varmistustyö

(dia numero 9 )

Opiskelijat esiintyvät varmistustyötä esitteillä, itsehillinnän harjoittaminen ja esityksen avulla tehdyn työn itsearviointi, aiheeseen vaikuttaminen. He määrittelevät itsenäisesti itselleen ohjelman tiedon säätelemiseksi ja korjaamiseksi työkirjoissa tehtyjen virheiden perusteella. Tehdyt itsenäiset työt sisältävät lomakkeet luovutetaan opettajalle tarkistettavaksi.

Alleviivatut numerot - perustaso, tähdellä - lisääntynyt monimutkaisuus.

Ratkaisu ja vastaukset.

0,3 2X + 1 = 0,3 – 2 , 2X + 1 = -2, X= -1,5.

(1; 1).

3. 2 X– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 X– 1 76 = 19, 2 X– 1 = 1/4, 2 X– 1 = 2 – 2 , X– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 X 5X+ 5 25 X | : 25 X ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) X+ 5,

3 (9/27) X = 2 (3/5) X + 5 = 0,

3 (3/5) 2X – 2 (3/5) X - 5 = 0,…, (3/5) X = -1 (sopimaton),

(3/5) X = 5, x = -1.

VI. Kotitehtävät

(dia numero 10 )

• Toista kohdat 11, 12.
• Valitse yhtenäisen valtionkokeen 2008 - 2010 materiaaleista aiheeseen liittyvät tehtävät ja ratkaise ne.
• Kotitestityö
: