Kohde: tarkastella ZNO:n tehtäviä funktionaalisten graafisten menetelmien avulla esimerkin avulla eksponentti funktio y \u003d a x, a\u003e 0, a1

Oppitunnin tavoitteet:

• 
  toista eksponentiaalisen funktion monotonisuuden ja rajallisuuden ominaisuus;
• 
  toista algoritmi funktiokaavioiden piirtämiseksi muunnoksia käyttäen;
• 
  löytää joukko arvoja ja joukko funktion määritelmiä kaavan muodossa ja käyttämällä kaaviota;
• 
  päättää eksponentiaaliyhtälöt, epäyhtälöt ja kaavioita ja funktion ominaisuuksia käyttävät järjestelmät.
• 
  työskennellä moduulin sisältävien funktioiden kuvaajien kanssa;
• 
  tarkastella kompleksisen funktion kuvaajia ja niiden arvoalueita;

Tuntien aikana:

1. Opettajan johdantopuhe. Motivaatio tämän aiheen opiskeluun

dia 1 Eksponentti funktio. "Funktionaalis-graafiset menetelmät yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen"

Funktionaalis-graafinen menetelmä perustuu graafisten kuvien käyttöön, funktion ominaisuuksien soveltamiseen ja mahdollistaa monien matemaattisten ongelmien ratkaisemisen.

dia 2 Tehtävät oppitunnille

Tänään tarkastellaan ZNO:n eri monimutkaisuuden ongelmia funktionaalisten graafisten menetelmien avulla käyttämällä esimerkkiä eksponentiaalisesta funktiosta y = a x, a > o, a1. Graafisen ohjelman avulla teemme tehtäviin kuvituksia.

dia 3 Miksi on tärkeää tietää eksponentiaalisen funktion ominaisuudet?

• 
  Eksponentiaalisen funktion lain mukaan kaikki elämä maapallolla lisääntyisi, jos sille olisi suotuisat olosuhteet, ts. ei ollut luonnollisia vihollisia ja ruokaa oli runsaasti. Todiste tästä on kanien leviäminen Australiassa, joita ei ollut siellä aiemmin. Parin yksilön vapauttaminen riitti, sillä jonkin ajan kuluttua heidän jälkeläisistään tuli kansallinen katastrofi.
• 
  Luonnossa, tekniikassa ja taloudessa on lukuisia prosesseja, joiden aikana suuren arvo muuttuu saman verran, ts. eksponentiaalisen funktion lain mukaan. Näitä prosesseja kutsutaan prosesseiksi orgaaninen kasvu tai orgaaninen hajoaminen.
• 
  Esimerkiksi, bakteerien kasvua sisään ihanteelliset olosuhteet vastaa orgaanisen kasvun prosessia; radioaktiivinen hajoaminen– orgaaninen vaimennusprosessi.
• 
  noudattaa orgaanisen kasvun lakeja panoksen kasvu säästöpankissa hemoglobiinin palautuminen luovuttajan tai paljon verta menettäneen loukkaantuneen veressä.
• 
  Anna esimerkkejäsi
• 
  Sovellus tosielämässä (lääkeannos).

Lääkeannosilmoitus:

Kaikki tietävät, että lääkärin hoitoon suosittelemat pillerit on otettava useita kertoja päivässä, muuten ne ovat tehottomia. Lääkkeen toistuvan antamisen tarve veren vakiopitoisuuden ylläpitämiseksi johtuu lääkkeen tuhoutumisesta kehossa. Kuvassa näkyy, kuinka pitoisuus muuttuu useimmissa tapauksissa lääkkeet ihmisen tai eläimen veressä yhden annon jälkeen. Dia 4.

Lääkepitoisuuden laskua voidaan arvioida eksponentin avulla, jonka eksponentti sisältää ajan. On selvää, että lääkkeen tuhoutumisnopeuden kehossa tulisi olla verrannollinen aineenvaihduntaprosessien intensiteettiin.

Tiedossa on yksi traaginen tapaus, joka johtui tästä riippuvuudesta tietämättömyydestä. Tieteellisestä näkökulmasta lääke LSD, joka aiheuttaa erikoisia hallusinaatioita normaaleille ihmisille, on erittäin mielenkiintoinen psykiatreille ja neurofysiologeille. Jotkut tutkijat päättivät tutkia elefantin reaktiota tähän lääkkeeseen. Tätä varten he ottivat kissat raivostuttavan LSD-määrän ja kertoivat sen määrällä, kuinka monta kertaa norsun massa on suurempi kuin kissan massa, uskoen, että annettavan lääkeannoksen tulisi olla suoraan verrannollinen massaan. eläimestä. Tällaisen LSD-annoksen lisääminen norsulle johti hänen kuolemaansa 5 minuutissa, mistä kirjoittajat päättelivät, että norsuilla on lisääntynyt herkkyys tälle lääkkeelle. Myöhemmin lehdistössä ilmestynyt katsaus tästä työstä kutsui sitä "norsun kaltaiseksi virheeksi" kokeen tekijöiden mukaan.

2. Opiskelijoiden tiedon toteutuminen.

• 
  Mitä funktion oppiminen tarkoittaa? (muotoile määritelmä, kuvaa ominaisuuksia, rakenna kaavio)
• 
  Mikä on eksponentiaalinen funktio? Anna esimerkki.
• 
  Mitkä ovat eksponentiaalisen funktion pääominaisuudet?
• 
  Laajuus (rajoitus)
• 
  verkkotunnus
• 
  monotonisuus (nouseva-laskeva tila)
• 
  dia 5 . Määritä funktioarvojen joukko (valmiin piirustuksen mukaan)

• 
  dia 6. Nimeä funktion kasvun ja pienenemisen ehto ja korreloi funktion kaava sen kuvaajaan

• 
  Dia 7. Kuvaa valmiin piirustuksen mukaan funktiograafien piirtämisalgoritmi

Dia a) y \u003d 3 x + 2

b) y \u003d 3 x-2 - 2

3. Diagnostiikka itsenäinen työ(PC:llä).

Luokka on jaettu kahteen ryhmään. Pääosa tunnista on koetehtävien tekeminen. Vahvat opiskelijat suorittavat vaikeampia tehtäviä.

• 
  Itsenäinen työskentely ohjelmassatehoa kohta(suurelle osalle luokkaa ZNO:n testitehtävien tyypin mukaan suljetulla vastauslomakkeella)
  1. 
     Mikä eksponentiaalinen funktio kasvaa?
  2. 
     Etsi toiminnon laajuus.
  3. 
     Etsi funktion alue.
  4. 
     Funktion kuvaaja saadaan eksponentiaalisen funktion kaaviosta rinnakkaissiirrolla akselia pitkin ... .. yksiköllä ...
  5. 
     Määritä valmiin piirustuksen mukaan toiminnon laajuus ja laajuus
  6. 
     Määritä a:n arvo, jonka eksponentiaalinen funktio kulkee pisteen läpi.
  7. 
     Mikä kuva esittää kuvaajaa eksponentiaalisesta funktiosta, jonka kanta on suurempi kuin yksi.
  8. 
     Yhdistä funktion kaavio kaavan kanssa.
  9. 
     Tämän epäyhtälön graafinen ratkaisu on esitetty kuvassa.
  10. 
      ratkaise epäyhtälö graafisesti (valmiin piirustuksen mukaan)
• 
  Itsenäinen työskentely (luokan vahvalle osalle)

• 
  dia 8. Kirjoita muistiin funktion graafin piirtämisalgoritmi, nimeä sen määritelmäalue, arvoalue, kasvu- ja vähennysvälit.

• 
  dia 9. Yhdistä funktion kaava sen kuvaajaan

)

Oppilaat tarkistavat vastauksensa virheitä korjaamatta, luovuttavat itsenäisen työn opettajalle

• 
  Dia 10. Vastaukset testitehtäviin

1) D 2) B 3) C 4) A

5) D 6) C 7) B 8) 1-D 2-A 3-C 4-B

9) A 10)(2;+ )

• 
  Dia 11 (tarkista tehtävä 8)

Kuvassa on kaavioita eksponentiaalisista funktioista. Yhdistä funktion kaavio kaavan kanssa.

4. Uuden aiheen oppiminen. Funktionaalis-graafisen menetelmän soveltaminen yhtälöiden, epäyhtälöiden, järjestelmien ratkaisemiseen, monimutkaisten funktioiden alueen määrittämiseen

Dia 12. Toiminnallisesti graafinen tapa ratkaista yhtälöitä

Muodon f (x) \u003d g (x) yhtälön ratkaisemiseksi funktionaalisella graafisella menetelmällä tarvitset:

Muodosta funktioiden y=f(x) ja y=g(x) kuvaajat yhteen koordinaattijärjestelmään.

Määritä näiden funktioiden kuvaajien leikkauspisteen koordinaatit.

Kirjoita vastaus muistiin.

TEHTÄVÄ №1 YHTÄLÖIDEN RATKAISU

Dia 13.

• 
  Onko yhtälöllä juuria, ja jos on, onko se positiivinen vai negatiivinen?

• 
  6 x \u003d 1/6

• 
  (4/3) x = 4

DIA 14

5. Käytännön työn toteutus.

dia 15.

Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti. Opiskelijoita pyydetään suorittamaan tehtävä ja vastaamaan sitten kysymykseen: "Onko tarpeen rakentaa funktioiden kaavioita tämän yhtälön ratkaisemiseksi?". Vastaus: ”Funktion koko määritelmäalueella kasvaa ja funktio pienenee. Siksi tällaisten funktioiden kaavioissa on enintään yksi leikkauspiste, mikä tarkoittaa, että yhtälöllä on enintään yksi juuri. Valinnan perusteella löydämme sen.

• 
  Ratkaise yhtälö:

3x = (x-1) 2 + 3

dia 16. .Ratkaisu: Käytämme yhtälöiden ratkaisemiseen funktionaalista menetelmää:

koska tällä järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, niin valinnalla löydämme x = 1

TEHTÄVÄ № 2 EROTTAVUUSRATKAISU

Graafiset menetelmät mahdollistavat eri funktioita sisältävien epäyhtälöiden ratkaisemisen. Tätä varten, kun on piirretty funktioiden kaaviot epäyhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle ja määritetty kaavioiden leikkauspisteen abskissa, on tarpeen määrittää väli, jolla yhden kaavion kaikki pisteet ovat yläpuolella. (alle 0 pistettä toisesta.

• 
  Ratkaise epäyhtälö:

dia 17.

a) cos x 1 + 3 x

dia 1 8. Ratkaisu:

Vastaus: ( ; )

Ratkaise graafinen epäyhtälö.

Dia 19.

(Eksponentiaalisen funktion kuvaaja on yhtälön oikealle puolelle kirjoitetun funktion yläpuolella).

Vastaus: x>2. O

.
Vastaus: x>0.

TEHTÄVÄ №3 Eksponenttifunktio sisältää moduulin etumerkin eksponentissa.

Toistetaan moduulin määritelmä.

(kirjoittaa taululle)

dia 20.

Tee muistiinpanoja muistikirjaasi:

1).

2).

Dialla on graafinen kuva, jossa kerrotaan kuinka kaaviot rakennetaan.

Dia 21.

Tämän yhtälön ratkaisemiseksi sinun on muistettava eksponentiaalisen funktion rajallisuusominaisuus. Funktio ottaa arvoja > 1, a-1 > 1, joten yhtäläisyys on mahdollista vain, jos yhtälön molemmat puolet ovat yhtä aikaa yhtä suuret kuin 1. Näin ollen, kun tämä järjestelmä ratkaistaan, huomaamme, että X = 0.

TEHTÄVÄ 4. Monimutkaisten funktioiden alueen löytäminen.

dia 22.

Määritä peräkkäin paraabelin huipun koordinaatit ja löydä alue käyttämällä kykyä rakentaa kaavio neliöfunktiosta.

dia 23.

, on paraabelin kärki.

Kysymys: määrittää funktion monotonisuuden luonteen.

Eksponentiaalinen funktio y \u003d 16 t kasvaa, koska 16>1.

Kunnallinen oppilaitos

Jurjevskajan peruskoulu

Ostrovskin alue

Alueellisen menetelmäkilpailun kuntavaihe

Nimitys

Toolkit

Aihe

Funktionaalis-graafinen menetelmä yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen lukion algebran koulukurssilla.

Valmistelija:

matematiikan opettaja

Johdanto

Koulun oppikirjojen analyysi

KÄYTÄ-analyysi

1. Yleinen teoreettinen osa

1.1. Graafinen menetelmä

1.2. toiminnallinen menetelmä

2. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen sisääntulevan ominaisuuksien avulla

niillä on toimintoja

2.1. DHS:n käyttö

2.2. Rajoitettujen toimintojen käyttö

2.3. Funktion monotonisuuden käyttö

2.4. Funktiokaavioiden käyttäminen

2.5. Parillisten tai parittomien ominaisuuksien ja funktioiden jaksollisuuden käyttäminen .

3. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen

3.1. Yhtälöiden ratkaiseminen

3.2. Eriarvoisuuksien ratkaiseminen

Työpaja

Bibliografia

Sovellus

Johdanto

Työni aiheena on "Funktionaalis-graafinen menetelmä yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi lukion algebran koulukurssilla". Yksi lukion algebrakurssin pääaiheista. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen on tärkeässä roolissa lukion matematiikan kurssilla. Koululaiset alkavat tutustua epätasa-arvoon ja yhtälöihin peruskoulussa.

Aiheiden "Yhtälöt" ja "Epäyhtälöt" sisältö syvenee ja laajenee vähitellen. Joten esimerkiksi eriarvoisuuksien prosenttiosuus kaikesta tutkitusta materiaalista arvosanalla 7 on 20%, arvosanalla 8 - 25%, arvosanalla 9 - 30%, arvosanalla 10-11 - 35%.

Epäyhtälöiden ja yhtälöiden lopullinen opiskelu tapahtuu algebran ja analyysin alussa luokilla 10-11. Jotkut yliopistot sisällyttävät koelipuihin yhtälöitä ja epätasa-arvoja, jotka ovat usein hyvin monimutkaisia ​​ja vaativat erilaisia ​​​​lähestymistapoja. Yksi koulun vaikeimmista osista koulun kurssi Matematiikkaa käsitellään vain muutamilla valinnaisilla luokilla.

Tämän työn tavoitteena on tarjota kattavampi kuvaus funktionaalisen graafisen menetelmän soveltamisesta yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisuun. lukio algebran kurssi.

Tämän työn relevanssi on, että tämä aihe on sisällytetty kokeeseen.

Ruoanlaitto Tämä työ, Asetin tavoitteeksi ottaa huomioon mahdollisimman monenlaisia ​​yhtälöitä ja epäyhtälöitä, jotka ratkaistaan ​​funktionaal-graafisella menetelmällä. Myös tutkia tätä aihetta syvemmin tunnistamalla järkevin ratkaisu, joka johtaa nopeasti vastaukseen.

Tutkimuskohteena ovat algebran arvosanat 10-11 kokeen toimituksella ja muunnelmilla.

Tässä artikkelissa pohditaan usein kohtaamia yhtälötyyppejä ja eriarvoisuuksia, toivon, että työprosessissa saamani tiedot auttavat koulukokeiden läpäisyssä ja yliopistoon pääsyssä. Se voi myös palvella metodologinen opas valmistaa opiskelijoita kokeeseen.

Koulun oppikirjojen analyysi

Metodologisessa kirjallisuudessa on hyväksytty, että kaikki menetelmät, joihin koululinjan yhtälöt ja epäyhtälöt perustuvat luokilta 7-11, on jaettu kolmeen ryhmään:

ü tekijöiden jakomenetelmä;

menetelmä uusien muuttujien käyttöön ottamiseksi;

ü funktionaalinen-graafinen menetelmä.

Harkitse kolmatta menetelmää, nimittäin funktioiden ja kaavioiden käyttöä erilaisia ​​ominaisuuksia toimintoja.

Koululaisia ​​on opetettava käyttämään funktionaalista graafista menetelmää "Yhtälöt"-aiheen opiskelun alusta lähtien.

Joidenkin tehtävien ratkaisu voi perustua niihin sisältyvien funktioiden monotonisuuden, jaksollisuuden, tasaisuuden tai parittomuuden jne. ominaisuuksiin.

Oppikirjojen analysoinnin jälkeen voimme päätellä, että tätä aihetta käsitellään vain uuden sukupolven matematiikan oppikirjoissa,,, Kurssin rakentaminen näissä oppikirjoissa tapahtuu funktionaalisen graafisen linjan prioriteetin perusteella. Muissa oppikirjoissa funktionaalista graafista menetelmää yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi ei esitetä erillisenä aiheena. Funktioominaisuuksien käyttö ongelmien ratkaisemiseen mainitaan ohimennen muissa aiheissa. Uusissa oppikirjoissa on myös riittävä määrä tämän tyyppisiä tehtäviä. Oppikirja sisältää tehtäviä edistynyt taso. Eniten täydellinen järjestelmä tehtävät, jotka on systematisoitu funktion kullekin ominaisuudelle.

Oppikirja	"Algebra and the Beginnings of Analysis 10-11", oppikirja oppilaitoksille,	, "Algebra and the Beginnings of Analysis 11", oppikirja oppilaitoksille (profiilitaso)		ja muut "Algebra ja analyysin alku 11", oppikirja oppilaitoksille	ja muut "Algebra ja analyysin alku 10-11", oppikirja oppilaitoksille
Paikka tiedossa	Luku 8 ”Yhtälöt ja epäyhtälöt. Yhtälö- ja epäyhtälöjärjestelmät” (kurssin viimeinen aihe)	Luku 6 ”Yhtälöt ja epäyhtälöt. Yhtälö- ja epäyhtälöjärjestelmät” (kurssin viimeinen aihe)	Luku II "Yhtälöt, epäyhtälöt, järjestelmät"	Ei ole erillistä aihetta. Mutta aiheessa "Päätös trigonometriset yhtälöt ja epäyhtälöt” muotoillaan juurilause, jota käytetään jatkotutkimuksessa	Ei omaa aihetta
	§ §56 Yleiset menetelmät yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi (, funktionaalinen-graafinen menetelmä: juurilause, funktion rajoitus)	§ 27 Yleiset menetelmät yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseksi (, funktionaalinen-graafinen menetelmä: juurilause, funktion rajoitus)	§ Muodon yhtälöt (epäyhtälöt) ; § §12*Epästandardit menetelmät yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen (funktioiden olemassaoloalueiden käyttö, funktioiden ei-negatiivisuus, rajallisuus, sin- ja cos-ominaisuuksien käyttö, derivaatan käyttö)	Funktion monotonisuuden ominaisuus, parillinen ja pariton (johdettaessa kaavoja trigonometristen yhtälöiden juurille)	Monotonisuuden ominaisuus mainitaan jäsennettäessä esimerkkiä aiheessa "Eksponenttifunktio"
Esimerkkejä tarkasteluista yhtälöistä ja epäyhtälöistä	(;		Ratkaise yhtälö. Kuinka monta tähän väliin kuuluvaa juuria yhtälöllä on?	ratkaise yhtälö

KÄYTÖN analyysi (tekstit ja tulokset)

Venäläisen koulutuksen käytäntöön vuonna 2002 otettu yhtenäinen valtionkoe todistusmuodona on siirtynyt kokeellisesta tavallisuuteen vuodesta 2009 lähtien.

USE-tekstien analyysi osoitti, että tehtäviä, joiden ratkaisussa käytetään funktioiden ominaisuuksia, tulee joka vuosi.

Vuonna 2003 tehtävissä A9 ja C2 ratkottaessa voit käyttää funktioiden ominaisuuksia:

A9. Määritä väli, johon yhtälön juuret kuuluvat .

C2. Etsi kaikki arvot s, jolle yhtälö ei ole juuria.

· Vuonna 2004 – tehtävä В2. Kuinka monta juurta yhtälöllä on .

Vuonna 2005 tehtävä C2 (ratkaise yhtälö ) suoritti 37 % opiskelijoista.

Vuonna 2007 suoritettaessa tehtävää "Ratkaise yhtälö" osassa B valmistuneet ottivat yhtälön ratkaisemisessa huomioon kaksi tapausta, joissa tavallisesti paljastetaan moduulin etumerkki..gif" width="81" height="24"> saa vain positiivisen arvot.

Hyvin valmistautuneetkin opiskelijat suorittavat usein tehtäviä käyttämällä "mallipohjaisia" ratkaisumenetelmiä, jotka johtavat hankaliin muunnoksiin ja laskelmiin.

Ilmeisesti edellä mainittuja tehtäviä suorittaessaan hyvin koulutetun valmistuneen täytyi osoittaa paitsi tunnettujen yhtälöiden ratkaisu- tai lausekkeiden muunnosmenetelmien tuntemus, myös kyky analysoida ehtoa, korreloida tietoja ja tehtävän vaatimuksia, johtaa erilaisia tilan seuraukset jne., jotka osoittavat matemaattisen ajattelun tietyn kehitystason.

Hyvin suoriutuvia opiskelijoita opetettaessa ei siis tarvitse huolehtia pelkästään algebran kurssin peruskomponentin ja analyysin alkujen hallitsemisesta (oppittujen sääntöjen, kaavojen, menetelmien hallinta), vaan myös jonkin seuraavista toteutuksista. matematiikan opetuksen päätavoitteet - opiskelijoiden ajattelun, erityisesti matemaattisen ajattelun, kehittäminen. Tämän tavoitteen saavuttamiseksi voidaan käyttää valinnaisia ​​kursseja.

Itse asiassa oppilaitosten opiskelijat tutustuvat perinteisesti graafiseen ratkaisumenetelmään yhtälöiden, epäyhtälöiden ja niiden järjestelmien ratkaisemiseksi matematiikkaa opiskellessaan. Kuitenkin sisään viime vuodet matematiikan opetuksen sisältöön ilmestyy uusia yhtälöluokkia (epäyhtälöt) ja uusia toiminnallisia menetelmiä niiden ratkaisemiseksi. Kuitenkin yhtenäisen valtiokokeen (USE) ohjaus- ja mittausmateriaaleihin sisältyvät tehtävät (ns. yhdistetyt yhtälöt), joiden ratkaisut edellyttävät vain funktionaalisen graafisen menetelmän käyttöä, aiheuttavat opiskelijoille vaikeuksia.

1. Yleinen teoreettinen osa

Olkoot X ja Y kaksi mielivaltaista numeerista joukkoa. Näiden joukkojen elementit merkitään x:llä ja y:llä, ja niitä kutsutaan muuttujiksi.

Määritelmä. Joukkoon X määritetty numeerinen funktio, joka ottaa arvoja joukosta Y, on vastaavuus (sääntö, laki), joka sovittaa jokaisen joukon X x:n yhteen ja vain yhteen arvoon y joukosta Y.

Muuttujaa x kutsutaan riippumattomaksi muuttujaksi or Perustelu, ja muuttuja y on riippuvainen muuttuja. Sanomme myös, että muuttuja y on toiminto muuttujasta x. Riippuvaisen muuttujan arvoja kutsutaan funktion arvoiksi.

Esitetty numeerisen funktion käsite on erikoistapaus yleinen käsite toimii vastaavuutena kahden tai useamman mielivaltaisen joukon elementtien välillä.

Olkoot X ja Y kaksi mielivaltaista joukkoa.

Määritelmä. Joukkoon X määritetty funktio, joka ottaa arvoja joukosta Y, on vastaavuus, joka liittyy jokaiseen joukon X alkioon ja vain yhteen alkioon joukosta Y.

Määritelmä. Toiminnon määrittäminen tarkoittaa sen määritelmän laajuuden ja vastaavuuden (säännön) määrittelyä, jolla sitä vastaavan funktion arvot löydetään riippumattoman muuttujan annetusta arvosta.

Kaksi yhtälöiden ratkaisutapaa liittyy funktion käsitteeseen: graafinen ja toimiva. Funktionaalisen menetelmän erikoistapaus on menetelmä toimiva tai universaali vaihdot.

Määritelmä. Tämän yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen juurien (ratkaisujen) joukon löytämistä. Juurien (ratkaisujen) joukko voi olla tyhjä, äärellinen tai ääretön. Teoreettisen osan seuraavissa luvuissa analysoimme yllä olevia yhtälöiden ratkaisumenetelmiä ja käytännön osiossa esittelemme niiden soveltamista erilaisiin tilanteisiin.

1.1. Graafinen menetelmä.

Käytännössä joidenkin funktioiden piirtämiseksi funktioarvojen taulukko laaditaan joillekin argumentin arvoille, sitten vastaavat pisteet piirretään koordinaattitasolle ja yhdistetään peräkkäin viivalla. Oletetaan, että pisteet osoittavat tarkasti funktion muutoksen etenemisen.

Määritelmä. Funktion y = f(x) kuvaaja on kaikkien pisteiden joukko

(x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" width="616" height="403">

Kaavioiden leikkauspisteellä on koordinaatit (0.5; 0). Näin ollen x = 0,5

Vastaus: x = 0,5

Esimerkki 2

10| sinx|=10|cosx|-1

Tämä yhtälö on rationaalisesti ratkaistu graafis-analyyttisellä menetelmällä.

Koska 10>1, tämä yhtälö vastaa seuraavaa:

Kaavioiden leikkauspisteillä on koordinaatit ();. Siksi x=.

Vastaus: x=

1.2. toiminnallinen menetelmä

Jokaista muotoa f(x)=g(x) olevaa yhtälöä muunnosten seurauksena ei voida pelkistää yhden tai toisen vakiomuodon yhtälöksi, johon tavanomaiset ratkaisumenetelmät sopivat. Tällaisissa tapauksissa on järkevää käyttää sellaisia ​​funktioiden f(x) ja g(x) ominaisuuksia kuten monotonisuus, rajallisuus, tasaisuus, jaksollisuus jne. Eli jos yksi funktioista kasvaa ja toinen pienenee tietyllä aikavälillä , niin yhtälöllä f(x) = g(x) ei voi olla enempää kuin yksi juuri, joka periaatteessa löytyy valinnalla. Lisäksi jos funktio f(x) rajataan ylhäältä ja funktio g(x) alhaalta niin, että f(x) max=A g(x) msisään=A, yhtälö f(x)=g(x) vastaa yhtälöjärjestelmää

Myös funktionaalista menetelmää käytettäessä on järkevää käyttää joitain alla olevia lauseita. Niiden todistamiseksi ja käyttämiseksi tarvitaan seuraavat yhtälöt yleisnäkymä:

(2)

Lause 1. Yhtälön (1) juuret ovat yhtälön (2) juuret.

Lause 2. Jos f(x) on kasvava funktio välillä a

Viimeinen lause sisältää seurauksen, jota käytetään myös ratkaisuissa:

Seuraus 1. Jos f(x) kasvaa koko määritelmäalueensa yli, yhtälöt (1) ja (2) ovat ekvivalentteja tällä välillä. Jos f(x) pienenee koko määritelmän alueella, n on pariton, yhtälöt (1) ja (2) ovat ekvivalentteja annetulla intervallilla.

Lause 3. Jos yhtälö f(x)=g(x) mille tahansa hyväksyttävälle x:lle täyttää ehdot f(x)≥a, g(x)≤a, missä a on jokin reaaliluku, niin annettu yhtälö vastaa järjestelmää

Seuraus 2. Jos yhtälössä f(x)+g(x)=a+b mille tahansa hyväksyttävälle x f(x)≤a, g(x)≤b, niin tämä yhtälö vastaa järjestelmää

Funktionaalista yhtälön ratkaisumenetelmää käytetään usein yhdessä graafisen kanssa, koska molemmat menetelmät perustuvat samoihin funktioiden ominaisuuksiin. Joskus näiden menetelmien yhdistelmää kutsutaan graafinen analyyttinen menetelmä.

Esimerkki 1

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 =>

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48">

=> x=π, kun k=0

Vastaus: x=π

1.3. Funktiokorvausmenetelmä

Funktionaalisen menetelmän erikoistapaus on funktionaalisen substituution menetelmä - ehkä yleisin menetelmä monimutkaisten matemaattisten ongelmien ratkaisemiseksi. Menetelmän ydin on uuden muuttujan y=ƒ(x) käyttöönotto, jonka soveltaminen johtaa yksinkertaisempaan lausekkeeseen. Erillinen funktionaalisen substituution tapaus on trigonometrinen substituutio.

Muodon trigonometrinen yhtälö

R(sin kx, cos nx, tg mx.ctg lx) = 0 (3)

jossa R on rationaalinen funktio, k,n,m,lнZ voidaan kaksois- ja kolmoisargumentin trigonometristen kaavojen sekä summauskaavojen avulla pelkistää rationaaliseksi yhtälöksi argumenttien sin suhteen x, cos x, tg x.ctg x, jonka jälkeen yhtälö (3) voidaan pelkistää rationaaliseksi yhtälöksi t=tg( x/2) käyttämällä universaaleja trigonometrisiä korvauskaavoja

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Synti x= cos x=

1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2)

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Tg x=ctg x=

1-tg²(x/2) 2tg(x/2)

On huomattava, että kaavojen (4) käyttö voi johtaa alkuperäisen yhtälön ODZ:n kaventumiseen, koska tg(x/2) ei ole määritelty pisteissä x=π+2πk, kОZ, joten tällaisissa tapauksissa on tarpeen tarkistaa, ovatko kulmat x=π+ 2πk, kОZ alkuperäisen yhtälön juuria.

Esimerkki 1

synti x+√2-sin² x+ synti x√2-sin² x = 3

Olkoon nyt r = u+v ja s=uv, niin se seuraa yhtälöjärjestelmästä

Koska u = synti x ja u = 1, sitten sin x= 1 ja x = π/2+2πk, kн Z

Vastaus: x = π/2+2πk, kОZ

Esimerkki 2

5 synti x-5 tg x

+4(1- cos x)=0

synti x+ tg x

On järkevää ratkaista tämä yhtälö funktionaalisen substituution menetelmällä.

Koska tg x ei ole määritelty x = π/2+πk, kн Z, ja syntiä x+tg x=0 x = πk, kн Z, silloin kulmat x = πk/2, kн Z eivät sisälly ODZ-yhtälöön.

Käytämme kaavoja puolikulman tangentille ja merkitsemme t=tg( x/2), kun taas tehtävän ehdon mukaan t≠0;±1, niin saamme

https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0

Koska t≠0;±1, tämä yhtälö vastaa yhtälöä

5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0

mistä t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kн Z

Esimerkki 3

tg x+ ctg x+ tg²x+ ctg²x+ tg³x+ ctg³x=6

Tämä yhtälö on rationaalisesti ratkaistu funktionaalisen substituution menetelmällä.

Olkoon y=tg x+ctg x, sitten tg² x+ctg² x=y²-2, tg³ x+ctg³ x=y³-3v

Koska tg x+ctg x=2, sitten tg x+1/tg x=2. Tästä seuraa, että tg x=1 ja x = π/4+πk, kн Z

Vastaus: x = π/2+2πk, kн Z

2. Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaiseminen niihin sisältyvien funktioiden ominaisuuksien avulla

2. 1. ODZ:n käyttö.

Joskus ODZ:n tunteminen mahdollistaa sen, että voidaan todistaa, että yhtälöllä (tai epäyhtälöllä) ei ole ratkaisuja, ja joskus sen avulla voidaan löytää ratkaisuja yhtälöön (tai epäyhtälöön) korvaamalla numerot suoraan ODZ:stä.

Esimerkki 1 ratkaise yhtälö

Ratkaisu. Tämän yhtälön ODZ koostuu kaikista x:istä, jotka samanaikaisesti täyttävät ehdot 3-x0 ja x-3>0, eli ODZ on tyhjä joukko. Tämä täydentää yhtälön ratkaisun, koska on todettu, että mikään luku ei voi olla ratkaisu, eli yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: Ratkaisuja ei ole.

Esimerkki 2 ratkaise yhtälö

(1)

Ratkaisu. Tämän yhtälön ODZ koostuu kaikista x:istä, jotka samanaikaisesti täyttävät ehdot, eli ODZ korvaa nämä x:n arvot yhtälöön (1), huomaamme, että sen vasen ja oikea puoli ovat 0, mikä tarkoittaa, että kaikki https ://pandia.ru/ text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21">

Esimerkki 3 Ratkaise epätasa-arvo

Ratkaisu. Epäyhtälön (2) ODZ koostuu kaikista х:stä, jotka samanaikaisesti täyttävät ehdot eli ODZ koostuu kahdesta numerosta ja . Korvaamalla epäyhtälöön (2) saamme, että sen vasen puoli on yhtä suuri kuin 0, oikea puoli on yhtä suuri kuin https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" height ="23">. gif" width="117 height=41" height="41">.

Vastaus: x=1.

Esimerkki 4 Ratkaise epätasa-arvo

(3)

Ratkaisu. Epäyhtälön (3) ODZ on kaikki x, jotka täyttävät ehdon 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0

Vastaus: 0

Esimerkki 5 Ratkaise epätasa-arvo

Solution..gif" width="73" height="19"> ja .

X:lle väliltä https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" height = "24"> tällä välillä, joten epäyhtälöllä (4) ei ole ratkaisuja tällä välillä.

Kuulukoon x väliin , sitten https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> tällaiselle x:lle, ja siksi Epäyhtälöllä (4) ei myöskään ole ratkaisuja tälle intervallille.

Epäyhtälöllä (4) ei siis ole ratkaisuja.

Vastaus: Ratkaisuja ei ole.

Huomautukset.

Yhtälöitä ratkaistaessa ei ole tarpeen löytää ODZ:tä. Joskus on helpompi mennä tutkimuksiin ja tarkistaa löydetyt juuret. Epäyhtälöitä ratkottaessa on joskus mahdollista olla etsimättä ODZ:tä, vaan ratkaista epäyhtälö siirtymällä vastaavaan epätasa-arvojärjestelmään, jossa joko jollakin epäyhtälöistä ei ole ratkaisuja tai sen ratkaisun tunteminen auttaa ratkaisemaan epäyhtälöjärjestelmä .

Esimerkki 6 Ratkaise epätasa-arvo

Ratkaisu. ODZ-epätasa-arvon löytäminen ei ole helppo tehtävä, joten tehdään se toisin. Epätasa-arvo (5) vastaa eriarvoisuusjärjestelmää

(6)

Tämän järjestelmän kolmas epätasa-arvo vastaa eriarvoisuutta, jolla ei ole ratkaisuja. Näin ollen eriarvoisuusjärjestelmällä (6) ei ole ratkaisuja, mikä tarkoittaa, että epäyhtälöllä (5) ei myöskään ole ratkaisuja.

Vastaus: Ratkaisuja ei ole.

Esimerkki 7 Ratkaise epätasa-arvo

. (7)

Ratkaisu. Epäyhtälön (7) ODZ:n löytäminen on vaikea tehtävä. Tehdään siis toisin. Epätasa-arvo (7) vastaa eriarvoisuusjärjestelmää

(8)

Tämän järjestelmän kolmannella epäyhtälöllä on ratkaisut kaikille x:ille väliltä -1

2.2. Rajoitettujen toimintojen käyttö.

Yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa ominaisuus olla alhaalta tai ylhäältä jonkin tietyn joukon funktion rajoittama on usein ratkaiseva rooli.

Esimerkiksi jos kaikille x:lle jostakin joukosta M epäyhtälöt f(x)>A ja g(x)

Huomaa, että luvun A rooli on usein nolla; tässä tapauksessa puhutaan funktioiden f(x) ja g(x) etumerkin säilymisestä joukossa M.

Esimerkki 1 ratkaise yhtälö

Solution..gif" width="191" height="24 src="> Koska millä tahansa x:n arvolla yhtälön vasen puoli ei ylitä yhtä ja oikea puoli on aina vähintään kaksi, tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja .

Vastaus: ei ratkaisuja.

Esimerkki 2 ratkaise yhtälö

(9)

Ratkaisu. Ilmeisesti x=0, x=1, x=-1 ovat ratkaisuja yhtälöön (9)..gif" width="36" height="19">, koska jos on sen ratkaisu, niin (-) on myös hänen ratkaisunsa. päätös.

Jaetaan joukko x>0, , kahdeksi väliksi (0;1) ja (1;+∞).

Kirjoitetaan yhtälö (9) uudelleen muotoon https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" height="28">.gif" width="99" height="25" src=">vain positiivinen. Näin ollen yhtälöllä (9) ei ole ratkaisuja tällä välillä.

Kuuluu x väliin (1;+∞). Jokaiselle näistä x-arvoista funktio ottaa positiivisia arvoja, funktio https://pandia.ru/text/78/500/images/image105_1.gif" width="99" height="25 src="> ei ole positiivinen. Siksi tällä aikavälillä yhtälöllä (9) ei ole ratkaisuja.

Jos х>2 , niin , ja tämä tarkoittaa, että yhtälöllä (9) ei myöskään ole ratkaisuja välillä (2;+∞).

Joten x=0, x=1 ja x=-1 ja vain ne ovat ratkaisuja alkuperäiseen yhtälöön.

Vastaus:

Esimerkki 3 Ratkaise epätasa-arvo

Ratkaisu. Epäyhtälön (10) ODZ on kaikki todellinen x, paitsi x=-1. Jaetaan ODZ kolmeen joukkoon: -∞<х<-1, -1

Olkoon -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. Siksi kaikki nämä х ovat eriarvoisuuden (10) ratkaisuja.

Anna -1 , a. Näin ollen mikään näistä x ei ole ratkaisu epäyhtälölle (10).

Anna 0 , a. Siksi kaikki nämä х ovat eriarvoisuuden (10) ratkaisuja.

Vastaus: -∞<х<-1; 0

Esimerkki 4 ratkaise yhtälö

(11)

Ratkaisu. Merkitse f(x) kautta. Absoluuttisen arvon määritelmästä seuraa, että f(x)= osoitteessa https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src="> .gif" width="43" height="41 src=">. Siksi, jos , yhtälö (11) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon , eli muotoon ..gif" width="53" height="41"> tyydyttää vain . Jos , yhtälö (11) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" width="73 height=41" height="41">. Tällä yhtälöllä on ratkaisut . Vain näistä x-arvoista .

Tarkastellaan x väliltä . Tällä välillä yhtälö (11) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon , eli muotoon

On selvää, että x=0 on yhtälön (12) ratkaisu, joten alkuperäinen yhtälö..gif" width="39" height="19"> yhtälö (12) vastaa yhtälöä

Millä tahansa arvolla , funktio saa vain positiivisia arvoja, joten yhtälöllä (12) ei ole ratkaisuja joukossa .

Vastaus: x=0, ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13)

Ratkaisu. Olkoon yhtälölle (13) ratkaisu, sitten yhtälö (14)

ja epäyhtälöt https://pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68" height="27 src=">. sama merkki kuin ja , eli sama merkki kuin , ja oikealla puolella on sama merkki kuin . Mutta koska ja täyttää tasa-arvo (14), heillä on samat merkit.

Kirjoitetaan tasa-arvo (14) muotoon

https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24">

Kirjoitetaan tasa-arvo (15) muotoon

Koska ja joilla on samat merkit, niin ..gif" width="95" height="24">. (17)

Ilmeisesti mikä tahansa yhtälön (17) ratkaisu on yhtälön (13) ratkaisu. Siksi yhtälö (13) vastaa yhtälöä (17). Yhtälöllä (17) on ratkaisut , ne ja vain ne ovat yhtälön (13) ratkaisuja.

Vastaus:

Kommentti. Samalla tavalla kuin esimerkissä 5, voimme todistaa, että yhtälö

missä n, m ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja, vastaa yhtälöä ja ratkaise sitten tämä yksinkertaisempi yhtälö.

2. 3. Funktion monotonisuuden käyttö.

Yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisu monotonisuusominaisuuden avulla perustuu seuraaviin väitteisiin.

Olkoon f(x) jatkuva ja tiukasti monotoninen funktio välillä L, jolloin yhtälöllä f(x)=C, jossa C on annettu vakio, voi olla korkeintaan yksi ratkaisu välissä L. Olkoon f(x) ja g(x) ovat funktioita, jotka jatkuvat välillä L, f(x) on tiukasti kasvava ja g(x) tiukasti laskeva tällä välillä, yhtälöllä f(x)=g(x) voi olla enintään yksi ratkaisu välissä L.

Huomaa, että väli L voi olla ääretön intervalli (-∞; +∞), puoliääretyt intervallit (a; +∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; a], segmentit, intervallit ja puolivälit.

Esimerkki 1 ratkaise yhtälö

(18)

Ratkaisu. On selvää, että x0 ei voi olla ratkaisu yhtälöön (18) sen jälkeen . Kun x>0 funktio on jatkuva ja tiukasti kasvava kahden jatkuvan positiivisen tiukasti kasvavan funktion f=x tulona näille x:ille ja https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif > saa jokaisen arvonsa täsmälleen yhdessä kohdassa On helppo nähdä, että x=1 on yhtälön (18) ratkaisu, joten se on sen ainoa ratkaisu.

Vastaus: x=1.

Esimerkki 2 Ratkaise epätasa-arvo

. (19)

Ratkaisu. Jokainen funktio , on jatkuva ja tiukasti kasvava koko akselilla. Eli alkuperäinen toiminto on sama . On helppo nähdä, että x=0 funktio saa arvon 3. Tämän funktion jatkuvuuden ja tiukan monotonisuuden vuoksi x>0:lle, meillä on , kohdassa x<0 имеем . Näin ollen epäyhtälön (19) ratkaisut ovat kaikki x<0.

Vastaus: -∞

Esimerkki 3 ratkaise yhtälö

(20)

Ratkaisu. Yhtälön (20) sallittujen arvojen alue on väli . Toiminnon sallittujen arvojen alueella ja ovat jatkuvia ja tiukasti laskevia, joten funktio on jatkuva ja vähenevä. Siksi funktio h(x) ottaa jokaisen arvon vain yhdessä pisteessä. Koska h(2)=2, niin x=2 on alkuperäisen yhtälön ainoa juuri.

Vastaus: x = 2.

Esimerkki 4 Ratkaise epätasa-arvo

Ratkaisu..gif" width="253 height=27" height="27"> on jatkuva ja tiukasti kasvava. Koska f(1)=4, niin kaikki x-arvot joukosta kasvavat aikavälillä. Siitä lähtien väli .. gif" width="95" height="25 src="> on esitetty kuvassa 7. Kuvasta seuraa, että epäyhtälö (26) pätee kaikille ODZ:n x:ille.

Todistetaan se. Jokaiselle meillä on , ja jokaiselle sellaiselle x:lle . Siksi epäyhtälön (26) ratkaisut ovat kaikki x väliltä [-1;1].

Esimerkki 2 ratkaise yhtälö

. (27)

Ratkaisu..gif" width="123" height="24"> ja on esitetty kuvassa 8. Piirretään suora y=2. Kuvasta seuraa, että funktion f(x) kuvaaja ei ole tämän viivan alapuolella, eikä funktion g(x) graafi ole sen yläpuolella. Lisäksi nämä kuvaajat koskettavat suoraa y=2 eri pisteissä. Siksi yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Todistetaan se. Jokaiselle meillä on . Tässä tapauksessa f(x)=2 vain x=-1:lle ja g(x)=2 vain x=0:lle. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä (27) ei ole ratkaisuja.

Vastaus: Ratkaisuja ei ole.

Esimerkki 3 ratkaise yhtälö

. (28)

Ratkaisu..gif" width="95" height="25 src="> on esitetty kuvassa 9. On helppo tarkistaa, että piste (-1; -2) on funktioiden kuvaajien leikkauspiste f(x) ja g(x), eli x=-1 on yhtälön (28) ratkaisu. Piirretään suora y=x-1. Kuvasta seuraa, että se sijaitsee kaavioiden välissä. funktiot y=f(x) ja y=g(x). Tämä havainto auttaa todistamaan, että yhtälöllä (28) ei ole muita ratkaisuja.

Tätä varten todistetaan, että x väliltä (-1; +∞) toteuttaa epäyhtälöt ja , ja x:lle väliltä (-∞; -1) epäyhtälöt ovat tosia https://pandia.ru/text/ 78/500/images/image229_1 .gif" width="89" height="21 src=">. On selvää, että epäyhtälö pätee x>-1:lle ja epäyhtälö https://pandia.ru/text/78 /500/images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. Tämän epäyhtälön ratkaisut ovat x<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1.

Näin ollen vaadittu väite on todistettu ja yhtälöllä (28) on ainutlaatuinen juuri x=-1.

Vastaus: x=-1.

Esimerkki 4 Ratkaise epätasa-arvo

. (29)

Solution..gif" width="39" height="19 src=">, eli ODZ koostuu kolmesta aukosta, https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" width= "52" height="41">, mikä vastaa epäyhtälöä

, (30)

ja alueella x>0 se vastaa epäyhtälöä

. (31)

Luonnokset funktiokaavioista ja ne näkyvät kuvassa 10..gif" width="56" height="45"> ja .

Siksi epäyhtälöllä (31) ei ole ratkaisuja, ja epäyhtälöllä (30) on ratkaisut kaikille x:lle väliltä .

Todistetaan se.

A) Anna. Epäyhtälö (29) vastaa tällä välillä eriarvoisuutta (30). On helppo nähdä, että jokaiselle tämän välin x:lle epäyhtälöt

,

.

Näin ollen epäyhtälöllä (30) ja yhdessä sen kanssa alkuperäisellä epäyhtälöllä (29) ei ole ratkaisuja välillä .

B) Anna. Silloin eriarvoisuus (29) vastaa myös epätasa-arvoa (30). Jokaiselle tämän intervallin x:lle

,

Siksi mikä tahansa tällainen x on ratkaisu epäyhtälölle (30) ja siten myös alkuperäiselle epäyhtälölle (29).

C) Olkoon x>0. Tässä joukossa alkuperäinen epäyhtälö vastaa epäyhtälöä (31). Ilmeisesti minkä tahansa x:n kohdalla tästä joukosta epäyhtälöt

,

Tämä tarkoittaa:

1) epäyhtälöllä (31) ei ole ratkaisuja joukossa, jossa , eli epäyhtälöllä (31) ei ole ratkaisuja joukossa ;

2) epätasa-arvolla (31) ei ole ratkaisuja joukossa, jossa https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. Epätasa-arvoon on vielä löydettävä ratkaisuja (31 ), joka kuuluu väliin 1

Funktionaalis-graafinen menetelmä epäyhtälön f(x) ratkaisemiseksi< g(x). 1. Подбором найдем корень уравнения f(x)=g(x), используя свойства монотонных функций; 2. Построим схематически графики обеих функций, проходящие через точку с найденной абсциссой; 3. Выберем решение неравенства, соответствующее знаку неравенства; 4. Запишем ответ. :

Dia 9 esityksestä "Eksponentiaaliyhtälöt ja epäyhtälöt". Arkiston koko esityksen kanssa on 174 kt.

Algebra luokka 11

yhteenveto muista esityksistä

"Kolmannen asteen yhtälöt" - (1). Tartaglia kieltäytyy. 12. helmikuuta Cardano toistaa pyyntönsä. "Suuri taide". X3 + px + q \u003d 0. Esimerkki: x3 - 5 x2 + 8 x - 4 \u003d 0 x3 - 2 x2 -3 x2 + 8x - 4 \u003d 0 x2 (x - 2) - (3 x2 - 8x + 4) \u003d 0 3 x2 - 8x + 4 \u003d 0 x \u003d 2 x \u003d 2/3 x2 (x - 2) - (3 (x -2) (x - 2/3)) \u003d 0 x2 (x - 2) - (( x - 2) (3x - 2)) = 0 (x - 2) (x2 - 3x + 2) \u003d 0 x - 2 \u003d 0 x2 - 3x + 2 \u003d 0 x \u003d 2 x \u003d 2 x \u003d 1 Vastaus: x = 2; x \u003d 1. Kaavamme antaa: Kunnallinen oppilaitos "Secondary school No. 24". X3 + ax = b (1). Tässä p = 6 ja q = -2. Ensimmäinen esimerkki:

"Määrän integraalin soveltaminen" - luku. 4. Valinnaisen oppiaineen kehittäminen aiheesta "Definite Integral". Varma integraali. § neljä. Määrätyn integraalin ominaisuudet. Ch. 2. Erilaisia ​​lähestymistapoja integraalin teoriaan koululaisten oppikirjoissa. §yksi. Vallankumouskappaleen tilavuus. §6. Johdanto. Darboux-summat. §3. Mekaaninen työ. Tarkoitus: Integraaliteorian rakentamisen lähestymistavat: Alkuhuomautukset. §2. Integrointimenetelmät. §3. Johtopäätös. Luku 3. Määrätyn integraalin soveltaminen. §yksi.

"Exponatoriset yhtälöt ja epäyhtälöt" - 2) Ekvivalentti epäyhtälölle f(x)< g(x), 0<а<1. "Что значит решить задачу? Обоснование: 12). Сравните основание а с единицей: Если 0

FUNKTIONAALIS-GRAAFIINEN MENETELMÄ YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN (käytetään funktioiden monotonisuuden ominaisuuksia yhtälöitä ratkaistaessa.)

Taululle on kirjoitettu epigrafi

Mikä on parempi?

Vertaa menneisyyttä, vähennä sitä

oikean kanssa.

Kozma Prutkov

Vaihe 1: Aiemman kokemuksen toteutuminen.

Edellisillä vapaavalintaisen kurssin tunneilla systematisoimme tietomme yhtälöiden ratkaisemisesta ja tulimme siihen tulokseen, että kaikenlaiset yhtälöt voidaan ratkaista yleisillä menetelmillä. Mitä yleisiä menetelmiä yhtälöiden ratkaisemiseksi olemme tunnistaneet?

(Yhtälön korvaaminenh(f(x))= h(g(x) yhtälön mukaan f(x)= g(x),

faktorointi, uuden muuttujan käyttöönotto.)

Vaihe 2: motivaatio uusien yhtälöiden käyttöönotolle, joiden ratkaisuun liittyy funktionaal-graafisen menetelmän käyttö.

Tällä oppitunnilla opimme toisen menetelmän yhtälöiden ratkaisemiseksi. Ymmärtääksemme sen tarpeellisuuden teemme seuraavat työt.

Harjoittele. Tässä on joitain yhtälöitä. Ryhmittele yhtälöt ratkaisumenetelmillä. Kirjoita muistiin vain yhtälöiden numerot taulukkoon. Voit työskennellä itse ja vertailla vastauksia pareittain tai ryhmissä.

Toteutustarkastus .

Oppilaat lukevat vastaukset.

Yhtälöiden joukossa olet törmännyt yhtäloihin, joita et voi ratkaista tutkimillasi menetelmillä. Monet niistä on ratkaistu graafisesti. Hänen ajatuksensa on sinulle tuttu. Muistuta häntä.

(yksi). Muunna yhtälö muotoonf(x)= g(x) niin, että meille tuntemamme funktiot ovat yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella. 2). Rakenna yhdessä koordinaattijärjestelmässä funktioiden kuvaajiaf(x) ja g(x). 3). Etsi kaavioiden leikkauspisteiden abskissat. Nämä ovat yhtälön likimääräiset juuret.)

Joissakin tapauksissa funktioiden graafien rakentaminen voidaan korvata viittauksella johonkin funktioiden ominaisuuteen (täten emme puhu graafisesta, vaan funktionaaligraafisesta menetelmästä yhtälöiden ratkaisemiseksi).

Yksi ominaisuuksista on funktioiden monotonisuusominaisuus. Tätä ominaisuutta käytetään muodon yhtälöiden ratkaisemisessa

Opiskelijoiden perustietojen aktivointi funktioiden monotonisuuden ominaisuuksista

Viitaten oppitunnin epigrafiin.

Harjoittele. Muistetaan mitkä tutkituista funktioista ovat monotonisia funktion määrittelyalueella ja nimetään monotonisuuden luonne.

Teho, y=x r, missä

r- murto-osa

r> 0 , lisääntyy

r<0 , vähenee

Juuri n- astetta alkaen x

Kasvava

Y = arcsin x

Kasvava

Y=arccos x

hiipumassa

Y=arctg x

Kasvava

Y=arctg x

hiipumassa

Y= x 2 n +1 , n-luonnollinen luku

Kasvava

Loput funktiot ovat monotonisia funktion alueen intervalleilla.

Alkuperäisten funktioiden monotonisuutta koskevien tietojen lisäksi käytämme useita väitteitä funktioiden monotonisuuden todistamiseen. (Samanlaiset ominaisuudet muotoillaan pieneneville funktioille.)

Itsenäinen työskentely painetussa muodossa esitetyn materiaalin kanssa.

Jos toiminto flisääntyy sarjassaX, sitten mille tahansa numerollec toiminto f+ cmyös kasvaaX.

Jos toiminto flisääntyy sarjassaX ja c>0, funktio vrtmyös kasvaaX.

Jos toiminto flisääntyy sarjassaX, niin toiminto on fvähenee tällä sarjalla.

Jos toiminto flisääntyy sarjassaXja säilyttää kuvaston kyltinX, sitten funktio 1/ fvähenee tällä sarjalla.

Jos toimii f ja gkasvaa paljonX, sitten niiden summa f+ g

Jos toimii f ja govat lisääntyviä eivätkä negatiivisia kuvauksissaX, sitten heidän tuotteensaf· gkasvaa myös tässä sarjassa.

Jos toiminto flisääntyy ja ei ole negatiivinen kuvauksissaX ja non luonnollinen luku, sitten funktiof n myös kasvaaX

Jos toiminto f lisääntyy X, ja toiminto glisääntyy sarjassaE(f) toiminnot f, sitten koostumus g° fNäiden toimintojen määrä kasvaa myösX.

Toimintojen koostumuksen perusominaisuudet .

Anna monimutkainen funktioy= f(g(x)), missä x € Xon sellainen, että toimintou= g(x),

x € Xon jatkuva ja tiukasti kasvaa (vähenee) välissä X; toimintoy= f(u), u € U, U= g(x) on jatkuva ja myös monotoninen (tiukasti kasvava tai laskeva) intervallillaanU. Sitten monimutkainen funktioy= f(g(x)), x € Xon myös jatkuva ja monotoninenX, ja:

Sävellys f° gkaksi tiukasti kasvavaa toimintoafjagtulee myös olemaan tiukasti kasvava toiminto,

Sävellys f° gkaksi tiukasti laskevaa toimintoafjagon tiukasti kasvava toiminto,

Sävellys f° g toimintoja fjag, joista toinen (mikä tahansa) on tiukasti kasvava ja toinen tiukasti laskeva, on tiukasti laskeva funktio.

Harjoittele.

Selvitä, mitkä funktiot ovat monotonisia, selvitä monotonisuuden luonne. Laita plusmerkki vastaavan numeron viereen. Selitä vastaus. (ketjua pitkin)

y= √ x+2,

y=8-3 x,

y= Hirsi 2 2 x,

y=2 √ 5- x,

y= cos 2 x,

y= kaari synti (x-9),

y=4 x +9 x ,

y=3 √ -2 x +4 ,

y=ln(2 x +5 x ),

10) y= Hirsi 0,2 (-4 x-5),

11) y= Hirsi 2 (2 - x +5 -2 x ),

12) y= √ 6-4 x- x 2

Käytetään yhtälöiden ratkaisemisessa funktioiden monotonisuuden ominaisuuksia. Etsi samasta listasta yhtälöt, jotka voidaan ratkaista funktioiden monotonisuusominaisuuksien avulla.

Yhteenveto oppitunnista.

Mitä yhtälöiden ratkaisutapaa opit luokassa?

Voidaanko kaikki yhtälöt ratkaista tällä menetelmällä?

Kuinka "tunnistaa" menetelmä tietyissä yhtälöissä?

Luettelo yhtälöistä, joita voidaan ehdottaa tällä oppitunnilla.

Osa 1.

Osa 2.